MATHEMATIK BASICS. Potenzen, Wurzeln und Logarithmen. Marc Peter Rainer Hofer. Ausgefülltes Exemplar für Lehrpersonen (Folienvorlagen)

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1 MATHEMATIK BASICS Mrc Peter Rier Hofer Poteze, Wurzel ud Logrithme Ausgefülltes Eemplr für Lehrpersoe (Folievorlge) Impressum Iteret: Folievorlge ud Lerkotrolle ISBN (Schüleruch: ISBN ). Auflge 00 Alle Rechte vorehlte 00 h.e.p. verlg g Bildug.Medie.Kommuiktio, Ber/Schweiz h.e.p. verlg g Bildug.Medie.Kommuiktio Brugsse 6 CH-0 Ber Bildugsetwicklug, Mittelschul- ud Berufsildugsmt des Ktos Zürich ILeB, Istitut für Lehrerildug ud Berufspädgogik, eie Bildugsstelle des Ktos Zürich

2 Bildug Medie Kommuiktio Der Schweizer Lermedie- ud Bildugsverlg Mrc Peter / Rier Hofer Poteze, Wurzel ud Logrithme ISBN Auflge 00 Reihe: Mthemtik Bsics Weitere Titel dieser Reihe siehe hite im Buch Ausgefülltes Eemplr für Lehrpersoe (Folievorlge) ISBN Iteret: Zustzmterilie Umschlg: Wiggehuser & Woodtli, Zürich Biliogrfische Iformtio Der Deutsche Biliothek Die Deutsche Biliothek verzeichet diese Puliktio i der Deutsche Ntioliliogrfie; detillierte iliogrfische Dte sid im Iteret uter rufr. Alle Rechte vorehlte 00 h.e.p. verlg g Bildug.Medie.Kommuiktio, Ber/Schweiz Auslieferug: h.e.p. verlg g Auslieferuge DLS Lehrmittel AG Speerstrsse Wil Tel: F: E-Mil: dls@twil.ch h.e.p. verlg g Bildug.Medie.Kommuiktio Brugsse 6 CH 0 Ber

3 Ihltsverzeichis Ds Poteziere, Defiitio, Vorzeicheregel Seite. Addiere ud Sutrhiere vo Poteze Seite 6. Multipliziere vo Poteze Seite 7. Dividiere vo Poteze Seite 9. Soderfälle eim Dividiere vo Poteze Seite. Poteziere vo Poteze Seite.6 Poteziere vo Biome Seite 6.7 Awedug: Zeherpoteze Seite 8 Ds Rdiziere, Defiitio, irrtiole Zhle Seite. Die Wurzel ls Potez mit gerocheem Epoete Seite. Addiere ud Sutrhiere vo Wurzel Seite 8. Rdiziere vo Produkte Seite 8. Rdiziere vo Brüche Seite 0. Etfere der Wurzel us dem Neer Seite.6 Rdiziere vo Poteze Seite.7 Multipliziere ud Dividiere ugleichmiger Wurzel Seite.8 Rdiziere vo Wurzel Seite Ds Logrithmiere Seite 7. Zeherlogrithme Seite 7. Logrithme mit elieiger Bsis Seite 9. Logrithmegesetze Seite. Üergg vo eiem Logrithmesystem zu eiem dere Seite Lösuge zu de Üuge Seite 6 Poteze, Wurzel ud Logrithme Seite

4 Ds Poteziere, Defiitio, Vorzeicheregel Besteht ei Produkt us luter gleiche Fktore, so drückt m es verkürzt ls Potez us. Der Epoet git, wie oft die Bsis ls Fktor gesetzt werde soll. Bsis ud Epoet dürfe wir icht vertusche: Aushme: Es gilt zudem: Allgemei: Poteze, Wurzel ud Logrithme Seite

5 Ageleitet us der Multipliktio erhlte wir die Vorzeicheregel für die Poteze. Eie Potez ist positiv, we die Bsis positiv ist Bsis egtiv ud der Epoet eie gerde Zhl ist ( ) Eie Potez ist egtiv, we die Bsis egtiv ud der Epoet eie ugerde Zhl ist ( ) ( ) ) ( ) ) c) ( ) d) Poteze, Wurzel ud Logrithme Seite

6 Üug Bereche Sie mit Hilfe des Tscherechers die Werte der Poteze. ) ) c) ( ) d) e) (, ) Tscherecher: Üug Bereche Sie. ) ( ) + ( ) ) c) ( ) ( ) 6 + d) e) ( ) 9 f) ( ) + ( ) ( ),,,. Addiere ud Sutrhiere vo Poteze Wir köe ur Poteze mit gleiche Epoete ud gleiche Bse ddiere oder sutrhiere. Sie werde ddiert, idem m ur ihre Beizhle ddiert oder sutrhiert. ) y + y + ) c + + c c) d), + 7, Poteze, Wurzel ud Logrithme Seite 6

7 Üug Addiere ud sutrhiere Sie die Poteze. ) ) c) + d) + + ( ) 9 c + c 6 e) + 6 f) m + m 9m + m g) 6 ( + 6 ) h) y y + y + ( y ). Multipliziere vo Poteze Poteze köe wir d miteider multipliziere, we: die Bse gleich sid oder die Epoete gleich sid. ) Gleiche Bse Poteze mit gleiche Bse multipliziere wir, idem wir die Epoete ddiere ud die Bsis mit der Summe der Epoete poteziere. m m + ) ) c) d) y ( 6y ) Poteze, Wurzel ud Logrithme Seite 7

8 ) Gleiche Epoete Poteze mit gleiche Epoete werde miteider multipliziert, idem m ds Produkt der Bse mit dem gemeisme Epoete poteziert. ( ) ) ( ) ( ) ) ( z) 6 Sehr oft muss m umgekehrt ei Produkt poteziere: Wir müsse d jede Fktor poteziere. ) ( ) y ) ( y ) ( ) Poteze, Wurzel ud Logrithme Seite 8

9 Üug Multipliziere Sie die Poteze. ) ) c) d) e) d ( d ) f) c 7c 7 g) c 6 c h) y z 7 y z y z i) ( + 6 ) k) ( c ) l) ( 6 c ) m) ( m + ) ( m ) ) ( y ) ( y ) + o) ( ) p) ( 6c) q) ( cd ) r) ( 7 c ) s) ( m ) t) ( y ) ( y ) u) ( yz ). Dividiere vo Poteze Auch ei der Divisio köe Poteze durch Poteze ur dividiert werde, we: die Bse gleich sid oder die Epoete gleich sid. ) Gleiche Bse Poteze mit gleiche Bse werde dividiert, idem m die Epoete sutrhiert ud die Bsis mit der Differez der Epoete poteziert. m m Poteze, Wurzel ud Logrithme Seite 9

10 Poteze, Wurzel ud Logrithme Seite 0 ) + Achtug: We ötig, eie Klmmer setze! ) + c) + + y y c c 7 ) Gleiche Epoete Poteze mit gleiche Epoete werde dividiert, idem m de Quotiete der Bse mit dem gemeisme Epoete poteziert. ( ) ( ) 0 ) 8 ) ( ) ( ) c

11 Umgekehrt poteziert m eie Bruch, idem m Zähler ud Neer jeweils eizel poteziert. c ) 7 6 m ) m c). Soderfälle eim Dividiere vo Poteze Jede Potez mit dem Epoet 0 ht de Wert. 0 0 c ) ) 7 y 0 Poteze, Wurzel ud Logrithme Seite

12 Gleiche Bsis ud der Epoet des Neers ist grösser ls der des Zählers. Es git deshl zwei gleichwertige Schreiweise. Wolle wir lso eie Potez vom Zähler i de Neer oder vom Neer i de Zähler rige, müsse wir ds Vorzeiche der Epoete umkehre. ) 0 ) c) 0 d) mi e) + Poteze, Wurzel ud Logrithme Seite

13 Poteze, Wurzel ud Logrithme Seite Üug Dividiere Sie die Poteze. ) ) c) m m c c + d) z z y d y d e) f) ( ) ( ) 6 g) ( ) ( ) 8 h) 7 : i) 9 : k) : m m l) : d c d c m) ( ) ( ) ( ) ( ) : y y + + ) ( ) 66 : y c y c + + o) ( ) ( ) ( ) ( ) y y 6 6 p) ( ) : q) ( ) ( ) ( ) ( ) y y e c e c

14 . Poteziere vo Poteze Eie Potez wird poteziert, idem m die Epoete multipliziert ud die Bsis mit diesem Produkt poteziert. ( 6 ) m m ( ) ) e ) ( ) c) ( ) d) ( ) D m ei eiem Produkt die Fktore vertusche k, drf m eim Poteziere vo Poteze die Epoete vertusche. ( ) m m ( ) ( ) m Poteze, Wurzel ud Logrithme Seite

15 Üug 6 Poteziere Sie die Poteze. ) ( ) ) ( 0, ) c) ( ) d) ( ) e) ( ) 6 f) ( ) g) ( c ) 6 h) ( d ) i) ( m ) k) ( r s ) l) ( y ) m) ( y z ) y + m ) ( ) o) ( y ) p) ( ) y q) ( ) 0 r) z y 0 s) c t) u) y 7 w) ( ) v) ( + y) ) ( y ) y) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) Poteze, Wurzel ud Logrithme Seite

16 .6 Poteziere vo Biome Ei Biom ist eie lgerische Summe mit zwei Glieder. Der frzösische Mthemtiker B. Pscl (6 66) etdeckte die Gesetzmässigkeite ei der Berechug vo iomische Formel. Wir köe deshl Biome mit Hilfe des Pscl sche Dreiecks poteziere ud uf diese Weise uch Biome für hohe Poteze sofort schreie. Ds Pscl sche Dreieck ut sich wie folgt uf: Regel zum Orde der Poteze: Die Vorzeicheregel sid: Poteze, Wurzel ud Logrithme Seite 6

17 Dzu zwei Beispiele. ( + ) : ( + ) ( y) : ( y) Poteze, Wurzel ud Logrithme Seite 7

18 .7 Awedug: Zeherpoteze Besoders eim Löse vo techische ud physiklische Aufge ietet ds Reche mit Zeherpoteze grosse Vorteile. Dmit köe wir sehr grosse ud sehr kleie Zhlewerte eifcher usdrücke. Uter eier Zeherpotez verstehe wir eie Potez mit der Bsis 0, lso z.b: Wir köe elieige, vor llem sehr grosse oder sehr kleie Zhle ls Produkt eier Zhl ud eier Zeherpotez schreie. Dzu zerlege wir die Zhle i die etsprechede Fktore: M et dies die wisseschftliche Form oder die Epoeteschreiweise eier Zhl, lso ei Produkt eier Zhl zwische ud 0 ud eier Zeherpotez. Allgemei geschriee: 0 0 Poteze, Wurzel ud Logrithme Seite 8

19 Die meiste Tscherecher he für diese Schreiweise eie spezielle Tste, dmit m die Zhle equem eigee k:.. Üug 7 Schreie Sie die folgede Zhle i wisseschftlicher Form (ohe TR). ) 00 ) c) 000 d) e) 0,0 f) 0,007 g) 0,0066 h) 00 i) 0, Für ds Reche mit de Zeherpoteze gelte die Gesetze der Potezrechug. D die Bse ller Zeherpoteze gleich sid, lsse sich Multipliktioe ud Divisioe prolemlos durchführe , ,00 0,08 00 Poteze, Wurzel ud Logrithme Seite 9

20 Üug 8 Bereche Sie mit Hilfe der Zeherpoteze ud ohe Recher. Gee Sie die Lösug i der wisseschftliche Form. ) 00 ) , 006 c) 0,00 80 d) 6 0,000 e) 60 0,000 0,00 f) 0,00 0,0 Üug 9 Bereche Sie mit Hilfe des Tscherechers. ) ) 7, 0 8, 0 c), ( 0 0 ) d) 0,00000 e) 6 0, f) g) Wie viele km ht ei Lichtjhr? Lichtjhr Weg i eiem Jhr, Lichtgeschwidigkeit km/s Jhr 6 Tge h) Wie viele Blutkörperche ethlte 8 Liter Blut eies Mesche, we mm durchschittlich Millioe Blutkörperche ethält? Poteze, Wurzel ud Logrithme Seite 0

21 Die Zeherpoteze fide uch Awedug ei de SI-Vorsätze: Bezeichug Vorstz Bedeutug (Fktor) Beispiele Gig Meg Kilo Hekto Dek Bsis Dezi Ceti Milli Mikro Üug 0 Gee Sie die Werte mit der Grudeiheit i Epoeteschreiweise. ) µm ) kn c) 0 cm d) 6 MHz e) 67 GW f) 0, µs g) km h) 687 g Poteze, Wurzel ud Logrithme Seite

22 Ds Rdiziere, Defiitio, irrtiole Zhle Ds Rdiziere ist ds Reche mit Wurzel. Frge wir us zum Beispiel, welche Zhl im Qudrt erhoe werde muss, um die Zhl 9 zu erhlte, so stelle wir fest, dss die Bsis uekt ist. M ediet sich dfür eier esodere Schreiweise, die us sicher scho ekt ist: Allgemei: Ist der Wurzelepoet eie, so wird er icht geschriee: Wir ee dies eie Qudrtwurzel. Diese Schreiweise k eim Kürze zu Schwierigkeite führe, d uterschiede werde muss, o die Wurzel wegfällt oder der Wurzelepoet wird. Poteze, Wurzel ud Logrithme Seite

23 D ds Rdiziere eie Umkehrug des Potezieres ist, gilt folgedes: Rdiziere ud chfolgedes Poteziere mit dem gleiche Epoete hee sich somit uf. I der umgekehrte Reihefolge gilt dies jedoch icht immer: Allgemei köe wir schreie: gerde Zhl elieige Zhl ugerde Zhl 0 Poteze, Wurzel ud Logrithme Seite

24 Wir wisse, dss die Gesmtheit der egtive ud positive gze Zhle ls Pukte uf der Zhlegerde verschulicht werde k. Die Additio, Sutrktio ud Multipliktio gzer Zhle ergit wieder gze Zhle. Die Divisio mcht higege die Eiführug vo Brüche otwedig. Aer uch eiem Bruch k ei Pukt uf der Zhlegerde zugeordet werde. Alle Bruchzhle, zusmme mit der Gesmtheit der gze Zhle, et m rtiole Zhle. Bei der Awedug der vier Grudrecherte im Bereich der rtiole Zhle erhält m wieder rtiole Zhle. Ausgeschlosse ist ur die Divisio durch Null. Deshl heisse die vier Recherte uch: Jede Bruchzhl köe wir uch ls Dezimlruch schreie, woei wir zwische edlichem ud uedlichem periodischem Dezimlruch uterscheide köe: Wolle wir higege ls Dezimlruch gee, so stelle wir fest, dss diese weder edlich och uedlich-periodisch ist. Wir köe ur mehr oder weiger geu gee, zwische welche Greze der Wert liege muss. ist somit keie rtiole Zhl. Sie k ls icht-periodischer Dezimlruch geschriee werde mit uedlich viele Stelle. M et solche Zhle: Ausser de icht ufgehede Wurzel git es weitere solche Zhle, wie π ud e usw. Die rtiole Zhle ud die irrtiole Zhle ilde zusmme die: Poteze, Wurzel ud Logrithme Seite

25 . Die Wurzel ls Potez mit gerocheem Epoete Poteze mit gerocheem Epoete werde ls Bruchpoteze ezeichet. Gemäss Poteziere vo Poteze gilt: Per Defiitio ist er uch: Durch Gleichsetzug erhlte wir: Es ist er uch: Wir köe lso jede Bruchpotez ls Wurzel us eier Potez drstelle oder umgekehrt. Beim Wurzelziehe mit dem Tscherecher ist dieses Vorgehe je ch Recher otwedig (usser ei der Qudrtwurzel). m m Poteze, Wurzel ud Logrithme Seite

26 Forme wir Wurzelusdrücke i Poteze um, so gelte eim Reche die Gesetze des Potezieres. Aus de ekte Potezregel köe wir so die Gesetze für ds Reche mit Wurzel leite. Wir köe dmit uch Wurzelufge mit Hilfe der Potezgesetze löse. Allerdigs gilt dies ur d eiwdfrei, we der Rdikd eie positive rtiole Zhl ist Poteze, Wurzel ud Logrithme Seite 6

27 Üug Schreie Sie die Poteze ls Wurzelusdrücke oder umgekehrt. ) 6 ) c) d), e), f) 0, g) h) i) + k) l) m) ) o) p) 00 q) Üug Schreie Sie die Aufge zuerst i der Potezform, ereche Sie de Wert ud gee Sie die Lösug wieder ls Wurzelusdrücke. ) ) c) d) 8 e) 6 6 f) g) 6 h) 8 i) Poteze, Wurzel ud Logrithme Seite 7

28 . Addiere ud Sutrhiere vo Wurzel Wie eim Poteziere köe ur Wurzel mit gleiche Epoete ud Rdikde zusmmegefsst werde. Sie werde ddiert oder sutrhiert, idem m ihre Beizhle ddiert oder sutrhiert. Ds Mlzeiche zwische Wurzel ud Beizhl wird i der Regel weggelsse Rdiziere vo Produkte Ei Produkt rdiziere wir, idem wir jede Fktor rdiziere Poteze, Wurzel ud Logrithme Seite 8

29 Umgekehrt köe wir gleichmige Wurzel ( Wurzel mit gleiche Epoete) miteider multipliziere, idem wir ds Produkt der Rdikde mit dem gemeisme Wurzelepoete rdiziere. Üug Addiere ud sutrhiere Sie die Wurzel. ) + + ),9 +, + 8, c) + + d) r + r + r Üug Ziehe Sie Wurzel soweit wie möglich. ) 0 ) 00 c) 7 d) 80 e) 00 f) 7 g) h) 8 i) 8 Poteze, Wurzel ud Logrithme Seite 9

30 Üug Vereifche Sie folgede Produkte. ) ) 7 8 c) 0 d) e) f) g) 8y h) i) c c k) 9 l) m) y 0y ) 80 o) p). Rdiziere vo Brüche Eie Bruch rdiziere wir, idem wir die Wurzel des Zählers durch die Wurzel des Neers dividiere. 6 Poteze, Wurzel ud Logrithme Seite 0

31 Umgekehrt köe wir gleichmige Wurzel durcheider dividiere, idem wir zuerst die Rdikde dividiere ud d de Quotiete mit dem gemeisme Wurzelepoete rdiziere. 0 : Üug 6 Rdiziere Sie die Quotiete. ) 6 9 ) 6 6 c) d) 9 e) 6 f) 6 g) h) 0 i) 9 k) 98 8 l) m) 8 0 : 6 6 Poteze, Wurzel ud Logrithme Seite

32 . Etfere der Wurzel us dem Neer Vielfch erschwert eie Wurzel im Neer ds Reche. I diesem Fll erweitert m de Bruch, is die Wurzel us dem Neer verschwidet. 7 6 Üug 7 Etfere Sie die Wurzel us dem Neer. ) ) c) d) 7 e) 7 f).6 Rdiziere vo Poteze Eie Potez köe wir rdiziere, idem wir die Bsis rdiziere ud die Wurzel mit dem Epoete der Bsis poteziere. 8 Umgekehrt köe wir er uch zuerst de Rdikde poteziere ud die Potez d rdiziere: 8 Poteze, Wurzel ud Logrithme Seite

33 Es ist lso gleichedeuted, o wir eie Zhl erst poteziere ud d rdiziere oder o wir diese Zhl erst rdiziere ud d poteziere. Es gilt llgemei: m ( ) m Wir köe de Wurzel- ud de Bsisepoete mit der gleiche Zhl dividiere oder multipliziere, d.h. kürze ud erweiter. Es gilt: 8 6 Achte Sie eim Kürze uf die vereifchte Schreiweise der Qudrtwurzel: Poteze, Wurzel ud Logrithme Seite

34 .7 Multipliziere ud Dividiere ugleichmiger Wurzel Weil wir Wurzelusdrücke erweiter köe, ist es möglich, ugleichmige Wurzel zu multipliziere ud zu dividiere, idem wir sie zuerst gleichmig mche. Wir köe er uch die Potezregel zu Hilfe ehme. : 6 Üug 8 Multipliziere ud dividiere Sie die Wurzel. ) ) c) d) e) 0 00 f) g) 00 0 h) i) Poteze, Wurzel ud Logrithme Seite

35 .8 Rdiziere vo Wurzel Ds Vorgehe eim Rdiziere eier Wurzel köe wir us mit Hilfe der Gesetze des Potezieres erkläre: 6 Drus sehe wir, dss wir die Doppelwurzel durch eie eifche Wurzel ersetze köe. Allgemei gilt lso: m m Eie Wurzel rdiziere wir, idem wir die Wurzelepoete multipliziere ud mit dem eue Epoete us der Bsis die Wurzel ziehe. Zudem lsse sich eim Rdiziere vo Wurzel die Epoete vertusche y y Poteze, Wurzel ud Logrithme Seite

36 Üug 9 Bereche oder vereifche Sie die Wurzel. ) 7 ) 6 c) 8 d) e) f) Üug 0 Vermischte Aufge: Bereche oder vereifche Sie. ) 7 8 ) 7 c) 8 d) + 6 e) 6 6 0, f) g) h) ( ) 6 i) 7 k) l) 6 m) 0 ) o) 0 7 p) Poteze, Wurzel ud Logrithme Seite 6

37 Ds Logrithmiere. Zeherlogrithme Betrchte wir die folgede Aufge: Uter verstehe wir lso jee Zhl (Epoet), mit der m 0 poteziere muss, um 0 zu erhlte. Bechte Sie: lg ist für 0 icht defiiert: Heutzutge werde die Logrithme mit dem Tscherecher estimmt. Auf dem Recher ist der Zeherlogrithmus mit ezeichet. Poteze, Wurzel ud Logrithme Seite 7

38 Üug Schreie Sie die Gleichuge i der Form lg. ) 0 00 ) 0 0 c) 0 0 d) 0 0, 00 e) 0 c y f) 0 y Üug Bereche Sie ohe Tscherecher. ) lg 000 ) lg c) lg 0, d) lg e) lg 000 f) lg 0 Üug Bestimme Sie mit Hilfe des Tscherechers uf zwei Dezimlstelle geu ud schreie Sie die Lösug i der Form lg uf. ) 0 00 ) 0 9 c) 0 00 d) 0 0, e) 0 f) 0 0 g) h) 0 0, i) 0 Poteze, Wurzel ud Logrithme Seite 8

39 . Logrithme mit elieiger Bsis Allgemei gilt: M sgt: Der Logrithmus vo zur Bsis ist. De Logrithmus ereche heisst lso uch hier, de Epoete eier Potez zu estimme. Die Vrile der Gleichug erhlte uter diesem Gesichtspukt eue Nme. Der Potezwert heisst der zum Logrithmus ud zur Bsis gehörede Numerus. Der Vorgg, ud de Logrithmus zuzuorde, heisst Logrithmiere. 000 : 0, 7 : 0,8 :, 00 : Ist < 0, so git es keie reelle Zhl für, die die Gleichug erfüllt. Im Bereich der reelle Zhle eistiere keie Logrithme vo egtive Zhle. Es git uch keie Logrithmus vo 0, d die Gleichug 0 keie Lösug ht. Poteze, Wurzel ud Logrithme Seite 9

40 Eiige Logrithme köe wir sofort gee: Poteze, Wurzel ud Logrithme Seite 0

41 Alle Logrithme mit der gleiche Bsis ilde ei Logrithmesystem. Nee de Zeherlogrithme werde heute häufig Logrithme mit folgede Bse eutzt, für die es wie ei de Zeherlogrithme spezielle Schreiweise git: Biäre Logrithme: Bsis Ntürliche Logrithme: Bsis e Die Euler sche Zhl e, ch dem Mthemtiker Leohrd Euler et, ist eie irrtiole Zhl, dere erste Stelle wie folgt lute: e, Sie ist für viele turwisseschftliche Frgestelluge ud die Techik vo grosser Bedeutug. Für ds prktische Reche wird meist der Logrithmus zur Bsis 0 geutzt. Üug Schreie Sie die Gleichuge i der Form log c. ) 8 ) m c) 6 6 d) p k m e) 0 y f) e 00 Poteze, Wurzel ud Logrithme Seite

42 . Logrithmegesetze Die Logrithmegesetze gelte ierhl eies elieige Logrithmesystems. Sie sid die Grudlge für ds Reche mit Logrithme. Ei Produkt wird logrithmiert, idem m die Logrithme der Fktore ddiert. ( u v) log u log v log + Beweis: Setzt m: log u ud log v y so heisst dies i Potezform: u ud y v folglich ist: u v y + y + i Logrithmusform: log ( u v) y log + lso: ( u v) log u log v Eie Bruch logrithmiere wir, idem wir vom Logrithmus des Zählers de Logrithmus des Neers sutrhiere. log u v log u log v Soderfll: log v Poteze, Wurzel ud Logrithme Seite

43 Eie Potez wird logrithmiert, idem m de Logrithmus der Bsis mit dem Epoete multipliziert. log log Soderfll: D Pltzhlter für jede elieige reelle Zhl sei k, köe uch gerochee Zhle, lso Wurzel, ls Epoete eutzt werde. log v u u v log Die prktische Bedeutug der Logrithmegesetze liegt dri, dss m mit ihrer Hilfe höhere Recherte uf iedrigere zurückführe k. Die ächste Beispiele köe zeige, wie m früher mit Hilfe der Logrithme ud der Logrithmegesetze Multipliktios-, Divisios- ud Potezierugs- zw. Rdizierugsusfge löste (mit Hilfe der Logrithmetfel). Heute eutzt m dzu de Tscherecher. Beispiel,6,8 0, 06 Lösug gemäss Recher: M estimmt de Logrithmus des Produkts ls Summe der Logrithme der Fktore. Dch wird der zum ermittelte Logrithmus gehörede Numerus estimmt. Dieser ist ds Resultt der gestellte Aufge. Poteze, Wurzel ud Logrithme Seite

44 8, Beispiel 0,6 Lösug gemäss Recher: Wir estimme de Logrithmus des Quotiete ls die Differez der Logrithme vo Zähler ud Neer. Dch köe wir de zum ermittelte Logrithmus gehörede Numerus estimme. Dieser ist ds Resultt der gestellte Aufge. Beispiel Lösug gemäss Recher:.. Poteze, Wurzel ud Logrithme Seite

45 Beispiel Durch die Awedug der Regel üer ds Logrithmiere eier Potez hole wir die Vrile us dem Epoete. Die etstehede Gleichug köe wir d wie gewoht löse.. Üergg vo eiem Logrithmesystem zu eiem dere Ahd des letzte Beispiels köe wir erkee, wie m vo eiem Logrithmesystem i ei deres wechsel k. Auf die Zeherlogrithme gewedet esteht die folgede Gleichug: log lg lg Üug Bestimme Sie (Lösuge mit Ziffer gee). ) ) 0, 0 c) 0 d) 8 e) 7 f) 0, 6 Poteze, Wurzel ud Logrithme Seite

46 Lösuge zu de Üuge Üug ) 9 0 ) 0 c) 6 d) 0 6 e),87 Üug ) ) 6 c) 8 76 d) 6 e) 9 f),7 Üug ) 0 ) c) 8 + 0c d) e) + f) m + 6m g) 0 + h) y + y Poteze, Wurzel ud Logrithme Seite 6

47 Üug ) 79 ) 8 c) 9 d) c e) d f) 8 g) 7 8 c h) y z i) 6 8 k) 0 c l) c m) 6 6m 9 ) y o) 6 p) 6 c q) 8c d r) 7 c s) 00m t) y u) 8 y z Üug ) 6 6 ) c) c m + d) d z y e) f) 6 g) h) i) 0 k) m l) d m) ( ) ) ( y) + y o) y + p) q) ( c + e) ( + y) Poteze, Wurzel ud Logrithme Seite 7

48 Üug 6 ) 6 6 ) 9 0, c) 79 d) 6 e) f) 6 g) 0 c h) 8 d i) m 0 k) s r l) 6 9 y m) 6 89 y z ) y + o) m y p) y q) r) 6 z s) c t) u) 7 y v) + y + y w) ) 8 6 y y) Üug 7 ), 0 ),6 0 c), 0 d), 0 e) 0 f) 7, 0 g) 6,6 0 h), 0 i) 6,7 0 7 Poteze, Wurzel ud Logrithme Seite 8

49 Üug 8 ) 0 ) 9, 0 c), 0 d) 0 e),8 0 f) 8 0 Üug 9 ),000 0 ) 6, 0 c) 7, 0 d) 6 0 e) 6, 0 f),000 0 g) 9,608 0 km h) 0 Blutkörperche Üug 0 ) 6 0 m ) 0 N c) 0 m d) 7,6 0 Hz e) 0 6,7 0 W f) 7, 0 s g), 0 m h) 6,87 0 g 6,87 0 kg Üug ) 6 ) c) d) Poteze, Wurzel ud Logrithme Seite 9

50 e) 0 f) g) h) i) ( + ) k) ( ) l) m) ) o), p) 0 q) Üug ) ) 6 c) 0 7 d) 8 e) 6 6 f) g) h) 8 i) 8 Üug ) 7 + ) 9,9 + c),9 d) ( ) r + + Üug ) ) 0 c) 9 d) 8 e) 0 f) 0 g) h) i) Poteze, Wurzel ud Logrithme Seite 0

51 Üug ) 6 ) c) d) e) f) 0 g) y h) i) c k) l) m) y 0y ) 80 o) 0 p) 0 Üug 6 ) ), 6 c) 0, 8 d) e) f) 0, g), h) 0, i) k) 7 8 l), m) Poteze, Wurzel ud Logrithme Seite

52 Üug 7 ) ) c) d) 7 e) 7 f) 6 Üug 8 ) 6 ) 6 ' 8 c) 6 d) 0 e) 6 00 f) g) 6 0 h) 69 i) 6 Üug 9 ) ) c) d) 6 e) f) Üug 0 ) ) c) 8 d) 0 e), f) Poteze, Wurzel ud Logrithme Seite

53 g) h) 6 i) 0 k) l) m) ) o) p) Üug ) lg 00 ) lg 0 c) lg 0 d) lg 000, e) lg y c f) lg y 0, Üug ) ) c) d) 0 e), f) Üug ) lg 00, 6 ) lg 9, 8 c) lg 00 6 d) lg 0, 0, 87 e) lg, f) lg 0 0, 8 g) lg 900, 9 h) lg 0, 0, 7 i) lg 0, Poteze, Wurzel ud Logrithme Seite

54 Üug ) log 8 ) l m c) log 6 6 d) log m k e) lg y f) l 00 p Üug ), 9 ), 69 c) 0, 667 d) 0, 78 e), 07 f), 68 Poteze, Wurzel ud Logrithme Seite

55 Weitere Titel i der Reihe «Mthemtik Bsics» Rier Hofer Grösse, Eiheite ud Figure. Auflge 00 0 Seite, A, roschiert ISBN Lösuge: ISBN X Als erstes werde die Umrechuge der Läge-, Fläche- ud Volumeeiheite ehdelt. Dch folge die Berechuge der Figure (Qudrt, Rechteck, Dreieck, Kreis, Würfel, Quder ud Zylider). Beso dere Wert wird uf eie klre, verstäd liche Lösugsweg gelegt. Mrc Peter Prozete. Auflge 00 0 Seite, A, roschiert ISBN Lösuge: ISBN Der Bd ehdelt ds Them Prozet rechuge. Auf ds Verstehe der Begriffe Prozetwert, Grudwert ud Prozetstz wird esoders Wert gelegt. Mit Hilfe vo viele Üuge gewit der/die Lerede schlussedlich Sicherheit ud Routie ei de Prozetrechuge. Rier Hofer Grudlge der Mechik. Auflge 00 0 Seite, A, roschiert ISBN X Lösuge: ISBN Zuerst werde die Begriffe Geschwidigkeit, Beschleuigug, Krft, Heel, Areit, Leis tug ud Wirkugsgrd erklärt. Der/die Ler ede löst zu jedem Them eifche Berech uge ud schliessed Tetufge. Mit der so gewoee Routie lsse sich zum Schluss uch gemischte Aufge mit höhe rem Schwierigkeitsgrd löse. Mrc Peter Arithmetik ud Alger. Auflge 00 8 Seite, A, roschiert ISBN Lösuge: ISBN I diesem Bd werde schwergewichtig die Grudlge der erste ud zweite Oper tiosstufe i der Arithmetik erreitet. Die eu erworee Ketisse werde gleich zeitig i der Gleichugslehre gewedet. Der progrmmierte Uterricht wird mit ge zielte Üuge zu de jeweilige Theme ergäzt.

56 Mrc Peter Bruchreche. Auflge 00 Seite, A, roschiert ISBN Lösuge: ISBN I diesem Bd wird hd verschiedeer grfischer Üuge ds Erkee vo Brü che geschult. Nch dem wichtige Them des Erweiters ud Kürzes vo Brüche werde lle Grudrecherte mit Brüche erklärt ud eigeüt. Mrc Peter Flächeerechuge. Auflge 00 Seite, A, roschiert ISBN X Lösuge: ISBN Flächeerechuge gehöre i lle hdwerkliche Ausildugsstätte zum Alltg. Im Zetrum des Bdes stehe ds Erkee der wichtigste geometrische Grudfigure ud die zugehörige Flächeerechuge. Ziel ist es, uch kompleere Fläche zu ereche, wie zum Beispiel Flächeihlte uf Bupläe. Im Jhr 00 erscheit: Alger grphische ud recherische Lösuge vo Gleichuge ISBN Lösuge: ISBN Zu jedem Bd der Reihe «Mthemtik Bsics» git es ei mit de Lösuge usgefülltes Eemplr für Lehrpersoe. Bestelluge: h.e.p. verlg g Auslieferug DLS Lehrmittelverlg AG Speerstrsse 8 CH-900 Wil Tel: F: E-Mil: dls@twil.ch