3. Anwendungen der Differentialrechnung

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1 3.1 Kurveutersuchuge mittels der Differetialrechug Aweduge der Differetialrechug 3.1 Kurveutersuchuge mittels der Differetialrechug I diesem Abschitt betrachte wir Fuktioe f: D, welche je ach Bedarf zumidest ei- oder zweimal differezierbar sei möge, ud utersuche de Verlauf des zugehörige Fuktiosgraphe. Zu eier Kurvediskussio zähle u.a. die Feststellug des Defiitiosbereichs D, ggf. Periodizität oder Symmetrie, Bestimmug vo Grezwerte, Nullstelle, Etrema, Mootoie, Wedepukte ud Koveität. Theoretische Grudlage für die im Folgede geführte Beweise ist eie wichtige Eigeschaft differezierbarer Fuktioe: Mittelwertsatz der Differetialrechug: Ist f auf [a,b] differezierbar, da gibt es midestes eie Stelle ξ mit a < ξ < b, sodass f (b f (a f ( ξ =. b a Der Mittelwertsatz, ei für Theorie ud Aweduge gleichermaße wichtiger Satz der Differetialrechug, ist i achsteheder Abbildug veraschaulicht. y y = f( f(a f(b a ξ b (i Mootoie Das Vorzeiche der erste Ableitug f vo f gibt das Mootoieverhalte vo f a: Die Fuktio f ist ämlich auf eiem Teilitervall I D streg mooto wachsed, we f ( >, streg mooto falled, we f ( <, mooto wachsed, we f (,

2 3.1 Kurveutersuchuge mittels der Differetialrechug 34 mooto falled, we f ( für alle I gilt. Beweis: Um de Nachweis für de Fall streg mooto wachsed zu erbrige, wähle wir 1, I mit 1 < ud erhalte mit Hilfe des Mittelwertsatzes der Differetialrechug f( f( 1 = f (ξ( 1 > f( > f( 1, da laut Voraussetzug f (ξ >. Somit ist f streg mooto wachsed, wie behauptet. Beispiel: Für die Fuktio f( = 6 ist f ( = 6 = ( 3, folglich ist f streg mooto falled für < 3 ud streg mooto wachsed für > 3. (ii Etremwerte rel.ma. = abs.ma. y = f( rel.ma. rel. Mi. abs.mi. a 1 b Wir uterscheide relative ud absolute Etremwerte: Eie Fuktio f: D besitzt a der Stelle D ei relatives Maimum, we f( f( i eier Umgebug vo, d.h. für alle mit < δ (für ei δ > gilt. Ist dagege f( f( für alle D, so besitzt f a der Stelle ei absolutes Maimum. Aalog sid relative ud absolute Miima erklärt. Relative Etrema köe mit Hilfe der Differetialrechug wie folgt bestimmt werde: Notwedige Bedigug: Besitzt f ei relatives Etremum i, so ist f ( =. Hireichede Bedigug: Gilt f ( = ud zugleich f ( < (bzw. f ( >, so hat f ei relatives Maimum (bzw. relatives Miimum a der Stelle. Beweis: Besitzt f etwa ei relatives Maimum i, gilt also f( f( i eier Umgebug vo, so folgt Geauso gilt aber auch f ( f ( für < f ( f ( für > f ( f ( f ( = lim f (,.

