Ü b u n g s b l a t t 1

Transkript

1 Mathe für Physier I Witersemester 03/04 Walter Oevel Ü b u g s b l a t t 1 Abgabe vo Aufgabe am i der Übug Aufgabe 1*: (Aussagelogi 5 Bouspute) Vo de folgede drei Aussage ist geau eie richtig: a) Mai besitzt midestes 100 Bücher b) Mai besitzt weiger als 100 Bücher c) Mai besitzt midestes 1 Buch Wie viele Bücher besitzt Mai? a) ud b) sid Negatioe vo eiader, also ist immer eie vo de beide richtig Damit muss c) falsch sei, we isgesamt ur eie der drei Aussage richtig sei soll Oder auch aders (per Falluterscheidug): Hat Mai midestes 100 Bücher, sid die beide Aussage a) ud c) wahr, b) ist falsch Hat Mai zwische 1 ud 99 Bücher, ist a) falsch, währed b) ud c) wahr sid Hat Mai ei Buch, sid a) ud c) falsch ud b) wahr Nur i der letze Situatio ist geau eie der 3 Aussage richtig: Mai besitzt ei eiziges Buch! Aufgabe *: (Idutio Bouspute) Wir defiiere die Faultät vo N 0 durch die Reursiosvorschrift 0! 1,! ( 1)! a) Beweise durch Idutio:! 1 Wir defiiere de Biomialoeffiziete vo N ud {0, 1,, } durch!! ( )! b) Beweise die folgede Kostrutio über das Pascalsche Dreiec : ( ) ( ) ( ) ,, 1 c) Beweise durch Idutio ach, dass alle Biomialoeffiziete gaze Zahle sid d) Beweise durch Idutio ach : (x + y) e) Beweise die Behauptug: 0 x y, N 0, x, y R

2 Es gibt geau ( ) verschiedee -elemetige Teilmege eier -elemetige Mege Aleitug (ei möglicher Beweisgag durch Idutio ach ): Sei x ei ausgezeichetes Elemet der Mege Betrachte eierseits die -elemetige Teilmege, die x ethalte, adererseits diejeige, die x icht ethalte Dies liefert mit b) de Idutiosschritt a) Die Aussage A(1): 1! 1 ergibt sich umitelbar aus der Defiitio 1! 1 0! Idutiosschritt vo auf + 1: Es gelte A():! 1 Es folgt ( + 1)! ( + 1)! A() ( + 1) 1 1 ( + 1) b) Nach Defiitio gilt + 1 ( + 1)!! ( + 1 )! ( + 1)! ( 1)! ( + 1 ) ( )!,! 1 ( 1)! ( ( 1))!! ( 1)! ( + 1 ) ( )!,!! ( )!! ( 1)! ( )! Die Behauptug ( + 1)! ( 1)! ( + 1 ) ( )! ( )! ( 1)! ( + 1 ) ( )! ( 1) +! ( 1)! ( )! ( ) ist ach Kürze der gemeisame Fatore!, ( 1)! ud ( )! aus der Gleichug äquivalet zu + 1 ( + 1 ) Brigt ma die rechte Seite auf de Haupteer, sieht ma, dass diese Gleichug i der Tat für alle N ud 1,, erfüllt ist c) Sei A() die Behaupug: ( ( ) ist für alle {0, 1, } eie gaze Zahl Mit 1 1) 1 ist die ( Behauptug A(1) richtig Der Schritt vo ach + 1 wird durch b) geliefert: ) ist für 1,, als Summe zweier Biomaloeffiziete mit oberem Eitrag (per A() sid dies gaze Zahle) wieder gaze Zahle Hiermit sid ( ) ( 0 ud ) och icht abgedect Nach Defiitio sid diese Werte aber 1, also auch gaze Zahle d) Idutiosstart: für 1 ist (x + y) 1 ( ) 1 0 x0 y 1 + ( 1 1) x1 y 0 y + x richtig Idutiosschritt vo ach + 1: Es gelte A() : (x + y) ( 0 ) x y Es folgt: (x + y) (x + y) (x + y) A() (x + y) 0 x y

3 x 0 0 x y + y x +1 y x y x y : # Wir ersetze i der erste Summe de Laufidex durch + 1, setze also 1: # 1 1 x y + ud beee wieder i um: # x y + 1 Mit b) ergibt sich: Also gilt A( + 1): 1 x 0 y # y + ( ( ) x y x y ) x y x y + x ( + 1 x 0 y ) x y x y (x + y) # x y 0 x y x y d) Idutio ach der Azahl der Elemete i der Mege Sei A() die Aussage: Es gibt geau ( ) verschiedee -elemetige Teilmege eier -elemetige Mege, wobei 0, 1,, Idutiosstart: Für 1 ist diese Aussage richtig: es gibt es geau eie 0-elemetige Teilmege (die leere Mege) ud eie 1-elemetige Teilmege (die Mege selbst) Idutiosschritt vo ach + 1: Betrachte eie Mege M mit + 1 Elemete Zeiche irgedei Elemet aus der Mege aus, ee wir es x Wähle ei {1,,, } 1) Betrachte alle -elemetige Teilmege vo M, die x ethalte Nimmt ma x heraus, etstehe offesichtlich alle ( 1)-elemetige Teilmege der -elemetige Mege M \ {x} Per A() gibt es also ( 1) uterschiedliche Teilmege vo M, die x ethalte ) Es gibt och weitere -elemetige Teilmege vo M, ämlich diejeige, die x icht ethalte Dies sid die ( ) uterschiedliche -elemetige Teilmege vo M \ {x} Für 1,, folgt also Azahl der -elemetige Teilmege vo M + 1

