Konvergenzradius von Taylorreihen

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1 HTBLA Neufelde Peter Fischer Kovergezradius vo Taylorreihe Mathematische / Fachliche Ihalte i Stichworte: Taylorreihe, Kovergezradius, bestädige Kovergez Kurzzusammefassug Zuerst wird der Satz vo Taylor agegebe ud kurze Beispiele für verschiedee Etwicklugsstelle agegebe. Soda wird der Kovergezradius r defiiert ud für eiige spezielle Fuktioe berechet. Der Begriff der bestädige Kovergez wird a Beispiele demostriert. Lehrplabezug (bzw. Gegestad / Abteilug / Jahrgag): Agewadte Mathematik, Agewadte Physik, alle Abteiluge,. bzw. 5. Jahrgag Mathcad-Versio: Mathcad 00. Satz vo Taylor Eie i eiem bestimmte Itervall D defiierte ud beliebig oft differezierbare Fuktio läßt sich als Summe vo Potezfuktioe schreibe, wobei die Koeffiziete mit Hilfe der Ableitugsfuktioe a der Etwicklugsstelle ud der Fakultät berechet werde. Wählt ma für die Etwicklugsstelle de Nullpukt (0 Elemet D) so ergibt sich folgede Taylorreihe: Wählt ma für die Etwicklugsstelle de Wert 0 ( 0 Elemet D) so ergibt sich folgede Taylorreihe: 0 0 d f0 ( ) d! d d! f ( 0 ) ( ) 0 Die Koeffiziete a der Taylorreihe ergebe sich somit zu a ( ) d d! f ( 0 ) wobei 0 die Etwicklugsstelle ist. Es wird zur Kotrolle ei Taylorpolyom der Siusfuktio um die Etwicklugsstelle 0 sowie um die Etwicklugsstelle π/ agegebe.

2 HTBLA Neufelde : si( ) reihe,, π reihe,, 6 π π Ma erket sofort die uterschiedliche Symmetrie der beide Polyome. Die erste Ewicklugsstelle ist ei Wedepukt, sodass das Polyom puktsymmetrisch um die Etwicklugsstelle ist; die zweite higege ei (lokaler) Hochpukt, sodass dieses Polyom achsialsymmetrisch zur Etwicklugsstelle ist. Etwicklug um eie Wedepukt Etwicklug um eie Hochpukt π π 0 6. Der Kovergezradius r Es gilt folgeder Satz für die Kovergez vo uedliche Potez- ud damit auch uedliche Taylorreihe: We der Grezwert des Quotiete zweier aufeiaderfolgeder Koeffiziete eistiert, so kovergiert die Reihe im Itervall ]-r;r[, falls icht eie Eischräkug durch die Defiitiosmege vorliegt. Als Formel für de Kovergezradius r ergibt sich damit. r a ( ) a ( )

3 HTBLA Neufelde 3 Eie Taylorreihe, welche für alle reelle kovergiert, et ma bestädig koverget. Ageehmerweise sid sowohl die Sius- als auch die Cosiusreihe ud die Epoetialreihe bestädig koverget. Für die Sius- ud die Epoetialreihe wird das achfolged gezeigt. 3. Die bestädige Kovergez der Siusreihe Wir betrachte dazu die Etwicklug der Siusfuktio i eie Taylorreihe um de Koordiateursprug. reihe,, a ( ) : a ( ) a ( ) ( ) ( )! a ( ) a ( ) 6 3 Nu ermittel wir de Quotiete der aufeiaderfolgede Koeffiziete: ( ) ( )! ( ) ( )! 0 5 Zur Kotrolle köe die erste füf Koeffiziete berechet werde. Damit ergibt sich der Kovergezradius r als Limes des Betrags des voragehede Terms zu womit die bestädige Kovergez der Siusreihe gezeigt ist. Ma ka sich das auch och graphisch für eie größere Bereich aschaue Ma erket, dass die Koeffiziete der gerade Poteze allesamt verschwide ud die der ugerade Poteze alterieredes Vorzeiche besitze ud mit /! skaliere. Damit ergibt sich folgede Koeffizieteschreibweise: _ :.. 5 a_ ( ) / -/ / / / p m ( ) : m ( )! ( ) Etwicklug um eie Wedepukt ( )! ( )! ( ) ( ) Ma erket sehr gut, dass das Taylorpolyom der 99te Ordug bereits i eiem sehr große Bereich (ugefähr vo -36 bis 36) eie perfekte Übereistimmug mit der Siusfuktio liefert.

