Kennzeichen: Die Berechnungsbasis bleibt während der gesamten Verzinsungsdauer unverändert (lineares Wachstum)

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1 5. Fiazmathematik 5.1. Zis- ud Ziseszisrechug Eifache Verzisug Kezeiche: Die Berechugsbasis bleibt währed der gesamte Verzisugsdauer uverädert (lieares Wachstum) Die Verzisug wird ach dem Zeitpukt der Fälligkeit eigeteilt i: Beispiel 1: Dekursive Verzisug: Atizipative Verzisug: Ei Betrag vo 100 wird zu 2% p.a. mit eifacher Verzisug agelegt. Wie hoch ist das Guthabe ach 1, 2, 3, 4.12 Moate? (Lösug mit Techologieeisatz als Tabelle ud als Fuktioszeichug!) Ableitug eier Berechugsformel: K 0 P K Afagskapital Zissatz Zeitdauer i Jahre Kapital ach Jahre Die Zise für ei Jahr betrage: Die Zise für eie Moat betrage daher: Das Guthabe ach eiem Moat beträgt daher: Das Guthabe ach zwei Moate beträgt: Das Guthabe ach Jahre beträgt: (Beachte Sie: 1 Moat = 12 1 Jahre) BFI Berufsreifeprüfug, Walter Dobler Seite 1

2 Edformel eifache Zise: p K = K Ziseszise Kezeiche: Die Berechugsbasis für die Verzisug wird ach jeder Verzisugsperiode um die agefallee Zise erhöht (expoetielles Wachstum). Beispiel 2: Ei Startkapital vo 500 wird zu 2% Zise p.a. für füf Jahre agelegt. Wie hoch ist das Guthabe ach 1, 2, 3, 4, 5 Jahre? (Lösug mit Techologieeisatz als Tabelle ud als Fuktioszeichug!) Die Zise für ei Jahr betrage: Das Guthabe ach eiem Jahr beträgt daher: Das Guthabe ach zwei Jahre beträgt: (Beachte Sie: Das Startkapital für das zweite Jahr ist das Guthabe ach dem erste Jahr) Vereifachug: Das Guthabe ach drei Jahre beträgt: Das Guthabe am Ede des -te Jahres beträgt: Edformel Ziseszise: p K K = BFI Berufsreifeprüfug, Walter Dobler Seite 2

3 Gemischte Verzisug Beispiel 3: Zu Begi eies Jahres werde 600 auf ei mit 3,5 % verzistes Sparbuch gelegt. Wie hoch ist das Guthabe ach a) 5 Moate, b) 3 Jahre, c) 4 Jahre ud 7 Moate? a) Eifache Zise: b) Ziseszise: c) Gemischte Verzisug: Edformel gemischte Verzisug: p p m K = K m. Restzeit der volle Verzisugsperiode i Moate Aufgabe: Beispiel 4: (Afagskapital gesucht, Abzise) Welche Betrag muss ma zu 3% p.a. alege, um ach 4 Jahre ei Guthabe vo 1200 zu besitze? (1066,18) Beispiel 5: (Prozetsatz gesucht) Mit wie viel Prozet p.a. wird ei Koto verzist, we ei Afagskapital vo 800 ach 5 Jahre auf 961,68 agewachse ist? (3,75%p.a.) Beispiel 6: (Prozetsatz bei gemischter Verzisug) Mit wie viel Prozet p.a. wird ei Koto verzist, we ei Afagskapital vo 1000 ach 14 Moate auf 1029,27 agewachse ist? (2,5%p.a.) (Amerkug: Für =1 führt diese Aufgabe zu eier Gleichug 2. Grades, für >1 etstehe Gleichuge höhere Grades, die durch Techologieeisatz als Näherug zu löse sid) BFI Berufsreifeprüfug, Walter Dobler Seite 3

4 Beispiel 7: (Zeitdauer gesucht) Wie lage dauert es, bis ei Afagskapital vo 1200 bei eier Verzisug vo 3%p.a. auf 1350,61 agewachse ist? (4 Jahre) (Amerkug: Löse eier Expoetialgleichug erforderlich) Beispiel 8: (Zeitdauer gesucht bei gemischter Verzisug) Wie lage dauert es, bis ei Afagskapital vo 1500 bei eier Verzisug vo 2%p.a. auf 1568,40 agewachse ist? (2 Jahre ud 3 Moate) Aleitug: 1. Verwede Sie die Ziseszisformel, um die volle Verzisugsperiode zu bereche. (Lösug: =2,25177) 2. Bereche Sie das Guthabe ach 2 Verzisugsperiode (K 2 =1560,60 ) 3. Verwede Sie die Formel für die eifache Zise zur Berechug der Restdauer mit K 2 als Startkapital. (=0,249904) 4. Reche Sie de Wert (Dezimaljahr) i Moate um. Beispiel 9: (Edkapital bei mehrere Eilage) Nach der Eröffug eies Sparbuchs mit eiem Guthabe vo 300 ud eiem Zissatz vo 3% p.a. werde ach zwei Jahre 250 ud ach weitere drei Jahre 150 eigelegt. Wie hoch ist das Guthabe acht Jahre ach Eröffug des Sparbuchs? (Amerkug: Verwede Sie zur übersichtliche Darstellug eie Zeitliie) Beispiel 10: (Zahluge zu verschiedee Zeitpukte) Für ei Grudstück liege vo zwei Iteressete folgede Agebote vor: A bezahlt sofort ud ach zwei Jahre. B bietet sofort, ach eiem Jahr ud weitere ach zwei Jahre. Welches Agebot ist besser, we eie Verzisug des Kapitals vo a) 4% p.a. b) 6% p.a. zugrude gelegt wird? BFI Berufsreifeprüfug, Walter Dobler Seite 4

5 c) Bei welchem Jahreszissatz sid beide Agebote gleichwertig? Amerkug: Zum Vergleich vo Zahluge zu verschiedee Zeitpukte sid sie auf eie Zeitpukt zu beziehe, d.h. etspreched auf- oder abzuzise. Wir beziehe alle Zahluge auf de Zeitpukt der erste Eizahlug: a) A ist besser b) B ist besser c) Führt auf eie Gleichug 2. Grades: Mit x 1 = 1, ud x 2 = 1, Bei p=5,138% p.a. sid beide Agebote gleichwertig BFI Berufsreifeprüfug, Walter Dobler Seite 5

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a) p% = 3% b) p% = 7% c) p% = 4,2% d) p% = 3,6% e) p% = 5,3% f) p% = 5,5% g) p% = 6,75% h) p% = 2,2% Berufskolleg aufmäische Schule des reises Düre Mathematik-Übugsaufgabe Thema: Ziseszisrechug Schulform: Höhere Hadelsschule Ziseszisrechug eimalige Zahluge 1. Löse die Formel = 0 q ach 0, q bzw. auf. 2.

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