5.3 Wachstum von Folgen

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1 53 Wachstum vo Folge I diesem Abschitt betrachte wir (rekursiv oder aders defiierte) Folge {a } = ud wolle vergleiche, wie schell sie awachse, we wächst Wir orietiere us dabei a W Hochstättler: Algorithmische Mathematik, Spriger-Lehrbuch, 00 Beispiel Wir betrachte die Folge H :=, H := H + für N, Dies ist die aus de erste Glieder bestehede Teilsumme (Partialsumme) der arithmetische Reihe k= H = k=, k k = Rechug zeigt (hier ur auf 6 Nachkommastelle gerudet agegebe) H, 5 3, , , , 45 7, , , H 0, , , , , , , , , 0857 H 00 5, , , , , , , , , Weitere Rechug gibt zb H 000 = 7, ud H 0000 = 9, Zur Utersuchug des Wachstums setze wir hier der Eifachheit zuliebe voraus, dass der Logarithmus aus der Schule bekat ist als Stammfuktio zur Fuktio f : (0, ) R, x, ud dass Sie auch log() = 0 kee x Also dx = log() x Uterteilt ma das Itegratiositervall [, ] i Teilitervalle [k, k + ], k =,,, so liefer Riema-Utersumme ud -Obersumme H < log() < H

2 Aufgelöst ach H also log() + < H < log() + Die Differez H log() liegt also für alle N im Itervall (0, ] Für wachsedes ähert sie sich immer mehr der sogeate Euler-Mascheroi- Kostate γ := 0, a H log() 0 0, , , , , 5770 Defiitio 53 Seie f, g : N R Da schreibt ma f = O(g) oder f() = O( g() ) (ud sagt f ist groß Oh vo g), we es eie Kostate C > 0 gibt ud ei 0 N mit f() Cg() für alle 0 I diesem Zusammehag wird das O als Ladau-Symbol bezeichet Beispiel (Fortsetzug) Die Abbildug H : N R, H, erfüllt H = O(log()), de für > e =, 788 ist log() > Daher gilt für 0 = 3 H = H log() + log() Umgekehrt gilt auch log() H < H, also log() = O(H ) Propositio 53 Seie A, a, b R feste, vo uabhägige Zahle Da gilt i) a b b = O( a ), ii) A > b = O(A ), iii) a > 0 log() b = O( a ) Beweis Zu i): Wege a b ist a b, also b a Damit folgt b = O( a ) (mit 0 := ud C := )

3 Zu ii): Betrachte die Zahle a := ( ) b, N, Es gilt a >, aber je größer, desto dichter liegt a a (geauere Begrüdug ka erst mit Hilfsmittel aus der Mathematik für Iformatiker gegebe werde) Wege < A gibt daher ei 0, sodass Wir setze C := b 0 A 0 0 a A ud zeige iduktiv b CA für 0 Für = 0 gilt sogar b = CA ach Wahl vo C Gilt die Iduktiosbehauptug scho für, da folgt für ( ) b b = ( ) b = a ( ) b a CA CA Zu iii): Wir setze A := e a ud wähle 0 ud C wie i ii) sei so groß gewählt, dass log( ) 0 gilt Da folgt für, we ma die Mootoie des Logarithmus ausutzt, log() b CA log() Mit A = e a bekommt ma A log() = e a log() = e log() a = a Damit also log() b C a Fazit Der Logarithmus ud seie Poteze wachse ach Propositio 53 iii) höchstes so schell wie Polyomfuktioe oder Wurzelfuktioe We ma geau hischaut: Sie wachse sogar lagsamer Polyomfuktioe ud erst recht Wurzelfuktioe wachse ach Propositio 53 ii) icht so schell wie (geauer: lagsamer als) Expoetialfuktioe Beispiel = O( 4 ), aber auch zb = O( ) Beispiel 3 Es gilt (vgl Übugsblatt ) ( k 3 = k) k= k= Mit k= k = (+) also S := k= k 3 = ( + ) 4 3 =

