Logarithmus- und Exponentialgleichungen (Klasse 10)

Transkript

1 Logarithmus- ud Expoetialgleichuge (Klasse 10) Aufgabe 1 Löse Sie die logarithmische Gleichuge, idem Sie sie auf die Form lg a = b brige ud i die 10.Potez erhebe. a) lg(x-5) = -2 d) lg(7x+9) - lg x = 1 b) lg(3x-2) = 1 e) 2lgx - lg(4x-3) = 0 c) lg(2x) + lg4 = 3 f) lgx + lg(x+2) - lg3 = 0 Aufgabe 2 Löse Sie die folgede logarithmische Gleichuge idem Sie sie auf die Form lg a = lg b brige ud i die 10.Potez erhebe. a) lg x + lg(x-7) = lg6 + lg3 d) lg(x-5) - lg2 = lg(3x) b) lg(x-3) - lg6 = lg7 - lg(x-4) e) 2lg(x+1) lg x = lg4 c) lg(35-x³) = 3lg(5-x) f) 4lg x = 2 lg(x 2-3x) Aufgabe 3 a) log 2 (x+14) - log 2 (2x) = 2 b) log 2 (x+3)+log 2 (x-2) = 1+log 2 x Aufgabe 4 a) 2(lg x) 2-5lgx - 3 = 0 b) (lg 2x) 2-7lg 2x + 12 = 0 c) x 1+lgx = 10 2 d) x 3 = 10x 1+lgx Aufgabe 5 Expoetialgleichuge, die ohe Logarithme gelöst werde köe: a) 5 x = b) 2 2x = 64 c) 10 x = d) 5 x = 1/125 4x 3 e) 1 8 = 16 f) (4 3-x ) 2-x = 1 g) 2 3x x-3 = 8 x+2 h) 7 x x-1 = 735 i) 3 4x x+1 = 27 x. 3 5x+1 j) 8 2x-1-4 3x x-1 = 96 Aufgabe 6 a) 3 2x x + 27 = 0 d) 4 x+1-2 x+4 = 128 b) 4 x x + 32 = 0 e) 25 x x+2-16 = 0 c) 2 2x x + 4 = 0 f) 4 x x-1 = 1536 Aufgabe 7 Expoetialgleichuge, bei dee beide Seite der Gleichug logarithmiert werde müsse: a) 2 3x = 5 b) 5 3x-2 = 7 c) 2 x-2 = 5 x-1 d) 1/3 x = 4 e) x 20 = 5 f) 3 x x = 5 3x+1 Aufgabe 8 Expoetialgleichuge, bei dee Logarithme eigesetzt werde müsse: a) 2 x x-1 = 3 1-x d) 4 x-1-9 x = 3 2x-1-2 2x+1 b) 5 x + 6 x = 6 x+1 e) x - 2 2x = 2 2x+2 c) 2 x+1-3 x = 3 x-1-2 x f) 2 4x + 2 4x+5 = 99

2 Aufgabe 9 a) Wie lage braucht ei Kapital, das zu 3% Zise agelegt ist, um sich zu verdoppel? b) Der Zerfall vo Radium lässt sich durch die Formel N(t) = N 0.e -0, t beschreibe (t i Jahre). Bereche die Halbwertszeit! c) Ei Kredit vo soll i vorschüssige Jahresrate vo je 5000 S zurückgezahlt werde. Der Zissatz beträgt i = 8%. Bereche die Laufzeit! d) Wie oft muss ma würfel, um mit 90% Wahrscheilichkeit midestes eimal 6 zu erhalte? Aufgabe 10 Löse Sie die Gleichuge a) 6-3/2 e 2-2x = 0 b) 1/4 e 4x - e/2 = 1 c) 1/2 e x - e x+1 = 0 d) (3+2x) e x-1 = 0 e) -2x² e -x+2 = 0 f) -1/5 e x + 10e -x = 1 g) 4-3e -x/2 = e x/2 h) -3/4 e -2x + 5 = e -x i) 2x / (e x + 1) = 0 k) (2-e x )² = (e x -3)²

