Mathematische Grundlagen 1. Zahlenrechnen

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1 Mthemtische Grudlge. Zhlereche Ihltsverzeichis:. Zhlereche..... Die Grudrecherte..... Reche i der Mege der türliche Zhle..... Reche i der Mege der gze Zhle Reche i der Mege der rtiole Zhle Rtiole Zhle Reche mit (gewöhliche) Brüche Reche mit Dezimlzhle Reche i der Mege der relle Zhle Rtiole ud irrtiole Zhle Reche mit Wurzel Reche mit Poteze... Vorbemerkug: Dieses Skript beschreibt die Grudlge des Reches mit Zhle. Es richtet sich lle Schüler b der 5. Jhrggsstufe. Die grudlegede Recheregel werde gegebe ud beschriebe. A Hd vo typische Beispiele wird erklärt, wie die Regel gewedet werde. Für Frge ud Areguge schreibe Sie mir bitte eie Emil rier.mrti@olie.de. zus. gestellt vo OStR Rier Mrti, Ehrebürg-Gymsium Forchheim, Std: Seite vo

2 Mthemtische Grudlge. Zhlereche. Zhlereche.. Die Grudrecherte Die Grudrecherte sid die Additio, Subtrktio, Multipliktio ud Divisio. Die Additio Ei Recheusdruck der Form + b heißt Summe. Es gilt: Beispiel: Summd plus. Summd Wert der Summe Die Subtrktio Ei Recheusdruck der Form b heißt Differez. Es gilt: Beispiel: 5 - Miued mius Subtrhed Wert der Differez Die Multipliktio Ei Recheusdruck der Form b heißt Produkt. Es gilt: Beispiel: 5 5. Fktor ml. Fktor Wert des Produkts Die Divisio Ei Recheusdruck der Form : b heißt Quotiet. Es gilt: Beispiel: 5 : 5 Divided durch Divisor Wert des Quotiete Nebe de Grudrecherte gibt es Ds Poteziere Ei Recheusdruck der Form Es gilt: ml heißt Potez. heißt Bsis (Grudzhl) ud b Expoet (Hochzhl). Beispiel: Hiweis: Die Recherte Additio ud Subtrktio et m Strichrechuge, die Recherte Multipliktio ud Divisio Puktrechuge. zus. gestellt vo OStR Rier Mrti, Ehrebürg-Gymsium Forchheim, Std: Seite vo

3 Grudlegede Recheregel: Mthemtische Grudlge. Zhlereche. Klmmerregel: ws i Klmmer steht, wird zuerst berechet.. Poteze vor Puktrechug: zuerst müsse die Poteze berechet, d die Multipliktioe ud Divisioe durchgeführt werde.. Puktrechug vor Strichrechug: zuerst müsse die Multipliktioe ud Divisioe durchgeführt werde, d die Additioe ud Subtrktioe. Beispiele: + (80 ) + (80 ) Regel zum Auflöse vo Klmmer:. Steht vor der Klmmer ei Plus (+), so lässt m die Klmmer eifch weg.. Steht vor der Klmmer ei Mius ( ), so ädert m beim Weglsse der Klmmer jedes Plus i der Klmmer zu Mius ud jedes Mius i der Klmmer zu Plus. Beispiele: + (80 ) (0 + 5) Reche i der Mege der türliche Zhle Die Mege der türliche Zhle ethält die Zhle ; ; ;.... M schreibt dfür: {; ; ;...} Hiweis: Die Zhl 0 gehört icht zur Mege der türliche Zhle. Ergäzt m um die Zhl 0, so erhält m 0 {0; ; ; ;...} gelese: N ull Besodere Zhle sid: - die gerde Zhle ; ; 6; 8; 0;... - die ugerde Zhle ; ; 5; 7;... - die Qudrtzhle ; ; 9; 6; 5;..., d. h. die Zhle, die durch Multipliktio eier türliche Zhl mit sich selbst etstehe. Z. B. ist ; ; 9 usw. - die Primzhle ; ; 5; 7; ; ;..., d. h. die türliche Zhle, die ur durch oder sich selbst teilbr sid. Bechte: ist keie Primzhl! Hiweise zu besodere Begriffe: - Oft soll m eie Zhl zerlege, d. h. überprüfe, ob sich eie Zhl ls Produkt zweier Zhle schreibe lässt. Eie besodere Bedeutug ht dbei die Zerlegug eier Zhl i Primzhle ( Primfktorisierug) Beispiele: Die Zhl lässt sich zerlege i,, 8, 6 usw.. Diese Zerlegug ist ls icht eideutig, dgege gibt es geu eie Primfktorisierug, ämlich: - Als Vielfchemege V eier Zhl bezeichet m die Mege ller Vielfche vo. Beispiele: V {; ; 6;...} Mege der gerde Zhle; V {; ; 6;..} er Eimleis - Als Teilermege T eier Zhl bezeichet m die Mege ller Teiler eier Zhl, lso ller Zhle durch die ohe Rest teilbr ist. Beispiele: T {; ; ; ; 6; 8; }, vgl. Zerleguge vo ; T {; }, vgl. ist Primzhl. zus. gestellt vo OStR Rier Mrti, Ehrebürg-Gymsium Forchheim, Std: Seite vo