4 HTBLA Neufelde Ma ka schließlich och de Grezwert selbst bereche ( )! ( ) si( ) ud mit Freude die Siusfuktio erkee.. Die bestädige Kovergez der Epoetialreihe Auch die Epoetialreihe ist - wie bereits obe geschriebe - ageehmerweise bestädig koverget. e reihe,, 9 Ma ka de Kovergezradius zu ! ( )! bereche Etwicklug um (0 0) e ! ! Dieser Graph zeigt sehr beeidrucked, dass ma bei Berücksichtigug vo "lediglich" Potezfuktioe bereits eie eorme Bereich wuderbar approimiert. Ma beachte die Skalierug der y-achse. Da befidet ma sich scho i "kosmologische" Dimesioe. Ma ka schließlich och de Grezwert selbst bereche: ep( )! 0

5 HTBLA Neufelde Der Kovergezradius r für eie bestimmte Logarithmusreihe : l( ) reihe,, Wir verschaffe us zuerst eie graphische Überblick durch Darstellug der erste 3 Taylorpolyome mit der Fuktio selbst Ma erket sehr schö das Bildugsgesetz der Koeffizeite der zugehörige Taylorreihe: a ( ) : ( ) Zur Probe wieder eiige Werte: _ :.. 5 _ a_ ( ) / -/ 3.00 /3.00 -/ 5.00 /5 Nu ermittel wir de Quotiete der aufeiaderfolgede Koeffiziete: a ( ) a ( ) ( ) ( ) ( ) Damit ergibt sich der Kovergezradius r als Limes des Betrags des voragehede Terms zu a ( ) a ( )

6 HTBLA Neufelde 6 Ma ka sich das gaz auch och graphisch für eie größere Bereich aschaue ( ) 0 3 ( ) Wie auf Grud der alterierede Koeffizietevorzeiche icht aders zu erwarte, "schlage die Polyome eimal ach obe ud im ächste Näherugsschritt ach ute aus". Bei de Taylorpolyome 0ter bzw. ter Ordug erket ma bereits sehr gut, dass die Näherug ausserhalb des Bereichs ]-; [ keie sivolle Näherug mehr liefert. 6. Der Kovergezradius r für eie bestimmte biomische Reihe : ( ) reihe,, ( ) O Wir verschaffe us zuerst eie graphische Überblick durch Darstellug zweier Taylorpolyome mit der Fuktio selbst

7 HTBLA Neufelde 7 Ma erket sehr schö das Bildugsgesetz der Koeffiziete der zugehörige Taylorreihe we ma de erste Summade etra aschreibt: a ( ) : k k! also: a( ) Zur Probe wieder eiige Werte: _ :.. 5 _ a_ ( ) Damit ergibt sich der Kovergezradius r als Limes des Betrags des voragehede Terms zu a ( ) a ( ) Ma ka sich das gaz auch och graphisch für eie größere Bereich aschaue ( a ( ) ) ( a ( ) ) Wie auf Grud der alterierede Koeffizietevorzeiche icht aders zu erwarte, "schlage die Polyome eimal ach obe ud im ächste Näherugsschritt ach ute aus". Bei de Taylorpolyome 0ter bzw. 39ter Ordug erket ma bereits sehr gut, dass die Näherug ausserhalb des Bereichs ]-; [ keie sivolle Näherug mehr liefert.

8 HTBLA Neufelde 8 7. Kovergez eier Taylorreihe bei -r bzw. r Wie bereits obe ageführt liefert der Kovergezradius ur eie Kovergez im beidseitig offee Itervall ]-r; r[. Die Kovergez i de Radstelle muss jeweils gesodert geprüft werde. Das soll mit folgedem Beispiel der bereits obe um Null etwickelte Logarithmusfuktio gezeigt werde. Zur Erierug: : l( ) Der Kovergeradius ist besitzt die Reiheetwicklug Nu bereche wir de Reihewert a der Stelle -r ( -): wir erkee die egative harmoische Reihe, welche bekatlich divergiert. Damit kovergiert die Taylorreihe a dieser Itervallgreze icht, was auch auf Grud des Defiitiosbereichs icht aders zu erwarte war. Nu bereche wir de Reihewert a der Stelle r ( ): ( ) wir erkee die Leibizreihe, welche bekatlich gege l kovergiert. Damit kovergiert die Taylorreihe a dieser Itervallgreze. ( ) l( ) Grezwert der Leibizreihe Damit ergibt sich folgedes Kovergezitervall für die Taylorreihe vo l(): ]- ; ]. Abschließed och eimal der Graph für das Taylorpolyom 80ter Ordug ud de markierte Kovergezbereich ( )