3 Lösuge 1 a) 5,01 b) 4 c) 125 d) 3 e) 1 ud 3 f) 1, die 2. Lösug 3 gehört icht zum Defiitiosbereich 2 a) 9 b) 10 c) 2 ud 3 d) keie Lösug e) 1 f) keie Lösug 3 a) 2 b) 3 4 a) Lösuge der quadratische Gleichug 3 ud 0,5 Lösuge x = 1000 ud 1/ 10 b) Lösuge der quadratische Gleichug 3 ud 4 Lösuge x = 500 ud 5000 c) es wird log² x + log x 2 = 0 ud x = 0,01 ud 10 d) es wird log² x - 2log x +1 = 0 ud x = 10 5 a) 6 b) 3 c) 3 d) 3 e) 1 f) 2 ud 3 g) 4 h) 3 i) R j) 4/3 6 a) 1 ud 2 b) 2 ud 3 c) 1 ud 2 d) 3 e) 1 f) 3,5 7 a) lg 5 / lg 8 = 0, b) lg 175 / lg 125 = c) lg 1,25 / lg 2,5 = 0, d) lg 4 / lg 3 = -1, e) lg 20 / lg 5 = 1,86 f) lg 15 / (lg 12 lg 125) = -1, a) lg 30 / lg 150 = 0, b) lg 5 / lg 1,2 = -8,8275 c) 2 lg 1,5 / lg 1,5 = 2 d) (lg 27 lg 16) / (2 lg 1,5) = 0, e) 1 f) lg 3 / lg 16 = 0,396 9 a) K 2K 0 = K = K 2 = 1,03 log2 = log1,03 = ,03 log2 log1,03 p ,4 b) N0 0,000428t = N0 e 2 1 0,000428t = e 2 l2 = 0,000428t t = l2 0, Jahre c) B v 1 v 1 = R ; v = 0, 926 ; 1 v 1+ i 1 v = v 8 (1 v) = 1 v v = 1 8 (1 v) logv = log(1 8 (1 v)) log(1 8 (1 v)) = 11,7 Jahre logv

4 d) Wahrscheilichkeit, bei eiem Wurf icht 6 zu würfel: 6 5 Wahrscheilichkeit, bei Würfe icht 6 zu würfel: Wahrscheilichkeit, bei Würfe midestes eimal 6 zu würfel: = 0,9 5 = 0,1 6 Ma muss midestes 13mal würfel. 5 log = log0,1 6 log0,1 = 12,6 log5 log6 10 a) 1 - l 2 b) 1/4 l (4+2e) c) keie Lösug d) -3/2 e) 0 f) l 5 g) 2 l 3 ; 0 h) - l 2 i) 0 k) l (5/2)

5 Expoetialgleichuge (Klasse 10) Aufgabe 1 Ei Kapital wird mit a) 3% b) 5% c) 8% Zise agelegt. Bereche, i welcher Zeit sich das Kapital verdoppelt! Aufgabe 2 Die Bevölkerug eies Lades wächst pro Jahr um 1,5%. Derzeit beträgt sie 12 Millioe. a) Wa wird das Lad 15 Millioe Eiwoher habe? b) Wa wird sich die Bevölkerug verdoppelt habe? c) Der Bevölkerugszuwachs lässt sich durch die Formel B(t) = B 0.e λt beschreibe. Bereche die Kostate λ! Aufgabe 3 Ageomme, die Weltbevölkerug vermehrt sich ach der Formel B(t) = B 0.e λt 1960 gab es ca. 3 Mrd. Mesche, 1995 ca. 5,6 Mrd. a) Bestimme die Kostate λ! b) Wieviel Prozet beträgt das jährliche Wachstum der Weltbevölkerug? c) Wa wird die Erde 15 Mrd. Eiwoher habe? Aufgabe 4 Ei Bakteriestamm vermehrt sich ach der Formel N(t) = N 0.e 0,3 t (t i Stude). Wie lage dauert es, bis die Azahl der Bakterie vo auf 3 Mill. agewachse ist? Aufgabe 5 Der radioaktive Zerfall eies Elemets lässt sich durch die Formel N(t) = N 0.e -λt beschreibe. Die Zeit τ, i der vo eier vorhadee Stoffmege die Hälfte zerfällt, heißt Halbwertszeit. Für Radium beträgt sie z.b Jahre. a) Bereche die Zerfallskostate λ auf 4 vo 0 verschiedee Stelle geau! b) Wieviel ist vo dem erste Gramm Radium, das Marie Curie 1898 herstellte, och übrig? c) Wa wird ur mehr 0,1 g vorhade sei? Aufgabe 6 Mittels der 14 C-Methode ist es möglich, das Alter vo Fossilie zu bestimme. Dieses Kohlestoffisotop zerfällt mit eier Halbwertszeit vo τ = 5730 Jahre. Bestimme das Alter eies Fossils, desse gemesseer 14 C-Ateil ur och a) 2,2%, b) 10%, c) 14% des ursprügliche Ateils ist! Bereche außerdem, bis zu welchem Alter sich die 14 C-Methode verwede lässt, we ma och 1% des ursprügliche 14 C-Gehaltes mit hireicheder Geauigkeit feststelle ka! Aufgabe 7 Vervollstädige die folgede Tabelle: Elemet Halbwertszeit λ Abahme pro Zeiteiheit i % Radium 1620 Jahre Caesium 137 0,0231 (t i Jahre) Phosphor 32 0,0485 (t i Tage) Jod Tage Poloium %/Miute Wa ist och 1 % übrig?

