Kommutativgesetz 1.) a + b = b + a Entsprechende Umformungen gelten. Assoziativgesetz 3.) ( a + b ) + c = a + ( b + c ) = a + b + c
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- Christian Maurer
- vor 7 Jahren
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1 Elemetre Termumformuge Kommuttivgesetz. + + Etsprehede Umformuge gelte... für Sutrktio ud Divisio iht. Assozitivgesetz 3. ( ( (... ( ( ( (. :. ( :. : Etsprehede Formel gelte für die Ausdrüke - +, - -, : : ud :. iht. Dher sollte m hier zur Vermeidug vo Missverstädisse stets Klmmer setze (zumidest gedklih. Bei Ausdrüke wie - : gilt Puktrehug geht vor Strihrehug. Istitut für Automtisierugstehik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester V. Folie Distriutivgesetz 7.. ( usmultipliziere usklmmer 8. ( +. ( + d. +. d d Beispiel 7. y x + x. y 7. y x. ( + y 7. ( y + + x. ( + y ( y +. ( 7 + x usmultipliziere fktorisiere Fktorisieruge sid oft sehr hilfreih, er uh oft shwierig zu fide! Istitut für Automtisierugstehik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester V. Folie
2 Biomishe Formel 9. ( iomishe Formel 0. ( iomishe Formel. ( -. ( iomishe Formel Weitere iomishe Formel:. ( ( ( +. ( ( -. ( ( Die Ketis iomisher Formel ist i viele Fälle uersetzlih, um Fktorisieruge zu fide. Istitut für Automtisierugstehik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester V. Folie 3 Primfktorzerlegug Primzhle sid türlihe Zhle, die ur durh ud sih selst teilr sid ( d.h. we m eie Primzhl durh eie türlihe Zhl dividiert, so ergit sih ls Quotiet geu d eie türlihe Zhl, we etweder oder die gegeee Zhl selst ist. Primzhle sid lso die Zhle, 3, 5, 7,, 3, 7, 9, 3, 9, 3, 37, 4,... Die Zhl ist keie Primzhl. Es git uedlih viele Primzhle. Jede türlihe Zhl lässt sih ls Produkt vo Primzhle usdrüke. Diese Drstellug ist is uf die Reihefolge der Fktore eideutig ud heißt Primfktorzerlegug ( PFZ vo. Beispiele: Istitut für Automtisierugstehik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester V. Folie 4
3 ggt Der größte gemeisme Teiler ( ggt zweier türliher Zhle ist die größte türlihe Zhl, durh die m eide ohe Rest dividiere k. Zwei türlihe Zhle, dere ggt ist, heiße teilerfremd. Der ggt zweier Zhle k leiht us der PFZ dieser Zhle estimmt werde. Im ggt zweier Zhle kommt ämlih jede Primzhl so oft vor, wie sie i jeder der PFZ der eide Zhle midestes vorkommt. Beispiel: , : ggt ( 68 ; , 80. 5, ggt ( 4 ; 5 Auh der ggt vo mehr ls zwei Zhle lässt sih uf diese Weise estimme. Beispiel: , , : ggt ( 68 ; 80 ; 75 3 ggt ( ; 75 Istitut für Automtisierugstehik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester V. Folie 5 kgv Ds kleiste gemeisme Vielfhe ( kgv zweier türliher Zhle ist die kleiste türlihe Zhl, die m durh eide ohe Rest dividiere k. Bei teilerfremde Zhle ist ds kgv ds Produkt der eide Zhle. Ds kgv zweier Zhle k eeflls us ihrer PFZ estimmt werde. Im kgv zweier Zhle kommt ämlih jede Primzhl mit der größte Azhl vor, mit der sie i midestes eier der PFZ der eide Zhle vorkommt. Beispiel: , : kgv ( 68 ; , , ggt ( 4 ; 5 Auh der kgv vo mehr ls zwei Zhle lässt sih uf diese Weise estimme. Beispiel: , , : kgv ( 68 ; 80 ; kgv ( 50 ; 75 Istitut für Automtisierugstehik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester V. Folie 6 3
4 Bruhrehug 4... erweiter mit kürze durh 5. + d. d. d +. d.. d +.. d Additio 6. - d. d. d -. d.. d -.. d Sutrktio Brühe köe ur ddiert zw. sutrhiert werde, we sie gleihmig sid ( d.h. dss sie de gleihe Neer he. Um dies zu erreihe, geht m i.. iht exkt h de Regel 5 zw. 6 vor, soder m immt ls sogete Hupteer ds kgv der eide Neer. Ddurh erhält m eie eifhere Drstellug des Ergeisses. Istitut für Automtisierugstehik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester V. Folie 7 Beispiel 5. + d. d. d +. d.. d +.. d Bei der zweite Methode geügt es lso, die PFZ vo zwei kleie Zhle zu estimme, währed ei der erste Methode zwei große Zhle fktorisiert werde müsse. Dieser Vorteil ist oh viel wihtiger, we im Zähler ud Neer der eide Brühe keie türlihe Zhle, soder Reheterme mit Vrile stehe, d es oft sehr shwierig ist, die Fktorisieruge solher Reheterme zu estimme. Istitut für Automtisierugstehik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester V. Folie 8 4
5 d.. d Multipliktio 8. : d. d. d. Divisio Puktrehug ist mit Brühe lso deutlih eifher ls Strihrehug. Bemerkug (. d : d. ( d d D die Divisio iht ssozitiv ist, git es ei Mehrfhrühe häufig Fehler wege Misshtug der Reihefolge. Um dies zu vermeide, sollte m durh Klmmer oder durh die Läge der Bruhstrihe die Reihefolge der Divisioe deutlih mhe. Noh siherer ist es, Mehrfhrühe zu Eifhrühe umzuforme. Istitut für Automtisierugstehik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester V. Folie 9 Bemerkug Flls ur eier der eide Operde ei Bruh ist, k m die Reheopertio h de gleihe Regel durhführe, idem m de dere Operd ls Bruh mit dem Neer shreit: : :.. Etsprehed geht m vor, we ur der zweite Operd ei Bruh ist. Istitut für Automtisierugstehik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester V. Folie 0 5
