ALP I Induktion und Rekursion

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "ALP I Induktion und Rekursion"

Hennie Baumgartner
vor 6 Jahren
Abrufe

1 ALP I Iduktio ud Rekursio Teil II WS 2009/200 Prof. Dr. Margarita Espoda Prof. Dr. Margarita Espoda

2 Iduktio über Bäue Defiitio: a) Ei eizeler Blatt-Kote ist ei Bau o b) Falls t, t 2,,t Bäue sid, da ist ihre Verküpfug uter eie Kote o auch ei Bau (o t, t 2,,t ) o t t 2... t Ei Bau ist balaziert, falls er ei Blatt oder vo der For (o t, t 2,,t ) ist, wobei t, t 2,,t balaziert ud vo derselbe Tiefe sid. Prof. Dr. Margarita Espoda 2

3 Iduktio über Bäue Behauptug: Ei balazierter -Bau (Bau it axial Kider pro Kote) it >0 ud Tiefe hat Motivatio: Tiefe 0 i = i = o Kote 0 Tiefe 2 Tiefe t t 2 o o o...t t t 2... t 2 i = i Tiefe Prof. Dr. Margarita Espoda 3

4 Prof. Dr. Margarita Espoda 4 Iduktio über Bäue. Iduktiosafag it Tiefe = 0 K = Kote = 2. Iduktiosaahe it Tiefe =, K = 0 = = 3. Iduktiosschritt Tiefe =, K = = 2 = ) ( 2 = = ) ( ) ( =

5 Beispiel: Strukturelle Iduktio über Bäue data Tree a = Nil Leaf a Node (Tree a) (Tree a) Vorgehesweise:. Iduktiosafag. Wir zeige eie bestite Eigeschaft P für de leere Bau Nil.2 Wir zeige die Eigeschaft P für ei Blatt (Leaf a) 2. Iduktiosschritt Wir zeige die Eigeschaft P für ( Node l r ) i der Aahe, dass P für de Teilbau l ud für de Teilbau r gilt. Prof. Dr. Margarita Espoda 5

6 Das allgeeie Iduktiosschea data T a a 2... a = C t t C 2 t 2 t C k t k t kk Vorgehesweise:. Iduktiosafag. Wir zeige eie bestite Eigeschaft P für alle Basis-Date (alle C i ohe Rekursio) 2. Iduktiosschritt Wir zeige die Eigeschaft P für jede rekursive Defiitio (C i t i t ii ) uter der Aahe, dass P für t i t ii gilt. Prof. Dr. Margarita Espoda 6

7 Aalyse vo Prograeigeschafte - Korrektheit (wichtigste Eigeschaft!) - Prograeigeschafte - wie z.b. Äquivalez zwische Prograe bzw. Ausdrücke - Koplexitätsaufwad - Speicherverbrauch - Teriierbarkeit Prof. Dr. Margarita Espoda 7

8 Die Natur rekursiver Fuktioe Rekursive Fuktioe habe oft folgede allgeeie For: f :: a -> a f 0 = c f () = h (f ) Diese Art der Defiitioe wird oft als Strukturelle Rekursio über die atürliche Zahle bezeichet. Prof. Dr. Margarita Espoda 8

9 Die Natur rekursiver Fuktioe Eie Fuktiosdefiitio dieser For über die atürliche Zahle sieht aus wie folgt: Sei 0 = die atürliche Zahl. We wir die 0 it c ud it h ersetze, bekoe wir folgede Ausdruck h(h( (h(c) ), i de h -al auf c = f(0) agewedet wird. Folgede Faltugsfuktio stellt eie Verallgeeierug der Fuktioe it dieser eifache Grudfor dar: data Nat = Z S Nat derivig (Eq, Show) fold :: (a->a) -> a -> Nat -> a fold h c Z = c fold h c (S ) = h (fold h c ) Prof. Dr. Margarita Espoda 9

10 Rekursiosarte Lieare Rekursio Rekursive Fuktioe, die i jede Zweig ihrer Defiitio axial eie rekursive Aufruf beihalte, werde als liear rekursiv bezeichet. Beispiel: f 0 = f <0 = 2 * (f ()) otherwise = 3 * (f (-)) Edrekursio (tail recursio) Liear rekursive Fuktioe werde als edrekursive Fuktioe klassifiziert, we der rekursive Aufruf i jede Zweig der Defiitio die letzte Aktio zur Berechug der Fuktio ist. Das bedeutet, dass keie weitere Operatioe ach der Auswertug der Rekursio berechet werde üsse. Prof. Dr. Margarita Espoda 0

