Dr. Günter Rothmeier Kein Anspruch auf Vollständigkeit Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit

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1 Uiversität Regesburg Nturwisseschftliche Fkultät I Didktik der Mthetik Dr. Güter Rotheier WS 008/09 Privte Vorlesugsufzeichuge Kei Aspruch uf Vollstädigkeit 5 7 Eleetrthetik (LH) ud Fehlerfreiheit. Zhlebereiche.5. Die koplexe Zhle.5.. Die koplexe Zhle sid icht Gegestd des Lehrpls. Allerdigs gebe viele Tscherecher uch koplexe Zhle ls Lösug vo qudrtische Gleichuge us. Aus diese Grude sollte i diese Zusehg uf die Nichtlösbrkeit vo Wurzel it egtive Rdikde higewiese werde..6. Poteze ud Wurzel.6.. Defiitio der Potez, IN... {; ;...} Fktore.6.. Potezgesetze Multipliktio vo Poteze it gleicher Bsis Wir leite die Regel us der Produktschreibweise vo Poteze b. (... ) (... ) Fktore Fktore... Divisio vo Poteze it gleicher Bsis Bei der Divisio betrchte wir vorerst ur solche Fälle, bei dee die Azhl der Fktore i Zähler größer ist ls i Neer. Fktore Fktore Fktore Multipliktio vo Poteze it gleiche Expoet Wir wede die Defiitio der Potez ud fsse eu zuse. b (... ) (b... b) jeweils Fktore... ( ) Fktore Mit Fktore gekürzt. ( b)... ( b) ( b) Divisio vo Poteze it gleiche Expoet b... b b... b b b... b b jeweils Fktore Poteziere vo Poteze ( )... Produkt it Fktore Produkt it Fktore Produkte it je Fktore Fktore

2 Uiversität Regesburg Nturwisseschftliche Fkultät I Didktik der Mthetik Dr. Güter Rotheier WS 008/09 Privte Vorlesugsufzeichuge Kei Aspruch uf Vollstädigkeit 5 7 Eleetrthetik (LH) ud Fehlerfreiheit.6.. Besoderheite Zusätzlich gilt für jede Bsis :.6.4. Defiitio der Potez, Z Fktore Fktore.6.5. Defiitio der Potez, IR Die Poteze ud 0 Wir forder die Gültigkeit des 5. Potezgesetzes. D gilt für > 0: ( ) Also: ( ) ist die ichtegtive Lösug der Gleichug x. Auf gleiche Weise wurde ber uch defiiert. Also uss gelte: ( ) Also: ( ) ist die Lösug der Gleichug x. Etspreched der Schreibweise bei Qudrtwurzel schreibt : I R 0 Verllgeeierug ( ) Also: ( ) Für die eue Poteze gelte lle Potezgesetze. Wir beschräke us uf de Nchweis für ds erste Potezgesetz. Für, x, y IR ud, us IN gilt: Beweis: Zugehörige Gleichuge: x y Poteziere: (x ) ( ) (y ) ( ) x y Gleichuge ultipliziere: x y (x y) Rdiziere: x y Also:

3 Uiversität Regesburg Nturwisseschftliche Fkultät I Didktik der Mthetik Dr. Güter Rotheier WS 008/09 Privte Vorlesugsufzeichuge Kei Aspruch uf Vollstädigkeit 5 7 Eleetrthetik (LH) ud Fehlerfreiheit.7. Wchstusprozesse.7.6. Herleitug der Fuktiosgleichug Wir zeige die Vorgehesweise eie Beispiel. Aufgbe: Vo eier Bkteriekultur sid fäglich 0 Bkterie vorhde. I Durchschitt verdoppelt sich ihre Azhl i jeder Stude. Auf welche Bestd ist die Bkteriekultur ch 5,5 Stude gewchse? Nch welcher Zeit ht sie sich verzehfcht. Gesucht ist lso der fuktiole Zusehg zwische der Zeit (x Stude) seit Alge der Kultur ud der Azhl (y) der vorhdee Bkterie. Zu Begi: y 0 0 bzw. y 0 0 y Nch Stude: y 0 bzw. y 0 y 0 Nch Stude: y 40 bzw. y 0 4 y 0 Nch Stude: y 80 bzw. y 0 8 y 0 Nch 4 Stude: y 4 60 bzw. y y Nch x Stude: y 0 x Ds Awchse der Bkteriekultur k lso durch die Fuktiosgleichug y 0 x it D I IN 0 beschriebe werde. Diese Gleichug k uch für Zwischewerte (z. B., Stude) verwedet werde, lso D I IR Grphische Lösug Aus der Grphik: Für x 5,5 erhält y 450 Überprüfug it de Tscherecher: y 0 5,5 Tstefolge: 0 x y 5,5 Azeige: 45,5484 Ds Ergebis k ur eie gze Zhl sei; lso ist uf zu rude. Nch 5,5 Stude ist die Bkteriekultur uf 45 Bkterie y 0 x gewchse. Aus der Grphik: Für y 00 erhält x, Nch, Stude ht sich die Azhl der Bkterie i der Bkteriekultur verzehfcht. 00, 5, Recherische Lösug Für y 00 erhält : 00 0 x 0 x. Logrithiere: lg 0 x lg Auflöse ch x: x lg 0 lg, Nch, Stude ht sich die Azhl der Bkterie i der Kultur verzehfcht..8. Abkligprozesse Abkligprozesse werde i loger Weise wie Wchstusprozesse behdelt. Uter Hlbwertszeit versteht diejeige Zeit, ch der die Hälfte eies Ausggsstoffes zerflle ist.