6 Potez- ud Wurzelrehug Poteze sid defiiert für jede positive Bsis ud jede reelle Expoete. Es git zwr uh Poteze mit egtiver Bsis, die für us er iht vo Bedeutug sid (s.u Multipliktio vo Poteze mit gleiher Bsis 0.. (. Multipliktio vo Poteze mit gleihem Expoet.. - Divisio vo Poteze mit gleiher Bsis ( Divisio vo Poteze mit gleihem Expoet Es git keie Reheregel für die Summe zw. die Differez zweier Poteze. Istitut für Automtisierugstehik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester V. Folie esodere Poteze Nh Regel gilt z.b. Nh Regel 4 er uh Für jede Bsis defiiert m dher: 3. 0 Nh Regel gilt z.b. Nh Regel 4 er uh Für jede Bsis defiiert m dher: 4. Istitut für Automtisierugstehik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester V. Folie 6
7 Doppelpoteze Poteziere ist iht ssozitiv. Beispielsweise ist ( 3 64 ud (3 5. Dher drf eie Doppelpotez iht ohe Klmmer geshriee werde 5. (. Doppelpotez mit Klmmer ute Für Doppelpoteze mit Klmmer oe git es keie Reheregel. Negtive Expoete Nh Regel gilt z.b Nh Regel 4 er uh Allgemei defiiert m dher: Istitut für Automtisierugstehik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester V. Folie 3 Wurzel Nh Defiitio der Wurzel gilt z.b. Adererseits gilt h Regel 9 Allgemei gilt: 7. ( Wurzel sid lso ur eie dere Shreiweise für Poteze. Dher gelte uh die gleihe Reheregel wie ei Poteze: m m. Istitut für Automtisierugstehik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester V. Folie 4 7
8 m m p q p q ( p q q p ( p q q ( ( p m. m m. m - ( m (. ( + m m. m. m+ Istitut für Automtisierugstehik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester V. Folie 5 Poteze mit egtiver Bsis Beispiel: ( - 8 ( - 8 Beispiel: ( - 4 ( ( ( ( ist iht defiiert. 4 4 ( - 4 6?? Bei Poteze mit egtiver Bsis gelte lso die ülihe Reheregel iht. Auh ist uklr, o zw. welhe Poteze mit egtiver Bsis üerhupt defiiert sid. Dher werde wir us iht mit Poteze mit egtiver Bsis eshäftige. Istitut für Automtisierugstehik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester V. Folie 6 8
9 Logrithme x 8 x 3 log ( 8 x 7 x log ( 7 Logrithmus vo 7 zur Bsis Allgemei defiiert m: log ( ist die Zhl, die ergit, we m mit ihr poteziert. Es gelte lso die eide Rehegesetze ( log ( log ( D Poteze ur defiiert sid, we die Bsis positiv ist, ud d uh eie positive Wert he, sid die Logrithme log ( ur für > 0 ud > 0 defiiert. Für jede positive Bsis git es lso eie Logrithmus. Dei sid zwei Logrithme esoders wihtig: Istitut für Automtisierugstehik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester V. Folie 7 Zeher- Logrithmus Bsis 0 Der Logrithmus zur Bsis 0 heißt dekdisher Logrithmus oder Zeher- Logrithmus ud wird mit lg ezeihet: lg( x log 0 ( x Der Vorteil des dekdishe Logrithmus ist seie Beziehug zum dekdishe Zhlsystem. So weiß m uh ohe Tshereher, ws vor dem Komm eies dekdishe Logrithmuswertes steht. Beispiel: lg( 345 3,... lg( lg( < 345 < 0000 Die Zhl vor dem Komm des Logrithmuswertes ist lso um kleier ls die Azhl der Stelle der Ausggszhl. Istitut für Automtisierugstehik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester V. Folie 8 9
10 Ntürliher Logrithmus Bsis e, Die Zhl e heißt Euler she Zhl. Der Logrithmus zur Bsis e heißt türliher Logrithmus oder Logrithmus turlis ud wird mit l ezeihet: l( x log e ( x Der Vorteil des türlihe Logrithmus wird erst ei der Differetil- ud Itegrlrehug verstädlih. Er ist llerdigs so grviered, dss m i der Mthemtik fst usshließlih de türlihe Logrithmus eutzt. Dher werde wir uh die Reheregel für Logrithme mit dem türlihe Logrithmus formuliere, owohl sie für lle dere Logrithme eeso gelte. Istitut für Automtisierugstehik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester V. Folie 9 Reheregel für Logrithme Für, > 0 gilt: 37. l(. l ( + l ( ( log ( log ( (l ( 35. e 36. l(e ( de e l+l e l. e l. 38. l( l ( - l ( ( de e l- l e l e l 39. l( t t. l ( t ( de e t.l ( e l t Istitut für Automtisierugstehik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester V. Folie 0 0
11 Polyomdivisio Beispiel ( x x 3 +. x + 3. x + : ( x + x ( x 4 + x 3. x 3 + x + 3. x + ( 3. x x x + ( x x + Beispiel ( x x + 6. x + 7 : ( x 3 +. x - x + ( x 4 +. x - x x + 7. x + 7 x + 7. x + 7 x 3 +. x - < 3 Diese Polyomdivisio geht lso iht uf, soder ergit de Rest x + 7. x + 7. Istitut für Automtisierugstehik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester V. Folie
5.6 Additionsverfahren
5.6 Additiosverfhre Prizip Die eide Gleihuge werde so umgeformt, dss ei der Additio der eide Gleihuge eie Vrile wegfällt. Es müsse h der Umformug lso i eide Gleihuge gleih viele x oder gleih viele y (er
Algebra/Arithmetik. Eine Variable ist ein Platzhalter oder ein Stellvertreter für eine Zahl.
