DEFINITION Unter einer mxn-matrix versteht man ein rechteckiges Zahlenschema aus m Zeilen und n Spalten k k k Μ Μ Μ Μ Μ Μ Ο Μ

Transkript

1 3 Matrize, Vektore ud Determiate 3. Matrix DEFINIION Uter eier mx-matrix versteht ma ei rechteckiges Zahleschema aus m Zeile ud Spalte. a a a Λ a 2 k a a a Λ a 22 2k 2 a a a Λ a k 3 Μ Μ Μ Μ Μ a a a Λ a m m 2 mk m Die a ik R heiße Elemete der Matrix, wobei i Zeile ud k Spalte darstellt. esodere rte vo Matrize 3.. Nullmatrix Es gilt für alle a ik 0 0 Λ 0 Μ Ο Μ 0 Λ Quadratische Matrix Es gilt: Zeileazahl Spalteazahl 3..3 Diagoale Matrix Quadratische Matrix, bei der bis auf die Diagoale ur Nulle stehe Eiheitsmatrix Diagoale Matrix, bei der ur auf der Diagoale stehe (z.. E 4 Eiheitsmatrix mit vier Zeile ud vier Spalte) E raspoierte Matrix Etsteht durch Vertausche vo Zeile ud Spalte raspositio Durch zweimaliges traspoiere erhält ma die Ursprugsmatrix: ( ) 3..6 Symmetrische Matrix Quadratische Matrix, für die gilt Christia Leiter ud Jürge Meisel Seite 7 vo 55

2 Recheoperatioe mit Matrize 3.2. dditio/subtraktio Zwei Matrize gleiche yps werde addiert bzw. subtrahiert, idem ma die eizele Elemete addiert bzw. subtrahiert. a c b e + d g f a + e b + f h c + g d + h Multiplikatio eier Matrix mit eiem Skalar ( reelle Zahl) Jedes Elemet der Matrix wir mit dem Skalar multipliziert. a t c b ta d tc tb td Multiplikatio vo zwei Matrize Voraussetzug: Spalteazahl der. Matrix muss gleich der Zeileazahl der 2. Matrix sei. Es gilt im allgemeie icht das Kommutativgesetz ( ). merkug zum Kommutativgesetz Uter dem Kommutativgesetz i der Mathematik versteht ma die atsache, dass die Reihefolge der Recheoperatore beliebig vertauschbar ist. So ist die dditio kommutativ ( + + ); die Multiplikatio im Regelfall aber icht. Vergleichbar ist dieses Gesetz auch mit alltägliche Situatioe im Straßeverkehr: So ist es uterschiedlich zu bewerte, d. h. das Ergebis wird variiere, we ma direkt vor eier Polizeistreife über die rote mpel fährt oder ob ma dies hiter dem Polizeiwage tut. De es gilt: Christia Leiter ud Jürge Meisel Seite 8 vo 55

3 Da es zu verschiedee Ergebisse führt ist die Reihefolge icht vertauschbar - also gilt das Kommutativgesetz icht g i k h j l ei der Multiplikatio eier Eiheitsmatrix mit eier 2. Matrix ist das Ergebis gleich der zweite Matrix. Es gilt das Kommutativgesetz (E E) E a b c ag+bi+ck ah+bj+cl d e f dg+ei+fk dh+ej+fl Ivertierug vo Matrize Zur Lösug vo Matrizegleichuge zum Vergleich: Lieare Gleichug 2x x x 2 4 x 2 Matrizegleichug 0 X X E X X Christia Leiter ud Jürge Meisel Seite 9 vo 55

4 Ermittlug der Iverse Erlaubte Recheoperatioe mit de Zeile der Matrix (Elemetare Zeileumformug):. dditio/subtraktio eier Zeile mit dem Vielfache eier adere Zeile 2. Multiplikatio eier Zeile mit eier Zahl c R 2 3 I. II II 2I I+ 2II II( ) Idee: E E - - E Das Kommuikativgesetz gilt für die Multiplikatio eier Matrix mit ihrer Iverse ( - - E). E E E lterative: det(a) adj() + det det + det 2 adj() det 2 + det 22 det + det det + det Vektor - Soderform der Matrix DEFINIION esteht eie Matrix aus Zeile oder eier Spalte, da bezeichet ma diese als Vektor. (m )-Matrix Spaltevektor ( m )-Matrix Zeilevektor Zudem gilt: ( ) erechug der Läge eies Vektors l a² + b² Matrizegleichuge Erlaubt sid folgede Recheoperatioe dditio (kommutativ!) Subtraktio Multiplikatio Die Lösug erfolgt wie bei lieare Gleichuge Gleichugstype 2 X I. X 2 X 2 E Christia Leiter ud Jürge Meisel Seite 20 vo 55

5 II. III. X X + E / X ( + E ) X ( + E ) X (X C) + 2 X X 2 X C 2 ( 2)X C 2E ( 2) X ( 2) ( C 2E ) 3.5 Determiate DEFINIION bbildug eier Matrix auf eie reelle Zahl C ach eier bestimmte bbildugsvorschrift. (Nur mit quadratische Matrize möglich) Det: C 3.5. erechug vo Determiate 3.5..x2-Matrix 3 4 Det() ( 2) 0 2 Det() x3-Matrix hier: Etwicklug ach der. Spalte Det() ( 2) + ( 3) 0 ( 2 0) ( 2) (2 2 3) + ( 3) (2 0 3) lterative erechug bei 3x3 Matrize (Sarrus Regel) ( 3) + 3 ( 2) ( 3) 3 0 ( 2) Christia Leiter ud Jürge Meisel Seite 2 vo 55

6 Höherwertige Matrize hier: Etwicklug ach eier beliebige Spalte oder Zeile ach eiem sich stetig fortsetzede Vorzeicheschema + + Λ + Λ + + Λ + Λ + + Λ + Λ Μ Μ Μ Ο Mit Hilfe der Determiate läßt sich prüfe, ob die Matrix ivertierbar ist Det() 0 ist ivertierbar Det() 0 ist icht ivertierbar 3.6 Ökoomische wedug zu Matrize 3.6. Verbrauchsrechug: Rohstoffe Zwischeprodukte Edprodukte Matrixform des Verbrauchs R R2 R3 R-Z-Matrix Z-E-Matrix Z Z 2 Z 3 E E 2 R Z 6 5 R Z R Z 3 R Z Z2 Wieviel Eiheite des jeweilige Rohstoffes sid zur Herstellug der Edprodukte erforderlich? E E Die Ergebismatrix gibt de edarf a R E : 00 Stück; E : 200 Stück ; E E2 R für je eie ME vo E bzw. E a Gesamtbedarf Christia Leiter ud Jürge Meisel Seite 22 vo 55

7 3.6.2 Verbrauchsrechug: Rohstoffe gehe auch direkt i das Edprodukt ei E Z Z2 Z3 E2 R R2 Rohstoff-Matrix Z-E-Matrix Z Z 2 Z 3 E E 2 E E 2 R Z 5 5 R Z Z ahme: vo E werde 00 Stück ud vo E 2 50 Stück gefertigt: Lösug E 00 E 2 50 Z 5E + 5E 2 Z 2 4E + 3E 2 Z 3 0E 2 R 2Z + 3Z 2 + 4Z 3 + 2E R 2 3Z + 7Z 2 + 2Z 3 Lösug durch Eisetze: R.250; R Christia Leiter ud Jürge Meisel Seite 23 vo 55