Mathematik 2 für Informatik Drmota ( )

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1 Mathematik 2 ür Iormatik Drmota ( ) Vektoreld (Seite 260) 1. Itegrabilitätsbedigug: we erüllt, existiert Stammuktio. Beides i Agabe, die i etwas so aussieht ud, jeweils i die Form ud brige, ableite ud we beide Ergebisse gleich sid, ist somit die Bedigug erüllt. Ab ud zu sid statt Brüche ormale Ausdrücke gegebe. Da muss ma eiach mit dee reche, der Ablau ist aber gleich wie mit Brüche! I eiige Fälle ist auch statt ud x ud y gegebe. Dabei ist der Ablau ebealls derselbe, ur dass ma statt x verwedet ud statt y verwedet. 2. c(variable) ausreche idem ma zuerst de erste Teil der Agabe itegriert (ach ), daach ableitet (ach ), (icht au vergesse immer mitzuehme, da wir ja geau das ausreche wolle ud ma sehr leicht darau vergisst!) ud = Agabe zweite Teil setze. Da sollte viel wegalle ud c(variable) bleibt über, welches ma sich jetzt ausreche ka. 3. Nu ka ma Ergebis aus Ableitug erste Teil der Agabe (siehe 2.) aschreibe mit dem berechete c. 4. Kurveitegral: eisetze, wobei erster Wert vo a x ist, zweiter y, bei b erste ebealls x, zweite y. Ergebis aus 3 wird zu Ergebis aus 3 mit eigesetztem x ud y Wert vo b mius Ergebis aus 3 mit eigesetztem x ud y Wert vo a. Itegral bestimme I Formelsammlug schaue wie geau die Formel aussieht die ma braucht. Meistes kommt etwas i der Art. Ma muss da ur reche mit eigesetzte b ür das x, daach - mit eigesetzte a ür das x, also. Bestimmug der Rekursio 1. Agabe i richtige Form brige: Steht beim erste Ausdruck ei Wert davor, muss ma die gesamte Agabe durch diese dividiere sodass ma aschließed vor dem erste Ausdruck keie Wert mehr hat, daür da Ausdruck 2 ud 3 durch de Wert dividiert erhält. 2. a ud b bestimme: a ist Wert des zweite Ausdruckes, b der Wert des dritte Ausdruckes. Werte köe auch egativ sei! 3. Homogeer Teil: λ 1 ud 2 ausreche idem ma a ud b i die Große Formel, also eisetzt. ist der größere Wert (-a +Wurzel), der kleiere (-a -Wurzel) 4. Falluterscheidug: a ud b vo zuvor (Pukt 2) eisetze ud schaue was heraus kommt: a. => Seite 1 vo 12

2 b. => c. => => 5. Eisetze der Lösug ür λ 1 ud 2 aus 3. i Falluterscheidug aus Partikuläre Lösug: Störuktio rechte Seite der Agabe. a. We Zahl alleie ist: Versuchslösug mit b. We : Versuchslösug mit c. We si (r) oder cos (r): A si(r) + B cos (r) d. We Zahl*+ Zahl: Versuchslösug mit A + B ( wird zu ) 7. Ausreche der Partikuläre Lösug: Bei Fall a vo 6 würde ma eiach die Werte i der Agabe zusammezähle (Wert vor dem erste Ausdruck, b (Wert 2) ud c (Wert 3) vo Pukt 2 obe) ud = rechte Seite setze. Ma erhält ach ausreche etwas i der Form. Im Falle vo d. bei Pukt 6 ka ma alles wegalle lasse, wo kei drie steht (Koeizietevergleich). Somit ka ma sich A ausreche. Daach de Wert ür A eisetze=> ma ka sich B ausreche. 8. Eisetze vo h (homogeer Teil) ud p (partikulär, also das was bei heraus kommt) i 9. vom homogee Teil ehlt och. Wir reche us aus idem wir aus der Agabe de Wert ür setze ud ür =0 ehme. I Fall c bei 4. sollte dadurch wegalle ud ma ka sich ausreche. Asoste ausreche, da i das errechete ür eisetze ud ausreche. Daach ka ma das Ergebis i eisetze ud dieses ausreche. 10. vom homogee Teil ehlt och. Wir setze u ebealls, ur mit statt, aus der Agabe de Wert ür ud reche mit =1. Da wir zuvor bei 9. berechete, köe wir diese Wert u auch eisetze ud ausreche. Nu köe wir vollstädig eisetze ud erhalte usere. Dieretialgleichug (Seite 289 (eher ab 293 relevat)) 1. = Agabe umorme bis ma de x Teil der Agabe mit dx au eier Seite hat, ud au der adere Seite de y Teil der Agabe mit dy stehe hat. 2. I Form brige das es wie olgt aussieht x bzw. y Teil der Agabe * dx bzw. dy 3. Itegral bilde: * dy = * dx wobei x ud y, somit da auch dx ud dy vertauscht sei köe! 4. Itegral ausreche. 5. Etlogarithmiere. 6. I die Form brige das y au eier Seite steht, also y = Rest vo Pukt 5. Doppelitegral bei Dreieck bestimme m ausreche: 3. t ausreche: t = Schittpukte vo Tagete (vo der lage Dreieckskate/ Seite) au y a der Stelle. Seite 2 vo 12

