= = 1 0,5 0, 5 0,5 1,875 = = 1 0,5 0,5 0,5 0, 5 0, 5 1,96875

Transkript

1 Tutorium Mathe MT Potezreihe & Taylorreihe. Uedliche Reihe Uedliche Reihe ket vielleicht der ei oder adere eher au Kobelaugabe, wie ie ab ud zu i Mathematikbücher zu ide id. Hier geht e u darum, wie ma diee uedliche Reihe mathematich uteruche ka ud welche Auage über ie gemacht werde köe. Al Beipiel ehme wir die Reihe:,5 = a Da it i dieem Fall der Idex der Reihe. Betrachte wir zuächt eiige Werte der Reihe. 3 a =, a =,5, a =,5, a =,5, Au dieer Dartellug ka ma u Partialumme bilde, i dee jeweil Summade Werte der Reihe ummiert werde. Da a wird wege der Bezeichug Summe u zu eiem geädert. = 4 6 = = 3,5, 5,5,875 = = 3 4 5,5,5,5, 5, 5,96875 Diee Summe oll u zu eier uedlich lage Summe werde. Dazu betrachte wir u zuächt Glieder ud chreibe de Audruck verkürzt mit dem Summezeiche. k = +, ,5 =,5 k = Um zum Audruck zu brige, da wir im Folgede eie uedliche Reihe betrachte, eretzt ma da u gege da Uedlich Zeiche. = k =,5 k Nu oll e darum gehe, zu betimme, ob diee Reihe, we wir alle uedlich viele Glieder betrachte, gege eie Grezwert läut. Exitiert dieer Grezwert, o it die Reihe koverget, aote heißt ie diverget. Nachprüe ka ma die Exitez eie Grezwerte au verchiedee Art ud Weie. Für da Beipiel hier bietet e ich z.b. a, durch eie Subtraktio, bei der ich möglicht viele Summade der Reihe aulöche, azuetze. 3 = +,5 +,5 +, ,5 3,5,5,5,5...,5,5 = Durch diee Verahre alle bi au ei paar Auahme, alle Summade weg. Übrig bleibt eie eiach zu löede Gleichug, die wieder ach umgetellt wird.

2 ,5 =, 5 =,5 A dieer Stelle mu ma darau achte, da icht eiach augeklammert werde dar, chließlich gehe Poteze vor Multiplikatio. Um u zu wie, wa paiert, we uedlich Summade vo ummiert werde, lät ma u gege uedlich laue. lim =,5 = Der Grezwert dieer uedliche Reihe it alo, die Reihe kovergiert demach gege. Um diee letzte Schritt achvollziehe zu köe, mu ma ich ur deutlich mache, wa paiert, we bei,5 da immer größer wird. Grudätzlich ka ma age:, we < a < ud a, we a = lim a =, we a < oder a > V.., we a = oder a = Achaulich bedeutet der ermittelte Grezwert, da ich, we wir die Summe um immer mehr Summade erweiter, ich da Ergebi immer weiter der aäher wird. Erreicht wird dieer Wert aber ur theoretich, wehalb ma hier auch grudätzlich beim Reche etwa um die Ecke deke mu. Eiige Beipiele olle diee Zuammehäge verdeutliche. I dieem Fall id e drei Beipiele ür divergete Folge, die keie Grezwert beitze, we ma uedlich viele Summade auaddiert. () = = () = = (3) = +, +, +... = +, Ei ehr wichtige Beipiel ür eie uedliche Reihe it die ogeate geometriche Reihe. Sie it ur ür betimmte Werte koverget. = =