6 Aufgabe 8 Eie Tierpopulatio hat sich i 5 Jahre vo 200 auf 250 Tiere vergrößert. Ageomme, die λt Vermehrug erfolgt expoetiell, d.h. ach der Formel B( t ) = B 0.e. a) Bereche die Kostate λ! b) Wieviel Prozet beträgt die jährliche Vermehrug? c) Wa hat sich die Populatio verdoppelt bzw. vervierfacht? Aufgabe 9 I der Realität ist ubegreztes Wachstum icht möglich. We die Zahl der Tiere ach obe begrezt ist, lässt sich die Vermehrug besser durch die logistische Gleichug beschreibe: λ( t a ) e B ( t ) = G λ( t a ) e +1 Dabei bedeutet G die obere Greze ud a die Zeit, ach der die Hälfte dieses Wertes erreicht ist. Für das obige Beispiel ergibt sich uter der Aahme G = 1000: λ 0,0575, a 24 Jahre (Kotrolle!) Wie lage dauert es uter diese Voraussetzuge, bis sich die Populatio verdoppelt bzw. vervierfacht? Aufgabe 10 Der Luftdruck immt mit zuehmeder Höhe expoetiell ab. Er beträgt bei 5500 m Seehöhe ur och 50% des Wertes auf Meeresiveau (ca 1000 mbar). Gib eie Formel für de Luftdruck i Abhägigkeit vo der Höhe a ud bereche damit de Luftdruck auf dem Großglocker (3797 m) ud auf dem Mt. Everest (8848 m)! Aufgabe 11 I eier Badewae befidet sich heißes Wasser vo der Temperatur δ 2 = 60 C. Die Temperatur im Badezimmer beträgt δ 1 = 25 C. Die Abkühlug auf die Temperatur δ erfolgt ach folgedem Gesetz: δ = δ 1 + (δ 2 - δ 1 ).e t (t i Miute, δ i Celsiusgrad) a) Welche Temperatur hat das Wasser ach 15 Miute? b) I welcher Zeit kühlt das Wasser auf 37 C (Badetemperatur) ab? Aufgabe 12 Der Durchmesser eier Fichte, gemesse i 1,3 m Höhe, ka äherugsweise durch folgede 1 Fuktio beschriebe werde: d(t) = 0.05(t 60) 1+ e (d: Durchmesser i m, t: Alter i Jahre) Wie alt ist eie Fichte mit 0,4 m Durchmesser?

7 Lösuge (Expoetialgleichuge) 1. a) 24 J. (23,5) b) 15 J. (14,2) c) 9 J. (9,006) 2. a) i 15 J. b) i 46,5 J. c) λ = 0, a) λ 0,018 b) 1,8% c) ca Stude 5. a) λ = 0, b) 0,958 g c) ach 5382 Jahre (im Jahr 7280) 6. a) J. b) J. c) J J. 7. Radium 1620 J. 0, ,043 % ach J. Caesium J. 0,0231 2,28 % ach 199 J. Phosphor 32 14,3 T. 0,0485 4,73% ach 95 T. Jod T. 0, ,3 % ach 53 T. Poloium 218 3,1 Mi. 0, % ach 20,6 Mi. 8. a) λ = 0,0446 b) 4,56% c) 15,5 Jahre bzw. 31 Jahre Jahre bzw. 48 Jahre mbar bzw. 328 mbar 11. a) 41,5 C b) 21,4 mi Jahre