Algebr/Arithmetik 1. Grudbegriffe Geometrie: Lehre vo de Rumgrösse Algebr: Lehre vo de Gleichuge Arithmetik: Lehre vo de Zhlegrösse (Zhle, Vrible) Defiitio: Eie Vrible ist ei Pltzhlter oder ei Stellvertreter
Das Wurzelziehen (Radizieren) ist die Umkehrung des Potenzierens. Durch Berechnung der entsprechenden Wurzel entsteht wieder der Wert der Basis.
. Wurzel Ds Wurzelziehe (Rdiziere) ist die Umkehrug des Potezieres. Durch Berechug der etsprechede Wurzel etsteht wieder der Wert der Bsis. poteziere Wurzel ziehe. Die Qudrtwurzel Ds Ziehe der Qudrtwurzel
FORMELSAMMLUNG ARITHMETIK. by Marcel Laube
FORMELSAMMLUNG ARITHMETIK y Mrcel Lue EINFÜHRUNG... DIE OPERATIONS-STUFEN... OPERATIONE 1. STUFE: ADDITION UND SUBTRAKTION... BEZEICHNUNGEN... VORZEICHENREGEL... RECHENOPERATION. STUFE... MULTIPLIKATION:...
Potenzen, Wurzeln und ihre Rechengesetze
R. Brik http://rik-du.de Seite 9.0.00 Poteze, Wurzel ud ihre Rechegesetze Der Potezegriff Defiitio: Eie Potez ist eie Multipliktio gleicher Fktore (Bsis), ei der der Epoet die Azhl der Fktore git. : =...
7 Ungleichungen und Intervalle
Mthemtik. Klsse 7 Ugleichuge ud Itervlle Aufgbe 0 Löse Sie folgede Ugleichuge > + 8 < 5 + + 7. Itervlle Um gze Bereiche vo reelle Zhle zugebe, wird die Schreibweise mit Itervlle verwedet. Beispiele [,
Logarithmus - Übungsaufgaben. I. Allgemeines
Eie Gleichug höhere Grdes wie z. B. Gymsium / Relschule Logrithmus - Üugsufge Klsse 0 I. Allgemeies k ch ufgelöst werde, idem m die Wurzel zieht. Tritt die Uekte jedoch im Epoete eier Potez uf, spricht
1. Grundlagen. 2. Potenzen, Wurzeln, Logarithmen. 3. Vektorrechnung. 4. Trigonometrische Funktionen. 5. Differentialrechnung. 6.
Ihlte Brüceurs Mthemti Fchhochschule Hover SS 0 Dipl.-Mth. Coreli Reiterger. Grudlge. Poteze, Wurzel, Logrithme. Vetorrechug 4. Trigoometrische Futioe. Differetilrechug. Itegrlrechug 7. Mtrize, Liere Gleichugssysteme
Seminarstunden S-Std. (45 min) Nr. Modul Theorie Übungen. 14 Potenzieren und Radizieren 1 1
Mthemtik Grudlge Poteziere ud Rdiziere Mthemtik Grudlge für Idustriemeister Semirstude S-Std. (45 mi) Nr. Modul Theorie Üuge 4 Poteziere ud Rdiziere Ihlt 4 Poteziere ud Rdiziere... 4. Poteziere... 4..
Repetitionsaufgaben Potenzen und Potenzgleichungen
Ktole Fchschft Mthemtik Repetitiosufge Poteze ud Potezgleichuge Ihltsverzeichis A) Voremerkuge B) Lerziele C) Poteze D) Potezgleichuge E) Aufge Poteze mit Musterlösuge F) Aufge Potezgleichuge mit Musterlösuge
Wiederholungsaufgaben Mathematik
Wiederholugsufge Mthemtik Liee Shülerie ud Shüler, liee Elter, ei siherer Umgg mit de Theme ud Ihlte der Mittelstufe stellt die Bsis für eie erfolgreihe Mitreit im Mthemtikuterriht der Oerstufe dr. Aus
Zahlenbereiche. Jeder Zahlenbereich ist eine Erweiterung des vorigen und enthält diesen
Mthemtik Ihlt Zhlebereiche Recheopertioe Hierrchie der Recheopertioe Recheregel Brüche Recheregel für Brüche Klmmerreche Potezrechug Potezgesetze Ntürliche Zhle Zhlebereiche Jeder Zhlebereich ist eie Erweiterug
Aufgaben für Klausuren und Abschlussprüfungen
Techikerschule Aufge für Klusure ud Aschlussprüfuge Epoetilgleichuge, Logrithmusgleichuge Grudlgewisse: Recheregel zur Epoetil- ud Logrithmusrechug. Hiweise ud Formelsmmlug siehe Seite - 5. Bereche Sie.
Komplexe Zahlen Ac '16
Komplexe Zhle Ac '16 I der Mege der reelle Zhle ist die Gleichug x² = -1 icht lösr. Ahilfe schfft eie Zhlereichserweiterug vo der Mege uf die Mege der sogete komplexe Zhle. Die Mege der komplexe Zhle esteht
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ALGEBRA. Potenzen und Wurzeln. Grundlagen. Manuskript zur Wiederholung. Datei Nr Dezember Friedrich W. Buckel
ALGEBRA Poteze ud Wurzel Grudlge Muskript zur Wiederholug Dtei Nr. Dezember 00 Friedrich W. Buckel Itertsgymsium Schloß Torgelow Ihlt Poteze mit türliche Expoete Potezgesetze Poteze mit egtive gze Expoete
Terme. Kapitel 2. Terme. Wertebereich. Summensymbol. Summensymbol Rechnen. Summensymbol. Aufgabe 2.1. Summensymbol Rechnen.
Terme Kpitel Terme Ei mthemtischer Ausdruck wie B R q q (q ) oder (x + )(x ) x heißt eie Gleichug. Die Ausdrücke uf beide Seite des -Zeiches heiße Terme. Sie ethlte Zhle, Kostte (ds sid Symbole, die eie
2. Zehnerpotenzen 2.1 Zehnerpotenzen mit positivem Exponenten 2.2 Zehnerpotenzen mit negativem Exponenten 2.3 Zusammenfassung von 2.
