Logik. Wahrheitstafeln - für verschiedene Belegungen der logischen Variable wird der Wahrheitswert logischer Ausdrücke angegeben

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1 . Eiführug Logik Defiitio: Uter eier ussage versteht ma die gedakliche Widerspiegelug eies Sachverhaltes der objektive Realität, bei dem eideutig etschiede werde ka, ob er wahr oder falsch ist. Operatioe mit ussage (Verküpfug vo ussage): Negatio icht p, Symbol p, Wahrheitswert wird verädert: falsch i wahr bzw. umgekehrt Kojuktio p ^ q, p ud q, Wahrheitswert ist ur da wahr, we beide ussage zugleich wahr sid, sost Ergebis falsch Disjuktio (lterative) p _ q, p oder q, Wahrheitswert ist ur da wahr, we weigstes eie der beide ussage wahr ist, sost Ergebis falsch. esoderheit: p _ q auch wahr, we sowohl p als auch q wahr sid (teilweise aders als übliche Sprachgebrauch) Implikatio p! q, p impliziert q, Wahrheitswert ist ur da falsch, we p wahr, aber q falsch ist, sost Ergebis wahr. us der ussage p folgt die ussage q (p =) q). p heißt auch hireichede edigug für q, q heißt otwedige edigug für p. Äquivalez p $ q, p ud q sid äquivalet, Wahrheitswert ist ur da wahr, we beide ussage deselbe Wahrheitswert besitze, sost Ergebis falsch. p gilt geau da we q gilt (hier auch: p () q) Wahrheitstafel - für verschiedee eleguge der logische Variable wird der Wahrheitswert logischer usdrücke agegebe p q p p ^ q p _ q p! q = p _ q p $ q w w f w w w w w f f f w f f f w w f w w f f f w f f w w logische usdrücke: Verküpfug vo logische Variable mit Hilfe der obige

2 Operatioe ud Klammer, die die Reihefolge der barbeitug der Operatioe regel. Klammer setze, da hier keie Prioritäteregel üblich sid. Megelehre Defiitio: Uter eier Mege versteht ma eie Zusammefassug vo eizele wohluterschiedee Objekte zu eier Eiheit. Die eizele Objekte, aus dee sich die Mege zusammesetzt, werde Elemete der Mege geat. gabe vo Mege: a) gabe der Elemete: M = f; 3; 5; 7g; b) gabe eier Eigeschaft, die i eideutiger Weise die Zugehörigkeit klärt Zahlesysteme N Mege der atürliche Zahle f; 2; 3; : : :g N Mege der atürliche Zahle mit Null f; ; 2; 3; : : :g Z Mege aller gaze Zahle f; +; ; +2; 2; : : :g Q Mege der ratioale Zahle f p : p; q 2 Z; q 6= g q R Mege der reelle Zahle R + Mege der reelle Zahle : Elemetbeziehug 2, =2 Negatio dazu x 2 bedeutet, dass x ei Elemet der Mege ist. x =2 bedeutet, dass x kei Elemet der Mege ist. ; leere Mege, ethält keie Elemete Zwei Mege sid gleich, we beide Mege geau die gleiche Elemete besitze. Megeiklussio bedeutet, dass jedes Elemet aus auch Elemet vo ist, ist eie Teilmege vo ; es ist möglich, dass die beide Mege gleich sid geau da, we () 8x : x 2 =) x 2 2

3 z.. N Z Q R. Es gilt: ; ; ud =) Megeoperatioe: Vereiigug: [, es etsteht eie Mege, die sowohl die Elemete vo als auch die Elemete vo ethält. als logische ussage x 2 [ geau da, we () (x 2 ) _ (x 2 ) Durchschitt: \, es etsteht eie Mege, geau die Elemete ethält, die sowohl i als auch gleichzeitig i ethalte sid. als logische ussage x 2 \ geau da, we () (x 2 ) ^ (x 2 ) Differez:, es etsteht eie Mege, bei der aus der Mege die Elemete vo etfert wurde, d.h. diese Mege ethält die Elemete, die zu aber icht zu gehöre. als logische ussage x 2 geau da, we () (x 2 ) ^ (x =2 ) Zwei Mege, sid disjukt (elemetefremd), we es kei Elemet gibt, das sowohl i als auch i ethalte ist, d.h. \ = ;. Gleichuge ud Ugleichuge äquivalete Umformuge bei Gleichuge: Eie Zahl auf beide Seite addiere, subtrahiere, multipliziere (dabei Zahl 6= ) bzw. dividiere (dabei Zahl 6= ) äquivalete Umformuge bei Ugleichuge: Eie Zahl auf beide Seite addiere, subtrahiere, multipliziere (dabei Zahl 6= ) bzw. dividiere (dabei Zahl 6= ). ei Multiplikatio bzw. Divisio mit eier egative Zahl ädert sich das Relatioszeiche. 3

