Vorlesung Informatik 2 Algorithmen und Datenstrukturen. (02 Funktionenklassen) Prof. Dr. Susanne Albers

Transkript

1 Vorlesug Iformatik 2 Algorithme ud Datestrukture (2 Fuktioeklasse) Prof. Dr. Susae Albers

2 Beschreibug ud Aalyse vo Algorithme Mathematisches Istrumetarium zur Messug der Komplexität (des Zeitud Platzbedarfs vo Algorithme): Groß-O-Kalkül (Ladausche Symbole) 2

3 Primitive Operatioe grudlegede Berechuge, die vo eiem Algorithmus ausgeführt werde ablesbar aus Pseudocode oder Programmstück überwieged uabhägig vo eier (imperative) Programmiersprache exakte Defiitio ist icht bedeuted Beispiele eie Ausdruck auswerte eier Variable eie Wert zuweise Idexierug i eiem Array Aufrufe eier Methode Verlasse eier Methode 3

4 Fuktioeklasse Groß-O-Notatio: Mit Ο -, Ω - ud Θ -Notatio solle obere, utere bzw. geaue Schrake für das Wachstum vo Fuktioe beschriebe werde. Idee: Kostate Faktore ud Summade dürfe bei der Aufwadsbestimmug verachlässigt werde. Grüde: ma ist a asymptotischem Verhalte für große Eigabe iteressiert geaue Aalyse ka techisch oft sehr aufwädig oder umöglich sei lieare Beschleuiguge sid ohehi immer möglich (Ersatz vo Hardware/Software) Ziel: Komplexitätsmessuge mit Hilfe vo Fuktioeklasse. Etwa Ο(f) sid die Fuktioe, die (höchstes) i der Größeordug vo f sid. 4

5 Die O-Notatio Sei eie Fuktio Fuktioe: Ο( g) = { f g :N + R gegebe, da ist Ο(g) folgede Mege vo Die Ο -Notatio gibt also eie asymptotisch obere Greze für eie Fuktio. f Ο(g) We zu gehört, sagt ma ( ) ud schreibt f( ) Ο g( ) oder auch (mathematisch fragwürdig) f( ) = Ο g( ) ( ) : N R + es gibt positive Kostate c f f() c 1 g() ist Gross O vo für alle g 1, } mit 5

6 Veraschaulichug der O-Notatio Die Fuktio f dass f ( ) ab gehört zur Mege Ο( g), we es positive Kostate c ud uter cg( ) liegt. gibt, so c g() f() 6

7 Die Ω -Notatio Sei eie Fuktio Fuktioe: Ω( g) = { f g :N + R gegebe, da ist Ω(g) folgede Mege vo Die Ω -Notatio gibt also eie asymptotisch utere Greze für eie Fuktio. f Ω(g) We zu gehört, sagt ma ( ) ud schreibt f( ) Ω g( ) oder auch (mathematisch fragwürdig) f( ) = Ω g( ) ( ) : N f R + es gibt positive Kostate c c 1 g() f() ist Gross-Omega vo g für alle 1, } mit 7

8 Veraschaulichug der Ω -Notatio Die Fuktio f dass f ( ) ab gehört zur Mege Ω( g), we es positive Kostate c ud oberhalbcg( ) liegt. gibt, so f() g() 8

9 Die Θ -Notatio Sei eie Fuktio Fuktioe: Θ( g) = { f : g :N + R gegebe, da ist Θ(g) folgede Mege vo Die Θ -Notatio gibt also eie asymptotisch feste Greze für eie Fuktio. f Θ(g) We zu gehört, sagt ma ( ) ud schreibt f( ) Θ g( ) oder auch (mathematisch fragwürdig) f( ) = Θ g( ) ( ) N R + es gibt positive Kostate c f c 1 g() f() g ist Gross-Theta vo c 2 g() 1, c 2, mit für alle } 9

10 Veraschaulichug der Θ -Notatio Die Fuktio gibt, so dass f f gehört zur Mege Θ( g), we es positive Kostate c ( )ab zwische c 1 g( ) ud c 2, c g( ) eigepackt werde ka. 1 2 ud c 1 g() f() c 2 g() 1

11 Bemerkuge zu de O-Notatioe I mache Quelle fidet ma leicht abweichede Defiitioe, etwa Ο( g) = { f : N R + es gibt positive Kostate a ud b mit f ( ) ag( ) + b für alle } Für die relevateste Fuktioe f (etwa die mooto steigede icht kogruet ) sid diese Defiitioe äquivalet. f 11