4 Mthemtische Grudlge. Zhlereche I der Mege 0 gelte die folgede Rechegesetze: - für die Additio ds Kommuttivgesetz (Vertuschugsgesetz): + b b + Bedeutug: Bei eier Summe drf m die Summde vertusche. Beispiel: + + ( + b) + c + (b + c) ds Assozitivgesetz (Verbidugsgesetz): Bedeutug: Bei eier Summe drf m die Reihefolge der Berechug äder. Beispiel: (6 + 6) für die Multipliktio ds Kommuttivgesetz (Vertuschugsgesetz): b b Bedeutug: Bei eier Summe drf m die Fktore vertusche. Beispiel: ( b) c (b c) ds Assozitivgesetz (Verbidugsgesetz): Bedeutug: Bei eier Summe drf m die Reihefolge der Berechug äder. Beispiel: 5 0 (5 0) für die Verbidug vo Additio ud Multipliktio ds Distributivgesetz (Verteilugsgesetz): ( + b) c c + b c Bedeutug: Mit diesem Gesetz köe Klmmer ufgelöst, ber geuso Klmmer gesetzt werde. Beispiel: ( + ) ( + 7) zus. gestellt vo OStR Rier Mrti, Ehrebürg-Gymsium Forchheim, Std: Seite vo

5 Mthemtische Grudlge. Zhlereche.. Reche i der Mege der gze Zhle Die Mege der gze Zhle ethält die Zhle... ; -; -; -; 0; ; ; ;.... M schreibt dfür: {... ; -; -; -; 0; ; ; ;...} Teilmege vo sid u. A. + Mege der positive gze Zhle; Hiweise zu gze Zhle {... ; -; -; -} Mege der egtive gze Zhle - Die gze Zhle werde beötigt, dmit Gleichuge wie x + 7 lösbr werde, de die Lösug ist die gze Zhl. - Eie Zhl b, die sich ur durch ds Vorzeiche vo der Zhl uterscheidet, heißt Gegezhl zu. Zum Beispiel sid ud Gegezhle. - De Abstd eier Zhl zur Null et m Betrg der Zhl. Beispiele: ; - ; 0 0. Hiweise zum Reche mit gze Zhle - Bei Rechuge mit gze Zhle sid stets die Vorzeiche der Zhle zu berücksichtige. Prizipiell klärt m zuerst die Frge des Vorzeiches des Ergebisses der Rechug ud rechet d mit de Zhle ohe Rücksicht uf ds Vorzeiche, lso so, ls hätte m ur türliche Zhle gegebe. Ds Reche mit gze Zhle wird somit uf ds (bekte) Reche mit türliche Zhle zurück geführt. - Ds Vorzeiche eier Zhl wird ggfs. ls Rechezeiche gedeutet bzw. umgekehrt. Recheregel für ds Reche mit gze Zhle: Für die Additio zweier gzer Zhle: Hbe beide Summde gleiches Vorzeiche, so ht der Summewert ds gemeisme Vorzeiche ud m ddiert die Beträge der beide Summde. Hbe beide Summde verschiedees Vorzeiche ud de gleiche Betrg, so ist der Summewert 0. Hbe beide Summde verschiedees Vorzeiche, so ht der Summewert ds Vorzeiche der Zhl mit dem größere Betrg ud m subtrhiert de kleiere Betrg vom größere Betrg. Beispiele: 8 + +(8 + ) + 8 (8 + ) 7 (7 ) + 7 +(7 ) + Für die Subtrktio zweier gzer Zhle: Sttt eie Zhl zu subtrhiere, ddiert m ihre Gegezhl. Beispiel: ( ) 5 Für die Multipliktio zweier gzer Zhle: Hbe beide Fktore ds selbe Vorzeiche, so ist ds Produkt positiv. Hbe beide Fktore verschiedee Vorzeiche, so ist ds Produkt egtiv. Beispiele: 8 + ( 8) ( ) + ( 7) 8 ( ) 7 8 zus. gestellt vo OStR Rier Mrti, Ehrebürg-Gymsium Forchheim, Std: Seite 5 vo