Mthemtik Buch / 5. Poteze ud Wurzel /ZUSAMMENFASSUNG -502- Zusmmefssug: Poteze / Wurzel Potez 1 Ws ist eie Potez? 2 Poteze mit positivem Expoete 3 Poteze mit egtivem Expoete 4 Zusmmefssug vo 2. Zeherpoteze
R. Brinkmann Seite e) 2ad = 8a d. b) ( )( ) b) b 4b = 20b e) 2 3 5
R. Brik http://rik-du.de Seite 7.0.0 Lösuge Poteze II Ergeisse: E Ergeisse ) d 8 d e) d 8 d ) f) 8 E Ergeisse ) d 6 d d d ) y y y E Ergeisse ) + + 6 + E Ergeisse ) 8 + 8 7 + 0( ) ) 7 y + y 8 y + 9 E E6
ALGEBRA Potenzen Teil 2. Trainingsheft. Alle Regeln Musterbeispiele - Trainingsaufgaben. Datei Nr INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
ALGEBRA Poteze Teil it egtive Expoete Triigsheft Alle Regel Musterbeispiele - Triigsufgbe Dtei Nr. 0 Std 9. Dezeber 0 Friedrich W. Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK www.the-cd.de 0 Potezreche
7.1 Einführung Unter der n-ten Wurzel aus a versteht man eine Zahl x, die mit n potenziert a ergibt.
Rdiziere 7 Rdiziere 7. Eiführug Uter der -te Wurzel us versteht eie Zhl x, die it poteziert ergit. x x für 0 9 9 * : Wurzelexpoet, N ud : Rdikd, 0 x: Wurzel(wer t) Poteziere: Bsis ud Expoet sid gegee,
Zusammenfassung: Komplexe Zahlen
Zusmmefssug: Komplexe Zhle Ihltsvereichis Komplexe Zhleeee che mit komplexe Zhle Polrform komplexer Zhle 4 Wurel komplexer Zhle 6 Formel vo Crdo 8 Nullstelle ud Fktorisierug vo Polyome 9 Für Experte Komplexe
Integralrechnung = 4. = n
Computer ud Medie im Mthemtikuterriht WS 00/ Itegrlrehug. Allgemei Die Berehug vo Bogeläge, Shwerpukte ud Trägheitsmomete, der Areit ud des Effektivwertes eies elektrishe Wehselstromes, der Bhkurve vo
Zusammenfassung: Komplexe Zahlen
LGÖ Ks VM Schuljhr 06/07 Zusmmefssug: Komplexe Zhle Ihltsvereichis Komplexe Zhleeee che mit komplexe Zhle Polrform komplexer Zhle 4 Wurel komplexer Zhle 6 Formel vo Crdo 8 Nullstelle ud Fktorisierug vo
Vektorrechnung. Ronny Harbich, 2003
Vektorrechug Ro Hrich, 2003 Eiführug Ihlt Defiitio Betrg Sklrmultipliktio Nullvektor Gegevektor Eiheitsvektor Additio Sutrktio Gesetze Defiitio Ei Vektor ist eie Mege vo Pfeile, die gleichlg (kogruet),
Terme und Formeln Potenzen II
Terme ud Formel Poteze II Die eizige schriftliche Überlieferug der Mthemtik der My stmmt us dem Dresder Kodex. Ds Zhlesystem der Mys beruht uf der Bsis 0. Als Grud dfür wird vermutet, dss die Vorfhre der
Teilbarkeit. Christoph Dohmen. Judith Coenen. 17. Mai Christoph Dohmen, Diskrete Mathematik Teilbarkeit. Judith Coenen
Diskrete Mthemtik Teilrkeit Christoph Dohme 7. Mi 2006 Diskrete Mthemtik Teilrkeit Ihltsverzeichis. Eileitug 2. Der größte gemeisme Teiler 3. Divisio mit Rest 4. Der Eukli sche Algorithmus 5. Ds kleiste,
Vorkurs Mathematik Fachhochschule Frankfurt, Fachbereich 2 1
Vorkurs Mthemtik Fchhochschule Frkfurt, Fchbereich 1 Reche mit Poteze N bezeichet die Mege der türliche Zhle, Q die Mege der rtiole Zhle ud R die Mege der reelle Zhle. N bedeutet: ist eie türliche Zhl.
Carmichaelzahlen und andere Pseudoprimzahlen
Crmichelzhle ud dere Pseudoprimzhle Christi Glus 26.05.2008 1 Der fermtsche Primzhltest Erierug 1 (Kleier Stz vo Fermt). Für p prim, Z, ggt(, p) 1 gilt: p 1 1 (mod p) Algorithmus 2 (Fermtscher Primzhltest).
Also definieren wir: Die Definition ist damit unabhängig vom Kürzen oder Erweitern des Exponenten.
7. Poteze mit rtiole Expoete Eiführedes Beispiel: Wir versuche ls Potez vo zu schreie. Bei dieser Erweiterug solle die isherige Potezgesetze gültig leie. x mit poteziert x x ( ) ( ) log 8 Also defiiere