8 Expoetialgleichuge (Klasse 10) Aufgabe 1 Ei Distrikt eies Etwicklugslades hatte Ede 1988 rud Eiwoher. Die Bevölkerugszahl immt laut Statistik jährlich um 2,5 % zu. a) Wie viele Eiwoher wird dieser Distrikt Ede 2000 voraussichtlich habe? b) Die Ladwirtschaft dieses Distrikts kote zum Jahresede 1988 ur Mesche erähre. Ei Etwicklugsprogramm soll bis zum Ede des Jahres 2000 die ladwirtschaftliche Produkte um isgesamt 70% erhöhe. Wie viele Mesche sid demach recherisch im Jahre 2000 och auf eie Nahrugsmitteleifuhr agewiese, we sie icht huger solle? c) I welchem Jahr köte dieser Distrikt alle seie Bewoher selbst erähre, we die für das Jahr 2000 errechete Lebesmittelproduktio vo da a jährlich um 4 % steigt? Aufgabe 2 Das kleie Fürstetum Biaco hatte 1960 gerade Eiwoher ware es scho 1 Millio Eiwoher. a) Um wieviel Prozet vergrößert sich die Eiwoherzahl jedes Jahr, we die jährliche prozetuale Zuahme stets gleich bleibt? b) I welchem Zeitabschitt verdoppelt sich die Eiwoherzahl? c) Das och kleiere Fürstetum Miaco hatte 1960 gerade Eiwoher. Die gleichbleibede jährliche Wachstumsrate beträgt hier 15 %. I welchem Jahr werde die beide Fürstetümer gleich viele Eiwoher habe? Aufgabe 3 Weltweit wurde 1990 rud 8 Mill. Toe Kupfer verbraucht. Der Kupferverbrauch steigt jährlich um 2,8 %. a) Bestimme de jährliche Verbrauch y (i Millioe Toe) i Abhägigkeit vo der Zeit t (i Jahre ach 1990). b) Afag 1990 wurde die Kupferreserve weltweit auf 350 Millioe Toe geschätzt, Stelle i eier Tabelle de jährliche Verbrauch ud die jeweilige Kupferreserve bis Ede 1993 zusamme. c) Bereche die Zeit, ierhalb derer sich der jährliche Verbrauch y bei gleichbleibeder Steigerugsrate vervierfache würde. Aufgabe 4 Birgit besitzt zwei Sparbücher. Auf Sparbuch 1 sid 2100 zu 3,5% jährlich agelegt, auf Sparbuch zu 4,5 %. Eizahluge ud Abhebuge erfolge keie, a) Bereche das Guthabe auf Sparbuch 1 ach 7 Jahre. b) Bei welchem Zissatz würde sich das Guthabe auf Sparbuch 1 i 14 Jahre verdoppel? c) Nach wieviel Jahre ist das Guthabe auf Sparbuch 2 erstmals höher als auf Sparbuch 1? Aufgabe 5 Bei Bake gibt es verschiedee Möglichkeite, Geld azulege. a) Bei Spare mit wachsedem Zis wird das agelegte Geld im 1. Jahr mit 5,5 % verzist, im 2. Jahr mit 6 %, im 3. Jahr mit 7%, im 4. Jahr mit 8% ud im 5. Jahr mit 8,5 %. Die afallede Zise werde jeweils dem Kapital zugerechet ud da mitverzist. Um wieviel Prozet ist ei Startkapital vo 8000 ach Ablauf der 5 Jahre gewachse? b) Bei welchem gleichbleibedem Zissatz würde ei beliebiges Afagskapital K i 5 Jahre mit Ziseszis um 40% awachse? c) Auf Sparbücher agelegtes Geld wird mit 3% jährlich verzist. Wie lage dauert es hier, bis ei beliebiges Afagskapital K eischließlich Ziseszis ebefalls um 40% agewachse ist?