3 4. I die Formel vo 1. die errechete Werte vo 2 ud 3 eisetze (also m ud t, x ist ubekat!). Nu ka ma sich ausreche ür bilde. 6. Itegriere (z.b. aus x*y wird ) ud dx ( ) ü 8. Ausreche vo 7. Sollte da die Form 9. Itegriere vo Wie 7. also (Ergebis 9. mit x = Oberschrake x) - (Ergebis 9. mit x = Uterschrake x) 11. Nu hat ma ur mehr Zahle i der Rechug. Eiach ausreche ud das Beispiel ist ertig. Lagrag'sche Multiplikatio (Seite 247) 1. Agabe i Form aschreibe ud ausreche. Aupasse bei der Nebebedigug, da ma die rechte Seite der Nebebedigug ach liks brige muss (da ma ur die aschreibt). Ma hat also bei der Nebebedigug da like Seite rechte Seite stehe! 2. Ableite vo Ergebis aus 1. ach x, y, λ: a. Φ x = Alles aschreibe (ohe x) wo x ethalte ist. Falls etwas ist, 2x aschreibe. We es ist, (Wert*2)x. b. Φ y: wie a. ur mit y c. Φ λ: wie a bzw. b. ur mit λ 3. λ elimiiere aus Φ x ud Φ y: Φ x ud daruter Φ y aschreibe, schaue wie viel λ es jeweils bei de beide Zeile gibt, ud so multipliziere das es gleich viele sid. 4. Nu Zeile 1 ud Zeile 2 (aus 3.) subtrahiere, also Werte der Zeile 1 Werte der Zeile 2. Falls ei Wert i Zeile 2 also egativ ist, ädert sich durch das das Vorzeiche ud ma addiert Wert Zeile 1 ud Wert Zeile 2. Dadurch das ma bei 3. Zeile 1 ud Zeile 2 au gleiche Azahl λ gebracht hat, alle i diesem Schritt die λ weg ud ma hat ur mehr x ud y. Somit ka ma sich ausreche wie x zu y steht (z.b. x = y). 5. x ud y i die Nebebedigug eisetze: Aus Schritt 4 setzt ma i die Nebebedigug (Agabe) ür y de Wert ei (also wie viele x ei y etspricht), wodurch ma ur mehr x ud Zahle i der Rechug hat. Somit ka ma x ausreche. 6. Wie 5. Ma ka aber gleich das Ergebis ür x aus 5 ehme, hat ur y ud Zahle i der Rechug, ud ka somit eiach y ausreche. 7. Prüe au mi. oder max.: schaue welche Wert hat, also bei Φ x (Pukt 2) welcher Wert bei x steht. a. Ist der Wert > 0: Miimum geude. b. Ist der Wert < 0: Maximum geude. Seite 3 vo 12