7.1 Einführung Unter der n-ten Wurzel aus a versteht man eine Zahl x, die mit n potenziert a ergibt.
Rdiziere 7 Rdiziere 7.1 Eiführug Uter der -te Wurzel us versteht eie Zhl x, die it poteziert ergibt. x x für 0 9 3 3 9 * : Wurzelexpoet, N ud 1 : Rdikd, 0 x: Wurzel(wer) t Poteziere: Bsis ud Expoet sid
Die Logarithmusfunktion
Ihltsverzeichis Ihltsverzeichis...1 Die Logrithusfuktio...2 Eiführug...2 Eiige Beispiele...2 Spezielle Logrithe...3 Die Ukehrfuktio der Epoetilfuktio...3 Die Eigeschfte der Logrithusfuktio...4 Defiitiosereich
Zusammenfassung: Folgen und Konvergenz
LGÖ Ks VM Schuljhr 7/8 Zusmmefssug Folge ud Kovergez Ihltsverzeichis Defiitioe ud Beispiele für Folge Beschräkte Folge Kovergez vo Folge Grezwertsätze für Folge 6 Für Experte 7 Defiitioe ud Beispiele für
VORKURS: MATHEMATIK RECHENFERTIGKEITEN, ÜBUNGEN MONTAG ( ) a) (4a 3b)(a + 2b)(5a + 6b) b) 1 x (1 x (1 x (1 x (1 x (1 x) ) ) ) ) b) ( m + 10) 5
Üuge Motg -- VORKURS: MATHEMATIK RECHENFERTIGKEITEN, ÜBUNGEN MONTAG Blok Die Musterlösuge werde Aed uf der Vorkurs-Hoepge ufgeshltet!. Berehe Sie vo Hd: : 9 9. Berehe Sie vo Hd: / /. Zu welhe Zhleege ln,
Ergebnis: Abhängigkeit y(x) in der impliziten Form G(y) = F(x) + C. y =
Lösugsmethode Differetilgleihuge erster Ordug Für gewisse Tpe vo Differetilgleihuge läßt sih ei Weg gee, uf dem m, die Lösug der Differetilgleihug uf Qudrture d.h. uf ds Ausrehe vo Itegrle, urükführe k..
Kapitel 3 Mathematik. Kapitel 3.2 Algebra Grundrechenarten
TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Kpitel 3 Mthetik Kpitel 3. Alger Grudreherte Verfsser: Hs-Rudolf Niedererger Elektroigeieur FH/HTL Vordergut, 877 Nidfur 055-654 87 Ausge: August 008 www.i.h 5. Ferur 04 TG
Formelsammlung Chemietechnik
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Formelsmmlug Chemietechik Berbeitet vo Wlter Bierwerth. Auflge 205. Broschüre im Order. c. 96 S. ISBN 978 3 8085 76 3 Formt (B x L): 5,2 x 2,5 cm Gewicht: 46 g schell ud ortofrei erhältlich bei Die Olie-Fchbuchhdlug
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Mittelwerte. Sarah Kirchner & Thea Göllner
Mittelwerte Srh Kirher The Göller Mittelwerte sid vershiedee mthemtish defiierte Kegröße. Uter dem Mittelwert zweier oder mehrerer Zhle versteht m meistes de Durhshitt, owohl viele dere Mittelilduge vorkomme.
c) Wir betrachten alle möglichen Potenzen der natürlichen Zahlen. In welchen Fällen endet das Ergebnis einer Potenz immer auf eine 1?
Aufge : Poteze ) We die Zhl elieig oft mit sich selst multipliziert wird, d edet ds Ergeis immer uf eie. Git es och mehr Zhle, die diese Eigeschft esitze? ) Welche Edziffer esitzt die ute stehede Summe?
Vorbereitungskurs Mathematik
BBS Gerolstei Vorereitugskurs Mthemtik Vorereitugskurs Mthemtik für zweijährige höhere Berufsfhshule Berufsoershule I Dule Berufsoershule Auf der Homepge www.s-gerolstei.de uter Dowlods uter Mthemtik oder
6.1 Einführung Wenn bei einer Multiplikation lauter gleiche Faktoren auftreten, so wird dafür meistens die Potenzschreibweise gewählt.
Poteziere 6 Poteziere 6. Eiführug We bei eier Multipliktio luter gleiche Fktore uftrete, so wird dfür meistes die Potezschreibweise gewählt.... = Fktore Potezwert Es ist =, =, =, : Bsis oder Grudzhl, R
Dr. Günter Rothmeier Kein Anspruch auf Vollständigkeit Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit
Uiversität Regesburg Nturwisseschftliche Fkultät I Didktik der Mthetik Dr. Güter Rotheier WS 008/09 Privte Vorlesugsufzeichuge Kei Aspruch uf Vollstädigkeit 5 7 Eleetrthetik (LH) ud Fehlerfreiheit. Zhlebereiche.5.
DOWNLOAD. Potenzgesetze für rationale Exponenten. Michael Körner. Downloadauszug aus dem Originaltitel: Grundwissen Wurzeln und Potenzen
DOWNLOAD Michel Körer Potezgesetze für rtiole Expoete Michel Körer Grudwisse Wurzel ud Poteze. 0. Klsse Bergedorfer Kopiervorlge Dowloduszug us dem Origiltitel: Kubikwurzel bzw.. Wurzel Aufgbe Wie groß
4.1 G sei Gruppe (mit multiplikativ geschriebener Verknüpfung) und a G. Dann heißt. falls a k 1 G k 1 ord(a) := k 1 a k = 1 G sonst
15 Wichtige Sätze ud Defiitioe zu 4: Ds qudrtische Rezirozitätsgesetz us der Vorlesug: LV-NR 150 39 Verstltug Diskrete Mthemtik II, 4.0 std Dozet Holtkm, R. 4.1 G sei Grue (mit multiliktiv geschriebeer
Integralrechnung kurzgefasst
Itegrlrehug kurzgefsst. Flähe uter eiem Grphe Die Eistiegsfrge lutet: Wie k m de Fläheihlt A eies Flähestüks erehe, ds egrezt wird - vom Grphe G f eier (stetige) Fuktio - vo der -Ahse - vo zwei Prllele
2.1.1 Potenzen mit natürlichen Exponenten
.. Poteze mit türliche Expoete Eie Potez (gelese: hoch ) ist eie bgekürzte Schreibweise für ds Produkt us gleiche Fktore : = wobei > eie türliche Zhl ist heisst Bsis, Expoet der Potez. Beispiele: 5 = =
Brückenkurs Mathematik Dr. Karl TH Nürnberg
Brükekurs Mthemtik Dr. Krl TH Nürerg Qudrtishe Gleihuge Ugleihuge Copyright : Huert Krl Alle Rehte vorehlte. Diese Puliktio drf ohe die usdrüklihe shriftlihe Geehmigug des Autors weder gz oh uszugsweise
f) n n 2 x x 4 für n gerade; x für n ungerade
R. Brik http://brik-du.de Seite 7.09.0 Lösuge Poteze I Ergebisse: E E E Ergebisse ( ) = 9 ; ( ) = 7 ; ( ) = 8 ; = ; 7 = ; = 7 ; = 9 ; ( ) = 7 9 Ergebisse x x x x x x ) ( + ) = + ( + ) = + c) x + x = (
Eine Folge ist eine durchnummerierte (Index) Abfolge von Zahlen die eine Abbildung der natürlichen Zahlen auf eine andere Zahlenmenge darstellt.
