Kapitel I Zahlenfolgen und -reihen

Transkript

1 Kpitel I Zhlefolge ud -reihe D (Zhlefolge) Ist jeder Zhl geu eie Zhl R,,,, eie (reelle) Zhlefolge bilde M schrieb: Die heiße Glieder der Zhlefolge zugeordet, so sgt m, dss die Zhle B Eie Zhlefolge ist lso im Sie der Defiitio D eie Fuktio, dere Defiitiosbereich im Allgemeie die Mege der türliche Zhle ist Gelegetlich wird ls Defiitiosbereich eier Folge die Mege der gze Zhle gewählt Dies widerspricht ber icht dem Si userer Defiitio B Eie Zhlefolge lässt sich mchml formelmäßig drstelle Dbei k ds Bildugsgesetz explizit oder rekursiv sei BS Durch die Zhlefolge,, 3, 4, lässt sich die Mege der türliche Zhle beschreibe Zur Beschreibug derselbe Mege k uch hier ds explizite Bildugsgesetz mit hergezoge werde Ebeflls k m die rekursive Form :, : +, 0 wähle D (Teilfolge) Sei { } ud k, k, eie Folge vo türliche Zhle mit k < k < D hießt

2 { } k eie Teilfolge der Folge BS Die Folge,,,,,, 4 9 6,,,,,, ,,,,,, sid Teilfolge der Zhlefolge,,,,,,,,,, D 3 (Mootoie) heißt k Eie Zhlefolge mooto wchsed, we, + streg mooto wchsed, we <, + 3 mooto flled, we, + 4 streg mooto flled, we > + BS 3 Zeige Sie, dss die Folge streg mooto flled ist mit

3 Lösug:,? > ( + )? ( + ) > ( + ) >?? + + > + > 0 BS 4 Zeige Sie, dss die Folge ( + ) + + { } mit ( ) mooto wchsed ist Lösug: + ( ) + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ( ) ) 0 D 4 (Beschräktheit) heißt Die Zhlefolge ch ute beschräkt, we k R : k, 3

4 ch obe beschräkt, we K R : K, 3 beschräkt, we sie sowohl ch ute ls uch ch obe beschräkt ist bzw Kmx R : Kmx, mit Kmx mx k, K BS 5 Zeige Sie, dss die Folge mit ch ute beschräkt ist Lösug: k, BS 6 Zeige Sie, dss die Folge { } mit beschräkt ist Lösug: 3 k 0< K, D 5 (Ifimum, Supremum) Gegebe sei die Zhlefolge{ } Die Folge ht ds Ifimum g, we () g, () ε > 0 : < g+ ε 4

5 Die Folge ht ds Supremum G, we () G, () ε > 0 : > G ε M schreibt bzw BS 7 Zeige Sie, dss die Folge { }, ds Supremum G ht Lösug: () Es gilt g if G sup () d h ε > 0 : > ε > ε, > ε Z B für, 3 0 ε gilt >, d h D 6 (Grezwert) Die Folge { } kovergiert gege (die edliche Zhl), we für lle ε > 0 ei ( ε) existiert, so dss für lle > gilt: 5

6 < ε heißt Grezwert der Zhlefolge{ } schreibt: lim Existiert eie solche Zhl icht, liegt eie divergete Folge vor Gilt lim 0, do heißt die Folge eie ullfolge BS 7 Utersuche Sie die Folge uf Kovergez + { } mit Lösug: Es gilt:

7 Wir vermute lso lim, + de es gilt: + + +, < ε, + > ε Wähle wir lso :, ε d gilt für jedes > : <ε + Sei z B ε 0, d ist 09, 0 d h für lle > 9 gilt < 0 S Jede kovergete Folge ist beschräkt Beweis: Sei eie kovergete Folge mit dem Grezwert D existiert zu jedem ε > 0 ei ( ε), so dss für lle > ε < < + ε gilt Sei 7

8 Dmit gilt ( ) ( ) k: mi,,,,, ε K : mx,,,,, + ε k K,, d h die Folge{ } ist beschräkt S Sei { } eie kovergete Folge mit dem Grezwert D ht jede Teilfolge dieser Folge ebeflls de Grezwert Beweis: Lut Vorussetzug existiert zu jedem ε > 0 ei ( ε ), so dss für lle > gilt < ε Diese Ugleichug gilt jedoch uch für lle Glieder der Folge{ } mit k > k k BS 8 Die Folge { },, ht de Grezwert 0, de es gilt < ε, < ε, > : ε D hbe uch ihre Teilfolge { },, { },, 3 { }, 4 ebeflls de Grezwert 0 S 3 Eie Folge ht höchstes eie Grezwert 8

