Aufgabe 1-1: Aufgabe 1-2: Aufgabe 1-3: Aufgabe 1-4:

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Gisela Acker
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1 1. Übug zur Höhere Mathematik 1 Abgabe: KW 4 Aufgabe 1-1: Es seie a,b mit a 0, b 0. Beweise Sie ab a b a b a b Aufgabe 1-: Beweise Sie durch vollstädig Iduktio k 1 (k 1) k 0 0 k 1!, 0, 0? 1,? d), 0, 0? Aufgabe 1-: Utersuche Sie für welche gilt 4 6 ud Aufgabe 1-4: Utersuche Sie für welche gilt 4 0 ud ud 0

2 . Übug zur Höhere Mathematik 1 Abgabe: KW 44 Aufgabe 1-5: Schreibe Sie folgede komplee Zahle i der Form z + jy 7 z ep j z ep j6 z ep j Aufgabe 1-6: Stelle Sie folgede komplee Zahle i der epoetielle Form dar. 1 1 j (1 j) z j z z j 1 j Aufgabe 1-7: Bestimme Sie Real- Imagiärteil, Betrag ud Argumet vo j (1 j) z z 1 j 1 1 j j Aufgabe 1-8: Ermittel Sie sämtliche Lösuge der Gleichuge (mit Skizze) z j8 4 1 z 1 j Aufgabe 1-9: I welche Bereiche der Gaußsche Zahleebee liege die komplee Zahle z, für die die folgede Beziehuge erfüllt sid. 0 Re z 1 0 argz z j z j

3 . Übug zur Höhere Mathematik 1 Abgabe: KW 45 Aufgabe 1-10: Gegebe seie a e 14 e, b e 1 e, c e 1e e. Schreibe Sie die Vektore a, b, c, a b, b c, a b c, a b c als Spaltevektore ud bereche Sie dere Betrag. Aufgabe 1-11: Bestimme sie de Wikel zwische a ud b. a e 14e, b e e 1 a e 1e e, b 5e e e 1 a 4e e e, b e e e 1 1 Aufgabe 1-1: 4 Gegebe seie die Vektore a, b, c 0. Bereche Sie 0 4 a, b, c a b, b c, a c a c, b c, a b c d) ( a ( b, ( a ( b e) a ( b c ), ( a b ) c f) [ abc,, ] Spatprodukt Aufgabe 1-1: Ermittel Sie für a e e 6e die Richtugswikel ( e, a ), i 1,, 1 a 5e e e, a 7 die Koordiate ud die Richtugswikel ( e,, i 1,, 1 a e e e, a 4, ( e, 5 18, ( e,, ( e, de Richtugswikel ( e, ud die Koordiate 1, ud i i

4 4. Übug zur Höhere Mathematik 1 Abgabe: KW 46 Aufgabe 1-14: Bereche Sie für die Vektore a e1 e e, b 5e1 e e, c e1 e e die orthogoale Zerlegug vo a lägs b ud a lägs c. die Ausdrücke ( a c, ( a ( a ud [ a, b, c]. Aufgabe 1-15: Für welches werde die Vektore 1 a, b 4 ud c 5 4 liear abhägig? Bestimme Sie für diese Fall, 0 so, dass 1abc0 1, gilt. Aufgabe 1-16: Zeige Sie, dass die Vektore a e1e 4 e, b e16 e e, c e1e 5e liear uabhägig sid ud stelle Sie de Vektor d e1e 6e als Liearkombiatio vo a, b, c dar. Aufgabe 1-17: Gegebe seie die Matrize A,,, B 0 1 C 1 D T T T T T T T Bereche Sie falls möglich AC, CA, A C, BA, ABD, A C, B A, D D, DD.

5 5. Übug zur Höhere Mathematik 1 Abgabe: KW 47 Aufgabe 1-18: Bestimme Sie die Lösugsmege der Gleichugssysteme ud mit Hilfe des Gauß-Algorithmus ud gebe Sie jeweils de Rag der Koeffizietematri ud der erweiterte Matri a. Aufgabe 1-19: Es sei A Bereche Sie det(a), det(6a T ), det(a 6 ) ud rag(a T A). Aufgabe 1-0: Gegebe sei A ( 1) 1 Bereche Sie det(a).

