3 Die natürlichen Zahlen

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1 3 Die atürliche Zahle Die atürliche Zahle hat der liebe Gott gemacht, alles adere ist Meschewer L Kroecer 1 1 Axiome für die atürliche Zahle Die atürliche Zahle a ma als eie Mege mit bestimmte Eigeschafte charaterisiere: Sie bilde eie Mege N, auf der eie Futio + defiiert ist, so dass gilt: P1 0 N, P2 N + N, P3 N + 0, P4 m, N m + + m, P5 ist M N eie Teilmege mit 0 M, so dass gilt: M + M, so ist M N Die Futio + et ma die Nachfolgerfutio A dieser Stelle ist 0 ur ei Symbol für ei Elemet der Mege N Statt 0 + schreibt ma da 1, usw Diese Axiome heiße die Peao 2 - Axiome Bemerug: Diese Beschreibug der atürliche Zahle durch ei Axiomesystem ist ei Beispiel eier für die Mathemati fudametale Vorgehesweise: Ma trifft eiige Grudaahme, dere Wahrheitswerte willürlich auf wahr gesetzt werde; solche Aahme et ma Axiome Mit adere Worte, Axiome sid icht weiter zu begrüdede oder zu bezweifelde Sätze Ei aderes Beispiel ist die im Ahag des vorherige Kapitels beschriebee axiomatische Megelehre: heutzutage wird das System ZFC vo de meiste als Grudlage der Megelehre ud damit der Mathemati azeptiert Ausgehed vo diese Axiome beweist ma eue Sätze ach de Spielregel der Logi Dabei stellt sich aber das Problem der Widerspruchsfreiheit: a es sei, dass ma aus eiem Axiomesystem sowohl eie Aussage A als auch A ableite a? I diesem Fall ist das Axiomesystem atürlich ubrauchbar Diese Frage hat die Mathemati lage beschäftigt, bis schließlich Gödel bewies, dass dies für jedes Axiomesystem, das die elemetare Arithmeti ethält, umöglich ist! Die Mege {, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}, } erfüllt die Peao-Axiome, so dass ma über ei Modell der atürliche Zahle ierhalb der Megelehre verfügt Tatsächlich sid die Peao-Axiome scho im System ZFC verstect Das Axiom P5 heißt auch as Idutiosaxiom ud ist eies der grudlegede Prizipie der Mathemati Mit Worte ausgedrüct besagt es: Jede Mege atürlicher Zahle, die die Null ethält ud mit jedem Elemet auch desse Nachfolger, ist die Mege der atürliche Zahle Ma utzt dieses Prizip aus, we ma es mit eier Situatio zu tu hat, i der es für jede atürliche Zahl eie Aussage A gibt, die ma beweise möchte: 1 Leopold Kroecer, deutscher Mathematier, ; erbitterter Geger vo Georg Cator 2 ach dem italieische Mathematier Giuseppe Peao,