. Kovergez.. Eiführug i ds Prizip der Folge Eie Folge ist eie durchummerierte (Idex) Abfolge vo Zhle die eie Abbildug der türliche Zhle uf eie dere Zhlemege drstellt. Beispiel: : = k uch ls Abbildug: f
Matrix Theorie FACHBEREICH BAUINGENIEURWESEN PROF. DR. PETER SPARLA MATHEMATIK 1 1
Mtrix Theorie FCHBEREICH BUINGENIEURWESEN PROF. DR. PETER SPRL MTHEMTIK htug! Dieses Folieskript soll de Studierede eiiges mehisher Shreibrbeit behme ud dzu beitrge, sih uf ds eigetlihe Fh ud seie vielfältige
Grundwissen Mathematik Otto-Hahn-Gymnasium Marktredwitz. Jahrgangsstufe 7. Schulweg 27%
Grudwisse Mthemtik - 9 - Otto-Hh-Gymsium Mrktredwitz Jhrggsstufe 7 7.1 Dte, Digrmme ud Prozete 7.1.1 Dte ud Digrmme Zum Vergleih vo Dte sid Säule- ud lkedigrmme (ute liks) geeiget. Die Verteilug ierhl
Teil I.1 Rechnen mit reellen Zahlen
Brückekurs Mthetik Ihlt Teil I. Reche it reelle Zhle Sttliche Studiekdeie Leipzig Studierichtug Ifortik Reelle Zhle. Zhlbereiche.2 Grudrecherte.3 Potez- ud Wurzelrechug.4 Logrithe Dr. Christi Heller 2.
Die Wurzel einer Zahl a ist die Zahl, die mit sich selbst malgenommen wieder a ergibt.
Wurzel Wurzelexpoet Radikad oder auch Basis Die Wurzel eier Zahl a ist die Zahl, die mit sich selbst malgeomme wieder a ergibt. Die -te Wurzel et ma auch Quadratwurzel, dabei lässt ma die (als Wurzelexpoet)
Mathematische Grundlagen 1. Zahlenrechnen
Mthemtische Grudlge. Zhlereche Ihltsverzeichis:. Zhlereche..... Die Grudrecherte..... Reche i der Mege der türliche Zhle..... Reche i der Mege der gze Zhle... 5.. Reche i der Mege der rtiole Zhle... 7...
Repetitionsaufgaben Potenzen und Potenzgleichungen
Ktole Fchschft Mthetik Repetitiosufgbe Poteze ud Potezgleichuge Ihltsverzeichis A) Vorbeerkuge B) Lerziele C) Poteze D) Potezgleichuge E) Aufgbe Poteze it Musterlösuge F) Aufgbe Potezgleichuge it Musterlösuge
8.3. Komplexe Zahlen
8.. Komplee Zhle Wie bereits i 8.. drgestellt, wurde die fortlufede Erweiterug der Zhlbereiche durch die Eiführug immer kompleerer Recheopertioe otwedig:. Auf de türliche Zhle führte der Wusch ch iverse
5.2 Quadratische Gleichungen
Mthemtik mit Mthd MK..0 0_0_Qud_Gleih.xmd Einfhe qudrtishe Gleihungen. Qudrtishe Gleihungen ef.: Eine Gleihung, in der x höhstens qudrtish (in der zweiten Potenz) vorkommt, heißt qudrtishe Gleihung. Gewöhnlihe
BBS Nürnberg Grundwissen Mathematik 8. Jahrgangsstufe
S Nürerg Grudwisse Mthetik 8. Jhrggsstufe Wisse ud Köe. Fuktioe eeihuge: D Defiitiosege f( Fuktiosvorshrift f( Fuktioster f( Fuktiosgleihug Fuktioswert vo ufge ud eispiele Eie Fuktio ist eie Zuordug, die
Formelsammlung WS 2005/06
Forelslug WS 005/06 FH Düsseldorf Fhereih Mshieu ud Verfhrestehik Mthetik für Igeieure Prof. Dr. W. Sheideler Ausreitug: Sevd Mer Ihltsverzeihis. Zeihe für esodere Zhleege 3. Poteze 3 Reheregel für Poteze
x + z y = 6 x 2 + z 2 y 2 = 36 x 3 + z 3 2y 3 = 1 x + z = y + 6 x 2 + z 2 = y x 3 + z 3 = 2y x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3 = 0 x + xy + y = 1
Gleihuge/Ugleihuge sltt Seite Gleihuge Aufge (Wurzel π37) Fide lle e (x, y, z) R 3 des Gleihugssystems M stellt ds System um zu x z y = 6 x z y = 36 x 3 z 3 y 3 = x z = y 6 x z = y 36 x 3 z 3 = y 3 Aus
Größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches
Größter gemeinsmer Teiler un kleinstes gemeinsmes Vielfhes 1 Der größte gemeinsme Teiler (ggt) Zu jeer Zhl knn mn ihre Teilermenge ngeen. Τ0 {1; 2; ; 5; 6; 10; 15; 0} Τ {1; 2; ; ; 6; } Die gemeinsmen Teiler
Ohm Gymnasium Grundwissen Mathematik 8. Jahrgangsstufe
Oh Gsiu Grudwisse Mthetik 8. Jhrggsstufe Wisse ud Köe. Fuktioe ezeihuge: Fuktiosvorshrift: Fuktioster kurz f( ist hier: Fuktiosgleihug = Grph eier Fuktio: ufge ud eispiele Eie Fuktio ist eie eideutige
mathphys-online WURZELFUNKTIONEN Graphen der n-ten Wurzelfunktion y-achse
mthphys-olie WURZELFUNKTIONEN Grphe der -te Wurzelfuktio.5.5.5 0.5 0 0.5.5.5.5.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 = = = mthphys-olie Wurzelfuktioe Ihltsverzeichis Kpitel Ihlt Seite Die Wurzel ud Wurzelgesetze Die eifche
( ) a ) ( ) n ( ) ( ) ( ) a. n n
Pre-Study 7 orste Shreier 77 Wiederholu Diese Fre sollte Sie ohe Skript etworte köe: W ist der Sius zw. der Cosius immer NULL? Ws versteht m uter eier Phsevershieu? Ws wird im Eiheitskreis sekreht /wereht
Potenzen und Wurzeln
Poteze ud Wurzel.) Poteze mit türliche ud gze Epoete: Epoet Potez: Bsis Ei Produkt us gleiche Fktore lässt sich ls Potez schreie er: ( ) ( ) ( ) ( ) 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 (
Fachschaft Mathematik der Staatlichen Fachoberschule und Berufsoberschule Augsburg
Fchschft Mthemtik der Sttliche Fchoberschule ud Berufsoberschule Augsburg Auf de folgede Seite sid i kurzer Form die Schverhlte der Algebr drgestellt, mit eiige relevte Übugsbeispiele, i der Regel ch Schwierigkeitsgrd
Wurzel b bedeutet: Suche die Zahl, die mit sich selbst multipliziert gerade die Zahl ergibt, die unter der Wurzel steht.