9 Aufgabe 6 Eie Bakteriekultur umfasst afags Bakterie. Die Azahl vergrößert sich alle 20 Miute um 20 %. a) Wie viele Bakterie sid es ach 3 Stude? b) Nach welcher Zeit sid es 10 Millioe Bakterie? Aufgabe 7 Waldbestäde wachse äherugsweise expoetiell a. Der Bestad wird i Festmeter (fm) agegebe. a) Ei Bestad, i dem 10 Jahre kei Holz geschlage worde ist, wuchs währed dieser Zeit vo fm auf fm a. Wieviel Prozet betrug die jährliche Zuwachsrate? I welcher Zeit verdreifacht sich dieser Bestad? b) I eiem adere Waldstück ist die jährliche Zuwachsrate 3 %. Es wurde im Jahr 1980 rud fm geschlage, Der Förster schätzt, da der Holzbestad wieder so groß sei wird wie 1980 vor dem Eischlag. I welchem Jahr wird der Bestad auf rud fm agewachse sei? Aufgabe I eier Bakteriekultur sid zu Begi eier Beobachtug 6000 Bakterie vorhade. Es ist bekat, dass sich bei diese Bakterie die Azahl i 5 Stude verdreifacht. a) Zeige, dass dieses Wachstum durch die Gleichug y = 6000*3 0,2 t beschriebe wird. b) Bereche die Azahl der Bakterie 3 Stude ach Beobachtugsbegi. c) I wieviel Stude verzehfacht sich die Azahl der Bakterie? Aufgabe 9 Radioaktive Stoffe zerfalle ach dem Gesetz N(t) = N(0) a t. a) Für radioaktives Jod gilt a = 0,917. Wieviel mg sid vo 3 g dieses Jods ach 45 Tage och vorhade? Bestimme die Halbwertszeit vo radioaktivem Jod. b) Das Elemet Rado zerfällt mit eier Halbwertszeit vo 3,8 Tage, Nach welcher Zeit ist och 1/8 der Ausgagsmege Rado vorhade? Nach welcher Zeit sid es och 10% der Ausgagsmege? c) Thorium zerfällt ach dem Gesetz N(t)= N(0) 0,963 t. Ei Stoff ethält 10 mg Thorium ud 15 mg radioaktives Jod. Nach welcher Zeit sid vo beide Stoffe och gleiche Mege vorhade? Aufgabe 10 A eiem kalte Witertag stellt Steffi eie frisch gekochte Puddig vor das Fester zum Abkühle. Sie hat die Temperatur des Puddigs mit eiem Thermometer zu 82 C bestimmt. Nach 36 Miute hat sich der Puddig auf 41 C abgekühlt... Gehe vo expoetieller Temperaturabahme aus. a) Welche Temperatur hat der Puddig ach eier Stude vor dem Fester? b) Wie lage muss Steffi warte, bis sich der Puddig auf 14 C abgekühlt hat? c) Die Schokoladesoße stellt Steffi 15 Miute später als de Puddig vors Fester. Beim Herausstelle hat diese Soße ebefalls 82 C. Um das Abkühle der Soße zu beschleuige rührt Steffi immer wieder um ud erreicht, dass die Soße scho ach 30 Miute auf 41 C abgekühlt ist. Wie lage muss die Soße vor dem Fester stehe, bis Puddig ud Soße dieselbe Temperatur habe? Aufgabe 11 We Licht durch Glas hidurch geht, immt seie Itesität ab. Eie 1 cm dicke Glasplatte eier bestimmte Glassorte schwächt das Licht dabei um 5 % ab. a) Um wieviel Prozet immt die Itesität ab, we es durch 20 cm Glas hidurchgeht? b) Wie dick ist eie Glasplatte, we sie die Lichtitesität auf 25 % reduziert? c) Aderes Glas der Dicke 8 cm schwächt um 38 % ab. Wieviel bedeutet dies für 1cm Glas?

10 Aufgabe 12 Mittels der 14 C-Methode ist es möglich, das Alter vo Fossilie zu bestimme. Dieses Isotop, das sich i äußerst gerige Mege im Kohledioxid der Luft befidet, wurde vo de Pflaze (ud über diese auch vo de Tiere) aufgeomme ud zerfällt mit eier Halbwertszeit vo etwa 5730 Jahre. Bestimme das Alter eies Fossils, desse gemesseer 14 C Ateil a) 1,4% b) 2,2% c) 14% des ursprügliche Ateils ist. Aufgabe 13 I Holzreste aus der Höhle vo Lascaux stellte ma 14,5% des ursprügliche 14 C-Gehaltes fest. Bereche daraus das Alter dieser Holzreste (die Halbwertszeit vo 14 C liegt zwische τ 1 =5690 ud τ 2 =5770 Jahre). Bereche ferer bis zu welchem Alter sich die 14 C Methode verwede lässt, we ma och 1% des ursprügliche 14 C-Gehalts mit hireicheder Geauigkeit feststelle ka. Führe die Rechug mit τ 1 ud τ 2 durch. Lösuge: 1. a) b) c) 12Jahre 2. a) 0,7% b) 100Jahre c) 5,36 Jahre 3. a) y (t) =8 Mio. 1,028 t c) 50 Jahre 4. a) 2671,8 b) 5,076 c) 10,4 Jahre 5. a) 5 Jahre b) p=6,96% c) 11,4 Jahre 6. a) b) 591 mi 7. a) p=3,5% 32 Jahre b) 14 Jahre 8. b) c) 15,5 Stude 9. a) 0,06g 8 Tage b) 12,6 Tage c) 8,28 Tage 10. a) 25,8 C b) 92 mi c) 90 mi 11. a) 64,2% b) 27cm c)5,8% 12. a) b) c) <t<16074 Alter max 37804<t<38335