4 Uiversität Regesburg Nturwisseschftliche Fkultät I Didktik der Mthetik Dr. Güter Rotheier WS 008/09 Privte Vorlesugsufzeichuge Kei Aspruch uf Vollstädigkeit 5 7 Eleetrthetik (LH) ud Fehlerfreiheit.9. Übug.0 Aus eier Aöbezelle etstehe durch Zellteilug eue Zelle. Ihre Azhl verdoppelt sich pro Tg.. Wie viele Zelle köe i 5 Tge (0 Tge) etstehe?. Durch welche Fuktio f k der Vorgg beschriebe werde, we zu Begi Aöbe vorhde sid? [ Ergebis: f it y x ]. Tbellrisiere Sie f für x [0 ; 0] it Δx ud zeiche Sie de zugehörige Grphe. Zeit t x Tge x-achse: c Tge y-achse: c 00 Aöbe.4 Nch wie viele Tge sid ehr ls 000 Aöbe etstde?.5 Wie viele Aöbe gibt es ch 4 Tge?.0 Zu eie Kpitl K 0 werde die Zise jeweils Jhresede hizugefügt. Kpitl ud Zise werde zuse weiter verzist (Ziseszise). Ds Kpitl K 0 wächst so i Jhre bei p% Zise uf K. Es gilt die Gleichug: K K 0 ( p 00 ).. Auf welche Betrg wchse 800 EUR bei eie Zisstz vo 4% i 6 Jhre?. Legt 800 EUR bei 6% Verzisug für 4 Jhre fest, erhält ei kleieres Edkpitl. Bereche Sie de prozetule Uterschied bezoge uf K 6.. Wie hoch ist der Zisstz bei der Gleichug K K 0,055? Nch wie viele Jhre verdoppelt sich bei dieser Verzisug ds Kpitl?.0 Eie Bkteriekultur bedeckt i eier Petrischle eie Fläche vo 0 c.wird ei tibkterielles Mittel eigetropft, so sterbe stüdlich 5% der Bkterie b.. Erittel Sie recherisch, welche Fläche ch (5; 8; ; 4) Stude och vo de Bkterie bedeckt ist.. Bestätige Sie it de Ergebisse us.. dss der Abkligprozess durch die Gleichug y 0 0,85 x beschriebe wird.. Erittel Sie die Hlbwertszeit dieses Abkligprozesses..4 Nch welcher Zeit sid ur ehr % der Ausggsfläche bedeckt?

5 Uiversität Regesburg Nturwisseschftliche Fkultät I Didktik der Mthetik Dr. Güter Rotheier WS 008/09 Privte Vorlesugsufzeichuge Kei Aspruch uf Vollstädigkeit 5 7 Eleetrthetik (LH) ud Fehlerfreiheit Lösuge zu Übugsbltt.9: Zhlebereiche Ergäzuge Aufgbe. t 5 d (5) 5. Zu Begi: y 0 0 Nch Tg: y() Nch Tge: y(). Nch x Tge: y(x) x x 0 4 y x y Nch 4 Tge: 49 5 Aöbe 4. K ( 00 )6 0,6. K ( K,8 p,8 00 0, % 0, )4 009,98. p 5,5 % K 0 K 0,055,055 log,055 lg,95 lg,055 x. Nch Stude: 00 c c 00 0,85 c 85 c Nch Stude: 00 0,85 c 7, c Nch 5 Stude: 00 0,85 5 c 44,4 c Nch 8 Stude: 00 0,85 c 7, c Nch Stude: 00 0,85 c 4, c Nch 4 Stude: 00 0,85 4 c,0 c. Nch x Stude: 00 0,85 x c. A (4,7 50) Die Hlbwertszeit beträgt 4,7 Stude..4 B (4,0 ) Nch 4,0 Stude sid ur ehr % der Fläche bedeckt.