4 8. Prüe ob Extremum existiert: I die Formel die Werte eitrage, z.b. ür was bei Φ y vor dem y steht. Daach ausreche (. Ist das Ergebis größer 0, liegt ei Extremum vor. Ergebis aschreibe i Form ( x Wert aus 5., y Wert aus 6. ) Ma utersuche, ob die Dieretialgleichug exakt ist 1. Erster Teil der Agabe (bis ach dx) ist Px. Zweiter Teil der Agabe (das was ach dx ist bis ach dy) ist Py. 2. Exaktheit der Itegritätsbedigug prüe:. I userem Fall 3. Pukt zuvor mit Px ausreche ud korrekt aschreibe, also ud da ableite ach y. Bleibe also ur die Ausdrücke stehe wo 1y dari vorkommt ud da alles aschreibe außer y! 4. Nu das gleich ur mit y, also ud ach x itegriere. We wo z.b. steht wird daraus da 6x. 5. We Ergebis aus 4. ud 5. Gleich sid, ist die Itegritätsbedigug positiv, Exaktheit ist gegebe ud es gibt somit eie Stammuktio. 6. aschreibe ud da ausreche. +c(y) icht vergesse! 7. aschreibe. Da like Seite ausreche ud rechte Seite eisetze. Daach ällt eiiges weg. 8. Ma sollte u etwas i der Form habe. Damit wir au der like Seite c(y) habe, müsse wir au der rechte Seite itegriere. 9. Nu köe wir alles aschreibe, was i etwa so aussehe sollte: Theorie Was ist der Gradiet eier Fuktio mit? muss eie total dierezierbare Fuktio sei. grad x1.. x Beispiel: Gegebe ist ei Skalareld (x 1,x 2,x 3 ): ³ geeriert werde:. Aus derartige Skalarelder ka ei Vektoreld Seite 4 vo 12

5 ( x) 1 ( x1, x2, x3) 2 3 : ³ ³ Die Ableitug ist u: grad x y z Uter welcher Voraussetzug ist das Vektoreld u(x)= u ( x).. 1 u ( x) = grad ((x)) Deitio: Gilt grad F = (ür ei Skalareld F ud ei Vektoreld ), da heißt Gradieteeld ud F Stammuktio (oder ubestimmtes Itegral) vo. Satz (Itegrabilitätsbedigug): Ei Vektoreld besitzt (uter gewisse Voraussetzuge) geau da eie Stammuktio F mit grad, we die Itegritätsbediguge erüllt sid. Was ka da über das Kurveitegral u(x) dx ausgesagt werde? Ei Kurveitegral ist geau da weguabhägig we die Fuktio ei Gradieteeld ist. Da gilt ( x) dx F( c( b)) F( c( a)) We wir also eie Stammuktio F ide, so dass der Gradiet dieser Stammuktio gleich userer Fuktio ist, da ist das Kurveitegral weguabhägig. Bei diesem Beispiel: wobei ud F ist. Damit ist gezeigt, dass ei Gradieteeld ist ud das heißt wiederum, dass das Kurveitegral weguabhägig ist. Wie lautet die uedliche Taylorreiheetwicklug ür eie Fuktio (x) a eier Aschlussstelle xo? bzw. Wie lautet die Taylorreiheetwicklug eier uedlich ot dierezierbare Fuktio (x) mit Aschlussstelle xo? Seite 5 vo 12

6 Etwickel sie das Taylorpolyom 2. Grades ür eie Fuktio (x,y) ) mit Aschlussstelle ( ). ( x0 h, y0 k) ( x0, y0) x( x0, y0) h y( x0, y0) k quadratische Approximatio ( Ellipsoid, Paraboloid,...) lieare Approximatio ( Ebee) 1 xxh² 2 xyhk yyk²... Re stglied 2! Beispiel: ( x, y) x² y² Gesucht ist die quadratische Approximatio im Etwicklugspukt (0,1) x² y² (0,1) 1 2 x (0,1) 0 x 2 y (0,1) 2 y xx 2 (0,1) 2 0 (0,1) 0 xy yx xy yy 2 (0,1) 2 x xx y yy x x h h x x 0 0 y y k k y y ( x, y) 1 0*( x x0) 2( y y0) 2( x x0)² 2*0*( x x0)( y y0) 2( y y0)² 2! 1 2( y 1) x² ( y 1)² (...) Welche Verahre zur Nullstellebestimmug kee Sie. Erkläre sie diese ud erläuter sie, welche Bediguge jeweils ür (x) gelte müsse. bzw. Welche umerische Verahre zur äherugsweise Berechug eier Nullstelle eier stetige bzw. dierezierbare Fuktio (x) kee Sie? Beschreibe Sie auch diese Verahre. Welche Voraussetzuge muss (x) jeweils erülle? Newtosches Näherugsverahre, Kovergezordug, Regula alsi, Beispiel, geometrische Iterpretatio. Newtosches Näherugsverahre Iteratiosverahre zur Lösug vo, Die Grudlegede Idee dieses Verahre ist, die Fuktio i eiem Ausgagspukt zu liearisiere, daher ihre Tagete zu bestimme, ud die Nullstelle der Tagete als verbessere Näherug der Nullstelle der Fuktio zu verwede. Die erhaltee Näherug diet als Ausgagspukt ür eie weitere Verbesserugsschritt. Seite 6 vo 12