4 Summe ud Produkte X a i = a + a 2 + : : : + a i= a i = a + a + + : : : + a m i= reelle Zahle a ; a 2 ; : : : ; a, aalog bei Produkte Y a i = a a 2 : : : a i= eiige Eigeschafte: a i + i= X a i + i=l eiige Summe/Produkte: b i = i= (a i + b i ) i= (ca i ) = c i= i=+ a i = X c = c; i= X i= i= a i a i (l < m) i=l X i = i= ( + ) 2 i 2 = ( + )(2 + ) 6 Y c = c ; i= Y i =! i= iomialkoe ziete: = k = k = ( ) : : : ( k + ) für 2 R; k 2 N k!! für ; k 2 N ; k k!( k)! = ; = k gibt die zahl der Möglichkeite a, aus Elemete k auszuwähle ohe erücksichtigug der Reihefolge. 4

5 Pascalsches Dreieck = : = : = 2 : 2 = 3 : 3 3 = 4 : = 5 : 5 5 für jedes : ; ; : : : ; iomischer Lehrsatz: (a + b) = a + a b + : : : + ab + b = X k= a k k b k 2. Vektore Vektor: ~a = a a 2. 2 R a kartesische Eiheitsvektore des R : ~e = ; ~e 2 =.. : : : ~e =. Der Vektor ~e i besitzt a der i-te Stelle eie, sost Nulle. Nullvektor ~o =. 5

6 etrag (Läge) eies Vektors j~aj = q a 2 + a : : : + a 2 dditio ud Subtraktio zweier Vektore a + b ~a + ~ a b = 2 + b 2 ; ~a ~ b =. a + b a b a 2 b 2. a b Multiplikatio eies Vektors mit eier reelle Zahl t 2 R t a t a t ~a = 2. t a Rechegesetze für eifache Operatioe mit Vektore dditio: a) Kommutativgesetz ~a + ~ b = ~ b + ~a; b) ssoziativgesetz ~a + ~ b + ~c = ~a + ~b + ~c ; c) Nullvektoreigeschaft ~a + ~o = ~a für alle ~a; ~ b;~c 2 R. Multiplikatio mit eier Zahl: d) ssoziativgesetz s (t ~a) = (s t) ~a = st ~a e) Distributivgesetze (s + t) ~a = s ~a + t ~a s ~a + ~ b = s ~a + s ~ b für alle s; t 2 R; ~a; ~ b 2 R ~a = ~a heißt der zu ~a gehörige ormierte Vektor j~aj 6

7 Skalarprodukt für ~a = (a ; : : : ; a ) T ; ~ b = (b ; : : : ; b ) T ~a ~ b = ~a > ~ b = a b + a 2 b 2 + : : : + a b Rechegesetze des Skalarprodukts a) Kommutativgesetz ~a ~ b = ~ b ~a; b) Distributivgesetz ~a + ~ b ~c = ~a ~c + ~ b ~c für alle ~a; ~ b;~c 2 R. Skalarprodukt im R 2 ud im R 3 : ~a ~ b = j~aj j ~ bj cos ; wobei = \(~a; ~ b) der Wikel zwische ~a ud ~ b ist. Dabei ist. Formel zur estimmug des Wikels = \(~a; ~ b) cos = ~a ~ b j~aj j ~ bj = ~a ~ b Vektore ~a 6= ~o ud ~ b 6= ~o aus R 2 oder R 3 seie vorgegebe, = \(~a; ~ b). ~a ~ b = j~aj j ~ bj falls ~a ud ~ b dieselbe Richtug besitze, = ~a ~ b > falls < < 2, ~a ~ b = falls ~a ud ~ b sekrecht aufeiader stehe, = 2, ~a ~ b < falls 2 < < ; ~a ~ b = j~aj j ~ bj falls ~a ud ~ b etgegegesetzte Richtug besitze. Defiitio: Zwei Vektore ~a ud ~ b 2 R sid zueiader orthogoal bzw. stehe aufeiader sekrecht, falls ~a ~ b =. 7

