4 Differential- und Integralrechnung in mehreren Variablen

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1 4 Dieretial- ud Itegralrechug i mehrere Variable 8 4 Dieretial- ud Itegralrechug i mehrere Variable Fuktioe i mehrere Variable I diesem Abschitt werde reelle Fuktioe i Variable betrachtet, d.s. Fuktioe : D mit D, welche jedem Vektor (,..., ) vo Eilussgröße eie Fuktioswert () (,..., ) als Zielgröße zuorde. Im Fall schreibe wir zumeist z (,) ud köe als Fläche im Raum veraschauliche. eispiele: Druck eies ideale Gases p(t,v) RT/V als Fuktio der (absolute) Temperatur T ud des Volumes V Gesamtwiderstad i eiem Wechselstromkreis R ges (R, R L, R C ) R + (R L R C ) mit ohmschem Widerstad R, iduktivem Widerstad RL ud kapazitivem Widerstad RC Produktiosuktio P(A,K) ca α K α i Abhägigkeit vo de Produktiosaktore Arbeit A ud Kapital K (c,α kostat, < α < ) Nachrageuktio ach eiem Wirtschatsgut A N + (p, p,p3) c + cp + c p c3p3 als lieare Fuktio der Preise p, p, p3 dreier Güter A,, C Ferer ist z (,, 3) a 3 + b + c eie Polomuktio vom Grad 7 ud z (,) eie quadratische Polomuktio. d

2 4 Dieretial- ud Itegralrechug i mehrere Variable 9 Aalog zu de Fuktioe i eier Variable sid die egrie des Grezwerts ud der Stetigkeit erklärt: Die Fuktio besitzt a der Stelle de Grezwert c, i Zeiche lim () c, we zu jedem ε > ei δ > eistiert, sodass < δ () c < ε ür alle D,. Die Fuktio ist stetig i, alls lim () ( ), d.h., we der agegebee Grezwert eistiert ud mit dem Fuktioswert a der Stelle übereistimmt. Dieretiatio vo Fuktioe i mehrere Variable A die Stelle der gewöhliche Ableitug eier Fuktio i eier Variable trete im Fall mehrerer Variabler die partielle Ableituge. Gegebe sei die Fuktio z (,) ud ei ester Pukt (,) D. etrachte wir ür estes die Fuktio (,) i der eie Variable ud bilde dere Ableitug i ( + h, ) (, ) lim (, ) (, ), h h so et ma diese Grezwert alls er eistiert die partielle Ableitug vo ach a der Stelle (,). Die partielle Ableitug ist somit die Ableitug der partielle Fuktio (,) ud ka geometrisch als Astieg der Tagete t a die Schittkurve der Fläche z (,) mit der Ebee iterpretiert werde (siehe Abbildug). Aalog ist die partielle Ableitug vo ach gemäß deiiert. (, + h) (, ) lim (, ) (, ), h h z t z (,) (, ) t Die beide Tagete t ud t i der Abbildug spae die Tagetialebee a die Fläche z (,) im Pukt (,) au, dere Gleichug durch gegebe ist. t(,) (,) + (,) ( ) + (,) ( )

3 4 Dieretial- ud Itegralrechug i mehrere Variable 3 Ferer besitzt die Fuktio (,) vier partielle Ableituge zweiter Ordug, ämlich,,,, wobei die gemischte Ableituge ud (im Fall ihrer Stetigkeit) zusammealle. Etspreched sid auch alle weitere Ableituge höherer Ordug deiiert, daruter acht partielle Ableituge dritter Ordug, usw. eispiele: Für z (,) si( + ) + ist cos( + ), 3 + cos( + ), si( + ), 4 si( + ) ud 6 si( + ). Zur Produktiosuktio P(A,K) ca α K α ist die partielle Ableitug ach A durch P cαa A α K α K cα A gegebe ud wird als Grezproduktio des Faktors A bezeichet. Sie gibt aäherd das Produktiosergebis a, welches durch eie zusätzliche Eiheit des Faktors A erzielt werde ka. So wie ür Fuktioe i zwei Variable köe partielle Ableituge auch ür Fuktioe i beliebig viele Variable erklärt werde. Allgemei besitzt etwa die Fuktio () mit (,..., ) die partielle Ableituge erster Ordug / k, k,...,, wobei beim Diereziere ach k alle übrige Variable vo kostat gehalte werde. Zu de Regel ür das gewöhliche Diereziere komme beim partielle Diereziere die achstehede Ableitugsregel:. Für eie zusammegesetzte Fuktio (,) i zwei Variable gilt F(t) ((t),(t)) F (t) / (t) + / (t), kurz d/dt / d/dt + / d/dt, ud allgemei ür (,...,) mit i i(t) ist α d/dt ((t),...,(t)) / d/dt / d/dt (Ketteregel ür Fuktioe i mehrere Variable).. Ist eie Fuktio () implizit gegebe durch die Gleichug F(,), da gilt (uter geeigete Voraussetzuge) d/d F/F (Ableitug eier implizite Fuktio).

