Arten von Gleichungen. (C) Gleichungen vom Grad n 3. (D) Exponentiale Gleichungen. ax² + bx + c = d [mit a 0]

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1 Eiführug. GLEICHUNGEN UND GLEICHUNGSSYSTEME Arte vo Gleichuge (A) lieare Gleichuge/ Gleichugssysteme (LGS) (B) quadratische Gleichuge (C) Gleichuge vom Grad (D) Epoetiale Gleichuge (E) Wurzelgleichuge (F) Logarithmusgleichuge.. LGS mit Ubekate z. B. I. y II. - y Lösug per Eisetzverfahre y - i I. eisetze ( - ) - 8 5, für y i I. eisetze y 0,8 Graphische Lösug y Auflösug ach y y -½ y - I. II. Zeige beide Graphe zwei parallele Gerade, so ist das Gleichugssystem ohe Lösug!, / y 0,8.. Quadratische Gleichuge habe folgede Form a² b c d [mit a 0] Sie fide Verwedug bei der Nullstelleberechug quadratischer Fuktioe. z. B. ² Christia Leiter ud Jürge Meisel Seite vo 55 Stad:

2 Folgede Lösugsformel stehe zur Verfügug:. ABC-Formel / b ± b ² ac a a ² b c 0 ² p/q-formel ( muss hierbei alleie stehe!) p p ± q / ² ² p q 0 ² -8-0 Lösug ach ABC-Methode / 6 ± 56 / 6 ± 0 Lösug ach p/q-methode / / ± 6 ± 5 Christia Leiter ud Jürge Meisel Seite 5 vo 55 Stad:

3 ... Lösugsverhalte quadratischer Gleichuge Fall aalytische Erklärug graphische Erklärug Diskrimiate > 0 b² - ac > 0 Lösuge zwei Nullstelle D 0 b² - ac 0 Lösug eie Nullstelle D < 0 keie Lösug keie Nullstelle Soderfälle Gleichuge, die sich auf quadratische Gleichuge zurückführe lasse I. ² - 0 Lösug per Substitutio vo ² u u² u 0 u / ± u / ± u u Resubstitutio u i I. eisetze ² icht defiiert! ² ± Christia Leiter ud Jürge Meisel Seite 6 vo 55 Stad:

4 II. 0 S u b s titu t io : u u ² u 0 u u ² u 0 / u ± / u ± / u u 6 R e s u b s titu tio u : u : 6 Lösugsmege: L {}.. Gleichuge vom Grad Form: wobei N Problematik: Lösug durch Keie Lösugsformel! Ausklammer Iteratiosverfahre (Aäherug) Polyomdivisio a a a a 0 0 I. - 0 (-) L {0;} II. - ²-0 ( -²)0 ( - -)0 0 -²-0 löst Gleichug -0 Eier der Faktore muss 0 sei, um die Gleichug zu erfülle: oder Term i Klammer Christia Leiter ud Jürge Meisel Seite 7 vo 55 Stad:

5 ... Polyomdivisio -²- : - ²- -( ²) -²- ²- - -() 0 ²-0 ± / / L {0;} Alterative zur Polyomdivisio... Horer-Schema - ² (0) deke ² Wurzelgleichuge Wurzelgleichuge sid Gleichuge, bei dee die Lösugsvariable im Radikate bzw. uter der Wurzel auftritt. Daher muss immer der Defiitiosbereich beachtet bzw. ermittelt werde. DEFINITION Radikat Diskrimiate Radikat i quadratischer Gleichug. Lösug der Wurzelgleichug Ermittlug der Lösugsmege. Bestimmug der Defiitiosmege Christia Leiter ud Jürge Meisel Seite 8 vo 55 Stad:

6 Beispiel Separiere: ² ² ² 0 Radikat muss alleie stehe quadriere Bestimmug des Defiitiosbereichs - 0 D { R } D [; [..5 Epoetialgleichuge Form a b c Besoderheit: Variable als Hochzahl Lösug erfolgt durch logarithmiere der Gleichug b c a log b log c b b a log c b a 5 65 log 5 5 log 5 65 log Logarithmusgleichuge Form log a b Argumet Die Lösug erfolgt durch Epoeziere der Gleichug mit der etsprechede Basis des jeweilige Logarithmus. Beispiel I. l() e l () e² e² e²- > L{e²-} Christia Leiter ud Jürge Meisel Seite vo 55 Stad:

7 II. lg (-)6 0 lg(-) 0 6 (-)0 6 ½ (0 6 ). Soderzeiche der Mathematik.. Summezeiche Es seie Zahle, die addiert werde solle. Als Summe erhält ma folgede Darstellug S a a a...a - a I a i Wobei i eie Laufide darstellt, für de acheiader die Zahle vo der utere bis zu obere Greze eigesetzt werde. Beispiel : i : ( i ) I 0 7 : ( ) I.. Recheregel mit Summe i (-)(-)(-)(-)- uabhägige Kostate Faktore c a c a c a c a... c a i c ( a a a Κ a ) c a i Zerlegug der Summe ( a b ) a b i i i i ( i ² i ) i ² i 6 Christia Leiter ud Jürge Meisel Seite 0 vo 55 Stad:

8 Verschiebug der Summatiosgreze c c i i c i m i m c i m c a a a i c c i ( i ) i Soderfall - Summe ohe Ide Beispiel c c c c... c c Awedug des -Zeiches Additio der erste ud atürliche Zahle Gauß: i ( ) Summe der Zahle vo bis 50. Lösugsmöglichkeit Lösugsmöglichkeit vgl. Gaußverfahre vo obe ( 50 ) Christia Leiter ud Jürge Meisel Seite vo 55 Stad:

9 . Lösugsverfahre i 0 0 i 0 0 i 0 0 i Κ 0 0 i 50 i i i i i i 0( ) i 50 i i.. Produktzeiche Π Beispiele i 0 i 0 P a a a... a a a ( i ) 6 8 i 0 ( i ) 5 0 i.. Fakultät Produkt der erste atürliche Zahle!! Besoderheit 0! Beispiele!! 6!. Biomischer Lehrsatz (ab) 0? Hochzahle Koeffiziete (ab)² a² ab b² Koeffiziete Christia Leiter ud Jürge Meisel Seite vo 55 Stad:

10 Koeffiziete (ab) 0 (ab) a b (ab) a² ab b² (ab) a³ a²b ab² b³ (ab) a a³b 6a²b² ab³ b (-ab) (-a) (-a)³b 6(-a)²b² (-a)b³ b a - a³b 6a²b² - ab³ b ( a b) ( a b) Ermittlug vo Koeffiziete im Pascalsche Dreieck Zeile 0 Zeile Zeile Zeile Zeile 6 Zeile Spalte Spalte Spalte Spalte Spalte Spalte 5 te Zeile Positiosagabe k te Spalte k k k! k!( k)! Beispiele! 6!( )! 5 5! 5! 5 0!(5 )!!!!! icht defiiert!( )! Christia Leiter ud Jürge Meisel Seite vo 55 Stad:

11 (a b) 0 0 a 0 a b 0 a b 0 a b 0 a b... 0 ab 0 0 b Biomischer Lehrsatz ( a b) k 0 k a b k k Beispiel ( ) 5 k k k k ² ³ 80² 80 Christia Leiter ud Jürge Meisel Seite vo 55 Stad: