Differenzengleichungen

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1 Differezegleichuge Seite vo Wilfried Rohm Differezegleichuge Differezegleichuge bzw. rekursiv defiierte Folge ermögliche eie relativ leichte Modellbildug ud werde daher i biologische Systeme ud i der Wirtschaftsmathematik gere ud zuehmed zur Beschreibug vo Systeme ud im Besodere auch zur Simulatio dyamischer Systeme verwedet. I Mathcad köe Differezegleichuge direkt rekursiv über die Defiitio vo Vektore "so wie auf eiem Blatt Papier" ageschriebe werde. Hier folge eiige Aufgabestelluge, wobei der Großteil dem HAK-Buch Hikelma/Böhm/Hofbauer/Metzger-Schuhäcker: Mathe mit Gewi etomme sid. Aufgabe : Ziseszisrechug Aufgabe : Ziseszisrechug :=.. K := p :=. Wichtig ist, dass wirklich INDIZES defiiert werde (kei "iedrig schriebe"!) K + := K + p K Die Rekursiosgleichug für das Kapital ach + Periode defiiert eie lieare Differezegleichug.Ordug (mit kostate Koeffiziete) Möglichkeite zur tabellarische Darstellug: = K =.. K =.... Grafische Darstellug: K Aufgabe : Ziseszisrechug Wilfried Rohm

2 Differezegleichuge Seite vo Aufgabe : Temperaturverlauf Aufgabe : Gebremstes Wachstum (Sättigugskurve) am Beispiel des Temperaturverlaufes eies Geträkes, das eiem Kühlschrak etomme wird. Aahme: Kühlschraktemperatur = C Die Erwärmug des Geträks pro Miute wird auf % vo der Temperaturdifferez geschätzt Die Zimmertemperatur wird mit C agegebe. Gemäß de obige Modellaahme lässt sich die Erwärmug durch folgede Rekursiosformel beschreibe: x := :=.. x + := x +. x x =... x Temperaturverlauf i Abhägigkeit vo der Zeit i Miute Hiweis : Es empfiehlt sich eigetlich immer, die Rekursiosformel (so wie obe) für de Wert mit dem Idex + zu defiiere ud de Startwert (Afagswert) mit dem Idex zu versehe. Begrüdug: Vektore werde i Mathcad stadardmäßig ab idiziert. Wird (so wie i mache Bücher) die Rekursiosformel für de Wert mit dem Idex defiiert, muss der Wert der "Laufvariabale" zweimal (für die Rekursiosformel ud für die Grafik) uterschiedlich defiiert werde, wie achfolged gezeigt wird. x := :=.. x := x +. x :=.. x Aufgabe : Temperaturverlauf Wilfried Rohm

3 Differezegleichuge Seite vo Aufgabe : Logistisches Wachstum Beim logistische Wachstum wird der Zuwachs eie Populatio proportioal zur mometae Populatio (so wie beim expoetielle Wachstum), aber auch proportioal zur jeweils freiblebede "Restkapazizät" ageomme (so wie beim gebremste Wachstum mit eiem "Sättigugswert" S - siehe auch Aufgabe ) Ma erhält daher die folgede Differezegleichug: y( + ) y = k y( ) ( S y( ) ) Umformug ergibt: y( + ) = y + k y( ) ( S y( ) ) Umschreibe als "Vektorgleichug" ermöglicht wiederum eie tabellarische ud grafische Darstellug: y := k := S := getroffee Aahme :=.. y + := k y S y + y y = y Aufgabe : Logistisches Wachstum Wilfried Rohm

4 Differezegleichuge Seite vo Aufgabe : Gekoppelte Differezegleichuge Als Beispiel für eie komplexere Systembeschreibug mit Differezegleichuge wird hier das klassische Räuber-Beute-Modell vo Lotka/Volterra vorgeführt. Dieses Modell simuliert eie kleie Nahrugskette mit dem Fuchs als Fleisch fressede Räuber ud dem Hase als Pflaze fressedes Beutetier. Als Variable verwede wir H für de Hasebestad ud F für de Fuchsbestad. I Abweseheit vo Füchse wird für die Hase ei expoetielles Wachstum (Parameter a) ageomme, allerdigs wird bei jedem Zusammetreffe Hase-Fuchs (desse Wahrscheilichkeit abhägig vo de Bestäde, also dem Produkt H*F ist) der Bestad gemäß eiem Parameter c reduziert. Bei de Füchse immt ohe Beute der Bestad mit dem Parameter b expoetiell ab ud (ählich wie obe) immt der Bestad i Abhägigkeit vo der Zusammetreffwahrscheilichkeit mit dem Parameter d ("der Beutewahrscheilichkeit") zu. Als (atürlich veräderbare) Werte wird u ageomme: a :=. Nettozuwachsrate der Hase b :=. Gewichtsverlust der Füchse / Woche c :=. Wahrscheilichkeit für eie Hase, bei eiem Treffe mit eiem Fuchs gerisse zu werde d :=. Beutewahrscheilichkeit (aus der Sicht des Fuchses) H := F := Populatiosgröße zum Begi Aus de obige Modellaahme resultiert das folgrede gekoppelte Differezegleichugssystem: :=.. H + F + := H + a H c H F b F + d H F F Die gekoppelte Diffezegleichuge werde i eie Vektor geschriebe, sodass für die Berechug vo H + bzw. F + sowohl H als auch F bekat sid! H = F = Wilfried Rohm

5 Differezegleichuge Seite vo Zeitdiagramm. H F Phasediagramm F. Aufgabe : Gekoppelte Differezegleichuge H Zurück zur Beispielübersicht "Wirtschaftsmathematik" Wilfried Rohm