6 6. Übug zur Höhere Mathematik 1 Abgabe: KW 48 Aufgabe 1-1: Bereche Sie die Iverse der Matri vo 1 A 5 mit Hilfe des Gauß-Algorithmus A 6 5 mit Hilfe der Cramer-Regel. 4 Aufgabe 1-: Bestimme Sie die Eigewerte vo A sowie ei maimales System liear uabhägiger Eigevektore (Orthoormalsystem). Aufgabe 1-: Bestimme Sie für die symmetrische Matri 0 0 A so, dass A positiv defiit, A positiv semidefiit, A egativ defiit, d) A egative semidefiit bzw. e) A idefiit wird. Aufgabe 1-4: Bestimme Sie für die quadratische Form q( ) 4 A, (,, ) T T 1 1 so, dass q() positiv defiit, q() positiv semidefiit, q() egativ defiit, d) q() egative semidefiit bzw. e) q() idefiit wird.

7 7. Übug zur Höhere Mathematik 1 Abgabe: KW 49 Aufgabe 1-5: Bereche Sie mithilfe des Horer-Schemas die Werte vo f ( ) a de agegebee Stelle ud bestimme Sie die Zerlegug vo f ( ) i reelle Elemetarfaktore. f ( ) 14 5, 5 4 f( ) , 5 f( ) ,, 1 Aufgabe 1-6: Ermittel Sie vo de gebrocheratioale Fuktioe f ( ) die Nullstelle ud Polstelle. Gebe Sie die Asymptote a ud skizziere Sie de Graphe f ( ) ud die Asymptote. f( ) f( ) f( ) ( 4) ( 4) 16 Aufgabe 1-7: Gebe Sie die Zerlegug i reelle Partialbrüche a für 5 1 f( ) 1 f( ) f( )

8 8. Übug zur Höhere Mathematik 1 Abgabe: KW 50 Aufgabe 1-8: Drücke Sie mit Hilfe der Eulersche Idetität cos 6 ud si 7 durch si k ud cos k, k 0 si 6 ud cos 7 durch si k ud cos k, k aus. Aufgabe 1-9: Zeige Sie die Gültigkeit der folgede Idetitäte. arcta arccot 1 arcta arccot 1 arcta arcta d) ar cosh l e) ar coth l 1 1 Aufgabe 1-0: Zeige Sie mit der Grezwertdefiitio (, N - Defiitio) lim 0! q k lim a, we a q 1 mit 0 q 1 q ab lim k 1 a ab, we lim a ud lim b b

9 9. Übug zur Höhere Mathematik 1 Abgabe: KW 51 Aufgabe 1-1: Utersuche Sie die folgede Zahlefolge auf Kovergez ud bestimme Sie ggf. dere Grezwert. a a a cos 1 5 e) f) a a , Aufgabe 1-: Zeige Sie 1 1 k 1 k 1k 1 k 1 0 k k k k! k 1 Aufgabe 1-: Zeige Sie mit Hilfe der (,) Defiitio Bereche Sie mit Hilfe der Grezwertsätze Utersuche Sie, ob die Fuktio f( ) lim si lim im Pukt stetig ergäzbar ist.

10 10. Übug zur Höhere Mathematik 1 Abgabe: KW Aufgabe 1-4: Bestimme Sie durch Grezübergag die Ableitug vo f( ) a der Stelle. f( ) 0. Aufgabe 1-5: Bestimme Sie die Ableitug vo f ( ) si e f ) ep l ( 1 1 f ( ) a e l d) f ( ) epsi 1 1 e) f ( ) 0 ta f) f ( ) 0 Aufgabe 1-6: Zeige Sie mittels Iduktio ( ) ( k) ( k) f ( g ) ( ) f ( g ) ( ) k. k0

11 11. Übug zur Höhere Mathematik 1 Abgabe: KW Aufgabe 1-7: Bereche Sie die Grezwerte der Fuktioe 5 4 lim 0 l 1 l lim e 1 1 lim 0 si d) lim 0 (si ) Aufgabe 1-8: Bestimme Sie Defiitiosbereich, Nullstelle, Polstelle, relative ud absolute Etremwerte, Wedepukte sowie das asymptotische Verhalte ud skizziere Sie die Graphe der folgede Fuktioe. f ( ) 1 f ( ) e Aufgabe 1-9: Es sei ei rechtwikliges Dreieck gegebe. Die Summe der Seiteläge ist 1m. Wie Lag sid die eizele Seite, we die Fläche des Dreiecks maimal werde soll? Der Querschitt eies Tuels bestehe aus eiem Rechteck mit aufgesetztem Halbkreis. Wie müsse die Abmessuge gewählt werde, damit bei fest vorgegebeem Umfag U = cost.= c die Querschittsfläche des Tuels F maimal wird? r F y Eier Ellipse mit de Halbachse a ud b ist ei achseparalleles Rechteck mit maimalem Flächeihalt F eizubeschreibe (s. Zeichug). Bestimme Sie Breite, Höhe y ud Fläche F des Rechtecks. y y b a

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