4 4 Dieretial- ud Itegralrechug i mehrere Variable 3 eispiele: (,) 3 + 4, sit, t cost d/dt / d/dt + / d/dt 6 cost (cost t sit) 6sit cost + 8t 3 cos 4 t 8t 4 sit cos 3 t F(,) e + + deiiert eie implizite Fuktio (), dere Ableitug gegebe ist durch () F/F (e + )/(e + ). Für etwa ist ud olglich (). Die Richtugsableitug Eie Erweiterug des egris der partielle Ableitug ist die Richtugsableitug eier Fuktio () : Wir rage ach der Äderug vo bei Verschiebug des Argumets um e mit e, d.h. i Richtug eies Eiheitsvektors e. Diese Äderug beim Übergag vo zu + e beträgt aäherd () + () () grad () grad () e, e wobei der Vektor grad (,..., ) de so geate Gradiete der Fuktio ud (,..., ) bezeichet. Diese Äderug vo zum Vektor e et ma auch Richtugsableitug / e vo i Richtug des Eiheitsvektors e. Ist speziell e e k (,...,,...,) der Eiheitsvektor i k-richtug, ergibt die Richtugsableitug / e grad e gerade die k-te partielle Ableitug vo. k k k I welcher Richtug ädert sich am stärkste? Zur eatwortug dieser Frage bereche wir / e grad e grad e cos ϕ grad cos ϕ, wobei ϕ de Wikel zwische de Vektore grad ud e agibt. Oesichtlich ist dieser Ausdruck da am größte, we ϕ, d.h. grad parallel zu e ist. Somit gilt

5 4 Dieretial- ud Itegralrechug i mehrere Variable 3 Der Gradiet grad gibt die Richtug des größte Astiegs eier Fuktio ( ) a; dieser beträgt da aäherd grad. eispiel: Gegebe seie die Fuktio ei Pukt (,,3). (,, 3 ) e 3 i drei Variable,, 3 ud (a) Die Äderug vo i -Richtug beträgt da e 3 9e 4,5. (b) Die Äderug i Richtug des Eiheitsvektors e /3 (,,) ist gegebe durch grad e e 9e 3e 35,3. e 3 9e 3 e e 3 6e 3 3 (c) Die maimale Äderug vo erolgt i Richtug des Gradiete grad )( ) ( (9e, 9e,6e), d.h. i Richtug des Eiheitsvektors e / (3, 3,) ud beträgt 9e grad ( ) 9e 3 e 38,. 6e Etremwerte ohe Nebebediguge Eie Fuktio : D mit D besitzt a der Stelle D ei relatives Maimum (Miimum), we () ( ) (bzw. () ( ) ) i eier Umgebug vo gilt, sowie ei absolutes Maimum (Miimum), we () ( ) (bzw. () ( ) ) im gesamte Deiitiosbereich D gilt. Relative Etrema köe mit Hile der Dieretialrechug wie olgt bestimmt werde: Notwedige edigug: esitzt ei relatives Etremum i, so ist grad )( ) ( ( ),..., ( )). ( Hireichede edigug ür Variable: Gilt (,) (,) ud zugleich D(, ) >, (, )