3 3.1 Kurveutersuchuge mittels der Differetialrechug 35 also muss f ( = gelte. Gilt adererseits f ( = ud f ( <, erhalte wir mit Hilfe der Taylorsche Formel (siehe Abschitt über Vertiefug der Differetial- ud Itegralrechug im 3. Semester f ( = f ( f ( ( f ( ξ (! f ( f ( ξ! + + = + ( Da f (ξ <, falls ξ ahe geug bei liegt, folgt daraus f( f( i eier Umgebug vo, also liegt ei relatives Maimum vo f i vor. Der Nachweis für de Fall eies relative Miimums wird aalog geführt. Beispiel: Für die Fuktio f( = e bereche wir f ( = ( + e ud f ( = ( e. Aus f ( = ergebe sich die mögliche relative Etremstelle 1 = ud =. Wege f ( = > liegt bei 1 = ei relatives Miimum, wege f ( = e < liegt bei = ei relatives Maimum vo f vor. Das relative Miimum ist zugleich absolutes Miimum, de f( = ud f( > für. Ei absolutes Maimum eistiert dagege auf icht, de lim f ( = Bemerkuge:. Die Bedigug f ( = ist otwedig, aber icht hireiched für ei relatives Etremum a der Stelle. So gilt z.b. für die Fuktio f( = 3, dass f ( =, obwohl bei = kei relatives Etremum vorliegt. Aderseits ist die Bedigug f ( =, f ( < hireiched, aber icht otwedig für ei relatives Maimum a der Stelle, wie etwa das Beispiel f( = 1 4 mit = zeigt. Die obe agegebee Bediguge sid klarerweise ur zur Bestimmug relativer Etrema vo differezierbare Fuktioe geeiget, wie das Beispiel f( = verdeutlicht. Absolute Etrema eier Fuktio f köe relative Etrema sei, oder aber sie liege am Rad des Defiitiosbereichs vo f. So fidet ma die absolute Etremwerte eier Fuktio f auf eiem Itervall I = [a, b] uter de relative Etremwerte im Iere des Itervalls oder uter de Fuktioswerte i de Radpukte = a bzw. = b. Beispiel: Betrachte wir ochmals die Fuktio f( = 6, ud zwar auf dem Defiitios- Itervall [; 5]. Das eizige mögliche relative Etremum ergibt sich aus der Bedigug f ( = 6 = ud liegt a der Stelle = 3. Wege f (3 = > liegt tatsächlich ei relatives Miimum vor. Zur Bestimmug der absolute Etremwerte bereche wir de Fuktioswert f(3 = 9 im Miimum, ud vergleiche mit de Werte der Fuktio a de Itervallgreze a = ud b = 5, also f( = ud f(5 = 5. Folglich liegt das absolute Maimum vo f am like Radpukt a =, ud das absolute Miimum fällt mit dem relative Miimum a der Stelle = 3 zusamme..

4 3.1 Kurveutersuchuge mittels der Differetialrechug 36 Beispiel: Wir betrachte eie Eiseker i eier zylidrische Spule vom Radius r. Der Eiseker habe eie kreuzförmige Querschitt Q mit de Abmessuge a ud b (siehe achstehede Abbildug, welche derart zu bestimme sid, dass Q maimal wird. Für de Querschitt Q des Eisekers gilt Q = ab b bzw. mit a = r cosϕ, b = r siϕ Q(ϕ = 8r siϕ cosϕ 4r si ϕ = 4r (siϕ si ϕ = ma!, wobei ϕ π/4. Differeziere ud Nullsetze der erste Ableitug führt zu dq = 4r ( cosϕ siϕ cosϕ = 4r ( cosϕ siϕ =, dϕ woraus taϕ = bzw. ϕ = (1/arcta =,55 (d.s. ca. 3 folgt. Wege d Q d ϕ = 8r ( siϕ cosϕ < für ϕ π/4 besitzt Q i ϕ tatsächlich ei relatives Maimum mit Querschittswert Q(ϕ =,47r. Die Radwerte Q( = ud Q(π/4 = r sid dagege beide kleier als Q(ϕ, so dass a der Stelle ϕ das absolute Querschittsmaimum liegt. Die Abmessuge des optimale Eisekers betrage demach a = r cosϕ = 1,7r ud b = r siϕ = 1,5r. r ϕ b a Beispiel: Ei Moopolist bietet auf eiem Markt ei Produkt a, desse Nachfrage durch die Preis-Absatz-Fuktio p( = 89/( + 1 (p Preis, achgefragte Mege gegebe sei, währed die Herstellugskoste durch die Kostefuktio K( = 1 bestimmt seie. Es ist der Gewi des Moopoliste zu maimiere. Wir bestimme zuächst de Umsatz, d.i. das Produkt vo abgesetzter Mege ud Preis, gemäß U( = p( = 89/( + 1. Werde davo die Koste abgezoge, erhalte wir daraus de Gewi ud usere Optimierugsaufgabe lautet Wir bereche G( = U( K( = 89/( = ma! 89( ( = 1 = 1 = ( + 1 ( + 1 G ud erhalte die quadratische Gleichug ( + 1 = 89 mit de Lösuge 1 = 5 ud = 9. Wege < kommt diese Lösug jedoch icht i Betracht. Wir bereche och