8 Vektorprodukt Defiitio: Gegebe seie zwei Vektore ~a; ~ b 2 R 3. ~c = ~a ~ b ist derjeige Vektor aus R 3, für de gilt: j~cj = j~aj j ~ bj si mit = \(~a; ~ b); ~c steht sekrecht auf ~a ud ~ b, ~a; ~ b ud ~c bilde i dieser Reihefolge ei Rechtssystem. ~a ~ b = a 2 b 3 a 3 b 2 a 3 b a b 3 wobei ~a = a a 2 ; ~ b = b b 2 : a b 2 a 2 b a 3 b 3 Eigeschafte des Vektorprodukts: a) tikommutativgesetz ~ b ~a = ~a ~ b; b) Distributivgesetze (t ~a) ~ b = ~a (t ~ b) = t (~a ~ b) für t 2 R, (~a + ~ b) ~c = ~a ~c + ~ b ~c; ~a ( ~ b + ~c) = ~a ~ b + ~a ~c; c) ~a ( ~ b ~c) = ~ b(~a ~c) ~c(~a ~ b) für alle ~a; ~ b;~c 2 R 3, d) Vektorprodukt bei asisvektore ~i;~j; ~ k: ~i ~j = ~ k; ~j ~ k =~i; ~ k ~i = ~j. erechug des Flächeihaltes F eies Dreiecks mit de Seite ~a ud ~ b F = ~a 2 ~ b Spatprodukt Defiitio: Das Spatprodukt [~a ~ b~c] ist de iert durch [~a ~ b~c] = ~a ~ b ~c = ~b ~c ~a = (~c ~a) ~ b: [~a ~ b~c] > =) die Vektore bilde ei Rechtssystem. 8

9 [~a ~ b~c] < =) die Vektore bilde ei Likssystem. [~a ~ b~c] = =) ~a = ~o oder ~ b = ~o oder ~c = ~o oder ~a; ~ b;~c liege i eier Ebee. Satz: ~a = (a ; a 2 ; a 3 ) T ; ~ b = (b ; b 2 ; b 3 ) T ;~c = (c ; c 2 ; c 3 ) T =) a [~a ~ a 2 a 3 b~c] = b b 2 b 3 c c 2 c 3 = a b 2 c 3 + a 2 b 3 c + a 3 b c 2 a b 3 c 2 a 2 b c 3 a 3 b 2 c [~a~ b~c] gibt das (vorzeichebehaftete) Volume des Tetraeders (der dreieckige Pyra- 6 mide) a, desse drei vo eiem Pukt ausgehede Kate ~a; ~ b;~c beschreibe. Lieare Uabhägigkeit vo Vektore Defiitio: Vektore ~ b ; ~ b 2 ; : : : ; ~ b m heiße liear uabhägig, falls ~o = ~ b + 2 ~ b2 + : : : + m ~ bm ur da gilt we = ud 2 = ud : : : ud m =, aderefalls sid die Vektore liear abhägig. weduge i der Geometrie Gerade g: Pukt P liegt auf der Gerade, Vektor ~a gibt Richtug a, g : ~x = ~x + t ~a für t 2 R:! OP = ~x Ebee E: Pukt P (x ; y ; z ) liegt auf der Ebee; Stellugsvektor ~, der sekrecht auf der Ebee steht: parameterfreie Gleichug vo E: ~ (~x ~x ) = Pukte P (x ; y ; z ); P 2 (x 2 ; y 2 ; z 2 ); P 3 (x 3 ; y 3 ; z 3 ) liege auf der Ebee E: Parameterdarstellug vo E: ~x =! OP + t! P P 2 + u! P P 3 für t; u 2 R: 9

