Taylor-Reihen 1-E1. Ma 2 Lubov Vassilevskaya
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- Meike Becke
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1 Taylor-Reihe -E
2 -E
3 Brook Taylor (685-73) Brook Taylor war britischer Mathematiker. Nach ihm sid die Taylorreihe ud die Taylorsche Formel beat mit der ma stetig dierezierbare Fuktioe als Potezreihe darstelle oder durch Polyome aäher ka. -
4 Taylorreihe Taylorreihe eier Fuktio: ' ( 0) ( ) ( 0) + 0! () ( 0)! ( 0) + ( 0) ' ' ( 0 )! 0 ( 0 ) +... a ( 0) 0 Etwicklugszetrum oder Etwicklugspukt. Für das Etwicklugszetrum 0 geht die Taylorsche Reihe i die Maclaurische Reihe über.. De Kovergezradius r der Taylorreihe bestimmt ma ach der Formel: a r lim a + Die Reihe kovergiert überall im Itervall 0 r < < 0 + r -
5 Taylorreihe: Augabe -3 Augabe :. Etwickel Sie die logarithmische Fuktio () l um die Stelle i eie Taylorreihe.. Stelle Sie l i Form eier Zahlereihe dar. Augabe : Etwickel Sie die logarithmische Fuktio () l um die Stelle a) b) 3 i eie Taylorreihe. Vergleiche Sie die Ergebisse dieser Augabe mit de Ergebisse der Augabe. Augabe 3: Etwickel Sie die Fuktio () i eie Taylorreihe ach Poteze vo ( ) A
6 Taylorreihe: Augabe 4 Augabe 4: Etwickel Sie die Fuktio () i eie Taylorreihe um das Etwicklugszetrum 0 ud bestimme Sie de Kovergezradius: -A a ) ( ) 0 b ) ( ) 0
7 Taylorreihe: Lösug ( ) l 0 Etwicklugszetrum ( 0 ) l 0 l 0 ' ( ) ' ' () ' ' ' () -a ' () 3 3 ' ' ()! ' ' ' ()! (4) ( ) (5) ( ) 3 ( 4) ! 5 (5) () 4!! (4) () 3 3!!
8 Taylorreihe: Lösug Taylorreihe eier Fuktio im Etwicklugspukt 0 ' 0 0!! 0 l ( ) ' ' 0! a ( ) a ( ) ( ) ( ) + a -b
9 Taylorreihe: Lösug Um l i Form eier Zahlereihe darzustelle muss ma de Wert i die Formel ( ) au Seite -b eisetze l De Kovergezradius r der Taylorreihe bestimmt ma ach der Formel: r lim a a + ( ) + a r lim -c a a + a + lim ( ( ) + ) ( ) + lim +
10 William Broucker ud die Reihe ür l William Broucker (60-684) ei irischer Mathematiker 668 ad Broucker au geometrische Wege durch Quadratur eies Flächestückes uterhalb der Hyperbel y / eie Reihe die wir heute als 0 d l schreibe. (Has Wußig 6000 Jahre Mathematik ) -d
11 Taylorreihe: Lösug Abb. L-: Die Fuktio () l ud Näherugspolyome 6. ud 0. Grades. Der Etwicklugspukt ist der Kovergezradius ist r -e
12 Taylorreihe: Lösug Abb. L-: Die Fuktio () l ud Näherugspolyome. ud. Grades. Der Etwicklugspukt ist der Kovergezradius ist r -
13 Taylorreihe: Lösug Abb. L-3: Die Fuktio () l ud Näherugspolyome Grades -g
14 Taylorreihe: Lösug a ( ) l 0 Etwicklugszetrum ( 0 ) l 0 l ' ( ) ' ' () ' ' ' () -a ' () 3 3 ' ' () ' ' ' () 3 4 3! 4! 3 3 (4) ( ) (5) ( ) 3 ( 4) (5) () ( ) ( ) ( ) + ( )! ( ) + ( ) (4) () 3! 4 4! 5 4! 5 ( ) ( ) + ( )! ( )!