5 3.1 Kurveutersuchuge mittels der Differetialrechug G ( = 3 ( + 1 < ud erkee daraus, dass i 1 = 5 ei relatives Gewimaimum vorliegt. Ei Vergleich des Gewis G(5 = 5 mit de Radwerte G( = ud lim G( = zeigt, dass a der Stelle 1 = 5 das relative ud zugleich absolute Gewimaimum des Moopoliste liegt. (iii Wedepukte ud Koveität Das Vorzeiche vo f ermöglicht die Bestimmug des Krümmugsverhaltes bzw. der Koveität vo f: Die Fuktio f ist ämlich auf eiem Teilitervall I D kove, we f mooto wachsed bzw. f (, ud kokav, we f mooto falled bzw. f ( für alle I gilt. Ferer besitzt f a der Stelle eie Wedepukt, we f ( = ud f (. Wedepukt mit Wedetagete y = f( Kurve uterhalb der Tagete: Rechtskrümmug, kokav Kurve oberhalb der Tagete: Likskrümmug, kove kokav kove Beispiel (Kurvediskussio: Wir wähle f( = e (s.o. ud bereche f ( = ( + e, f ( = ( e ud f ( = ( e. Nullstelle: Die eizige Nullstelle liegt bei (,, de f( = 1 =. Grezwerte: Es ist, wie ma leicht überlegt, lim f ( = ud lim f ( =. Etrema: Aus f ( = ergebe sich die mögliche relative Etremstelle 1 = ud =.

6 3.1 Kurveutersuchuge mittels der Differetialrechug 38 Tatsächlich liegt bei (, ei relatives ud zugleich absolutes Miimum, bei (,4e ei relatives Maimum, ei absolutes Maimum eistiert icht (s.o.. Mootoie: Aus f ( = ( + e folgt f ( > ud damit f streg mooto wachsed für < bzw. für >. Aderseits gilt f ( < ud damit f streg mooto falled für < <. Wedepukte: Wir setze f ( =, d.h = ud erhalte die mögliche Wedestelle 3,4 = ±. Wege f ( 3,4 = Stelle. ± ± e besitzt f wirklich zwei Wedepukte a diese beide Koveität: Das Vorzeiche vo f ( = ( 3 ( 4 e gibt Aufschluss über die Koveität vo f. Für 4 ist f ( ud damit f kove, für 4 3 ist f ( ud f kokav, ud im Fall 3 ist wieder f ( ud f kove. 3. Weitere Aweduge (i Das Differetial Ist eie Fuktio y = f( i differezierbar, so ka f i eier Umgebug vo durch eie lieare Fuktio, ämlich durch die Tagete i approimiert werde. Geht ma u vo zu eier beachbarte Stelle + über, so ädert sich der Fuktioswert vo f um y = f( + f(, der Wert der lieare Näherug um dy = f ( (siehe Abbildug. Für die idetische Fuktio y = gilt atürlich dy = d = 1, weshalb ma statt auch d schreibe ka. Der Ausdruck dy = f ( = f ( d