2 1 AXIOME FÜR DIE NATÜRLICHEN ZAHLEN 18 Satz 11 Vollstädige Idutio Sei A eie Eigeschaft i N We A0 ud A A + gilt, so gilt A für alle N Beweis Defiiere die Mege M : { N A} Nach Voraussetzug gilt 0 M sowie M + M Mit P5 folgt daher M N Das Idutiosprizip erlaubt auch sogeate idutive Defiitioe: Möchte ma für jedes N ei Elemet a eier Mege A defiiere, so a ma dies tu, idem ma a 0 festlegt ud eie Vorschrift agibt, wie ma für beliebiges 0 das Elemet a + aus dem Elemet a gewit Formal ausgedrüct bedeutet dies: Satz 12 Idutive Defiitio Sei M eie Mege, f : N M M eie Abbildug ud a M Durch φ0 : a ud φ + : f, φ ist eie eideutig bestimmte Futio φ: N M defiiert Beweis Sei A die Aussage φ ist eideutig bestimmt Da gilt A0, de φ0 ist durch a eideutig festgelegt We A gilt, dh we φ eideutig bestimmt ist, da ist φ + durch f, φ festgelegt Also ist φ für alle atürliche Zahle eideutig bestimmt Jede atürliche Zahl 0 hat auch eie eideutig bestimmte Vorgäger hat, dh zu jedem 0 gibt geau ei N mit + : 1 hat eie Vorgäger, ud we m eie hat, so auch m + ämlich m Also habe alle Zahle ugleich 0 eie Vorgäger, der ach P4 eideutig bestimmt ist Damit a ma die idutive Defiitio vo φ umschreibe zu eier reursive Defiitio: φ0 : a, φ : f, φ für alle 0 Ma et eie solche Defiitio reursiv, da der Wert a der Stelle aus dem Wert des Vorgägers bestimmt wird Ausgehed vo de Peao-Axiome a ma alle arithmetische Operatioe der atürliche Zahle erläre ud ihre Eigeschafte beweise Für a N defiiere φ a 0 : a, φ a + : φ a + Nach obigem Satz defiiert dies eie eideutig bestimmte Futio φ a : N N, die i üblicher Schreibweise φ a a + lautet Damit ist also ei Futio +: N N N defiiert, vo der ma achweise a, dass sie die übliche Recheregel Assoziativgesetz, Kommutativgesetz erfüllt Für die Multipliatio geht ma u wie folgt vor: Für ei a N setze ψ a 0 : 0 ud ψ a + : ψ a + a Nach dem Idutiossatz defiiert das wiederum eie Futio ψ a : N N, die die Multipliatio mit a repräsetiert: ψ a a Durch vollstädige Idutio weist ma ach, dass die Abbildug : N N N ommutativ, assoziativ ud distributiv bezüglich der Additio ist, wobei letzteres m + m + bedeutet Isbesodere gilt 1 für alle N Schließlich defiiert ma auf N eie Totalordug durch N 0 m, N + m m wobei N + die Mege der atürliche Zahle ugleich Null ist; diese Defiitio ist reursiv

3 2 EINIGE BEISPIELE FÜR INDUKTIONSBEWEISE 19 Eie adere Folgerug aus dem Idutiosprizip ist: Satz 13 Das Idutiosaxiom ist äquivalet zum Satz vom leiste Elemet: Jede ichtleere Mege atürlicher Zahle besitzt ei leistes Elemet Beweis Durch Idutio Sei A die Aussage we M ei Elemet ethält, so hat M ei leistes Elemet Die Aussage A0 ist sicherlich wahr, de ethält die Mege M die Zahl 0, so ist 0 das leiste Elemet Zu zeige ist A A + 1 Sei also M eie Mege, die ei Elemet + 1 ethält Da ist etweder + 1 das leiste Elemet, oder es gibt och ei leieres, das da aber ist Aber wege A ethält da M auch ei leistes Elemet Sei u umgeehrt der Satz vom leiste Elemet vorausgesetzt, ud es seie die Voraussetzuge der vollstädige Idutio erfüllt: A0 ist wahr ud auch A A + Defiiere die Mege M : { N A} We diese Mege icht leer ist, hat sie ei leistes Elemet 0 0 Der Vorgäger 0 muss da ebefalls i M liege, da sost aus A 0 sofort A 0 folgte Aber da ist 0 ei leistes Elemet ud die Mege M muss doch leer gewese sei Die Ordug auf de atürliche Zahle ist also eie Wohlordug Eie Awedug des Satzes vom leiste Elemet ist folgede Verallgemeierug des Idutiosprizips: Satz 14 Prizip der vollstädige Idutio Sei p N ud A eie Aussage über atürliche Zahle, so dass Ap gilt sowie die Aussage: p m Am A + Da gilt die Aussage A für alle p Beweis Defiiere M : { N < p m p m Am} M ethält alle p, ud we sie p ethält, so auch + Damit erfüllt M die Voraussetzuge vo P5; es gilt also M N ud die Behauptug folgt I der Folge soll dieser axiomatische Stadput icht weiter verfolgt werde Isbesodere schreibe wir jetzt wieder + 1 astelle vo + Agesichts der ituitive Vorstellug vo de atürliche Zahle, i der die Axiome P1 bis P5 umittelbar eisichtige Eigeschafte sid, a er wie eie fruchtlose logische Spielerei erscheie Die Bedeutug dieser Überleguge liegt auch icht i eiem recherische Nutze, soder dari, dass sie zeige, wie die gesamte Arithmeti auf die füf Axiome vo Peao reduziert werde a 2 Eiige Beispiele für Idutiosbeweise Um och eimal zusammezufasse, die Vorgehesweise beim Idutiosbeweis ist die folgede: 1 Idutiosafag: Nachweis der Aussage Ap für ei p N 2 Idutiosschluss: Nachweis der Impliatio A A + 1 für p; hierbei et ma die Aussage A die Idutiosvoraussetzug oder Idutiosaahme Hat ma diese beide Nachweise geführt, folgt, dass die Aussage für alle p gilt Oft immt ma p 0 oder p 1, aber dies ist icht zwiged Bevor eiige Beispiele ür Idutiosbeweise präsetiert werde öe, soll och die Summe- ud Produtotatio eigeführt werde Sei a i i I eie edliche Familie vo Zahle Da bezeichet ma mit bzw i I a i i I