6 Mthemtische Grudlge. Zhlereche Für die Divisio zweier gzer Zhle: Hbe Divided ud Divisor ds selbe Vorzeiche, so ist der Quotiet positiv. Hbe Divided ud Divisor verschiedee Vorzeiche, so ist der Quotiet egtiv. Beispiele: : + ( ) ( ) + : ( 7) 6 ( ) : 7 6 Hiweise: - I der Mege gelte die selbe Rechegesetze wie i der Mege 0 (siehe.). - Ds Kommuttiv- ud Assozitivgesetz der Additio gilt jetzt uch für die Subtrktio gzer Zhle. Begrüdug: Die Subtrktio eier Zhl etspricht der Additio der Gegezhl. Beispiel: 8 + ( 8) (8 ) 5. Somit gilt uch: Bechte: Beim Vertusche vo Zhle muss ds Rechezeiche vor jeder Zhl ls Vorzeiche der Zhl betrchtet werde ud dher beim Umstelle mitgeomme werde. Prktische Beispiele:. Gegebe ist der Term: ( ) 6 : 7 9 Beim Betrchte des Recheusdrucks ist zu erkee: Es gibt eie Klmmer, deshlb wird der Term i der Klmmer zuerst berechet. Dbei kommt die Puktrechug 5 8 vor. Deshlb wird zuerst 5 8 berechet. Im selbe Schritt k m uch die Divisio 6:9 bereche. Ds Zwischeergebis ist deshlb: ( + 0 8) 7 7 Nu ist die Klmmer ufzulöse, wobei wege dem Miuszeiche vor der Klmmer lle Rechezeiche i der Klmmer zu vertusche sid. Somit: Nu liege ur och Additioe bzw. Subtrktioe vor. Ds Ergebis ch dem Zusmmefsse ist: Die gesmte Umformug schut lso so us: 79 7 ( ) 6 : 9 7 ( + 0 8) Bei Poteze, Produkte ud Quotiete sollte stets i folgeder Reihefolge verfhre werde: Zuerst lle Vorzeiche betrchte ud dmit ds Vorzeiche des Ergebisses bestimme, d die Rechuge ohe Rücksicht uf die Vorzeiche durchführe. Beispiel: ( ) 8 Wege der Hochzhl ist dreiml mit sich selbst zu multipliziere, dmit sid es isgesmt Fktore mit jeweils dem Vorzeiche Mius. Ds Ergebis ht dmit ei positives Vorzeiche. Die weitere Rechug ohe Berücksichtigug der Vorzeiche liefert 8 ud somit 8. zus. gestellt vo OStR Rier Mrti, Ehrebürg-Gymsium Forchheim, Std: Seite 6 vo

7 Mthemtische Grudlge. Zhlereche.. Reche i der Mege der rtiole Zhle... Rtiole Zhle Die Mege der rtiole Zhle ethält die gze Zhle ud lle Brüche. Diese Zhle lsse sich icht mehr ls Mege i ufzähleder Form drstelle. M verwedet dher hier zur Drstellug die Itervllschreibweise. M schreibt: ] ; + [ Teilmege vo sid u. A. ; ; + 0 [0; [; + ]0; [ Hiweis zur Itervllschreibweise: M uterscheidet, ob die Greze des Itervlls zum Itervll dzu gehöre oder icht, ud spricht dher vo eiem - bgeschlossee Itervll [; b], we ud b dzu gehöre, - offee Itervll ]; b[, we ud b icht dzu gehöre, - hlboffee Itervll [; b[ oder ]; b], we bzw. b dzu gehört. Bechte dbei die Verwedug der Klmmer [ ud ]. Ds Klmmersymbol zeigt ch ie, we die Greze zum Itervll dzu gehört. Hiweise zur Drstellug vo Zhle ud Itervlle: Zhle ud Itervlle lsse sich uf eier Zhlegerde drstelle. Beispiele: Auf dieser Zhlegerde sid die Zhle ud,5 sowie die Itervlle [; ] ud ]- ; ] drgestellt ,5 Hiweis zu de rtiole Zhle: - Die rtiole Zhle werde beötigt, dmit Gleichuge wie 7 x lösbr werde, de die Lösug ist die rtiole Zhl 7. - Eie (positive) Zhl ist eie rtiole Zhl, we sie sich ls Quotiet zweier türlicher Zhle schreibe lässt. Also: r r b mit, b 5 Beispiele für rtiole Zhle sid ; ; 0,; -,00 usw. Hiweis: I der Mege gelte die selbe Rechegesetze wie i der Mege (siehe.). zus. gestellt vo OStR Rier Mrti, Ehrebürg-Gymsium Forchheim, Std: Seite 7 vo

8 Mthemtische Grudlge. Zhlereche... Reche mit (gewöhliche) Brüche Zähler z Ei (gewöhlicher) Bruch ist vo der Form:, kurz: wobei z,. Neer Ei Bruch lässt sich ls ds Ergebis der Divisio zweier türlicher Zhle deute. Also: z z : Beispiele: 5 : ; 5 : Ei Bruch heißt: - echter Bruch, we z <, z. B., - uechter Bruch, we z, z. B. 5, - gemischter Bruch, we er die Form Gzzhl + echter Bruch ht, z. B. +, - Kehrbruch, we Zähler ud Neer vertuscht sid, z. B. ist der Kehrbruch zu. Erweiter ud Kürze vo Brüche Erweiter eies Bruches bedeutet, de Zähler ud Neer des Bruches mit der selbe Zhl zu multipliziere. 5 Beispiel: Kürze eies Bruches bedeutet, de Zähler ud Neer des Bruches durch die selbe Zhl zu teile, sofer Zähler ud Neer eie gemeisme Teiler besitze. Sid Zähler ud Neer teilerfremd, so ist der Bruch i der Grudform, d.h. er lässt sich icht weiter kürze. Beispiele: ist i der Grudform, d ud teilerfremd; 6 ist kürzbr zu, de ud 6 besitze de größte gemeisme Teiler, lso 6. : Additio (Subtrktio) vo Brüche Hiweis: Brüche mit gleichem Neer heiße gleichmig. Zwei Brüche werde ddiert (subtrhiert), i dem m ihre Neer gleichmig mcht ud d ihrer Zähler ddiert (subtrhiert). Also: b b ± ± Beispiele: ; Hiweis: Bei jedem Ergebis wird geprüft, ob der Bruch kürzbr ist, z. B :5 Multipliktio vo Brüche Zwei Brüche werde multipliziert, i dem m ihre Zähler multipliziert ud ihre Neer multipliziert. Also: c c b d b d Beispiel: Hiweis: Gemischte Brüche müsse vor dem multilpliziere i uechte Brüche umgewdelt werde, 5 Beispiel: Hiweis: Bevor m die Zähler bzw. Neer usmultipliziert, sollte geprüft werde, ob sich der Bruch kürze lässt, kürze5mit 0 ud mit Beispiel: Hiweis: Ei beliebter Fehler beim Multipliziere ist, dss Brüche uötigerweise gleichmig gemcht werde. zus. gestellt vo OStR Rier Mrti, Ehrebürg-Gymsium Forchheim, Std: Seite 8 vo

9 Mthemtische Grudlge. Zhlereche Divisio vo Brüche Zwei Brüche werde dividiert, i dem m de erste Bruch mit dem Kehrbruch des zweite Bruchs multipliziert. Also: c d : b d b c Beispiel: : Hiweis: Es gelte die selbe Hiweise wie bei der Multipliktio vo Brüche.... Reche mit Dezimlzhle Eie Dezimlzhl ( Dezimlbruch) ist eie Bruchzhl uter Verwedug der Kommschreibweise. Beispiele: 0,; 5,5; -,00 usw. Die Stelle ch dem Komm heiße Dezimle ( Nchkommstelle). Ihre Werte heiße Zehtel z, Huderstel h, Tusedstel t usw. Hiweis: Jede Dezimlzhl lässt sich ls gewöhlicher Bruch drstelle ud umgekehrt. Beispiele: ,75 00 ; , 75 Additio (Subtrktio) vo Dezimlzhle M ddiert (subtrhiert) wie bei türliche Zhle die Ziffer mit gleichem Stellewert. Beispiele:,5 +,058 0,05 0, ,050 0, ,0055,0 Multipliktio zweier Dezimlzhle M multipliziert zuächst die beide Zhle ohe Rücksicht uf ds Komm ( Neberechug!). Ds Ergebis ht d so viele Nchkommstelle, wie beide Dezimlzhle zusmme besitze. Beispiel:,5,7 6,065 Neberechug: Divisio zweier Dezimlzhle M verschiebt bei Divided ud Divisor ds Komm um jeweils so viele Stelle ch rechts bis der Divisor eie türliche Zhl ist. Durch diese türliche Zhl wird d dividiert, wobei beim Überschreite des Komms des Dividede uch beim Ergebis ei Komm gesetzt wird. Beispiel:,5 :,5,5 : 5,98 Hiweise zu Dezimlzhle Eie Dezimlzhl ist ds Ergebis eier Divisio zweier türlicher Zhle. Bricht diese Divisio irgedw b, so etsteht eie edliche Dezimlzhl. Beispiel: : 0,75. Bricht die Divisio dgege icht b, so werde sich die Reste der Divisio irgedw wiederhole ud dmit uch die Zifferfolge der Dezimlzhl. Eie solche Dezimlzhl heißt periodische Dezimlzhl. M uterscheidet reiperiodisch ud gemischtperiodisch. Beispiele: : 0, 0,, gelese: Null Komm Periode drei reiperiodisch :7 0,857 0,857 reiperiodisch 5 :6 0,8 0,8, gelese: Null Komm cht Periode drei gemischtperiodisch zus. gestellt vo OStR Rier Mrti, Ehrebürg-Gymsium Forchheim, Std: Seite 9 vo

10 Mthemtische Grudlge. Zhlereche.5. Reche i der Mege der relle Zhle.5.. Rtiole ud irrtiole Zhle Die Mege der reelle Zhle ethält die rtiole Zhle ud lle irrtiole Zhle. Eie Zhl ist rtiol, we sie sich ls Bruch drstelle lässt, bei dem Zähler ud Neer gzzhlig sid. Ist diese Drstellug icht möglich, so ist die Zhl irrtiol. Beispiel: Die Frge Welche Zhl x ist ht ls Qudrt? lässt sich kurz ls Gleichug x schreibe. Es lässt sich zeige, dss die Zhl x, dere Qudrt gleich ist, sich icht ls Bruch zweier gzer Zhle schreibe lässt. Dmit ist x eie irrtiole Zhl..5.. Reche mit Wurzel Wurzel ls irrtiole Zhle Die Lösug der Gleichug x schreibt m forml ls. Dmit ist eie irrtiole Zhl. Viele Wurzel wie, 8 usw. sid irrtiole Zhle. Dgege ist z. B. eie rtiole Zhl, d gilt:. Defiitio der Wurzel: Die Wurzel us eier Zhl ist die Zhl, dere Qudrt gleich ist. Also gilt: ( ) wobei + 0 Hiweis: Die Zhl uter der Wurzel heißt Rdikt. Hiweis zur Berechug vo Wurzel: Eie Wurzel lässt sich z. B. durch eie Itervllschchtelug bereche. Dbei wird ds Itervll i dem der Wurzelwert liegt immer kleier gemcht. Die Greze des Itervlls sid stets rtiole Zhle. D m die Itervllläge beliebig verkleier k, ergibt sich, dss eie Wurzel ud dmit eie irrtiole Zhl eie uedliche, ichtperiodischer Dezimlzhl ist. Beispiel: Welche Wert ht? Eie mögliche Itervllschchtelug ist: < < de < <, < <,5 de, < <,5,< <, de, < <, usw. Ergebis:, Hiweis:, ist ur eie Näherug vo, ber icht der exkte Wert. Für de exkte Wert vo Wurzel us verwedet m ds Symbol. zus. gestellt vo OStR Rier Mrti, Ehrebürg-Gymsium Forchheim, Std: Seite 0 vo

11 Mthemtische Grudlge. Zhlereche Für ds Reche mit Wurzel gelte folgede Recheregel. Additio (Subtrktio) zweier Wurzel Die Summe zweier Wurzel ist i. A. icht die Wurzel der Summe der beide Wurzel. I. A. gilt: + b + b!!! Beispiel: Wege 9, 6 ud 5 5 ist zu erkee: , lso Hiweis: Eie Term wie + k mit icht zusmmefsse, somit bleibt er so stehe! Dgege k m z. B. + zu zusmmefsse. + + M verwedet dbei ds Distributivgesetz i folgerder Form: ( ) Multipliktio zweier Wurzel Ds Produkt zweier Wurzel ist gleich der Wurzel us dem Produkt der beide Wurzel. D. h. es gilt: b b Beispiel: Divisio zweier Wurzel Der Quotiet zweier Wurzel ist gleich der Wurzel us dem Quotiete der beide Wurzel. bzw. b b D. h. für b 0 gilt: : b : b Beispiel: : 6 : 9 : 6 Hiweise zum Reche mit Wurzel: Aus de obige Rechegesetze leite sich folgede besodere Umformugsmöglichkeite für Wurzel b: - Eie Wurzel rdiziere bedeutet, de Wurzelwert ohe Wurzelzeiche schreibe zu köe. Dies ist immer d möglich, we die zu berechede Wurzel eie Qudrtzhl ist. Beispiele:,,, de,,; 9 - I de meiste Fälle wird sich eie Wurzel icht rdiziere lsse. D ist oft ei teilweises Rdiziere möglich. Dbei wird der Rdikt soweit ls Produkt zweier Fktore geschriebe, wobei ei Fktor eie Qudrtzhl ist. Beispiel: - Die Umkehrug des teilweise Rdizieres ist ds Ziehe uter die Wurzel. Beispiel: Häufig ergebe sich ch Umformuge Brüche bei dee im Neer ei Wurzelusdruck steht. Ds schut us mthemtischer Sicht icht schö us. Deshlb wird m de Neer rtiol mche. Dzu wird der Bruch so erweitert, dss der Wurzelusdruck im Neer verschwidet. + + Beispiele: ; ( )( ) ( + ) + zus. gestellt vo OStR Rier Mrti, Ehrebürg-Gymsium Forchheim, Std: Seite vo

12 .5.. Reche mit Poteze Ei Recheusdruck der Form Es gilt: Mthemtische Grudlge. Zhlereche ml Beispiele: ; ( ) 8 7 heißt Potez. heißt Bsis (Grudzhl) ud b Expoet (Hochzhl). Dbei ist ud. ; -0, -0,000 Drus folgt die erste Erweiterug des Potezbegriffs für Poteze mit egtive Expoeete. Es gilt: Beispiele: 8 ml ; ( ) ( ) 9 9 Dbei ist \{0} ud. ; 0, Hiweise: I de Nturwisseschfte spiele vor llem die Zeherpoteze eie wichtige Rolle. Es ist: 0-0,0 0-0, Mit Hilfe vo Zeherpoteze lsse sich Zhle i der Gleitkommdrstellug Beispiele: 0 0, 0 0, Es ist üblich, dss eie Stelle vor dem Komm ht. Ei Ergebis wie 500 gibt m i Gleitkommdrstellug dher ls,5 0. Für gewisse Zeherpoteze sid Vorsilbe ls Abkürzuge gebräuchlich. Beispiele: 0 k (Kilo), lso 000g kg 0 6 M (Meg), lso 0MByte 0 - c (Zeti), lso 0,0m cm z 0 schreibe: zus. gestellt vo OStR Rier Mrti, Ehrebürg-Gymsium Forchheim, Std: Seite vo

13 Mthemtische Grudlge. Zhlereche Für ds Reche mit Poteze gelte folgede Recheregel. Hiweis: Die Bse köe beliebige reelle Zhle ußer 0 ud die Expoete beliebige reelle Zhle sei. Additio (Subtrktio) zweier Poteze Bei der Additio (Subtrktio) zweier Poteze gelte die Regel Potez vor Pukt ud Pukt vor Strich. Beispiel: Hiweis: Beim Multipliziere ud Dividiere vo Poteze ist zu uterscheide, ob die Poteze gleiche Bse oder gleiche Expoeete besitze. Multipliktio zweier Poteze mit gleicher Bsis Bei der Multipliktio zweier Poteze mit gleicher Bsis bleibt die Bsis gleich ud es werde die Expoete ddiert. D. h. es gilt: x y x+ y + 5 Beispiel: ( ) Divisio zweier Poteze mit gleicher Bsis Bei der Divisio zweier Poteze mit gleicher Bsis bleibt die Bsis gleich ud es werde die Expoete subtrhiert. D. h. es gilt: x : y x y bzw Beispiel: : ( ) x y x y Multipliktio zweier Poteze mit gleichem Expoete Bei der Multipliktio zweier Poteze mit gleichem Expoete werde die Bse multipliziert ud der Expoet bleibt gleich. x x D. h. es gilt: b ( b) x Beispiel: ( ) 6 ( 6) Divisio zweier Poteze mit gleichem Expoete Bei der Divisio zweier Poteze mit gleichem Expoete werde die Bse dividiert ud der Expoet bleibt gleich. x x D. h. es gilt: : b ( : b) x bzw. Beispiel: : ( : ) ( 6) b x x b x zus. gestellt vo OStR Rier Mrti, Ehrebürg-Gymsium Forchheim, Std: Seite vo

14 Mthemtische Grudlge. Zhlereche Poteze vo Poteze M poteziert eie Potez i dem m die Bsis beibehält ud die Expoete multipliziert. y x x y D. h. es gilt: ( ) 6 Beispiel: ( ) ( 6) Die zweite Erweiterug des Potezbegriffs für Poteze mit rtiole Expoeete. Defiitio der -te Wurzel: Die -te Wurzel us eier Zhl ist die Zhl, dere -te Potez gleich ist. Also gilt: ( ) wobei + 0 ; Hiweis: Die -te Wurzel us eier Zhl ist dmit die Lösug der Gleichug x. Ei Soderfll sid die Qudrtwurzel, d. h.. Beispiele: 6, de 6; 8 6 6, de ( ) 8 Die Gleichug x 8 ht die Lösug x 8. Dgege ht die Gleichug x 9 die Lösug x 9. Ds Ergebis k icht weiter vereifcht werde, d es keie rtiole Zhl gibt, dere. Potez 9 ist. Hiweis: Vergleiche hierzu ds Kpitel über Reche mit Wurzel (.5.). M k -te Wurzel geu so wie Qudrtwurzel rdiziere, teilweise rdiziere, uter die Wurzel ziehe ud Neer rtiol mche. Beispiel: Poteze mit rtiole Expoeete: M defiiert: q p q p wobei + ; p ; q 0 Hiweis: Die Zhl p q ist dmit die Lösug der Gleichug x q p. Beispiel: Die Zhl 5 5 ist die Lösug der Gleichug x 5 ud dmit vo x 5. Beispiele zum schrittweise Umforme vo Wurzelusdrücke: 8 8. oder so +. ( ) Hiweis: Durch Betrchtug vo Itervllschchteluge für irrtiole Zhle ist es möglich, de Potezbegriff uf reelle Expoete zu erweiter. Dmit sid für Expoete lle beliebige Zhle möglich. Die Rechegesetze ud Methode für Poteze gelte dmit für lle Poteze mit beliebige Expoete. zus. gestellt vo OStR Rier Mrti, Ehrebürg-Gymsium Forchheim, Std: Seite vo