7 Nachteil: Ma braucht eie dierezierbare Fuktio we:. Newto- Verahre kovergiert ur, (x) zwei Mal stetig dierezierbar (x) 0 Geometrische Iterpretatio: Kovergezordug: p = 2 Regula alsi Regel des alsche Asatzes. Iteratiosverahre zur Lösug vo. Das Regula- alsi- Verahre startet mit zwei Stelle (i der Nähe der Nullstelle) ud, dere Fuktiosauswertuge, uterschiedliches Vorzeiche habe. I dem Itervall [a,b] beidet sich somit ach dem Zwischewertsatz (ür stetiges ) eie Nullstelle. Nu verkleiert ma i mehrere Iteratiosschritte das Itervall ud bekommt so eie immer geauere Näherug ür die Nullsteel. muss stetig sei, aber icht otwedigerweise dierezierbar. d/dx wird durch de Dierezequotiete ersetzt: x ( x x ) ( x x 1 1) => ür = 1, 2, 3, //Stadardorm Was ist die erzeugede Fuktio eier Folge a? 0 Seite 7 vo 12

8 Wir betrachte die Folge a a0, a1, a 2,... ud orde ihr die Reihe A(z) Potezreihe A(z) wird erzeugede Fuktio der Folge 0 a z zu. Die a geat. Potezreihe i z, ist eie erzeugede Fuktio. Erzeugede Fuktioe verwedet ma i der Kombiatorik ud i der Lösug vo Dierezegleichuge. Kurveitegral (Kurve c:[a,b]->r^) Quelle Kurveitegral 1. Art: Das Wegitegral eier stetige Fuktio etlag eies stückweise stetig dierezierbare Weges ist deiiert als Kurveitegral 2. Art: Aalog dazu berechet sich das Wegitegral über ei stetiges Vektoreld mit eier ebealls so parametrisierte Kurve so: We weguabhägig ud Stammuktio existiert: Wie berechet ma die Bogeläge eier Kurve? Wie lautet die Gleichug der Tagete eier Kurve, die durch die Gleichug F(x, y)=c gegebe ist, um Pukt ( )? Eie Kurve c:[0,1]-> (Allgemei c:[a,b]-> ) ist vo edlicher Läge (rektiizierbar), we die Läge vo Polygozüge gege eie Grezwert kovergiere ud alls die Feiheit (z) gege 0 kovergiert. Die Läge der Kurve ist da durch Bogeläge geat. L F ( Z ) lim c( t ) c( t ) gegebe ud wird 0 i 1 i i 1 Seite 8 vo 12

9 (z): Feiheit der Gleichug der Tagete eier Kurve,.. Amerkug: Wikipedia sagt: Ist die gegebee Kurve der Graph eier reelle Fuktio, so ist die Tagete t im Pukt P(x 0 (x 0 )) die Gerade, die dort die gleiche Steigug hat wie die Kurve. Die Steigug der Tagete t ist also gleich der erste Ableitug vo a der Stelle x 0, ' (x 0 ). Die Gleichug der Tagete t ist somit:. Die Tagete etspricht der beste lieare Näherug ür die Fuktio a der Stelle x 0 : ür Wie lautet der Hauptsatz über implizite Fuktioe (ür Fuktioe F(x,y))? Hauptsatz über implizite Fuktioe: Sei stetig dierezierbar Fuktio. Außerdem ud ür ei. Da ist (i eier Umgebug U vo ) durch die Gleichug i U eie eideutige, stetige Lösug gegebe. Die Fuktio ist außerdem stetig dierezierbar ud erüllt: Beispiel: Fx 2x y' 2x F 1 y Ma beschreibe die Asatzmethode zur Lösug vo homogee lieare Dieretialgleichuge mit kostate Koeiziete zweiter Ordug:. Welche 3 Lösugsälle müsse uterschiede werde? Lösug mittels Asatz somit ergibt sich das charakteristische Polyom setzt ma u gege 0. Aus de Nullstelle des Polyoms lasse sich Teillösuge bilde, aus desse Liearkombiatio sich die Lösug der Dieretialgleichug ergibt. Reelle Nullstelle: ud => Komplexes Nullstellepaar:, der Vielachheit o,,, o,,, Seite 9 vo 12