11 Edrekursio Beispiel: Eie icht edrekursive Fuktio ist folgede Defiitio der Fakultätsfuktio: factorial 0 = factorial = * factorial (-) Ablauf eier Berechug: factorial 6 => 6 * factorial 5 => 6 * (5 * factorial 4) Der Ausführugsstapel wächst bei jede rekursive Aufruf ud Teilausdrücke üsse städig zwischegespeichert werde. => 6 * (5 * (4 * factorial 3)) => 6 * (5 * (4 * (3 * factorial 2))) => 6 * (5 * (4 * (3 * (2 * factorial )))) => 6 * (5 * (4 * (3 * (2 * ( * factorial 0))))) => 6 * (5 * (4 * (3 * (2 * ( * ))))) => 6 * (5 * (4 * (3 * (2 * )))) => 6 * (5 * (4 * (3 * 2))) => 6 * (5 * (4 * 6)) => 6 * (5 * 24) => 6 * 20 => 720 Die Edberechuge fide erst bei Abbau des Ausführugsstapels statt. Prof. Dr. Margarita Espoda

12 Edrekursio Beispiel eier edrekursive Defiitio der Fakultätsfuktio quickfactorial = factorial_helper where factorial_helper a 0 = a factorial_helper a = factorial_helper (a*) (-) Ablauf eier Berechug: quickfactorial 6 => factorial_helper 6 => factorial_helper 6 5 => factorial_helper 30 4 => factorial_helper 20 3 => factorial_helper => factorial_helper 720 => factorial_helper => 720 Es üsse keie Zwischeausdrücke gespeichert werde. Edrekursive Fuktioe köe aus diese Grud oft vo Übersetzer (Copiler) optiiert werde, ide diese i eifache Schleife verwadelt werde. Prof. Dr. Margarita Espoda 2

13 Beispiele edrekursiver Fuktioe Klassisches Beispiel eier icht edrekursive Defiitio ist: Die Stadarddefiitio der reverse-fuktio rev :: [a] -> [a] rev [] = [] rev (x:xs) = rev xs [x] Berechugsaufwad vo rev: Reduktioe rev [x, x 2,, x ] => rev [x 2,, x ] [x ] => rev [x 3,, x ] [x 2 ] [x ]... => [x ] [x - ] [x 2 ] [x ] => [] [x ] [x 2 ] [x ] bis hier () Reduktioe! Prof. Dr. Margarita Espoda 3

14 Berechugsaufwad vo rev bis hier () Reduktioe! () :: [a] -> [a] -> [a] () [] ys = ys () (x:xs) ys = x:(xs ys) => [] [x ] [x - ] [x 2 ] [x ] => [x ] [x - ] [x 2 ] [x ] => [x, x - ] [x 2 ] [x ] 2 => [x, x -,x -2 ] [x 2 ] [x ] 3 =>.... => [x, x -,,x ] Die gesate Azahl der Reduktioe ist: ( ) i= i = i= ( 2)( ) i = = Reduktioe Quadratischer Ausführugsaufwad! O( 2 ) Prof. Dr. Margarita Espoda 4

15 Eie effizietere Versio vo rev quickrev xs = rev_helper xs [] where rev_helper [] ys = ys rev_helper (x:xs) ys = rev_helper xs (x:ys) Berechugsaufwad: quickrev [x, x 2,, x ] => rev_helper [x,,x ] [] => rev_helper [x 2,,x ] (x :[]) => rev_helper [x 3,,x ] (x 2 :x :[])... => (x :,,x 2 :x :[]) => (x :,,x 2 :[x ])... => (x :,, x 3 :[x 2,x ]) Reduktioe lieare Koplexität 2 = O() Prof. Dr. Margarita Espoda 5

16 Sid rev ud quickrev äquivalet? Zu beweise ist: Für alle edliche Liste xs :: [a] gilt: rev = quickrev...beweis a der Tafel... Prof. Dr. Margarita Espoda 6

17 Wichtiges Beispiel vo Edrekursio foldl-fuktio: foldl :: (b -> a -> b) -> b -> [a] -> b foldl f z [] = z foldl f z (x:xs) = foldl f (f z x) xs foldl. foldl.2 Hier werde Zwischeergebisse akkuuliert ud weitergeleitet. Mit Hilfe vo Faltugs-Operatore köe sehr leicht edrekursive Fuktioe defiiert werde. Beispiel: reverse_reloaded = foldl (flip (:)) [] flip :: (a -> b -> c) -> b -> a -> c flip f x y = f y x Prof. Dr. Margarita Espoda 7