7 3. Weitere Aweduge 39 heißt Differetial vo y = f( a der Stelle ud gibt de Zuwachs etlag der Tagete im Pukt (,f( a y = f( zwische ud + d a; er ist eie Näherug für y, falls d klei ist: dy y. y Tagete y = f ( y dy = f ( Das Differetial wird i der Fehlerrechug zur Beatwortug folgeder Frage verwedet: Wie wirkt sich ei Fehler eier Größe auf eie vo abhägige Größe y = f( aus? Dieser Fehler ka als absoluter oder als relativer Fehler bestimmt werde: absoluter Fehler: y dy = f (, relativer Fehler: y dy f ( = d. y y y Beispiel: I welche Fehlergreze bewegt sich das Volume eier Kugel, dere Durchmesser gemäß d = 4,5 ±,1 cm gemesse wurde? Das Kugelvolume V i Abhägigkeit vom Durchmesser d beträgt V(d = πd 3 /6, die erste Ableitug lautet V (d = πd /. Zum Messwert d = 4,5 cm ud zur Toleraz d =,1 cm erhält ma somit das Volume V = V(d = 47,71 cm 3 ud de absolute Fehler V dv = V (d d = π 4,5 /,1 = 3,18 cm 3, also V = V ± V = 47,71 ± 3,18 cm 3 bzw. 44,53 cm 3 V 5,89 cm 3. Der relative Fehler vo V beträgt V V dv V V (d = d = V o πd πd 6 d d = 3 3 d ud ist stets dreimal so groß wie der relative Fehler vo d. =,67 = 6,7% (ii Ubestimmte Forme Auf die Frage, wir groß etwa der Ausdruck / sei, gibt es viele Atworte. So gilt z.b.

8 3. Weitere Aweduge 4 si lim = = 1 si 3 lim = = 3 lim lim = = = = Der Ausdruck / ist eie ubestimmte Form, welche im Rahme vo Grezwertberechuge auftritt ud dere Wert icht vo vorherei agegebe werde ka. Weitere ubestimmte Forme sid /,,,, ud 1. Zur Berechug ubestimmter Forme ka folgeder Satz ützlich sei: Regel vo de l Hospital: Sid die Fuktioe f ud g a der Stelle (liksseitig oder rechtsseitig differezierbar, gilt ferer lim f ( = = lim g( ud eistiert lim, so folgt f ( g ( f ( f ( lim = lim. g( g ( Eie aaloge Aussage gilt, falls lim f ( = = lim g(. Beispiele: si cos lim = = lim = cos lim = = lim si = lim cos = 1! lim = = lim =... = lim =, d.h., die Epoetialfuktio e e e e wächst scheller als jede Potez vo. l 1/ lim l = ( = lim = lim = lim( = 1/ 1/ 1 lim(l 1 ist eie ubestimmte Form. Wege wir zuächst l(l 1/(l 1/ lim( 1l(l = lim = lim 1 1 1/( 1 1 1/( 1 1 ud damit lim(l = e = (l ( 1 = lim 1 l 1 = ( 1 l(l e bestimme ( 1 = lim = 1 l + 1 (iii Das Newto-Verfahre Das Iteratiosverfahre vo Newto diet zur Bestimmug der Nullstelle eier differezierbare Fuktio f ud liefert ausgehed vo eiem Startwert eie Folge vo Näherugswerte, 1,,..., welche i der Regel gege eie Nullstele * vo f kovergiert. Dabei ist 1 die Nullstelle der Tagete i a f: y = f( + f ( ( = 1 = f( /f (.

9 3. Weitere Aweduge 41 Ferer ist die Nullstelle der Tagete i 1, usw. (siehe Abbildug. y y = f ( 1 Allgemei gilt f ( + 1 =, =,1,,... f ( Bemerkuge: Offesichtlich muss für jede Näherugswert die Voraussetzug f ( erfüllt sei. Die Kovergez des Verfahres ist jedefalls gesichert, we der Startwert ahe geug bei eier Nullstelle * vo f liegt. Verschiedee Startwerte köe uterschiedliche Nullstelle liefer. Das Newto-Verfahre kovergiert i.a. sehr schell (ma spricht vo quadratischer Kovergez für eifache Nullstelle. Beispiele: f( = e 1: Wir bereche f ( = e 1 ud erhalte damit die Iteratio e =. e 1 Setzt ma =, so folgt 1 = + 1/99 =,1, =,1, usw. Somit lautet eie Nullstelle 1 * =,1. Zum Startwert = 1 higege erhält ma die Iteratiosfolge 1 = 9.4, = 8,14,..., welche gege die zweite Nullstelle * = 6,47 vo f kovergiert. Zur Berechug der Wurzel a (für a + wähle wir die Fuktio f( = a ud gewie damit die Iteratiosformel a 1 a + 1 = = ( +. Das ist die Formel zum sogeate Babyloische Wurzelziehe, ei Verfahre, welches für jede beliebige positive Startwert gege a kovergiert.