12 Beispiele zur O-Notatioe f() = = O( 2 ) f() = log ist icht i O() 12

13 Eigeschafte vo Groß-O Trasitivität: Ist f() = O(g()) ud g() = O(h()), da ist f() = O(h()) Additivität: Ist f() = O(h()) ud g() = O(h()), da ist f() + g() = O(h()) Für kostates a ist: a k = O( k ) k = O( k+j ), für jedes positive j. f() = a k k + a k-1 k a a = O( k ) Ist f() = c g() für kostates c, so ist f() = O(g()) Für beliebige positive Zahle a, b 1 ist f() = log a = O(log b ) Für beliebige positive a 1 ist log a = O(log 2 ) 13

14 Der O-Kalkül Eifache Regel: f ( ( f) Ο Ο k Ο( f) = = = Ο( f) Ο( f) Ο( f) für kostates k Ο( f + k) = Ο( f) für kostates k Additiosregel: ( max( f, ) Ο( f) + Ο( g) = Ο g Multiplikatiosregel: Ο( f)* Ο( g) = Ο( f * g) Additiosregel fidet Awedug bei der Berechug der Komplexität, we Programmteile hitereiader ausgeführt werde. Multiplikatiosregel fidet Awedug bei der Berechug der Komplexität, we Programmteile ieiader geschachtelt werde. 14

15 Beispiele zur Laufzeitabschätzug(1) Algorithmus prefixaverages1(x) Eigabe: Ei Array X vo Zahle Ausgabe: Ei Array A vo Zahle, so dass gilt: A[i] ist das arithmetische Mittel der Zahle X[],, X[i] Methode: for i = to -1 do a = ; for j = to i do A[i] = a/(i + 1) retur array A a = a + X[j] 15

16 Beispiele zur Laufzeitabschätzug(2) Algorithmus prefixaverages2(x) Eigabe: Ei Array X vo Zahle Ausgabe: Ei Array A vo Zahle, so dass gilt: A[i] ist das arithmetische Mittel der Zahle X[],, X[i] Methode: s = ; for i = to -1 do s = s + X[i]; A[i] = s/(i + 1) retur array A 16

17 Hierarchie vo Größeorduge Größeordug O(1) O(log ) O(log 2 ) O() O( log ) O( 2 ) O( 3 ) O( k ) Name kostate Fuktioe logarithmische Fuktioe quadratisch logarithmische Fuktioe lieare Fuktioe log -wachsede Fuktioe quadratische Fuktioe kubische Fuktioe polyomielle Fuktioe k kostat f heißt polyomiell beschräkt,we es ei Polyom p mit f = Ο( p) gibt. ε f wächst expoetiell, we es ei > gibt mit f = Θ(2 ). ε 17

18 Aahme: 1 Recheschritt.1 Sekude. Maximale Eigabeläge bei gegebeer Rechezeit. Skalierbarkeite Laufzeit T() 1 Sekude 1 Miute 1 Stude log ² ³ Aahme: Es ka auf eie 1-fach schellere Recher gewechselt werde. Statt eies Problems der Größe p ka i gleicher Zeit da berechet werde: Laufzeit T() eue Problemgröße 1p log ( fast 1) p ² 3.16p ³ p p 1 l( p) LambertW(1p l( p)) p 1p 3 1p log 1 + p 18

19 Bestimmug des Zeitaufwads Sei A ei Programmstück, desse Zeitaufwad cost(a) zu bestimme ist: 1. A ist eifache Aweisug (read, write, +, -,... ): cost(a) = cost O(1) 2. A ist Folge vo Aweisuge: Additiosregel awede 3. A ist if-aweisug: (a) if (cod) B; cost(a) = cost(cod) + cost(b) (b) if (cod) B; else C; cost(a) = cost(cod) + max(cost(b), cost(c)) 4. A ist eie Schleife (while, for,... ): cost ( Α) = Umlauf i cost (Aweisuge i) + cost (Termiierugsbedigug i) oft eifach cost( Α) = # Umläufe*(cost(Aweisuge) + cost(termiierugsbedigug)) 5. A ist Rekursio... 19

20 Implemetatio i Java class Mult { public static void mai ( Strig [] args ) { it x = ew Iteger (args[]). itvalue(); it y = ew Iteger (args[1]). ItValue(); System.out.pritl ( Das Produkt vo +x+ ud +y+ ist +mult(x,y)); public static it mult (it x, it y) { it z = ; while (y>) if (y % 2 == ) { y = y / 2; x = x+x ;} else { y = y-1; z = z+x; } } } retur z; 2