15 Taylorreihe: Lösug a Taylorreihe eier Fuktio im Etwicklugspukt 0 ' ( 0 ) ( ) ( 0) +! ' ' ( 0) ( 0) + ( 0 ) +! 4 ' ' ' ( 0) ( 0) 3 + ( 0) + + ( 0 ) ! 4! ( ) ( )3 ( )4 l l l + a ( ) + r lim a a + ( + ( ) + ( ) a + lim -b lim ( a ( ) ( ) ( + ) + ( + ) + ) lim ( ) + )
16 Taylorreihe: Lösug a Etwicklug der Logarithmusuktio () l um die Stelle i eie Taylorreihe. l 0 ( ) ( )3 ( )4 l l + ( ) + ( ) Etwicklugskoeiziete: a ( ) + Der Kovergezradius der Reihe ist r. -c
17 Taylorreihe: Lösug a Abb. L-: Die Fuktio () l ud Näherugspolyome 6. ud 0. Grades. Der Etwicklugspukt ist der Kovergezradius ist r -d
18 Taylorreihe: Lösug a Abb. L-: Die Fuktio () l ud Näherugspolyome 6. ud 0. Grades. -d
19 Taylorreihe: Lösug a Abb. L-3: Die Fuktio () l (blaue Kurve) ud Näherugspolyome 6. ud 0. Grades (etspreched graue ud rote Kurve) im Bereich e
20 Taylorreihe: Lösug b Etwicklug der Logarithmusuktio () l um die Stelle 3 i eie Taylorreihe. l 0 3 ( 3) ( 3) 3 ( 3) 4 3 l l 3 + ( ) + ( 3) 3 Etwicklugskoeiziete: a ( ) + 3 Der Kovergezradius der Reihe ist r 3. -
21 Taylorreihe: Lösug b -g Abb. L-4: Die Fuktio () l ud Näherugspolyome. ud 7. Grades. Der Etwicklugspukt ist 3 der Kovergezradius ist r 3
22 -h
23 Taylorreihe: Lösug b Etwicklug der Logarithmusuktio () l um die Stelle 0 i eie Taylorreihe ka ma i eier allgemeie Form darstelle: l 3 l l 3 + ( 0 ) ( ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0) 0 Etwicklugskoeiziete: a ( ) + 0 Der Kovergezradius der Reihe ist r 0. -i
24 Taylorreihe: Lösug 3 Allgemeie Formel der Taylorreihe: 0 ' 0! 0 ' ' 0! 0... Etwicklug eier Fuktio i die Taylorreihe um die Stelle : ' ' '...!! ' ' ' 4 6 ' ' ' ! 3!
25 Taylorreihe: Lösug 4a 0 ' 3 3 ' ' 4 0 ' 3! 4! 0! 3 ' ' 3 4 4! 5 5 ' ' ' 3! 4 3! ' ' ' 0 0 4! 4! 5!!!! 0-4a
26 Taylorreihe: Lösug 4a Taylor-Reihe: ( ) 0 a ( + ) 0 ( +) ( + ) Etwicklugskoeiziete: a 0! Der Kovergezradius: r lim -4b a a + lim ( + + ) lim ( ) + +
27 Taylorreihe: Lösug 4a Abb. L4-: Die Fuktio () / ² ud Näherugspolyome 8. ud 0. Grades. Der Etwicklugspukt ist - der Kovergezradius ist r -4c
28 Taylorreihe: Lösug 4a Abb. L4-: Die Fuktio () / ² ud Näherugspolyome 3. ud 3. Grades. Der Etwicklugspukt ist - der Kovergezradius r -4d
29 Taylorreihe: Lösug 4b ( ) 0 ( 0 ) ( ) 3 ' ( ) ' ' ( ) () 0 0 () ( + )!! 3! 3! ( )4 4 ' ' ' ( ) ( 0) + ( 0)! ( )3 3 ' ' ( ) 3 4 4! 5 5 ( ) ( ) ( ) -4d ' ( ) 3 3! 4 4 ' ' ' ( ) ( ) () ( ) ( ) 4! 4! ( )5 5 ( + )! ( ) + ( + )! 0! + ( + )! + ( + ) + ( + ) +
30 Taylorreihe: Lösug 4b Taylor-Reihe: ( ) a ( + ) ( + ) Etwicklugskoeiziete: a () ( 0 )! + + Der Kovergezradius: r lim -4e a a + lim ( ( + ) ( + ) ) ( ) + + lim
31 Taylorreihe: Lösug 4b Abb. L4-3: Die Fuktio () / ² ud Näherugspolyome 5. ud 8. Grades. Der Etwicklugspukt ist - der Kovergezradius r -4
32 Taylorreihe: Augabe 5-8 Etwickel Sie olgede Fuktio () i eie TaylorReihe 3-A Augabe 5: Augabe 6: Augabe 7: Augabe 8: l
