Mathematische Grundlagen

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1 olad Eicheberger Matheatische Grudlage Folge aufzählede For a 1, a 2, a 3,, a k, a a 1 a k a das erste Glied der Zahlefolge, das allgeeie Glied der Zahlefolge, das letzte Glied der Zahleege letztes Glied letztes Glied ooto wachsed ooto falled edliche Zahlefolge uedliche Zahlefolge a a +1 N a a +1 N Arithetische Zahlefolge Geoetrische Zahlefolge ekursiosforel a +1 = a + d q kostat a = a 1 + ( 1) d a = a 1 q 1 a k = q a k 1 d kostat für das -te Glied a 1 a 2 = a 1 + d a 3 = a 2 + d = a 1 + 2d a 4 = a 3 + d = a 1 + 3d a 1 a 2 = a 1 q a 3 = a 2 q = a 1 q 2 a 4 = a 3 q = a 1 q 4 -te Partialsue s = 2 a 1 + a s = a 1 1 q 1 q -te Partialsue eier uedlich lage eihe, bei der q ier kleier wird s = a 1 1 q 1 q q < 1 s = a 1 1 q Wirtschaftsatheatik-2 oe, Fiazatheatik ud Wahrscheilichkeit 1

2 olad Eicheberger Prozetrechug Bezeichuge Grudwert, Bezugsgrösse Prozetfuss Prozetsatz Prozetwert K p i= p 100 q = 1 + i q = 1 + P 100 Zisrechug Begriffe Ziszuschlagterie Zisperiode Zeitpukte, zu dee Zise fällig werde. Zeitrau zwische zwei Ziszuschlagterie Nachschüssige (dekursive) Verzisug Zis a Ede der Kapitalüberlassug bezahlt Vorschüssige (atizipative) Verzisug Zis zu Begi der Kapitalüberlassug bezahlt Eifache Verzisug Diskotierug Jährliche lieare Verzisug (eifache Verzisug) Zis wird Kapital zugeschlage, aber icht verzist Afagskapital aus Edwert bereche. Iflatiosrate Afagskapital, Barwert (Diskotierug) K 0 Edwert K Zissatz i K K 0 = t (1 + i 360 ) K = K 0 (1 + i i = K K 0 t K t 360 ) Laufzeit = Äquivalezprizip t 360 = t 360 = K K 0 K 0 i L = GL We icht explizit Ausgeacht, gilt als Stichtag das Datu der letzte Zahlug t = K j t Mittlerer Zahlugsteri t es gilt j =1 K j j =1 K j K j 1 + i t j = K (1 + i t ) t 1 K i K t i 360 = K t 1 + K 2 (1 + i 360 Wirtschaftsatheatik-2 oe, Fiazatheatik ud Wahrscheilichkeit 2

3 olad Eicheberger atezahlug Nachschüssig Vorschüssig K = Ebetrag, = Moate/ Periode, r = ate t = 1 2 K = (1 + i 1 2 ) t = K = (1 + i ) Jährlicher Ziseszis (expoetielle Verzisug) Edkapital K, K t Verdoppelugszeit T Äquivalezprizip Effektiver Zissatz i, edite Geischte Verzisug (uterjährig liear, gaze Jahre expoetiell) K = K 0 (1 + i) K = K 0 q Tagesschreibweise K = K 0 (1 + i) t l(2) T = l(1 + p 100 ) L = GL Stichtag frei wählbar i = (1 + i k ) 1 t 1 K t = K i 360 (1 + i)n (1 + i 360 ) Mit t = t 1 + N + t 2 t 2 Uterjährige Verzisug t 1 N t 2 Laufzeit bis Jahresede Azahl folgede Jahre Laufzeit vo letzte Jahresede bis zu Auszahlugsteri K = K 0 (1 + i ) i i p = i rel = i Laufzeit i Jahre Azahl Zisterie pro Jahr Noieller Jahresszis Periodezissatz Mittlerer Zahlugsteri der expoetielle Verzisug / Fälligkeitsteri eier lg eialige Zahlug = r j =1 K j lg lg 1 + i r j =1 K j (1 + i) j Duratio = Mittlere Bidugsdauer eies bestite Kapitals D = r t=1 t Z t (1 + i) t r t=1 Z t (1 + i) t Barwert i t fälliger Zahlug Z t (1+i) t Wirtschaftsatheatik-2 oe, Fiazatheatik ud Wahrscheilichkeit 3