/0 Areitsltt Wurzel edeutet: Suhe die Zhl, die mit sih selst multipliziert gerde die Zhl ergit, die unter der Wurzel steht. Also: - suhe eine Zhl, die mit sih selst multipliziert, genu ergit. Die Lösung
- 1 - VB Inhaltsverzeichnis
- - VB 2004 Ihltsverzeichis Ihltsverzeichis... Folge ud Grezwerte... 2 Aäherug eie Grezwert... 2 Die Fläche des 5 Ecks... 3 Nährugsweise Berechug vo Pi... 4 Die Folge... 5 Defiitio der Folge... 5 Beispiele
Grundlagen der Mathematik (LPSI/LS-M1) WiSe 2010/11 - Curilla/Koch/Ziegenhagen
Fchbereich Mthemtik Algebr ud Zhletheorie Christi Curill Grudlge der Mthemtik LPSI/LS-M) Lösuge Bltt WiSe 00/ - Curill/Koch/Ziegehge Präsezufgbe P3)-d) Für jede der vier Mege gilt, dss die dri ethltee
Seminarstunden S-Std. (45 min) Nr. Modul Theorie Übungen. 13 Bruchrechnung 1 5
Mthemtik Grundlgen Mthemtik Grundlgen für Industriemeister Seminrstunden S-Std. ( min) Nr. Modul Theorie Üungen Inhlt.... Allgemeines..... Ehte Brühe..... Unehte Brühe.... Erweitern und Kürzen von Brühen....
5.6 Gleichsetzungsverfahren
.6 Gleihsetzungsverfhren Verfhren: Beide Gleihungen des Gleihungssystems werden nh derselen Vrilen ufgelöst und die entsprehenden Terme werden einnder gleihgesetzt. Beispiele (G x ) ) () x + y () x - y
SS 2017 Torsten Schreiber
SS 07 Torste Schreier e Wert eier etermite köe wir is zu eiem Formt vo mittels dem Verfhre vo Srrusestimme. Für Mtrize, die ei höheres Formt he, köe wir die etermite mit dem estimme. zu sollte Sie im erste
Funktion: Grundbegriffe A 8_01
Fuktio: Grudegriffe A 8_ Eie Fuktio ist eie eideutige Zuordug: Jede Wert us der Defiitiosege wird geu ei Wert us der Werteege zugeordet. Ist f eie Fuktio ud sid ud y eider zugeordete Werte, d schreit kurz:
Kapitel 3 Mathematik. Kapitel 3.2 Algebra Grundrechenarten
TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Kpitel 3 Mthetik Kpitel 3. Alger Grudreherte Verfsser: Hs-Rudolf Niedererger Elektroigeieur FH/HTL Vordergut, 877 Nidfur 055-654 87 Ausge: August 008 www.i.h 6. Ferur 07 TG
Grundlagen Mathematik 9. Jahrgangsstufe
Grudlge Mthetik 9. Jhrggsstufe ALGEBRA. Uter der (Qudrt-)Wurzel Zhl, die qudriert ergit : der positive Zhl versteht diejeige positive heißt dei der Rdikd.. Rtiole Zhle Q = lle Brüche zw. edliche oder uedlich
Kurzfassung zur Wiederholung mit Wissenstest zum Potenzrechnen DEMO. für alle, die es brauchen. Datei Nr Stand 7.
ALGEBRA Poteze ud Wurzel Kurzfssug zur Wiederholug mit Wissestest zum Potezreche für lle, die es bruche Dtei Nr. Std 7. Jur 08 Friedrich W. Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK www.mthe-cd.de
RESULTATE UND LÖSUNGEN
TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Kpitel 3 Mthemtik Kpitel 3.2 Alger Grundrechenrten RESULTATE UND LÖSUNGEN Verfsser: Hns-Rudolf Niedererger Elektroingenieur FH/HTL Vordergut 1, 8772 Nidfurn 055-654 12 87 Ausge:
= a n: Wurzelexponent x: Radikand oder Wurzelbasis a: Wurzelwert Bei der ersten Wurzel wird einfach das Wurzelzeichen weggelassen.
Wurzelgesetze Gesetzmäßigkeite Grudlage Das Wurzelziehe (oder Radiziere) ist die Umkehrug des Potezieres. Daher sid die Wurzelgesetze de Potezgesetze sehr ählich. Die Wurzel aus eier positive Zahl ergibt
In jeder noch so kleinen Umgebung von 2 liegen fast alle Folgenglieder. Die Folge hat den Grenzwert 2 und wir schreiben dafür: lim a = 2
0. Kovergez vo Folge ud Reihe Der i de Aschitte geometrische Folge ud Reihe eigeführte Grezwertegriff ist für die Alysis (Ifiitesimlrechug) grudleged. Im Folgede werde Grezwerte ei elieige Folge ud Fuktioe
Terme und Formeln Potenzen I
Terme ud Formel Poteze I Die Mrgrit philosophic ist die älteste gedruckte llgemeie Ezyklopädie us dem Jhr 0 i lteiischer Sprche. Ds Werk ethält ls Uiversits literrum ds gesmte Wisse des späte Mittellters.