10 Reelle Nullstelle: => Wa heißt eie Ableitug (vo R ach Rm) a x0 dierezierbar? Eie Fuktio :D->R heißt dierezierbar im Pukt xo, alls der Grezwert existiert, dieser wird da die Ableitug vo a der Stelle xo geat (xo). Falls ür alle x E d dierezierbar ist, so heißt die Fuktio (x) die Ableitug vo. Wa heißt stetig dierezierbar a x0? Ist auch die Ableitug vo eie stetige Fuktio, da et ma sie "stetig dierezierbar". Wie berechet ma die Elemete der Fuktioalmatrix? (Jacobi-Matrix) Die Jacobi-Matrix (beat ach Carl Gustav Jacob Jacobi; auch Fuktioalmatrix oder Ableitugsmatrix geat) eier dierezierbare Fuktio ist die -Matrix sämtlicher erster partieller Ableituge. Geutzt wird sie z. B. i der äherugsweise Berechug/Approximatio oder Miimierug mehrdimesioaler Fuktioe i der Mathematik. Die Jacobi-Matrix bildet die Matrix-Darstellug der erste Ableitug der Fuktio. Deiitio der Fuktioalmatrix eier mehrdimesioale Fuktio, daher Sei a der Stelle dierezierbar. Wie ist die Fuktioalmatrix vo a der Stelle deiiert? Sei weiters a der Stelle = ( ) dierezierbar. Wie lautet die Ketteregel ür die Fuktioalmatrix der Fuktio ( g)(x) = (g(x))? bzw. Wa heißt eie Ableitug (vo ) a dierezierbar? Wie berechet ma die Elemete der Fuktioalmatrix? Wa heißt stetig dierezierbar a? Die Fuktioalmatrix wird auch Jacobi Matrix geat. I ihr sid sämtliche erste partielle Ableituge ethalte. Jede (total) dierezierbare Fuktio ist auch stetig. Eie Fuktio heißt im Pukt total dierezierbar, alls eie lieare Abbildug existiert, so dass gilt ud der Rest die Bedigug erüllt. Mit : Seite 10 vo 12

11 Ketteregel g: Ketteregel g : Total dierezierbar Eie Fuktio heißt im Pukt total dierezierbar, alls eie lieare Abbildug existiert, so dass gilt ud der Rest die Bedigug erüllt. Nützliche Iormatioe Ageblicher Sto Itegralrechug i eier ud mehrere Variable Di.rechug i mehrere Variable Aweduge Diereze- ud Dieretialgleichuge umerische Verahre Kapitel 5-7 (also Seite 182 bis 336) ud Kapitel 9.1 bis 9.4 (Seite 388 bis 414) ohe Euler Iterpolatio. Wichtige Seite im Buch "Falluterscheidug": Seite 282 (eher 283 ud 284) Störuktio: Seite 285 Itegrabilitätsbedigug: Seite 261 Quotieteregel: Seite 187 Extremum: Seite 243, 245 Lieare Dieretialgleichuge zweiter Ordug: Seite 296 (eher 297) Gute Webseite Diereziere: Dieretialrechug: Seite 11 vo 12

12 Quickhelp Ableite/ diereziere: => ach m ableite: (m, ) = m + 2² => '1(m) = ach ableite: (m, ) = m + 2² => '1() = (x)= x^2 => '(x)=2x (diereziert) Ios Über die Ausarbeitug Ich habe die Ausarbeitug so gut es geht gemacht, aber trotzdem köe sich Fehler eischleiche! Falls ma welche idet, bitte per E- Mail oder PM a mich weiter leite damit ich sie ausbessere! Bei rot geschriebee Sätze bi ich mir icht gaz sicher ob sie so stimme ud deswege würde ich mich sehr über Feedback (ob es so stimmt oder icht) reue. Zusätzliche Iormatioe Versio: Neuste Versio: Ausarbeitug: Marti Titel ( mtitel ) Seite 12 vo 12