4 2 EINIGE BEISPIELE FÜR INDUKTIONSBEWEISE 20 die Summe bzw das Produt aller dieser Zahle a i Für eie edliche Familie {a m, a m+1,, a } ud m j schreibt ma auch a i a j + a j a sowie a i a j a j+1 a ij für Summe ud Produt der Zahle a j, a j+1,, a Der Laufidex i a dabei durch ei beliebiges aderes Symbol ersetzt werde; das muss da allerdigs überall dort geschehe, wo i auftritt: a i + i a i+1 a ν + ν a ν+1 i1 Ebefalls gebräuchlich ist folgede Notatio: Sei A eie edliche Mege vo Zahle, da ist a bzw a a A die Summe bzw das Produt aller Elemete vo A; das a ma so schreibe, da es auf die Reihefolge der Summatio bzw Multipliatio icht aommt Für eie leere Idexmege ist die Summe per Defiitio gleich 0 ud das Produt gleich 1 Erfahrugsgemäß Schwierigeite bereitet das Umidiziere eier Summe oder eies Produts Damit ist folgedes gemeit: Ist σ : I J eie bijetive Abbildug, so gilt offebar bzw a i So ist zum Beispiel j J a σj i I a i 2 ij 2 a i ν1 ij a A ij j J a σj i I durch Verschiebe der Idexmege um 2 Des weitere a ma Summe ud Produte aufteile: ist I I 1 I 2 mit I 1 I 2, so gilt i I ud aalog für Produte Zwei Beispiele: m a i a i + i1 2 i0 a i i1 a i 2 a i i I 1 a i + i I 2 a i a 2j + j0 a i im+1 2 a falls 1 m Etwas allgemeier gilt, falls I I 1 I 2 aber icht otwedig I 1 I 2, a i a i + a i a i i I i I 1 i I 2 i I 1 I 2 Um de Fehler, der durch das zweimalige Addiere aller a i, dere Idex im Schitt liegt, zu orrigiere, muss ma die Summe über I 1 I 2 wieder abziehe Nu zum eigetliche Zwec dieses Abschitts, de Beispiele Das erste, das Problem der Summe der Zahle vo 1 bis, hat Gauß 3 als Volsschüler gelöst: Satz 21 Für jede atürliche Zahl gilt i i Carl Friedrich Gauß, , eier der eiflussreichste Mathematier überhaupt Ei weig schmeichelhaftes Porträt fidet ma i Daiel Kehlmas Roma Die Vermessug der Welt

5 2 EINIGE BEISPIELE FÜR INDUKTIONSBEWEISE 21 Beweis Sei A die Behauptug für die Zahl Idutiosafag: Es gilt A0, de für 0 sid beide Seite der Gleichug 21 gleich 0 Idutiosschluss: Wir ehme a, A sei wahr Idutiosaahme Zu zeige ist, dass da auch A + 1 gilt, also die Aussage Aber es ist i0 i0 i i i i , 2 2 womit die Behauptug bewiese ist Satz 22 Es sei eie atürliche Zahl ud q 1 eie reelle Zahl Da gilt q i q 1 22 Beweis Sei A die Behauptug für die atürliche Zahl, also die Aussage es gilt q i q 1 i0 i0 Da ist A0 offesichtlich, de q 0 1 De Idutiosschluss führe wir wie folgt: Sei A wahr Da gilt q i q i + q i0 ud damit A + 1 i0 q 1 + q Idutiosaahme q 1 + q q 1 + q +2 q q+2 1 Satz 23 Beroullische Ugleichug 4 Sei x 1 eie reelle Zahl Da gilt für alle atürliche Zahle 1 + x 1 + x Beweis Für eie atürliche Zahl sei A die Aussage für alle x R mit x 1 gilt die Ugleichug 1 + x 1 + x Offebar ist A0 wahr, de 1 + 0x x 0 für jedes x Sei u A als wahr ageomme Idutiosvoraussetzug Wege x 1 ist 1 + x 0, also folgt aus de Recheregel für Ugleichuge ud der Idutiosvoraussetzug 1 + x1 + x 1 + x1 + x 1 + x 4 ach Jaob Beroulli der Ältere, Schweizer Mathematier,