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 17.11.2010
R. rinkmnn http://rinkmnn-du.de Seite 7..2 Grundegriffe der Vektorrehnung Vektor und Sklr Ein Teil der in Nturwissenshft und Tehnik uftretenden Größen ist ei festgelegter Mßeinheit durh die nge einer Mßzhl
Kapitel I Zahlenfolgen und -reihen
Kpitel I Zhlefolge ud -reihe D (Zhlefolge) Ist jeder Zhl geu eie Zhl R,,,, eie (reelle) Zhlefolge bilde M schrieb: Die heiße Glieder der Zhlefolge zugeordet, so sgt m, dss die Zhle B Eie Zhlefolge ist
MATRIZENRECHNUNG A = Matrix: m Zeilen, n Spalten. Allgemein: A = heißt Komponente der Matrix (Element der Matrix) aij:
MATRIZENRECHNUNG Mtri: 3 5 4 5 A = 3 5 5 7 8 3 8 Allgeei: A = 3 3 3 Zeile, Splte ij: heißt Kopoete der Mtri (Eleet der Mtri) ij ist Kopoete der i-te Zeile, j-te Splte Mtri der Ordug, ( -Mtri): A(,) oder
1 Algebra. Addition und Subtraktion. Minuend. Differenz. Subtrahend. In einer Summe darf man die Summanden vertauschen. (Kommutativgesetz)
TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite 1 1 Alger Addition und Sutrktion In einer Summe drf mn die Summnden vertushen. (Kommuttivgesetz) + + Summnd Summ nd Beim ddieren drf mn die Summnden zu Teilsummen zusmmenfssen.
Glossar zum Brückenkurs "Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler" 1
Glossr zum Brückekurs "Mthemtik für Wirtschftswisseschftler" GLOSSAR Abbildug Eie eideutige Zuordug f zwische zwei Mege X ud Y heißt Abbildug oder Fuktio us X i Y. M schreibt: f: X Y. f heißt Abbildug
Ableitungsregeln. Produkte- und Quotientenregel. Ableitung einiger wichtiger Funktionen. Kettenregel. Vorkurs Mathematik DIFFERENTIATION
Vorkurs Mthemtik DIFFERENTIATION Ableitugsregel (f + g) = f + g (cf) = c f, c R ( ) = (c) =, c R Dmit köe wir Polyome bleite: Beispiel. ( 5 + 3 + ) = ( 5 ) + 3( ) + () = 5 4 + 3 = 5 4 + 6 Produkte- ud
6.1 Einführung Wenn bei einer Multiplikation lauter gleiche Faktoren auftreten, so wird dafür meistens die Potenzschreibweise gewählt.
6 6. Eiführug We bei eier Multipliktio luter gleiche Fktore uftrete, so wird dfür meistes die Potezschreibweise gewählt.... Fktore Potezwert Es ist,,, : Bsis oder Grudzhl, R * N,,, : Expoet oder Hochzhl,
Erkundungen. Terme vergleichen. Rechteck Fläche als Produkt der Seitenlängen Fläche als Summe der Teilflächen A B
Erkundungen Terme vergleihen Forshungsuftrg : Fläheninhlte von Rehteken uf vershiedene Arten erehnen Die Terme () is (6) eshreien jeweils den Fläheninhlt von einem der drei Rehteke. Ordnet die Terme den
Mathematikaufgabe 79
Home Strtseite Impressum Kotkt Gästeuh Aufge: Betrhte wir wei sih sheiee Kreise mit utershielihe ie u gemeismer Tgete Berehe Sie s Verhältis er Bogeläge vom Shittpukt es jeweilige Kreises mit er Tgete
Das Riemann-Integral und seine Eigenschaften
Ds Riem-Itegrl u seie Eigeshfte Defiitio. Sei ie Fuktio f beshräkt uf [, b]. Stimme ie beie Drboux-Itegrle überei, heißt f Riem-itegrierbr uf [, b] (oer R-itegierbr). Der gemeisme Wert heißt Riem- Itegrl
Mathematik für die Physik II, Sommersemester 2018 Lösungen zu Serie 6
Mthemtik für die Physik II, Sommersemester 2018 Lösuge zu Serie 6 26 Utersuche die folgede Fuktioefolge uf puktweise beziehugsweise gleichmäßige Kovergez, d.h. bestimme jeweils ob diese vorliegt ud gebe
Tutorium Mathematik in der gymnasialen Oberstufe 3. Veranstaltung: Berechnung von Wahrscheinlichkeiten 16. November 2016
Tutorium Mthemti i der gymsile Oerstufe 3. Verstltug: Berechug vo Whrscheilicheite 6. ovemer 6. Komitori Permuttio: Elemete werde i eie Reihefolge gestellt Vritio: us Elemete werde usgewählt ud i eie Reihefolge
Rechnerlösungen gibt es zu den Aufgaben 6 bis 10. Ausführliche Berechnungsbeispiele und vieles mehr gibt es unter
R. Brinkmnn http://rinkmnn-du.de eite.0.0 Lösungen Bruhrehnung I mit dem GTR CAIO fx-cg 0 Rehnerlösungen git es zu den Aufgen 6 is 0. Ausführlihe Berehnungseispiele und vieles mehr git es unter http://www.freiurger-verlg.de/
Inhalt 1. Zahlenbereiche / Zahlenmengen 2. Terme
Mthemtische Grudlge für die Eiggsklsse des TG Ihlt. Zhlebereiche / Zhlemege. Terme.. Grudbegriffe.. Summe ud Differeze.. Produkte.. Auflöse vo Klmmer.. Ausklmmer ud Ausmultipliziere... Ausklmmer... Ausmultipliziere...