33 Taylorreihe: Lösug a ( ) a r lim 3-a ( ) 0 + a a a ( ) lim
34 Taylorreihe: Lösug 5 Abb. L5: Die Fuktio () / ud Näherugspolyome 3. ud 6. Grades 3-b
35 Taylorreihe: Lösug a a r lim 3- a 0 a a lim
36 Taylorreihe: Lösug 7 Abb. L7: Die Fuktio () ud Näherugspolyome. ud 3. Grades
37 Taylorreihe: Lösug 8 Abb. L8: Die Fuktio () l ( 3 + ²) ud Näherugspolyome. ud 4. Grades l 3 l
38 3-5
4. Reihen Definitionen
4. Reihe 4.1. Defiitioe Addiere wir die Glieder eier reelle Zahlefolge (a k ), so heißt diese Summe S (uedliche) (Zahle-) Reihe S (Folge: Fuktio über N; Reihe: 1 Zahl): S := a 1 + a 2 + a 3 +... := Σ a
Übungen mit dem Applet Taylor-Entwickung von Funktionen
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Kapitel 11: Funktionen in einer Variablen
Kapitel : Fuktioe i eier Variable Für Fuktioe i eier Variable werde folgede elemetare e gelöst: Die Nullstelle vo Fuktioe erhält ma über de solve- bzw. fsolve-, die Liearfaktorezerlegug erfolgt mit factor
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Differetialrechug ud Aweduge Differetialrechug ud Aweduge Der Begriff des Differetialquotiete hat sich i zahlreiche Aweduge ierhalb ud außerhalb der Mathematik als äußerst fruchtbar erwiese. Bestimmug
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α : { n Z n l } n a n IR
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118 7 Potenzreihen. eine Folge von (reellen) Funktionen mit Definitionsgebieten D(f j), j N, und. = M D(f j ) R. j=1
8 7 Potezreihe 7 Potezreihe 7. Fuktioefolge ud -reihe Puktweise ud gleichmäßige Kovergez vo Fuktioefolge Sei f j ) j= eie Folge vo reelle) Fuktioe mit Defiitiosgebiete Df j), j N, ud = Df j ) R. j= D bilde
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53 Wachstum vo Folge I diesem Abschitt betrachte wir (rekursiv oder aders defiierte) Folge {a } = ud wolle vergleiche, wie schell sie awachse, we wächst Wir orietiere us dabei a W Hochstättler: Algorithmische
1.3 Funktionen. Seien M und N Mengen. f : M N x M : 1 y N : y = f(x) nennt man Funktion oder Abbildung. Beachte: Zuordnung ist eindeutig.
1.3 Fuktioe Seie M ud N Mege f : M N x M : 1 y N : y fx et ma Fuktio oder Abbildug. Beachte: Zuordug ist eideutig. Bezeichuge: M : Defiitiosbereich N : Bildbereich Zielmege vo f Der Graph eier Fuktio:
sfg Quadratwurzeln a ist diejenige nichtnegative Zahl (a 0), die quadriert a ergibt: Die Zahl a unter der Wurzel heißt Radikand:
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... a ik) i=1...m, k=1...n A = = ( a mn
Zurück Stad: 4..6 Reche mit Matrize I der Mathematik bezeichet ma mit Matrix im Allgemeie ei rechteckiges Zahleschema. I der allgemeie Darstellug habe die Zahle zwei Idizes, de erste für die Zeileummer,
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i=0 a it i das erzeugende Polynome von (a 0,..., a j ).
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