4 Nach Aufgabe b) folgt: Azahl der -elemetige Teilmege vo M + 1 Für 0 ud + 1 ist die Aussage Azahl der -elemetige Teilmege vo M auch richtig Damit ist der Idutiosschritt vollzoge Aufgabe 3*: (Beroullische Ugleichug Idutio 10 Bouspute) Zeige: für jedes x [ 1, ) ud jedes N gilt die Beroullische Ugleichug : (1 + x) 1 + x Idutiosstart: Für 1 ist (1 + x) x x richtig Idutiosschritt vo ach + 1: Es gelte A(): (1 + x) 1 + x Wir müsse zeige, dass (1 + x) 1 + ( + 1) x gilt: (1 + x) (1 + x) (1 + x) (1 + x) (1 + x) 1 + x + x + x 1 + ( + 1) x + x (1 + ( + 1) x) + x ( + 1) x (ach Idutiosvoraussetzug A()) Aufgabe 4*: (Alle Katze sid grau Idutio 5 Bouspute) Wir beweise, dass alle Katze dieser Welt die selbe Farbe habe Sei A() die Aussage: I eier Mege aus Katze habe alle Katze die selbe Farbe Die Aussage A(1) ist trivialerweise richtig Hier ist der Schritt vo auf + 1: 1) Etfere aus eier Mege mit + 1 Katze eie Katze ) Per A() gilt, dass alle i der Mege verbleibede Katze die selbe Farbe habe Es bleibt zu zeige, dass die ausgesoderte Katze die selbe Farbe wie alle adere hat 3) Wir etfere dazu eie weitere Katze aus der Mege ud stece dafür die i 1) ausgesoderte Katze wieder hiei Per A() hat auch diese Katze die selbe Farbe wie alle adere i der Mege Die mometa ausgesoderte Katze hat ach ) ebefalls diese Farbe 4) Damit habe alle + 1 Katze die selbe Farbe Per Idutio ist gezeigt, dass alle Katze dieser Welt die selbe Farbe habe Diese ist grau, de heute morge lief mir eie graue Katze über de Weg Wo liegt der Fehler?

5 Der Schritt vo A() ach A( + 1) ist zwar durchaus stichhaltig, aber erst ab Köte wir A() beweise, hätte i der Tat alle Katze die selbe Farbe Die Erfahrug besagt, dass A() schwer zu beweise sei dürfte Aufgabe 5*: (Abzählbare Mege 10 Bouspute) Eie uedliche Mege A heißt abzählbar, we es eie ivertierbare Abbildug x : N A gibt Zeige formal: Die Vereiigug edlich vieler abzählbarer Mege ist wieder abzählbar Notatio: abzählbare Mege schreibt ma typischerweise i der Form A {x(1), x(), } oder (elegater) A {x 1, x, } Seie x : N {x 1, x, } ud y : N {y 1, y, } die Idizieruge zweier abzählbarer Mege Die Idizierug { x()/ für ugerades, z für gerades y / liefert die Abbildug vo N i die Vereiigugsmege {z 1, z, z 3, z 4, } {x 1, y 1, x, y, } {x 1, x, } {y 1, y, } Die Vereiigug A 1 A A beliebig vieler abzählbarer Mege ist damit ebefalls abzählbar (A 1 A 1 A ist abzählbar, damit da auch A 13 A 1 A 3, A 134 A 13 A 4 usw) Amerug: Auch abzählbare Vereiiguge uedlich vieler abzählbarer Mege N A sid wieder abzählbar De Beweis a ma geauso wie de Beweis der Abzählbareit vo Q führe Aufgabe 6*: (Die Dreiecsugleichug 5 Bouspute) Zeige, dass für alle x, y R die Dreiecsugleichug x + y x + y gilt (Falluterscheidug!) 1-ter Fall: x 0, y 0: Hier gilt x + y 0, also x + y x + y, x + y x + y, also x + y x + y -ter Fall: x 0, y < 0, x + y 0: Hier gilt x + y x + y, x x, y y, also x + y x + y, x + y x y, also x + y < x + y 3-ter Fall: x 0, y < 0, x + y < 0: Hier gilt x + y x y, x x, y y, also x + y x y, x + y x y, also x + y < x + y 4-ter Fall: x < 0, y 0, x + y 0: Hier gilt x + y x + y, x x, y y, also x + y x + y, x + y x + y, also x + y < x + y