10 3. Matrize a a 2 : : : a m a Matrix = 2 a 22 : : : a 2m ;... a a 2 : : : a m a ij ist das Elemet i der Zeile i ud der Spalte j. 2 R ;m heißt, dass die Matrix Zeile ud m Spalte besitzt, d.h. vom Typ (; m) ist. Eiheitsmatrix I = Nullmatrix O = Diagoalmatrix diag(c ; c 2 ; : : : ; c ) = alles quadratische Matrize. : : : : : : ;... : : : : : : : : : ;... : : : c : : : c 2 : : :... : : : c Eifache Operatioe mit Matrize dditio zweier Matrize: ; 2 R ;m a + b a 2 + b 2 : : : a m + b m a + = 2 + b 2 a 22 + b 22 : : : a 2m + b 2m... a + b a 2 + b 2 : : : a m + b m I Rechegesetze:

11 a) Kommutativgesetz + = + b) ssoziativgesetz ( + ) + = + ( + ) = + + für ; ; 2 R ;m Multiplikatio eier Matrix mit eier reelle Zahl t 2 R: t a t a 2 : : : t a m t a t = 2 t a 22 : : : t a 2m... t a t a 2 : : : t a m I Rechegesetze: a) Kommutativgesetz t = t; b) ssoziativgesetz s (t ) = (s t) ; c) Distributivgesetze (s + t) = s + t ; s ( + ) = s + s für alle s; t 2 R; ; 2 R ;m. Traspoierte Matrize a a 2 : : : a m a = 2 a 22 : : : a 2m ; T =... a a 2 : : : a m Regel beim Reche mit traspoierte Matrize: a a 2 : : : a a 2 a 22 : : : a 2... a m a 2m : : : a m ( T ) T = ; (t ) T = t T ; ( + ) T = T + T für t 2 R; ; 2 R ;m Defiitio: Eie quadratische Matrix heißt symmetrisch, falls T = : Matrizemultiplikatio Für 2 R ;m ; 2 R m;q ist die Matrix = 2 R ;q durch c ij = a ik b kj für i = : : : ; j = : : : q k=

12 de iert. Dabei muss Verkettug vorliege, d.h. die Spaltezahl vo ist gleich der Zeilezahl vo. I Rechegesetze des Produkts: a) ssoziativgesetz ( ) = ( ) für alle 2 R ;m ; 2 R m;p ; 2 R p;r, b) Distributivgesetze ( + ) = + für alle ; 2 R ;m ; 2 R m;p ; ( + ) = + für alle 2 R ;m ; ; 2 R m;p, a( ) = (a) = (a) für alle 2 R ;m ; 2 R m;p ; a 2 R; c) bezüglich Traspositio: ( ) T = T T für alle 2 R ;m ; 2 R m;p ; d) Eigeschafte der Eiheitsmatrix: I m = I = für alle 2 R ;m : eachte: Im allgemeie gilt für die Matrizemultiplikatio icht das Kommutativgesetz: 6=. Rag eier Matrix Defiitio: Die Zahl r heißt Rag eier Matrix, falls die Matrix r liear uabhägige Spalte besitzt ud, falls vorhade, r + beliebig gewählte Spalte liear abhägig sid. Symbol: r = Rg(). Rag= r bedeutet, dass jede Spalte als Liearkombiatio vo r liear uabhägige Spalte darstellbar ist. Satz: Für 2 R ;m gilt: a) Die maximale zahl vo liear uabhägige Zeile ist gleich der maximale zahl vo liear uabhägige Spalte. b) Rg() mif; mg c) Rg() = ist ur für die Nullmatrix erfüllt. 2

13 Iverse Matrize Defiitio: Die iverse Matrix (Kehrmatrix, Iverse) eier quadratische Matrix ist diejeige Matrix, für die gilt: = = I: Eigeschafte: ( ) = ; ( ) = ; für alle ; 2 R ; ; ( ) T = ( T ) kotragrediete Matrix, Diagoalmatrize = diag(a ; : : : ; a ): = diag ; ; : : : ; a a 22 a erechug der Iverse für = 2: = a b ; = c d ad d b bc c a Matrix heißt regulär, falls existiert. Satz: Eie Matrix 2 R ; ist geau da regulär, we Vollrag besitzt: Rg() =. 3