Die erste Zeile ("Nummerierung") denkt man sich also dazu. Häufig wird eine Indexschreibweise benutzt um ein Folgenglied zu kennzeichnen.

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1 Folge ud Reihe (Izwische Stoff der Hochschule. ) Stad: Folge Was sid Zahlefolge? Z.B. oder Das ist die vereifachte Wertetabelle eier Fuktio geschriebe wie üblich bei Fuktioe i eier Wertetabelle f() ;4;9;6;25;... ;/2;/3;/4;... f : IN IR, bei der die Argumete, 2, 3 usw. weggelasse wurde. Auführlich Die erste Zeile ("Nummerierug") dekt ma sich also dazu. Häufig wird eie Idexschreibweise beutzt um ei Folgeglied zu kezeiche f f(), IN Die gesamte Folge ka ma auch als uedlich lage Vektor betrachte tatsächlich bilde Folge uter bestimmte Voraussetzuge auch Vektorräume. Ma beutzt daher auch zur Bezeichug eier komplette Folge diese Schreibweise (f ) IN Dahiter verbirgt sich im kartesische Koordiatesystem die Puktmege (,f ) IN. Die Abszissewerte sid also ur die atürliche Zahle. Mache Folge ka ma wie gewoht über eie Fuktiosterm, das Bildugsgesetz defiiere. Die erste Folge obe etwa adere Folge sid ur durch Vorgägerbeziehuge (Rekursio) defiiert, z.b. durch lieare Rekursio aus zwei Vorgäger: f Kleie Testaufgabe: Gebe Sie für die Folge das (vermutliche) Bildugsgesetz ud eie Rekursiosbeziehug a. f 2 ; IN 0,, f( + ) 2f() + 5f( ), 2 f2 ; ; ; ; ; ud.. ; ; ; ; Bei umerische Näherugsverfahre (etwa Nullstellesuche, siehe z.b. Iformatik/Tabellekalkulatio/Aufgabe) etstehe Zahlefolge. Beim Eisatz solcher Verfahre ist ma i der Regel dara iteressiert, dass die geerierte Zahlefolge möglichst schell gege eie bestimmte Wert, de Grezwert strebt. Ma et dies Kovergez. Zur Vorbereitug der exakte Defiitio der Kovergez ei kleies Beispiel. Wie uterscheidet sich für wachsede das Verhalte der Zahlefolge 3 +, IN, also 3 + ; 3 + ; 3 + ; a

2 ud Der Term wird mit wachsedem immer kleier. Für die Folge ähert sich der Wert also immer mehr der Zahl sogar streg mooto falled gege die utere Schrake. I jedem beliebig kleie Itervall um die Zahl 3 liege ab eiem gewisse Idex 0 (der vo der Größe des Itervalls abhägt) alle weitere Folgeglieder. Wir köe das sogar ausreche! Wir gebe us dazu eie Itervallbreite r > 0 vor ud frage: Ab welchem 0 liege alle a, 0 im Itervall [3 r;3 + r]? Offebar da, we, also erfüllt ist. Nehme wir also zu eier vorgegebee Itervallbreite als die ächstgrößere atürliche Zahl zu /r, so liege alle weitere Folgeglieder mit 0 im Itervall. Ud damit immer ur edlich viele außerhalb. Da wir dies für jedes beliebige r > 0 durchführe köe, ist 3 Grezwert der Folge ( a ) IN. Für die Folge ( b ) IN. stellt sich die Situatio komplett aders dar. Hier liege zwar i jedem beliebig kleie Itervall um die 3 immer uedlich viele Folgeglieder, aber ebeso um die Zahl 3, d.h. es liege auch immer uedlich viele außerhalb der Itervalle. Die Folgeglieder sprige also hi ud her zwische zwei sogeate Häufugspukte, hier 3 ud 3. Sie ist damit icht koverget, soder diverget. Aber ma ka die Folge immerhi i zwei kovergete Teilfolge aufsplitte, die jeweils gege eie Häufugspukt kovergiere. de b 3( ) +, IN also 3 + ; 3 + ; 3 + ; ? / a < a < a / 3 + r /r r > 0 0 b2 3( ) b2 3( ) ( ) 2 ud ( ) 2 Zur Abrudug der Vorbereitug betrachte wir och die Folge f, IN Diese hat och icht eimal Häufugspukte, sie wächst streg mooto ud ist icht beschräkt. Auch keie Kovergez! Defiitio Kovergez der Zahlefolge (f ) IN gege eie Grezwert g. Umgagssprachliche Defiitio: (f ) IN gege eie Grezwert g: I jedem Itervall um de Grezwert g liege ab eiem gewisse (vo g abhägige) Folgeglied alle weitere ud somit immer ur edlich viele außerhalb des Itervalls Mathematisch formuliert: Die Folge (f ) IN kovergiert gege eie Grezwert g, geau da, we es zu jedem r > 0 eie Idex gibt, so dass 0(r) Schreibweise ( eriert a das lat Wort es Grezwall) f [g r;g + r] für alle. g f 0