6 3 ELEMENTARE KOMBINATORIK 22 Adererseits gilt immer x 2 0, folglich x x + x x + x + x x1 + x, also wege Trasitivität vo zusammegeomme A + 1 Aus der Beroullische Ulgeichug erhält ma mittels Idutio auch die sogeate AGM- Ugleichug, die besagt, dass das arithmetische Mittel stets größer oder gleich dem geometrische Mittel ist: es heißt Aa 1,, a 1 i1 a i a 1 + a a das arithmetische Mittel der Zahle a 1, a 2,, a ud Gb 1,, b b i b 1 b 2 b das geometrische Mittel der ichtegative Zahle b 1, b 2,, b i1 Satz 24 AGM-Ugleichug Sei eie atürliche Zahl ud seie x 1, x 2,, x ichtegative reelle Zahle Da gilt x1 + x x x1 x 2 x Gleichheit tritt geau da ei, we alle x i gleich sid Beweis Für 1 ist ichts zu zeige Sei A die Aussage, dass die Ugleichug für ichtegative reelle Zahle gilt Idutiosvoraussetzug Seie u x 1,, x reelle Zahle; sie seie so umeriert, dass x das Maximum der Mege dieser Zahle ist Sei weiterhi a x1+ +x das arithmetische Mittel vo x 1,, x Da gilt x a 0 Aus der Beroullische Ugleichug folgt x1 + + x 1 + x a x a 1 + x + 1 a + 1 a a a Mit der Idutiosvoraussetzug folgt da x1 + + x a x x a x a x x 1 x x, a a also gerade die Aussage A + 1 Für die zweite Aussage ist die eie Richtug lar: we alle x i gleich sid, stimme arithmetisches ud geometrisches Mittel offebar überei Die adere Richtug folgt wieder per Idutio: Sei B die Aussage: gilt Ax 1,, x Gx 1,, x für Zahle x 1,, x, so sid alle x i gleich Idutiosvoraussetzug Seie u x 1,, x Zahle, so dass arithmetisches ud geometrisches Mittel übereistimme Da müsse i der obige Rechug beide Ugleichuge Gleichuge sei Nu gilt i der Beroullische Ugleichug 1 + x m 1 + mx Gleichheit ur da, we x 0 ist Es folgt also x a ud a x 1 x Aus der Idutiosvoraussetzug folgt daher x 1 x ud da auch x x 1 3 Elemetare Kombiatori Kombiatori ist die mathematische Diszipli, die sich mit dem Studium der edliche Mege beschäftigt Nu öte ma sage, viel gebe es über edliche Mege icht zu etdece, aber es ommt auf die Fragestellug a Typische Probleme der Kombiatori betreffe Frage der Art: wieviele mögliche Aorduge vo Objete gibt es? Wieviele Möglicheite gibt es, aus eiem Topf mit 49 Kugel 6 Kugel zu ziehe? Ud we ich die eimal gezogee Kugel wieder zurücwerfe? Machmal sid solche ombiatorische Probleme mit arithmetische verüpft: wieviele Möglicheite gibt es, eie gaze Zahl als Summe vo m positive gaze Zahle zu schreibe? Wie üblich müsse erst eimal eiige Voabel eigeführt werde:

7 3 ELEMENTARE KOMBINATORIK 23 Defiitio 31 a Für N sei! reursiv defiiert durch 0! 1 ud + 1!! + 1 b Für, N mit sei!!!! et ma Faultät ud heißt der Biomialoeffiziet über Es ist also! 1 2 i i1 ud 1 + 1! i1 i + 1 i Bemerug I dieser letzte Form a ma die Biomialoeffiziete verallgemeier: für Z ud x R sei x x i + 1 xx 1 x + 1 falls 0, i! i1 0 falls < 0 Damit erhält ma isbesodere 0 falls, Z ud < Lemma 32 Für atürliche Zahle 1 gilt Beweis Es ist! + 1!! +! 1! + 1!! + 1 1! + 1!! 1! + 1! Bemerug Diese Formel gilt auch für x R ud N Mit Hilfe dieses Lemmas a ma leicht eie Liste vo Biomialoeffiziete i eiem Pascalsche Dreiec afertige: i jeder Zeile stehe die Biomialoeffiziete 0,, ud die ächste Zeile erhält ma, idem ma je zwei aufeiaderfolgede Eiträge addiert ud zwische diese beide

8 3 ELEMENTARE KOMBINATORIK 24 Zahle eie Zeile tiefer plaziert Dieses Schema zeigt eie Spiegelsymmetrie, aber das ist auch icht verwuderlich: aus der Defiitio sieht ma umittelbar Nach diese Vorbereituge öe wir u folgede Verallgemeierug der biomische Formel beweise: Satz 33 Biomischer Lehrsatz Es seie a, b R ud N Da gilt a + b a b 0 Für 2 ergibt sich die erste biomische Formel a + b 2 a 2 + 2ab + b 2 Beweis Wir führe de Beweis durch vollstädige Idutio Es sei A die Behauptug des Satzes für ; die Aussage A0 ist lar Es gelte u A, da reche wir für de Fall + 1 uter Verwedug vo A ud Lemma 32 ach: a + b a + b a + b a + b a b 0 a +1 b a + a +1 b + a + 1 a b +1 1 a b a a b +1 + b 1 a b +1 + b a b +1 + b a + a b +1 + b a b 0 Zwische edliche Mege X ud Y a es ur edlich viele verschiedee Abbilduge gebe, ud diese a ma leicht zähle: sid ud m die Elemetazahle vo X beziehugsweise Y, so a ma jedes der Elemete vo X auf jedes der m Elemete vo Y schice, das ergibt m Möglicheite, also m verschiedee Abbilduge Ebeso a ma bijetive Abbilduge zwische otwedigerweise gleichmächtige Mege zähle:

9 3 ELEMENTARE KOMBINATORIK 25 Satz 34 Seie X ud Y edliche Mege mit #X #Y a Es gibt! bijetive Abbilduge vo X ach Y b Die Azahl der Aorduge vo X ist! c #PX 2 Beweis a Im Fall 0 ist ichts zu zeige; im Fall 1 gibt es geau eie Abbildug X Y, ud diese ist trivialerweise bijetiv X habe u + 1 Elemete ud sei x X fest gewählt Wir setze X X {x}, die Idutiosaahme ist, dass es! bijetive Abbilduge vo X i eie -elemetige Mege gibt Sei u f : X Y eie bijetive Abbildug Da gibt es geau ei y Y mit fx y; die Abbildug f defiiert also eie bijetive Abbildug f : X Y {y} Y Nach Idutiosvoraussetzug gibt es! bijetive Abbilduge X Y ud damit! bijetive Abbilduge X Y, die x auf y schice Da es für y geau Möglicheite gibt, existiere + 1! + 1! bijetive Abbilduge X Y, was zu zeige war b folgt aus a, de eie Aordug ist gerade eie Bijetio {1,, } X c Die Behauptug ist wieder lar für 0 Sei also #X + 1 ud x X fest gewählt; wir setze X X {x} Sei u T X eie Teilmege, da ist etweder i T X oder ii T T {x} mit T X Für beide Fälle gibt es ach Idutiosvoraussetzug jeweils 2 Mögliceite, also zusamme Satz 35 Die Azahl der -elemetige Teilmege eier -elemetige Mege ist Beweis Durch vollstädige Idutio über Für 0 ist dies lar: die leere Mege hat ur sich selbst als Teilmege, adererseits ist Sei also X eie Mege mit + 1 Elemete 0; die Idutiosaahme ist, dass jede Teilmege vo X mit Elemete Teilmege der Mächtigeit hat, ud wir müsse die -elemetige Teilmege vo X zähle Für 0 ist die eizige -elemetige Teilmege, die Behauptug stimmt also für 0 ud wir öe > 0 aehme Sei x X ei fest gewähltes Elemet ud Y X {x} Die -elemetige Teilmege vo X zerfalle i zwei Klasse: I: -elemetige Teilmege vo Y, II: Teilmege, die x ethalte; letztere sid vo der Form A {x} für eie 1-elemetige Teilmege A vo Y Nach Idutiosvoraussetzug besteht die Klasse I aus ud die Klasse II aus 1 Teilmege; die Behauptug folgt u aus Lemma 32 Beispiel Zahlelotto Das Tippe vo 6 Zahle zwische 1 ud 49 etspricht der Wahl eier 6-49 elemetige Teilmege eier Mege mit 49 Elemete Es gibt also verschiedee 6 Möglicheite, 6 Zahle aus 49 auszuwähle Wie sieht jedoch die Situatio bei 4 Richtige aus, also wieviele Möglicheite gibt es, dass vo de 6 getippte Zahle 4 uter de 6 gezogee Zahle voromme? Dieses Problem etspricht der Auswahl eier 4-elemetige Teilmege eier 6-elemetige Mege ud adererseits uabhägig davo der Auswahl eier 2-elemetige Teilmege de Niete aus eier 43-elemetige Mege de icht gezogee Zahle Ma erhält somit Möglicheite Korollar 36 Sei #X ud #K Da gibt es 1 +1 ijetive Abbilduge f : K X Beweis Das Bild B eier solche ijetive Abbildug ist eie -elemetige Teilmege vo X Adererseits gibt es ach Satz 34a geau! bijetive Abbilduge K B, also! ijetive Abbilduge K X