3 We ma ich u da eiührede Beipiel och eimal aieht, ka ma eie Zuammehag erkee ud damit auch cho die erte Auage über diee Reihe mache. Die geometriche Reihe it demach ür =, 5au jede Fall koverget. Im Folgede wird u gezeigt, ür welche die Reihe kovergiert ud ür welche ie divergiert. Dazu etze wir wie im Eiührugbeipiel a ud eretze die,5 durch da. 3 = = = + = + + = ( ) ( weil ) + lim = lim = Der Neer diee Audruck mu au jede Fall exitiere, omit dar au keie Fall ei. Nu kommt hizu, da da auch icht ür alle Werte kovergiert, wa obe cho bereit etgetellt wurde. Au diee beide Iormatioe ka ma u zuammeaed age, da die geometriche Reihe ür < kovergiert, aote divergiert ie. We ma diee Betrachtug a mehrere Reihe durchührt, leitet ie über zum ogeate Quotietekriterium, welche al Betrachtughilmittel ür uedliche Reihe geutzt werde ka. Hierzu müe lediglich zwei aueiaderolgede Werte der Reihe uterucht werde. a + lim = < a Wichtig!! Diee Kriterium it hireiched, e gibt alo auch Reihe, die e icht erülle, aber trotzdem koverget id. Im Fall = mu die Reihe mit adere Mittel uterucht werde, da Quotietekriterium it i dieem Fall ubrauchbar. Komme wir u vo allgemeie uedliche Reihe zu Potezreihe, die eie pezielle Gruppe dieer Reihe repräetiere.. Potezreihe Ei Beipiel ür eie Potezreihe it: P x = a x = a + a x + a x a x +... = Der Uterchied zu de adere Reihe it der, da e ich bei de Summade um Fuktioe hadelt, die vo eier uabhägige Variable x abhäge. Die Faktore a, a, a,... id die zugehörige Koeiziete der Summade.

4 Die obe gezeigte Form it eie pezielle Form der Potezreihe, eie Potezreihe mit der Etwicklugmitte x =. Die allgemeie Form der Potezreihe ieht olgedermaße au: P x = a x x = a + a x x + a x x a x x +... = Potezreihe köe geau wie alle adere uedliche Reihe au Kovergez uterucht werde. I dieem Fall pielt die Variable x eie wichtige Rolle. Für verchiedee Werte vo x ka die Reihe etweder kovergiere oder divergiere, daher et ma die Mege aller x, ür die die Reihe kovergiert, de Kovergezbereich der Potezreihe. Für de Kovergezbereich it olgede wichtig: - jede Potezreihe kovergiert ür x= - der Kovergezbereich eier Potezreihe it immer vom Nullpukt augehed au beide Seite gleich groß (Bp. vo r bi r) Kovergez ür x < r - Außerhalb de Bereich divergiert die Reihe Divergez ür x > r - ür die Radpukte x = ± rmüe weitere Uteruchuge durchgeührt werde Bereche lät ich der og. Kovergezradiu der Reihe mit der Formel r = lim a a + Ma ka Potezreihe ierhalb de Kovergezradiu al Fuktio vo x auae. Darau ergebe ich eiige allgemeie Eigechate: - ierhalb de Kovergezbereich kovergiert die Reihe abolut - die Reihe dar gliedweie diereziert ud itegriert werde, wodurch der Kovergezradiu icht geädert wird - Habe zwei Potezreihe eie gemeiame Kovergezbereich, o düre ie miteiader gliedweie addiert, ubtrahiert ud multipliziert werde. Die eu ettehede Reihe kovergiere da midete im gemeiame Kovergezbereich der Augagreihe 3. Taylorreihe Taylorreihe diee dazu, ubekate Fuktioe mit Hile vo Potezreihe zu etwickel, ma pricht daher auch i dieem Zuammehag vo eier Potezreiheetwicklug. Die diet dazu, ich z.b. Näherugwerte ür Fuktioe zu bereche. Außerdem idet diee Rechug i der Itegralrechug Awedug. Für die Potezreiheetwicklug gibt e zwei wichtige Bediguge: - die betrachtete Fuktio mu um eie Etwicklugmitte x herum beliebig ot dierezierbar ei - icht jede Fuktio lät ich i eie Potezreihe etwickel ( kei hireichede Kriterium vorhade)