6 4 Dieretial- ud Itegralrechug i mehrere Variable 33 so hat ei relatives Etremum a der Stelle (,), ud zwar ür (,) < ei relatives Maimum, ür (,) > ei relatives Miimum. Im Fall D(,) < besitzt i (,) kei relatives Etremum. eispiel: Gesucht sid die relative Etrema der Fuktio (,) au dem Deiitiosbereich. Notwedig ür relative Miima oder Maima sid die Gleichuge , 6 /. Es olgt + 4/ 5 bzw ud daraus oder 4. Somit ergebe sich vier mögliche Etremstelle: (,), (, ), (,) ud (, ). Zur Überprüug, a welche dieser Stelle tatsächlich relative Etrema liege, bereche wir die Determiate 6 6 D 36( ). 6 6 Wege D(,) D(, ) 8 < liege a de erste beide Stelle keie Etrema (tatsächlich hadelt es sich um Sattelpukte, siehe Abbildug). Im dritte Pukt gilt D(,) 8 > ud (,) >, also liegt hier ei relatives Miimum, die vierte Stelle ist wege D(, ) 8 > ud (, ) < eie relative Maimumstelle. Absolute Etrema sid wie scho im Fall vo Fuktioe eier Variable uter de relative Etrema ud de Fuktioswerte am Rad des Deiitiosbereichs zu suche. Die Suche ach absolute Etremwerte stellt im Allgemeie ei auwediges ud schwieriges Verahre dar.

7 4 Dieretial- ud Itegralrechug i mehrere Variable 34 Etremwerte mit Nebebediguge Methode der Lagragesche Multiplikatore Um die relative Etremwerte der Fuktio () (,..., ) uter eier zusätzliche edigug der Form ϕ( ) zu ide, geht ma olgedermaße vor: Ma bildet die eue Fuktio F(, λ ) () + λϕ(), die so geate Lagrage-Fuktio i de Variable ud dem Lagragesche Multiplikator λ ud setzt grad F, d.h. F/ i ür i,..., ud F/ λ. Aus diese Gleichuge versucht ma, die Etremstelle zu bestimme. Notwedige edigug: esitzt i ei relatives Etremum uter der Nebebedigug ϕ, so gilt grad F(, λ ) ür F(, λ ) () + λϕ(). Die Methode lieert ur eie otwedige, aber keie hireichede edigug. I praktische Aweduge ergibt sich jedoch ot aus der Fragestellug, dass ei Etremum vorliege muss. eispiel: Gegebe sei die Produktiosuktio eies Herstellugsprozesses p (, ) ud eie udgetbeschräkug gemäß Gesucht sid jee Iputs,, welche ei Produktiosmaimum bei gegebe Koste garatiere. Zu bestimme ist also das Maimum der Fuktio p(,) uter der Nebebedigug Dazu bilde wir die Lagrage-Fuktio F(,,λ) +λ(3 + 6) ud bereche F 6 + 3λ, F 6 + λ, F λ Aus de erste beide Gleichuge olgt (3/), was eigesetzt i die dritte Gleichug zu ud weiters 5, p 5 ührt. Somit betrage die gesuchte Faktoremege ud 5, der maimale Output ist da ugeähr 47. Itegratio vo Fuktioe i mehrere Variable Der Itegralbegri ür Fuktioe i mehrere Variable ist wesetlich vielältiger als der bei Fuktioe i eier Variable. Dem ubestimmte Itegral bei eier Variable etspricht im mehrdimesioale Fall die Itegratio eies Vektoreldes, a die Stelle vo bestimmte (eigetliche oder ueigetliche) Itegrale trete ereichsitegrale, Kurveitegrale ud Oberlächeitegrale.

