2. Verteilung der Primzahlen. Bertrands Postulat
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1 O Forster: Prizahle 2 Verteilug der Prizahle Bertrads Postulat 21 Satz (Euklid Es gibt uedlich viele Prizahle Beweis Wir zeige, dass es zu jeder edliche Mege 1, 2,, vo Prizahle ier och eie weitere Prizahl q gibt, die vo alle j, (1 j, verschiede ist Dazu betrachte wir die Zahl Q : Da ist Q etweder selbst eie Prizahl oder besitzt eie Prifaktor q Q Dieser ist vo alle j verschiede, da j Q für alle j 22 Azahl der Prizahle Für eie reelle Zahl x 0 bezeiche wir it π(x die Azahl aller Prizahle x ZB ist π(1 0, π( 5 1, π(10 4 Eiige größere Werte sid π(100 25, π( , π( Nach Satz 21 gilt jedefalls li π(x x Bereits Gauß hat eie Verutug über das asytotische Verhalte der Fuktio π(x ausgesroche, älich π(x x log x Dabei bedeutet das Zeiche asytotisch gleich, dh der Quotiet der rechte ud like Seite kovergiert für x gege 1 Diese Verutug wurde 1896 uabhägig vo Hadaard ud de la Vallée Poussi bewiese I dieser Vorlesug werde wir ur eie abgeschwächte For des Prizahlsatzes beweise, älich c 1 x log x π(x c x 2 log x für x x 0 it gewisse Kostate 0 < c 1 < 1 < c 2 Solche Abschätzuge wurde zuerst vo Tschebyscheff u 1850 bewiese Wir beötige eiige Vorbereituge 23 Lea (Legedre Für jede atürliche Zahl ud jede Prizahl gilt ord (! k k 1 Ka 2 zuletzt geädert a:
2 2 Verteilug der Prizahle Bertrads Postulat Beweis Die Azahl der Zahle aus {1, 2,, }, die durch teibar sid, ist gleich / Davo sid / 2 sogar durch 2 teilbar, / 3 durch 3, usw Daraus folgt die Behautug ( 2 24 Lea Sei 1 eie atürliche Zahl Für de Bioial-Koeffiziete gelte die folgede Aussage: ( 2 ( 2 a 2 ud für alle Prizahle it < 2 ( 2 b Ist 3 eie Prizahl it 2/3 <, so folgt ( c Falls r 2 für eie Prizahlotez r, so folgt r ( 2 d Beweis a Es gilt ud ( 2 ( 2 ( ( 2 1 ( (2 1 ( ( 2 Eie Prizahl < 2 i Zähler ka sich deshalb icht wegkürze b Da 2 > 2 gilt ach Lea 23 ord ( 2 ord ( (2! (! , dh ( 2 c I der Forel ord ( 2 { 2 k k 1 } 2 k ist jeder Suad etweder 0 oder 1, de für jede reelle Zahl x gilt 2x 2 x {0, 1} Da 2/ k 0 für log 2 k > r : log ( folgt ord 2 r, also r r 2 22
3 O Forster: Prizahle d Aus ( folgt it de bioische Lehrsatz ( 2 1 ( Daraus folgt eierseits ( ( ( ( 2 ( 2 1 ( ud adrerseits, da ( ( die größte der 2 Suade der like Seite vo ( sid, also ( ( ( Satz Für alle 3 gilt Beweis 1 2 log π( 2 A Abschätzug ach obe Wir bezeiche it P (, 2 < , log das Produkt aller Prizahle it < 2 Da die Azahl der Faktore gleich π(2 π( ist, folgt P (, 2 > π(2 π( Nach Lea 24 gilt ( 2 2P (, , also folgt π(2 π( < 2 2 2, 23
