Kombinatorik. Alexander (Axel) Straschil. 8. Dezember Begrie. 2 Permutationen, Kombinationen und Variationen

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1 Kombiatori Alexader (Axel Straschil 8. Dezember 2006 Diese urze Zusammefassug über Permutatioe, Variatioe, Kombiatioe ud de Biomische Lehrsatz etstad im laufe meies Iformatistudiums a der Techische Uiversität Wie. Fehlerhiweise bitte per a axel@straschil.com. 1 Begrie Multimege sid Mege, i dee Elemete mehrfach auftrete öe. Die Kardialität eier Multimege ist die Summe aller Auftrittshäugeite der Elemete der Mege, also ist z.b. {a, a, b, b, c} 5. Die Faultät ( 1 mit 0! 1. Die Faultät ist ur auf ichtegative gaze Zahle deiert. Der Biomialoeziet (! (! für, 0 sost,, N. 2 Permutatioe, Kombiatioe ud Variatioe Permutatioe sid Aorduge vo alle Elemete eier Mege oder Multimege. Variatioe sid Zusammestelluge vo Elemete uter Berücsichtigug der Reihefolge. Kombiatioe sid Zusammestelluge vo Elemete ohe Berücsichtigug der Reihefolge. Bei Variatioe ud Kombiatioe wird vo Zusammestelluge mit oder ohe Wiederholuge uterschiede, es müsse icht alle Elemete der Mege verwedet werde. Im folgede wird immer ach der Azahl der mögliche Permutatioe, Variatioe ud Kombiatioe gesucht. 1

2 Permutatioe eier Mege Alle uterscheidbare Elemete eier Mege werde zu eiem -Tupel gebildet, jedes Elemet der Mege ommt also geau eimal im - Tupel vor. Für die erste Positio des -Tupel hat ma och alle Elemete der Mege zu Auswahl, für die zweite Positio ur och -1 Elemete usw., für die letzte Postio bleibt ur och ei Elemet zur Auswahl über. Es gibt also ( 1 ( verschiedee Permutatioe zu eier Mege mit Elemete. P mit 1 Permutatioe eier Multimege I eier Multimege M mit der Kardialität gibt es m verschiedee Elemete, die jeweils i (i 1... m mal i der Multimege vertrete sid, also M m i1 i. Wäre die Elemete der Multimege alle verschiede, so gäbe es Permutatioe. Die Permutatioe der mehrfach vorommede Elemete sid aber icht uterscheidbar. Bei der Multimege {a, a, b} ud der Permutatio (a, a, b ist icht uterscheidbar welches der beide Elemete a a erster Stelle steht. Kommt ei Elemet i der Multimege i mal vor, so a es i! solche icht uterscheidbare Permutatioe bilde, die bei der Zählug berücsichtigt werde müsse. Die bei der Permutatioe zuviel multiplizierte Teilpermutatioe müsse also durch Duvisio wieder elimiiert werde. P 1,2,...,m 1!, 2!,..., m! mit m i1 i, 1 Variatioe ohe Wiederholuge Sid die geordete -Tupel vo disjute Elemete aus eier Elemetige Mege. Aus eier Mege mit Elemete werde also der Reihe ach mal jeweils ei Elemet etfert ud zu eiem geordete Tupel mit agefügt. Für de erste Schritt stehe Elemete zu Verfügug, für de zweite 1 Elemete, usw., der Vorgag wird mal durchgeführt, ergibt also ( 1 ( 2... ( +2 ( +1 1 i0 i Möglicheite. Mit Hilfe der Faultät a dies umgeformt werde auf ( 1... ( +1 ( 1... ( +1 ( ( ( ( (! V (! Variatioe mit Wiederholuge Sid geordete -Tupel vo icht otwedigerweise verschiedee Elemete aus eier Mege mit Elemete. Bei der Bildug des -Tupel steht also a jeder Stelle Elemete zu Verfügug, dass ergibt } {{... } Möglicheite. mal w V 2

3 Kombiatioe ohe Wiederholuge Aus eier Mege mit Elemete wird eie Teilmege K mit Elemete gebildet. Die Reihefolge der Bildug der Mege K ist ohe Bedeutug, ebeso die Aordug der Elemete ierhalb der Mege K. Zur Bildug stehe wie bei V zuerste, da 1 usw. bis + 1 für das -te Elemet zur Verfügug. Im Gegesatz zu V ist aber u die Reihefolge belaglos. Aus der gebildete Mege K a ma! Permutatioe bilde, zwische dee bei de Kombiatioe icht uterschiede wird. So ergibt sich für die Azahl der Kombiatioe V P (!!! (! ( ( C Kombiatioe mit Wiederholuge Aus eier Mege M mit Elemete wird eie Multimege K mit icht otwedigerweise verschiedee Elemete gebildet. Zur Bestimmug der Azahl der mögliche Multimege mit Elemete aus M wird i [Ste01] ei Modell zur Beschreibug der Multimege wie folgt eigeführt. Sei * ei Elemet aus M. Da öe die Elemete der Multimege K als mal dem Symbol * ageschriebe werde, gleiche Elemete werde ebeeiader zusammegefasst ud durch das Symbol getret, auch icht vorommede Elemete aus der Grudmege M werde berücsichtigt. Sei etwa M {a, b, c, d} ud K {a, a, a, b, b, d}, so lautet die Modelldarstellug *** ** *. Mit diesem Modell öe alle Multimege dargestellt werde, das Modell besitzt immer mal das Symbol *, ud 1 mal das Symbol. Die Symbole * ud sid somit Positioe die besetzt werde müsse, zusamme gibt es + 1 Positioe auf die die Symbole * aufgeteilt werde öe, also geau ( + 1 mögliche Multimege mit Elemete, die ma aus eier Mege mit Elemete mit Wiederholug bilde a. ( + 1 w C Ergäzuge aus [BK92] Permutatioe öe reursiv als P 1 1, P P 1 deiert werde. Durch vollstädige Idutio ergibt sich P i1 i. Variatioe ohe Wiederholuge öe mittels Äquivalezlasse hergeleitet werde. Über die Elemete gibt es Permutatioe vo -Tupel, zwei Tupel (a 1,..., a ud (b 1,..., b werde als äquivalet deiert, we sie i de erste Stelle übereistimme, also a i b i für alle i Alle Äquivalezlasse bestehe so aus (! Elemete, die Azahl der Variatioe ohe Wiederholuge etspricht da Azahl der Permutatioe der Azahl der Äquivalezlasse: Gröÿe eier Äquivalezlasse (!. Bei de Kombiatioe ohe Wiederholuge werde zwei Tupel als äquvalet deiert, we ihre Trägermege {a 1,..., a } ud {b 1,..., b } äquivalet sid, dadurch ergibt sich zu de Variatioe ohe Wiederholuge die zusätzliche Redutio um die! Permutatioe (! der Elemete der Trägermege, also!!(!. 3

4 3 Abzählregel Schubfachprizip Verteilt ma Elemete auf m Fächer mit > m, so gibt es midestes ei Fach das zwei Elemete ethält. f : X Y, X > Y y Y mit f 1 (y 2 4 Der biomische Lehrsatz (x + y ( x y Beweis durch Idutio Für de Idutiosbeweis wird der Satz ( ( + ( +1 beötigt, Beweis des Satzes: ( ( !(! + (+1!( (+1!!( ( (+1! + (+1!( (+1! ((+1+( (+1!( ( (+1! (+1 (+1!( ( (+1! (+1! (+1!((+1 (+1! Daraus ergibt sich + 1 ( +1. Idutiosvorraussetzug (x + y x y. Idutiosbehauptug (x + y x (+1 y. Idutioafag Für 0: (x + y 0 1 ( 0 0 x 0 y 0. Idutiosschritt + 1: (x + y +1 (x + y(x + y. IV eisetze: (x + y x y x x y +y x y x +1 y + x y +1 x +1 y x ( 1 y ( 1+1 x +1 y x +1 y. Der xy Teil hat ur gleich Strutur, um i der lie Summe vo 0 auf 1 zu omme wird dort das erste Glied ( 0 x 0+1 y 0 x +1 herausgehobe, um i der rechte Summe vo +1 auf zu omme wird dort das letzte Glied ( (+1 1 x (+1+1 y +1 y +1 herausgehobe: x +1 + x +1 y + 1 x +1 y + y +1. Nu öe mit Hilfe vo ( ( ( 1 +1 die beide Summe zusammegefasst werde: x +1 + x +1 y +y +1. Die beide herausgeomme Glieder sid die Werte

5 für 0 ud + 1, werde diese wieder i die Summe geomme etspricht dies dem rechte Teil der IB: +1 x (+1 y. +1 Literatur [BK92] Gerd Baro ad Peter Kirschhofer. Eiführug i die Mathemati für Iformatier, volume 1. Spriger Verlag, Berli, Heidelberg, New Yor, 2 editio, [Hi72] Karl Hiderer. Grudbegrie der Wahrscheilicheitstheorie. Spriger Verlag, Berli, Heidelberg, New Yor, [Ste01] Agelia Steger. Disrete Struture 1. Spriger Verlag, Berli, Heidelber, New Yor,