8 4 Dieretial- ud Itegralrechug i mehrere Variable 35 Itegratio vo Vektorelder Eie Fuktio (,,3), welche jedem Vektor (,,3) 3 eie Skalar i zuordet, bezeichet ma als Skalareld, eie vektorwertige Fuktio : 3 3, (,,3) ((,,3), (,,3), 3(,,3)), die jedem Vektor eie Vektor zuordet, als Vektoreld. ei der ildug des Gradiete vergleichbar mit der erste Ableitug ür Fuktioe i eier Variable wird eiem Skalareld ei Vektoreld zugeordet: F(,,3) grad F ( F/, F/, F/ 3). Gibt es umgekehrt zu jedem Vektoreld (,,3) eie Fuktio F mit grad F? Ma et i eiem solche Fall ei Gradieteeld ud F eie Stammuktio (Potetial oder ubestimmtes Itegral) vo. Die Atwort au obige Frage ällt jedoch im Allgemeie egativ aus. Geauer gesagt gilt: Ei Vektoreld ( ) (,...,) ((,...,),...,(,...,)) besitzt (uter bestimmte Voraussetzuge) geau da eie Stammuktio F mit grad F, we die edigug i j j i ür alle i, j,..., (d.i. die so geate Itegrabilitätsbedigug) erüllt ist. eispiele: Für die erechug eier Stammuktio zu (, ) (, ) 3 (, ), i j überprüe wir zuächst die Itegrabilitätsbedigug / 4 6 /, also eistiert eie Stammuktio F(,) mit F ud F. Zuächst ist F F (,) d c(), wobei c() eie beliebige Fuktio i ist (welche ja bei der partielle Ableitug ach verschwidet). Zur estimmug vo c() ahre wir ort gemäß F 6 + c () 6 3 c () 3 c() 3 + C, also ist F(,) C mit C. Das Vektoreld (,,z) (,, ) ist ebealls ei Gradieteeld, de alle gemischte partielle Ableituge sid ud somit ist die Itegrabilitätsbedigug trivial erüllt. Die zugehörede Stammuktio lautet F(,,z) z + C, C, wie ma aus F, F ud Fz soort erket. Eie puktörmige Ladug Q im Koordiateursprug erzeugt ei elektrisches Feld

9 4 Dieretial- ud Itegralrechug i mehrere Variable 36 Q 4πε + + z ) E 3 / (. z Wie lautet das Potetial ϕ(,,z) F(,,z) (d.h. E grad ϕ)? Wir prüe zuerst die Itegrabilitätsbedigug ür E (E,E,E3) ud ide E Q Q 3 E 3 / 5 / 4πε ( + + z ) 4πε ( + + z ) ud geauso E/ z E3/, E/ z E3/. Die gesuchte Stammuktio F erhält ma u durch Itegratio vo E ach, also F(,, z) Q E(,, z)d 4πε Q 4πε ( + + z ) / ( + c + + z (,z), ) 3 / wo c(,z) eie ubekate Fuktio i ud z ist. Aus F/ E olgt da c(,z)/, also c(,z) c(z), ud mit F/ z E3 erhält ma schließlich c3(z) C kostat. Folglich ist das gesuchte Potetial gegebe durch Q ϕ (,, z) F(,,z) + C, C. 4πε + + z d ereichsitegrale Als eispiel ür die Erweiterug des bestimmte Itegrals is Mehrdimesioale betrachte wir abschließed ereichsitegrale. Das bestimmte Itegral eier Fuktio () i eier Variable lieert eie Fläche, ämlich jee uter der Kurve (). Aalog ührt das zweidimesioale Itegral (, ) dd über eie ereich i der --Ebee au das Volume zwische der Fläche z (,) ud dem ereich (siehe Abbildug). Isbesodere ergibt dd gerade die Fläche vo. z ( ) z, V ( ), dd

10 4 Dieretial- ud Itegralrechug i mehrere Variable 37 Wie aber berechet ma u ei ereichsitegral der Form? Die erechug wird besoders eiach, we der ereich ei Rechteck darstellt, d.h. vo der Form ist. {( ) R }, a b, c d d Streie c Da gilt ämlich a b b d d b (, ) dd (, ) d d (, ) d d, a c c a d.h., das ereichsitegral ka als Doppelitegral berechet werde, wobei etweder zuerst ach ud da ach oder auch umgekehrt zuerst ach ud aschließed ach itegriert werde ka. eispiel: Wir bereche ( + ) dd über de Rechtecksbereich : 4, ( + ) dd ( + ) dd + d d Das ist das Volume über dem Rechteck, welches ach obe durch die Fläche z + begrezt ist (siehe Abbildug).