4 olad Eicheberger Duratio festverzisliche Aleihe D = 1 + i i K 1 + i 1 + T (1 + i i) K (1 + i) (1 + i) T i D = 1 + i i K + T (1 + i i) K (1 + i) 1 + T i i T K Marktzissatz Laufzeit ückzahlugsbetrag Kupo (Noialwert Noialzis) Stetige Verzisug Afagskapital K 0 Edkapital K t K 0 = K t e i t K t = K 0 e i t Zissatz i i = p 100 = 1 t l K t K 0 Laufzeit t Äquivalezbeziehug t = 1 i l K t = 100 K 0 p l K t K 0 K 0 (1 + i eff ) t = K 0 e i s t L = GL Effektiver Aufzisfaktor i eff = e i s 1 Stetiger Aufzisfaktor i s = l( 1 + i eff ) atekredit r e = r( i) Wirtschaftsatheatik-2 oe, Fiazatheatik ud Wahrscheilichkeit 4

5 olad Eicheberger eterechug Nachschüssige ete, Jährliche Verzisug K q 1 q 1 = lg K + 1 lg q Vorschüssige ete, q 1 Jährliche Verzisug K q q 1 Barwert achschüssig B = q Barwert vorschüssig B = q 1 B = B q Sparkasseforel Nachschüssig Sparkasseforel Vorschüssig K = K 0 q ± K = K 0 q ± q Soderfall: Kapital it ate aufbrauche(k = 0) = log 1 1 i K 0 log(q) Ewige ete achschüssig B ewig = Ewige ete vorschüssig B q ewig = Barwertfaktore ä = 1 q k 1 bzw qk a = q k 1 Aufgeschobee ete Uterbrochee ete k Jahre zwische Zahluge B = q 1 q 1 Azahl Zahluge + Wartezeit B = q k + 1 q k q k + 1 q k k 1 bis k sid jee Periode, i welche Zahluge stattfide. Wirtschaftsatheatik-2 oe, Fiazatheatik ud Wahrscheilichkeit 5

6 olad Eicheberger Spezialfälle ur gültig, we das Jahr i gleich grosse Teile zerlegt Zahlug Verzisug Edwert K / Barwert B K = + i 1 2 ete, uterjährig, achschüssig Jährlich (Jahresede) Azahl uterjähriger Zahluge Azahl Jahre ete, uterjährig, vorschüssig Jährlich (Jahresede) K = + i Azahl uterjähriger Zahluge Azahl Jahre ete, jährlich, achschüssig Uterjährig K = q 1 q 1 Azahl uterjähriger Zahluge Azahl Jahre q = 1 + i K = q q 1 q 1 ete, jährlich, vorschüssig Uterjährig B = K q Azahl uterjähriger Zahluge Azahl Jahre q = 1 + i K = q 1 ete, uterjährig, achschüssig Uterjährig B = K q = q q 1 Azahl uterjähriger Zahluge Azahl Jahre q = 1 + i K = q q 1 ete, uterjährig, vorschüssig Uterjährig B = K q = q 1 q 1 Azahl uterjähriger Zahluge Azahl Jahre q = 1 + i Wirtschaftsatheatik-2 oe, Fiazatheatik ud Wahrscheilichkeit 6

7 olad Eicheberger Tilgugsrechug Auität Auität / ate Jährliche Abzahlug (Aortisatio) eier Schuld Diet zur Verzisug ud zur Tilgug der Schuld Auität = Tilgugsrate + Zisbetrag a = r = S 1 qn q N 1 a = S 1 1 a N Afagsschuld S 1 a = Auität S 1 = E q N Edwert E S 1 = r q N 1 q N () S 1 = t 1 qn 1 E = r qn 1 Jährlich gleichbleibede ückzahluge 1 1 = qn () a N a N q N 1 estschuld r = (S 1 q ) r Tilgugsrate i 1. Jahr -Tilgugsrate r = t 1 qn 1 t 1 = a (S 1 i) t = t 1 q 1 Sue aller Zise Dauer N j=1 Z j Z j j=1 t = [a (S 1 i)] q 1 N = = (N a) S 1 l 1 S 1 r l a Wirtschaftsatheatik-2 oe, Fiazatheatik ud Wahrscheilichkeit 7