18 Berechugsverlauf reverse_reloaded [x, x 2,, x ] foldl.2 foldl.2 foldl.2 => foldl (flip (:)) [] [x, x 2,, x ] => foldl (flip (:)) ((flip (:)) [] x ) [x 2,x 3,, x ] => foldl (flip (:)) ((:) x []) [x 2,x 3,, x ] => foldl (flip (:)) (x :[]) [x 2,x 3,, x ] => foldl (flip (:)) [x ] [x 2,x 3,, x ] => foldl (flip (:)) ((flip (:)) [x ] x 2 ) [x 3,, x ] => foldl (flip (:)) ((:) x 2 [x ]) [x 3,, x ] => foldl (flip (:)) (x 2 :[x ]) [x 3,, x ] => foldl (flip (:)) [x 2, x ] [x 3,, x ] =>... Prof. Dr. Margarita Espoda 8

19 Berechug der Fiboacci-Zahle. Lösug Beispiel: fib 7 fib 0 = 0 fib = fib = fib (-2) fib (-) fib 7 fib.0 fib. fib.2 fib 5 fib 6 fib 3 fib 4 fib 4 fib 5 fib fib 2 fib 2 fib 3 fib 2 fib 3 fib 3 fib 4 fib 0 fib fib 0 fib fib fib 2 fib 0 fib fib fib 2 fib fib 2 fib 2 fib 3 fib 0 fib fib 0 fib fib 0 fib fib fib 2 wiederholte Berechuge der fib-fuktio fib 0 fib Prof. Dr. Margarita Espoda 9

20 Berechug der Fiboacci-Zahle Wie viele Reduktiosschritte brauche wir, u fib zu bereche? fib 0 fib = fib 2 fib 3 fib 4 fib 5 fib Reduktioe = = 5 = = 3 Die Azahl der Reduktioe für fib ist gleich fib () Die rekursive Berechug der Fiboacci- Zahle hat eie expoetielle Koplexität O( (,68...) ) Prof. Dr. Margarita Espoda 20

21 Berechug der Fiboacci-Zahle 2. Lösug Edrekursive Fuktio quickfib fuktioiert ur, we diese it de erste zwei Fiboacci-Zahle gestartet wird. fib' = quickfib 0 Zähler where quickfib a b 0 = a quickfib a b = quickfib b (ab) (-) quickfib. quickfib.2 Ierhalb jedes rekursive Aufrufs wird eie eue Fiboacci-Zahl berechet ud der Zähler verkleiert. Die eue Zahl ud ihr Vorgäger werde bei ächste rekursive Aufruf als Paraeter weitergegebe. Azahl der Reduktioe Für die Berechug vo quickfib beötige wir Reduktioe, d.h. wir habe ur eie lieare Aufwad O() Prof. Dr. Margarita Espoda 2

22 Sid fib ud fib' äquivalet? Zu beweise ist: fib = fib' Für usere Beweis üsse wir folgede Eigeschaft der quickfib-fuktio per Iduktio über zeige. quickfib (fib i) (fib (i)) = fib (i) ze. Iduktiosafag: für = 0 quickfib (fib i) (fib (i)) 0 = fib i = fib (i0) Prof. Dr. Margarita Espoda 22

23 Iduktios-Aahe: quickfib (fib i) (fib (i)) = fib (i) Iduktiosschritt: quickfib (fib i) (fib (i)) () = fib (i())? quickfib (fib i) (fib (i)) () quickfib.2 fib.2 Iduktios-Aahe = quickfib fib (i) (fib (i) fib (i)) = quickfib fib (i) (fib ((i)) = fib ((i) ) = fib (i ()) Prof. Dr. Margarita Espoda 23

24 Sid fib ud fib' äquivalet? Behauptug: fib = fib'. Iduktiosafag: fib 0 = 0 = quickfib 0 0 = fib' 0 2. Iduktiosafag: fib = fib'. fib' = quickfib 0 quickfib.2 = quickfib 0 quickfib. = Prof. Dr. Margarita Espoda 24

25 Iduktiosaahe: fib = fib' Iduktiosschritt:? fib () = fib' () fib'. fib' () = quickfib 0 () fib.0 ud fib. = quickfib (fib 0) (fib ) () aus ze. = fib (()0) = fib () Prof. Dr. Margarita Espoda 25

Ähnliche Dokumente

Kapitel 10. Rekursion

Kapitel 10. Rekursion Eiführug i die Iformatik: Programmierug ud Software-Etwicklug, WS 1/14 1 Kapitel 10 Rekursio Rekursio Eiführug i die Iformatik: Programmierug ud Software-Etwicklug, WS 1/14 Ziele Das Prizip der rekursive