4 2 Verteilug der Prizahle Bertrads Postulat also ach Logarithiere π(2 π( > (2 2 log 2 (1 Wir beweise jetzt die Abschätzug ach obe durch Iduktio ach Durch direktes Nachrüfe überzeugt a sich, dass die Abschätzug für richtig ist Iduktiosschritt Sei zuächst 2 1 > 2 7 ugerade Es gilt π(2 1 π(2 Aus (1 folgt uter Beutzug der Iduktiosvoraussetzug für π( (2 2 log 2 π(2 1 π( (2 2 log 2 2(1 + log 2 2 log 2! log(2 1 Die Abschätzug a der Stelle! ist äquivalet it 2(1 + log 2 2 log 2 (4 2 ud dies wiederu ist gleichbedeuted it log(2 1 (1 + log 2 log 2 (2 1 log(2 1 Diese Ugleichug folgt aber aus 1 + log 2 ( 2 1 (2 log(2 1 ( 1 log 2 log(2 (2 Die Gültigkeit vo (2 folgt für daraus, dass (2 1 ( 1 log 2 ( 2 1 ( log( ud 1 + log Für gerade 2 folgt die Abschätzug ach obe aus π(2 π( log(2 1 < 2 2 log(2 24
5 O Forster: Prizahle B Abschätzug ach ute Nach Lea 24 c gilt ( 2 k it k 2, 2 also ( 2 (2 π(2 Daraus folgt (2 π( ud durch Logarithiere π(2 Für 2 16 ist (log 2 2 log 2 log 2 1 log 2 (log ( log 2 log 2 log 2 2 log > , Dait ist die Abschätzug ach ute für gerade 16 bewiese, für 16 > 3 rüft a sie direkt ach Für ugerade 2 1 folgt die Abschätzug aus π(2 1 π( log 2 > 1 (2 1 log( Satz Für jede gaze Zahl 1 gilt < 4 Dabei ist das Produkt über alle Prizahle zu ehe Beweis Sei P ( : Es ist also zu zeige, dass P ( < 4 für alle 1 Dies beweise wir durch Iduktio ach Die Behautug ist offesichtlich wahr für 1, 2 Für de Iduktiosschritt ehe wir a, dass 3 ud P (k < 4 k für alle k < ud schließe daraus P ( < 4 Dies ist trivial, falls gerade, de P (2 P (2 1 25
6 2 Verteilug der Prizahle Bertrads Postulat Sei also ugerade, 2 1 Nach Lea 24a ud 24d gilt ( 2 < 2 1 ( 2 < Da ach Iduktiosvoraussetzug P ( < 4, folgt P (2 1 P ( < , < 2 1 qed 27 Satz (Bertradsches Postulat Zu jeder atürliche Zahl 1 gibt es weigstes eie Prizahl it < 2 Beweis Wir beutze die Prifaktor-Zerlegug vo ( 2 N : Ist 3, so koe ach Lea 24a ud 24b i N ur Prifaktore it 2/3 ud < 2 vor Nach 24c ist die Vielfachheit jedes Prifaktors N it > 2 gleich 1 Wir führe folgede Abkürzuge ei: P (2/3 :, P (, 2 : ud Q : 2 2/3 ord(n 1 < 2 Dait gilt ( 2 Q P (2/3 P (, 2 U Q abzuschätze, beachte wir, dass ach 24c ord(n 2 ord(n 1 Die Azahl der Prizahle 2 ist 2 1, also Q 2 1 Nach Lea 26 ist P (2/3 < 4 2/3 2 4/3 Mit Lea 24d zusae ergibt sich ( 2 < /3 P (, 2, 26
7 O Forster: Prizahle woraus folgt P (, 2 > 22/3 1 2 Der Zähler wächst für scheller gege, als der Neer; daher gibt es ei 0 it P (, 2 > 1 für 0 Ma ka wähle, de für 2 α ist ( 2 2/3 1 log 2 ( log 2 ( 2 α+1 2 log 1 2 (α+1/2 α log 2 3 Dies ist ositiv für α 9 Also gilt P (, 2 > 1 für 512, dh das Bertradsche Postulat ist richtig für 512 Für kleiere gilt es ebefalls, wie die Reihe der Prizahle 2, 3, 5, 7, 13, 23, 41, 71, 139, 263, 521 zeigt, vo dee jede kleier als das Doelte der vorhergehede ist 27
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