10 3 ELEMENTARE KOMBINATORIK 26 Der Satz 35 lässt sich verallgemeier: ageomme wir wolle eie Gruppe vo Persoe auf Räume so verteile, dass jeder Raum eie vorgegebee Azahl vo Persoe ethält Wieviele Mögliheite es dafür gibt, sagt us der folgede Satz: Satz 37 Sei Die Azahl der Möglicheite, Persoe auf Räume zu verteile, so dass sich im i-te Raum i Persoe befide, ist der Multiomialoeffiziet! 1,, 1! 2!! Bemerug Für 2 ist ud allgemeier 1, ,, 1 2 i j1 i Beweis des Satzes Idutio über Der Fall 1 ist trivial ud der Fall 2 gerade Satz 35 Seie also Räume ud atürliche Zahle 1,, gegebe mit Die Azahl der Möglicheite, Persoe für Raum Nummer + 1 auszuwähle, beträgt ach Satz 35 Die Azahl der Möglicheite, Persoe auf die übrige Räume so zu verteile, dass i Persoe i Raum i sid, beträgt ach Idutiosvoraussetzug Isgesamt erhält ma also 1,,! 1,,!!!! 1!! 1!! 1,, Möglicheite wie behauptet Beispiel Ei Restaurat hat 4 Tische, eie mit zwei, zwei mit vier ud eie mit sechs Plätze Herei omme 16 Persoe Da gibt es 16 16! , 4, 4, 6 2! 4! 4! 6! verschiedee Tischorduge Die Namesgebug Multiomialoeffiziet etstammt dem Satz 38 Multiomialsatz Es seie x 1,, x R ud N Da gilt x 1 + x x 1,, 1,, 1+ + i1 x 1 1 x i Dabei soll die Notatio bedeute, dass über alle -Tupel atürlicher Zahle 1,, mit summiert wird Beweis Dies folgt per Idutio über uter Beutzug des Biomische Lehrsatzes Satz 33 Zuächst ist die Behauptug wieder lar für 1: beide Seite ergebe x 1; für 2 ist die Behauptug gerade Satz 33 Wir ehme u a, dass der Satz für wahr ist Da gilt x 1 + x + x x 1 + x x + x 1,, 1, K 1,, 1,K K x 1 1 x 1 1 x + x K

11 3 ELEMENTARE KOMBINATORIK 27 ach Idutiosvoraussezug Wedet ma de Biomische Lehrsatz auf de letzte Fator a, erhält ma x 1 1 1,, 1, K K x 1 x x, 1,, 1,K K 1,, 1,, Der letzte Schritt folgt dabei aus K 1,, 1, K, 1,, 1,,! 1! 1!K! + K x 1 1 x 1 x x K!!!! 1!! 1,,