5 Mac-Lauriche Reihe Die Mac-Lauriche Reihe tellt eie Verallgemeierug der Taylorreihe dar, idem ie immer mit der Etwicklugmitte x = xgebildet wird. Die Ableitug der Reihe hat zur Folge, da pro Ableitug ei Koeiziet ermittelt werde ka. Da x = gilt, alle alle adere Faktore weg. Die Folgede Etwicklug zeigt die: k x = a x = a + a x + a x + a x + a x a x +... ( ) '( ) k = = a ' x = a + a x + 3 a x + 4 a x +... = a '' = '' = a a = ''' x = 6 a +... ''' = 6 a a = k x a a x a x 3 3 '' ''' 6 Um die zu verallgemeier, mu ma de Faktor vor de Koeiziete betrachte, hier,,6 Dieer Zuammehag etpricht der Fakultät. So ka auch der Neer i der allgemeie Form al! gechriebe werde. =! a a = ( ) ( ) ( ) Darau ergibt ich u die Etwicklug der Mac-Lauriche Reihe eier Fuktio mit:! ( ) ' '' = =!!! x x x... x A dieer Stelle ei och geagt, da die Symmetrieeigechate der Reihe ich i der etwickelte Reihe wiederide, d.h. i der Potezreihe eier gerade Fuktio gibt e ur gerade Poteze. =

6 Beipiel: 3 Awedug der Formel au die Fuktio x 5x. Diee Beipiel zeigt, warum bei ugerade Fuktioe gerade Expoete icht autrete. Natürlich wäre diee Berechug eigetlich überlüig, zur Achaulichkeit it ie jedoch gut geeiget. 3 x = x 5x ( x) = x x ' = 3 5 ' = 5 '' x = 6x '' = ''' = 6 ''' = 6 ' '' ''' ( x) = ( ) + x + x + x!! 3! = + x + + x = x 5x 6 3 Taylorreihe Die Taylorreihe tellt die Verallgemeierug der Mac-Lauriche Reihe dar, idem ie ür alle Etwicklugmitte die Etwicklug deiiert. ( ) ''... ' x x x x = x + x x + x x + = x x!! =! Die Mac-Lauriche Reihe it alo ur ei Spezialall der Taylorreihe, bei dem x = gilt. Beipiel: Potezreiheetwicklug der Siuuktio (mit 4 Glieder, Etwicklugmitte x = π ) = i ( π ) = ( π ) ( π ) ( π ) x x ' x = co x ' = '' x = i x '' = ''' x = co x ''' = x x x! 3! = ( π ) + ( π ) 3... Da der Ableitugkrei vo Siu ud Koiu immer wieder durchlaue wird, ka ma a dieer Stelle auch weitere Glieder ohe Rechug ermittel.

7 Regel vo de L Hopital Diee Regel ermöglicht e, zuächt icht errechebare Grezwerte zu betimme. Ei erte Beipiel daür it z.b. der Grezwert l x lim x e x Grudätzlich id zwei Arte vo Grezwerte mit ubetimmte Audrücke ür diee Regel zuläig, ämlich ebe dem cho gezeigte auch der Bruch. Die Herleitug der Formel it a dieer Stelle icht o wichtig, ie paiert über Potezreihe, mit dee ma aähert. Ma kommt zu dem Ergebi, da ma eie Grezwert eier Diviio vo zwei Fuktioe, der zu eiem ubetimmte Audruck ührt, (i de meite Fälle) durch Diviio der etprechede Ableituge ermittel ka. Auch mehrmalige Ableite der Fuktioe it erlaubt. ( x) ( x) lim = lim x x g x x x g x Beipiel: Grezwert der SI-Fuktio ür x ( x) i ( x) = lim ( x) = x x Nach de L ' Hopital : ( x) ( x) i co lim = lim = = x x x