8 olad Eicheberger Effektivziserittlug bei Darlehe bei atekredite D T Darlehe ate Laufzeit Dq T = qt 1 ate r = K 0 T + K 0 b T + K 0 i Jährliche Ersatzrete e = r ( i) K 0 atekredit i Zissatz p.m. b Eialige Bearbeitugsgebühr i % T Laufzeit Ivestitiosrechug Kapitalwertethode, lohed we KW>1 KW = A 0 + Ü i + Ü 2 (1 + i) 2 + Ü 3 (1 + i) Ü (1 + i) + L (1 + i) KW = A 0 + L + S q S = Ü (1 + i) t 1 (1 + i) 1 = Ü i KW = A 0 + L q + Ü 1 ( t q ) q t Itere Ertragssatz- Methode KW = A 0 + L + S q 1 ( t q ) S = Ü t = Ü +1 kostat Ü Abahe der Überschüsse, Differez zwische Überschuss zu Vorjahr (Bsp Ü 2 Ü 1 A 0 Aschaffugskoste Ü Eiaheüberschüsse (alle Jahre gleich gross) L Liquidatioswert Dauer Wirtschaftsatheatik-2 oe, Fiazatheatik ud Wahrscheilichkeit 8

9 olad Eicheberger Kobiatorik Perutatio (Aordugsproblee) Perutatio Azahl Möglichkeite, verschiedee Eleete azuorde. Perutatio it Wiederholuge Azahl Möglichkeite, Eleete azuorde, we we k Eleete gleich sid.! = ( 1) ( 2) P,k =! k!! P,k = k 1! k 2! k 3!... Stichprobe (Auswahlproblee) Ohe Zurücklege (Eleet ka ur 1 al vorkoe) Mit Zurücklege (Eleet ka ehrals vorkoe) Geordet (eihefolge relevat) V k =! ( k)! Ugeordet (eihefolge egal) C k = k = V k = k N =! k! ( k)! r + k 1 k Wahrscheilichkeitsrechug Ereigisse Ergebisrau S S = {e 1, e 2,..., e 1, e } Eleetarereigis e i Sicheres EreigisA e 1 S A = S Uögliches Ergebis S = {} Ereigis A S GegeereigisA Uvereibare Ereigisse A, B S A A = S A A = A B = Wirtschaftsatheatik-2 oe, Fiazatheatik ud Wahrscheilichkeit 9

10 olad Eicheberger Vereibarte Ereigisse Uvereibarte Ereigisse A ud B A B A oder B A B p(a) + p(b) p(a B) Weder A och B A B p(a) + p(b) p(a B) A B 1 p(a) p(b) + p(a B) Nicht A ud B zusae A B A B 1 p(a) p(b) + p(a B) B, aber icht A A B B oder icht A A B Häufigkeitsfuktio Ufag der Stichprobe Absolute Häufigkeit (e i ) relative Häufigkeit (e i ) (e i ) = (e i) N, 0 (e i) 1 (S) = 1,( ) = 0, (A) + (A) = 1 U = E 1 E 2 (U) = (E 1 E 2 ) = (E 1 ) + (E 2 ) (E 1 E 2 ) N Wirtschaftsatheatik-2 oe, Fiazatheatik ud Wahrscheilichkeit 10

11 olad Eicheberger Wahrscheilichkeit Mächtigkeit eies Ereigisses Mögliche Fälle Güstige Fälle Wahrscheilichkeit P(E) Bedigte Wahrscheilichkeit p(a B) Bedigte Wahrscheilichkeit p(a B) (bei uabhägige Ereigisse) Totale Wahrscheilichkeit p(a) evidierte Wahrscheilichkeit p(b j A) (Satz vo Bayes) P(E) (E) P = E S = g P(E 1 ) + P(E 2 )+... +P(E 1 ) + P(E ) = 1 p(a B) = p(a B) p(b) p(a B) = p(a) p(b) p(a) = p(b i ) p(a B i ) B i = S p(b j A) = E g p(b j ) p(a B j ) p(b i ) p(a B i ) echetipps 0! = 1 1! = 1 2! = 2 3! = 6 4! = 24 x x = 1 x y 1 + x y = x + 1 y ( + 1)! = ( + 1)! x y = x x y x 0 + x 1 + x x x 1 + x x = 2x Darstellugshilfe Wirtschaftsatheatik-2 oe, Fiazatheatik ud Wahrscheilichkeit 11