9 Beweis: Für die Folge { } möge gelte lim, lim, * * D gilt ( ) ( ) * * + * ( ) ( ) Wege der Kovergez der Folge k für jede och so kleie Zhl ε > 0 ei ( ε ) gefude werde, so dss für lle > gilt * ε ε ε < + Wege * ist * > 0 Wählt m u * ε <, so k die obige Ugleichug icht gelte Dher gilt *, 0 d h * S 4 Gegebe seie die Folge lim lim b D ht uch die Folge de Grezwert, b,, b, ud { b } mit S 5 Ist eie ullfolge ud { b } { } b beschräkt D ist die Folge 9

10 eie ullfolge BS 9 Sei,, b, b { } ( ) Die Folge Dmit ist die Folge b ist eie ullfolge Die Folge b ist beschräkt Es gilt z B { }, ( ) b b eie ullfolge S 6 Gegebe seie die Folge,{ b } Es gelte lim, lim b b D gilt lim( + b ) lim + lim b + b Beweis: Sei ε > 0 beliebig klei Es muss gezeigt werde: : + b < + b < + b+ ε,, +, ε Lut Vorussetzug gibt es u zu jedem eie Zhl bzw mit ε ε < < +,, +, ε ε b < b < b+,, +, Sei ( ) : mx, Die Additio vo de letzte beide Ugleichuge, die uch für lle > gelte, liefert die Behuptug 0

11 S 7 Gegebe seie die Folge,{ b } Es gelte lim, lim b b D gilt lim( b ) lim lim b b S 8 Gegebe sei die Folge{ }, 0 für lle Es gelte D gilt ( ) lim 0 lim lim S 9 Gegebe seie die Folge,, 0 für lle b b Es gelte lim, lim b b ( 0) D gilt lim lim b lim b b Beweis: Der Beweis folgt umittelbr us de Sätze S 8 ud S 9 B 4 Folgede Beziehuge lsse sich beweise: ( 6 ) lim c c lim c, : lim, c: eie beliebige Zhl, lim( b ) b, flls die Grezwerte lim ud lim b existiere B 5 Eie Kombitio der Beziehuge ( ) ud ( 7) ergibt:

12 ( 7 ) lim( c + cb ) c lim + clim b Die Eigeschft ( 6) bezeichet m ls Homogeität des Grezwertes vo Zhlefolge Als Spezilfälle vo ( 7) erhält m für c ud c ± : ( 8 ) lim( ± b ) lim ± lim b ( 8 ) drückt us, dss Grezwertbildug für Zhlefolge sowie Additio bzw Subtrktio vertuschbr sid, ud wird ls Additivität für Zhlefolge bezeichet Homogeität ud Additivität des Grezwertes für Zhlefolge werde uter dem Smmelbegriff Lierität des Grezwertes zusmmegefsst ud zwr i ( 7) BS 3 3 lim lim lim lim lim 7 7 lim + lim lim + lim 3 lim 0 lim+ 7 lim + 0 BS Wir bereche ( ( ) ) lim + Wege ( ) ( ) ( ) + + ( ) ( ) ( ) ( )

13 ht m ( ( ) ) lim + lim + + S 0 Gegebe seie die Folge { }, { b }, { c } Es gelte lim lim b, c b D ist { c } koverget, ud es gilt lim c Beweis: Es gilt ( 8 ) c b D die Folge { } de Grezwert besitzt, gilt ( 9 ) ε > 0 ei : ε < <+ ε, > Es gilt log für { b } ( 0 ) ε > 0 ei : ε < b <+ ε, > Sei : mx ; D gilt wege ( 8) ( 0) ε > 0 ei : ε < c b <+ ε 3

14 D 7 (Ueigetlicher Grezwert) ht de ueigetliche Grezwert +, we () Die Folge A> 0 ei : > A, > M schreibt: lim + (b) Die Folge { } ht de ueigetliche Grezwert, we A< 0 ei : < A, > M schreibt: lim I beide Fälle sgt m uch, dss die Folge bestimmt diverget ist mit dem (ueigetliche) Grezwert bzw + BS 3 Sei { },, 3,,, Die Folge ist bestimmt diverget, ud es gilt{ } +, de BS 4 Die Folge A> 0 ei : > A, > A { }, + ist bestimmt diverget mit lim, de mit A< 0gilt Z B ist für A < A, > ( A) ( ) 4

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