Computergrafik Inhalt Achtung! Kapitel ist relevant für CG-2!

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Ingelore Schreiber
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1 Computergrafik Ihalt Achtug! Kapitel ist relevat für CG-2! Historie, Überblick, Beispiele Begriffe ud Grudlage Objekttrasformatioe Objektrepräsetatio ud -Modellierug Sichttrasformatioe Kurve ud Fläche Rederig ud Visibilität Radiosity Mappig-Techike Achtug! Kapitel ist relevat für Computergrafik 2! CG 5.5.1

5.5 Bézier-Dreiecksfläche Motivatio I viele Aweduge trete Situatioe auf, wo es sivoll ist, mit Dreiecksfläche a Stelle vo vierseitige Patches zu arbeite.

2 5.5 Bézier-Dreiecksfläche Motivatio I viele Aweduge trete Situatioe auf, wo es sivoll ist, mit Dreiecksfläche a Stelle vo vierseitige Patches zu arbeite. Das obige Beispiel ist isofer typisch, dass weitgehed mit Vierecksfläche modelliert werde ka, i Bereiche starker Krümmugswechsel aber Dreiecksfläche vo Vorteil sid. Achtug! Kapitel ist relevat für Computergrafik 2! CG 5.5.2

3 5.5.1 Baryzetrische Koordiate Baryzetrische Koordiate Defiitiosgebiet: Ei beliebiges Dreieck abc i der Ebee. Ei beliebiger Pukt p der Ebee ka i baryzetrische Koordiate (u,v,w),u + v + w = 1, eideutig beschriebe werde: p u A A A A = ( u, v, w), = A, v =, w = A1 2 A3 A A A = ((((( ((((( 2 = ((((( ((((( 2 = ((((( ((((( 2 = ((((( ((((( 2 Achtug! Kapitel ist relevat für Computergrafik 2! CG 5.5.3

4 5.5.1 Baryzetrische Koordiate Eigeschafte Liegt p außerhalb des Dreiecks abc, so sid eiige A i egativ. Die Pukte a,b,c habe die baryzetrische Koordiate v = (1,0,0), v = (0,1,0), v (0,0,1) Auf de Kate des Dreiecks ist jeweils eie der baryzetrische Koordiate Null. Ierhalb des Dreiecks sid u, v ud w positiv. Baryzetrische Koordiate eies Vektors d addiere sich zu Null: d = ( u, v, w ) ( u, v, w ) Achtug! Kapitel ist relevat für Computergrafik 2! CG 5.5.4

5 5.5.1 Baryzetrische Koordiate Eigeschafte (Forts.) Mit dem Koordiatesystem e s = b a ud e t = c a ergibt sich eie eifache Umrechug i kartesische Koordiate: u = 1 s t; v = s; w = t Achtug! Kapitel ist relevat für Computergrafik 2! CG 5.5.5

6 5.5.1 Baryzetrische Koordiate Allgemeie baryzetrische Koordiate Ei Simplex ist durch + 1 (affi uabhägige) Pukte im gegebe, z.b. Geradesegmet, Dreieck, Tetraeder,... Baryzetrische Koordiate lasse sich allgemei für jede -dimesioale Simplex defiiere. Lieare Teilverhältisse köe ebefalls mit baryzetrische Koordiate beschriebe werde. A Stelle vo t ud (1 - t) stehe die baryzetrische Koordiate bzgl. der Pukte a ud b: u = (1 t), v = t Achtug! Kapitel ist relevat für Computergrafik 2! CG 5.5.6

7 5.5.1 Baryzetrische Koordiate de Casteljau-Algorithmus Der de Casteljau-Algorithmus für Kurve lässt sich i baryzetrische Koordiate schreibe: b : = b ( i = 0,..., ) 0 i, i b : = u b + v b ( r = 1,..., ; i + j = r) r r 1 r 1 i, j i+ 1, j i, j+ 1 f ( u, v) 0,0 Die uivariate Berstei-Polyome i = b habe damit die Form:! i j B i, j ( u, v) = u v i! j! Achtug! Kapitel ist relevat für Computergrafik 2! CG 5.5.7

8 5.5.2 Berstei-Polyome Trick:! i j 1 = ( u + v + w) = u v w i! j! k! i, j, k= 0,..., i+ j+ k= Defiitio: (Berstei-Polyome) Die Polyome! B i, j, k ( u, v, w) = u v i! j! k! i j k mit u + v + w = 1 ud i + j + k = heiße bivariate Berstei-Polyome vom Grad. w k Achtug! Kapitel ist relevat für Computergrafik 2! CG 5.5.8

9 5.5.2 Berstei-Polyome Eigeschafte der Berstei-Polyome Die Berstei-Polyome sid icht-egativ ud summiere sich zu Eis: a) B ( u, v, w) 0 für u, v, w 0, u + v + w = 1 b) i, j, k i, j, k= 0,..., i+ j+ k=! i j k u v w = ( u + v + w) = 1 i! j! k! 1 Rekursiosformel: B ( u, v, w) = u B ( u, v, w) i, j, k i 1, j, k + v B + w B 1 i, j 1, k 1 i, j, k 1 ( u, v, w) ( u, v, w) Achtug! Kapitel ist relevat für Computergrafik 2! CG 5.5.9

10 5.5.3 Bézier-Dreiecksfläche Defiitio: (Bézier-Dreiecksfläche) Eie Fläche der Form f ( u, v, w) = bi, j, kbi, j, k ( u, v, w) i, j, k= 0,..., i+ j+ k= heißt Bézier-Dreiecksfläche. Fläche vom Polyomgrad ist durch ( + 1)( + 2)/2 Bézier-Pukte b ijk, i,j,j = 0,,, i + j + k =, auf eiem reguläre Dreiecksgitter gegebe. Achtug! Kapitel ist relevat für Computergrafik 2! CG

11 5.5.3 Bézier-Dreiecksfläche Beispiel: Achtug! Kapitel ist relevat für Computergrafik 2! CG

12 5.5.3 Bézier-Dreiecksfläche de Casteljau-Algorithmus Zum Auswerte eier Bézier-Dreiecksfläche f(u,v,w) a de baryzetrische Koordiate (u,v,w) wird der de Casteljau-Algorithmus verwedet: b : = b ( i, j, k 0; i + j + k = ) 0 i, j, k i, j, k b : = u b + v b + w b r r 1 r 1 r 1 i, j, k i+ 1, j, k i, j+ 1, k i, j, k+ 1 f ( u, v, w) = b 0,0,0 ( r = 1,..., ; i + j + k = r) Achtug! Kapitel ist relevat für Computergrafik 2! CG

13 5.5.3 Bézier-Dreiecksfläche de Casteljau-Algorithmus (Forts.) Dies etspricht eiem Pyramide-Schema: Achtug! Kapitel ist relevat für Computergrafik 2! CG

14 5.5.3 Bézier-Dreiecksfläche Eigeschafte vo Bézier-Dreiecksfläche Die Fläche liegt i der kovexe Hülle des Bézier- Netzes. Die Radkurve sid Bézier-Kurve. Jede Flächekurve etlag eier Gerade ist ei Polyom vom Grad. Die Fläche verhält sich rotatiossymmetrisch. Keie zwei Richtuge werde bevorzugt, wie bei Tesorprodukt-Fläche. Achtug! Kapitel ist relevat für Computergrafik 2! CG

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