3 Testfrage: Kovergiert oder divergiert diese Folge? Vergleiche Sie mit a ud b obe! c ( ) + 3 Weitere Defiitioe ud ützliche Kovergezkriterie. Mootoie wird wie bei Fuktioe defiiert. (f ) IN mooto steiged : f f + für alle IN (f ) IN streg mooto steiged : f < f + für alle IN (f ) IN mooto falled : f f + für alle IN (f ) IN streg mooto falled : f > f + für alle IN (f ) IN ach obe beschräkt : Es gibt eie Kostate c IR mit f c für alle IN (f ) IN ach ute beschräkt : Es gibt eie Kostate c IR mit f c für alle IN (f ) IN beschräkt : Nach obe ud ute beschräkt. Sätze Eie mooto fallede, ach ute beschräkte Folge ist koverget. Eie mooto wachsede, ach obe beschräkte Folge ist koverget. Jede kovergete Folge ist auch beschräkt (ach obe ud ute). Aders ausgedrückt: Eie ubeschräkte Folge ka iemals koverget sei! Satz vo Bolzao Weierstraß: Jede beschräkte Folge hat midestes eie Häufugspukt, (aber icht ubedigt eie Grezwert!) Die beschräkte Folge hat aber midestes eie (gege de Häufugspukt) kovergete Teilfolge. Folgerug: Eie beschräkte Folge mit ur eiem Häufugspukt ist koverget. Beschräktheit ist hier wesetlich! Siehe Geau ei HP, ubeschräkt, icht koverget. a (( ) + ) Noch ei Beispiel: Betrachte die Zahlefolge { falls gerade d falls ugerade Diese Zahlefolge ist ubeschräkt (Bolzao Weierstraß greift also icht) ud besitzt eie Häufugspukt (0) ud eie dagege kovergete Teilfolge. Defiitio der Eulersche Zahl e bzw über eie Grezwert (es gibt och adere Defiitioe ma muss da jeweils die Äquivalez zeige ) Ei wichtiger Satz zum Thema Wachstum: Vergleich polyomial wachsede ud expoetiell wachsede Zahlefolge. P sei ei Polyom vo irgedeiem Grad m. Da gilt : oder aders gesagt: Expoetielles Wachstum/Abklige schlägt polyomiales Wachstum/Abklige. Diese Satz ka ma elemetar, allerdigs da etwas umstädlich beweise. Mit Mittel der Aalysis auf reelle Fuktioe agewadt geht es elegater, siehe zum Beispiel Differetialrechug Seite 3. Eiige Beispiele ud Kosequeze (Umformulieruge): Für jede Zahl r > gilt Aders gesagt: Die Folge wächst ubeschräkt. e ( + ) P() / P() / /, / r / P() P() r 0 Weitere Beispiele siehe ute. Summe, Produkte, Quotiete vo Folge ud Grezwerte: Voraussetzug: ( a ) IN,( b ) IN sid kovergete Zahlefolge. Da:

4 Zusätzlich sei ( ± ) ± a b a ( ) a b a b 0 a b Beispiele/Aufgabe: Utersuche die agegebee Folge auf Beschräktheit, Häufugspukte, Kovergez ud bestimme ggf. de Grezwert. Überall jeweils IN. Der Grezwert eier Fuktio ka i atürlicher Weise über de Grezwert vo Folge defiiert werde. Grezwert eier Fuktio ud Stetigkeit Die Fuktio f besitzt a eier Stelle x D(f) de Grezwert f( x ), geau da we für jede Zahlefolge x mit Grezwert auch gilt. Eie solche Fuktio ee wir stetig a der Stelle x. Ist eie Fuktio f stetig i alle x D(f), so ee wir sie stetig. We x icht im Defiitiosbereich vo f liegt, aber alle Grezwerte dort übereistimme da köe wir die f dort stetig fortsetze zu eier eue Fuktio mit erweitertem Defiitiosbereich, der stetige Fortsetzug vo f. Die Forderug "für jede Zahlefolge mt Grezwert x " ist hier wichtig. Betrachte als Beispiel die Sigumfuktio Für Zahlefolge mit positive Glieder, die gege Null kovergiere, hat diese Fuktio de Grezwert (sogeater rechtsseitiger Grezwert), für Nullfolge mit egative Glieder de Grezwert ( liksseitiger Grezwert). Weiteres Beispiel: Hier ka ma sogar zu jedem Wert y im Itervall [ ;] eie passede Nullfolge x fide, so dass b a b b a ( ) ; b ( 2) ; c ( 2) + 7 ; d 2 + ; 2 + ; 2 e + 2 f + g + + h ; l ; ( + 5; ( p ) q ) 5 r ;,00,0000 t y z! x 200 x f( ) f( ) x x 2! y f( ) f( ), für jede Folge x x x x f(x), x D(f) f (x) { y, x x sg(x) {, x 0, x < 0 f(x) si( x ), x 0,f(0) 0 f( ) y x D(f), IN Etwa f( ) si(2π) 0, f( x ) si(2π ± 0,5π) ±, (2π) (2π ± 0,5π) x x x usw. allgemei :

5 f( x ) si(α) (2π + α) x Beispiele zur stetige Fortsetzug z.b. uter gebroche ratioale Fuktioe x 0 : y /3 x f(x) 3 + x, x 0 3x Stetige Fortsetzug a Ergibt sich der Grezwert. Hier ka ma sogar durch kürze eie Fuktiosterm agebe, der die stetige Fortsetzug komplett beschreibt: x f (x), x IR. Hiweis: Frage der stetige Fortsetzbarkeit vo Quotiete ka ma oft sehr schell ud elegat mit Mittel der Differetialrechug (Regel vo L'Hospital oder Reiheetwicklug) beweise, etwa si(t) t 0 t I diesem Fall geht es auch direkt durch eie geometrische Abschätzug (wird im Abschitt Differetialrechug 2, Ableitug der Siusfuktio, siehe Bild dort, beutzt). Am Eiheitskreis/Dreieck zu sehe: si(t) t ta(t)