4 Es folgt S = O( 4 ) Das Wachstum bekommt ma aber auch ohe Übugsblatt, de ma schätzt ab 0 S = k 3 k= 3 = 4 k= Also (mit 0 = ud C = ) S = O( 4 ) Die Umkehrug 4 = O(S ) gilt auch ( ) 3 S k 3 ( ) 3 = 4 6 k= k= Also (mit 0 = ud C = 6) gilt 4 = O(S ) Defiitio 533 Seie f, g : N R gegebe Ma schreibt f = o(g) oder f() = o( g() ) (ud sagt f ist klei Oh vo g), we die Folge { f() g() } = gege 0 kovergiert I diesem Zusammehag wird o auch als Ladau-Symbol bezeichet Ma schreibt f = Ω(g) oder f() = Ω( g() ), we g = O(f) gilt, ud f = θ(g) oder f() = θ( g() ), we sowohl f = O(g) als auch g = O(f) gilt Beispielsweise gilt H = θ(log()) ud S = θ( 4 ) Währed aber H ud log() voeiader ur durch eie Zahl aus (0, ] uterscheide, wächst 4 etwa viermal so schell wie S weil für große S 4 4 gilt Ma defiiert f g we für wachsedes der Bruch f() g() gege strebt Also H log() aber icht S 4 Folgede Sprechweise habe sich eigebürgert Für f O() sagt ma f ist beschräkt Für f θ() sagt ma f wächst liear Für f θ( ) sagt ma f wächst quadratisch Für f θ( 3 ) sagt ma f wächst kubisch 4

5 Für f θ( k ), k N, sagt ma f wächst polyomial Für f θ(log()) sagt ma f wächst logarithmisch Beispiel 4 Ist A eie ivertierbare -Matrix, so erfordert die Berechug der Iverse A etwa 3 Multiplikatioe, geauer: der Recheaufwad ist θ( 3 ) We u die Berechug der Iverse eier 0 0-Matrix sec erfordert, da braucht ma daher zur Berechug der Iverse eier Matrix rud 000sec We ma ei Verfahre zur Ivertierug hätte, desse Aufwad 3 wäre, da ist der Aufwad eie Matrix zu ivertiere, auch ur rud 000 Mal größer als der Aufwad bei 0 0-Matrize (warum?) Wir beschäftige us jetzt mit dem Abschätze vo Fakultäte ud Biomialkoeffiziete Beispiel 5 I eiem Autohaus stehe vier verschiedee Modelle Vier Iteressete stehe davor Jeder will ei Auto kaufe Frage: Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass sich jeder für ei aderes Modell etscheidet? Atwort: Jeder der vier Kude ka frei wähle, hat also 4 Möglichkeite Das gibt 4 4 = 56 Möglichkeite We jeder ei aderes Modell wählt, geau da hat ma eie Permutatio der vier Autos, also 4! = 4 Fälle Die Wahrscheilichkeit ist also 4! = 3 = 0, Bei acht Kude ud acht Modelle hat ma dagege für die etsprechede Wahrscheilichkeit 8! = 35 = 0, 004 Allgemei hat ma bei Kude ud Modelle! Diese Zahl wird für gege Null gehe Aber wie schell? Satz 534 Für alle N gilt! ( + ) Beweis Wir verwede die arithmetisch/geometrische Ugleichug ab a + b, die für alle a, b > 0 gilt, de sie ist äquivalet zu ( a b) = a ab + b 0 5

6 Die obere Schrake für! bekommt ma wie folgt Aus (!) = ( 3 ) ( ( ) ( ) ) = ( ) ( ( )) (3 ( )) ( ) erhält ma (durch Wurzelziehe ud Verwedug der arithmetisch/geometrische Ugleichug)! = ( ) ( ) + = Bedekt ma, dass die Fuktio f : [, ] R, f(x) := x( + x), zwische ud + streg mooto wächst ud vo da a streg mooto fällt, folgt für jedes k [, ] f(k) = k( + k) mi f(x) = f() = f() = x [, ] Daher ka ma! = ( ) ach ute abschätze durch! = Das Wachstum der Fakultät wird am beste beschriebe mit Hilfe der Stirlig sche Formel (de aspruchsvollere Beweis fidet ma i Lehrbücher der Aalysis) Mit der Euler sche Zahl e =, 7888 gilt! ( ) π e Damit läßt sich die Größe! aus Beispiel 4 beschreibe durch! πe Im Pascalsche Dreieck ist i der -te Zeile ( ) ( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( ( ) der Biomialkoeffiziet der größte (Er wurde auch beutzt, um die Catala sche ( ) Zahl C explizit azugebe) Sei Wachstum lässt sich durch = θ( ) beschreibe Es gilt geauer das folgede Resultat ) 6

7 Satz 535 Für alle N gilt ( ) Beweis Betrachte Es folgt Zu zeige bleibt Nutzt ma aus, dass gilt, bekommt ma P := 3 5 ( ) 4 6 () 3 5 ( ) P = 4 6 () 4 6 ()( ) 4 6 () ()! =!! = P (k )(k + ) (k) = 4k 4k < P ( + ) = ( )( + ) 4 4 also P < + < Etspreched für > ( )() = 5 5 ( ) ()P <, Hieraus folgt P > Wurzelziehe gibt da die utere Schrake 7