6 5-ter Fall: x < 0, y 0, x + y < 0: Hier gilt x + y x y, x x, y y, also x + y x y, x + y x + y, also x + y < x + y 6-ter Fall: x < 0, y < 0: Hier gilt x + y < 0, also x + y x y, x + y x y, also x + y x + y Aufgabe 7*: (Modellierugsaufgabe Schulphysi ud -mathemati 30 Bouspute) Mai fährt Mata Ger ud schell Nu ist ihm aber Folgedes passiert: Kurz vor Erreiche eier grüe Ampel sprigt diese auf gelb Mit geübtem Auge eret er, dass er die Ampel icht mehr bei gelb erreiche a Mit eier Vollbremsug a er gerade och vor der Ampel ahalte Wie schell war er midestes (ma gebe eie halbwegs realistische Wert a)? Aleitug: Fährt ma lagsam auf eie grüe Ampel zu, a ma beim Umsprige auf gelb je ach Abstad stets etweder och sicher durchfahre, oder sicher abbremse, oder ma hat die Wahl Ab eier ritische Geschwidigeit gibt es eie Abstadsbereich, i dem ma weder durchfahre och abbremse a Bestimme diese ritische Geschwidigeit i Abhägigeit vom Beschleuigugsvermöge b + des Autos, der Bremsverzögerug b, der Dauer t g der Gelbphase ud Mais Reatioszeit t r Mai fährt mit ostater Geschwidigeit v 0, bis die Ampel auf gelb sprigt ud er reagiert Ab u läuft die Uhr Bei ostater Beschleuigug/Verzögerug b ud Afagsgeschwidigeit v 0 ist die Geschwidigeit zum Zeitput t: v(t) v 0 + b t, der zurücgelegte Weg ist: s(t) v 0 t + b t Mai a durch eie Vollbremsug vor der Ampel ahalte, we sei Abstad zum Zeitput 0 midestes s mi beträgt, das durch die beide Gleichuge 0 v 0 b t, s mi v 0 t b t gegebe ist (wir setze hier für mehr Klarheit die Verzögerug als egative Beschleuigug b b a) Nach Elimiatio vo t: s mi v 0 b b v 0 b v 0 b Er a durch Gasgebe die Ampel och vor dem Zeitput t g t r erreiche (zu dieser Zeit wird die Ampel rot), we sei Abstad maximal s max ist, welches durch gegebe ist Solage s max v 0 (t g t r ) + b + (t g t r ) s mi s max

7 gilt, ist er sicher: er a bei leiem Abstad ( s max ) durchfahre, bei großem Abstad ( s mi ) bremse ud hat bei s mi Abstad s max die Wahl, sich für eis vo beide etscheide (vermutlich gibt er Gas) Kritisch wird es für Geschwidigeite v 0, für die s max < s mi gilt, da er da i der Situatio s max < Abstad < s mi eie Chace hat, durch Abbremse oder Gasgebe zu vermeide, bei Rot mitte auf der Kreuzug zu sei Die ritische Geschwidigeit ist durch die Gleichug s mi s max gegebe, also Die quadratische Gleichug für v 0 s mi v 0 b s max v 0 (t g t r ) + b + (t g t r ) v0 b (t g t r ) v 0 b b + (t g t r ) 0 liefert (mit der aus der Schule beate Lösugsformel für quadratische Gleichuge) v 0 b (t g t r ) ± b (t g t r ) + b b + (t g t r ) Die physialische Lösug ist die mit dem +-Zeiche vor der Wurzel (die adere Geschwidigeit ist egativ): v 0 b (t g t r ) + b (t g t r ) + b b + (t g t r ) ( ) b (t g t r ) + b (t g t r ) + b (t g t r ) b (t g t r ) + v 0 b (t g t r ) ( ) b (t g t r ) ( b + b 1 + b + b Verachlässigt ma das Beschleuigugsvermöge (b + 0), ergibt sich die ritische Geschwidigeit, die ma beim Afahre a eie Ampel icht überschreite sollte, zu: v 0 b (t g t r ) Ma fidet im Iteret, dass heutige Mittellasseautos bei eier Geschwidigeit vo 100 m/h eie Bremsweg vo etwa 50 m habe (die veraltete Faustformel der Führerscheiprüfug liefert etwa 100 m Bremsweg) Mit Bremsweg Geschwidigeit b liefert dies eie heute typische Verzögerugswert vo b 100 m /h m m h 105 m 3600 h sec 555 m h sec (ma baut pro Seude 555 m/h ab) Setzt ma (etwas willürlich) t g t r 1 sec, ergibt sich v 0 b (t g t r ) 555 m h 111 m h ) b + b