Ohm Gymnasium Grundwissen Mathematik 8. Jahrgangsstufe
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1 Oh Gsiu Grudwisse Mthetik 8. Jhrggsstufe Wisse ud Köe. Fuktioe ezeihuge: Fuktiosvorshrift: Fuktioster kurz f( ist hier: Fuktiosgleihug = Grph eier Fuktio: ufge ud eispiele Eie Fuktio ist eie eideutige Zuordug: Jede Wert us der Defiitiosege D wird geu ei Wert us IR zugeordet. eispiel eier Fuktio: f : D = Q \ {}, = ist iht erlut, weil der Neer sost 0 wird. f( =, f( = 0,, f(- = -0, Eie Wertetelle git für vershiedee die -Werte ud erlut de Grphe zu zeihe , -0, -0, - Shittpukte it de hse: Shittpukt it der -hse Shittpukte it der -hse Ihre -Koordite heiße Nullstelle Shittpukte zweier Grphe Gleihsetze der Fuktiostere, Löse der etstdee Gleihug, -Werte erehe, Pukte gee sp : g : - Setze =0 i die Fuktio ei : f(0 = 0 = - S ( 0 - Löse die Gleihug f(= 0 - = 0 = = S( 0 Der Grph esitzt soit die Nullstelle = f( = -, g( = + stz: f(=g( - = + = - Es git eieshittpukt: S : = - f(- = - S (- -. ufge: estie die Fuktioswerte! f( = - f(0; f(-; f(0; f(0, g( = -²+ g(; g(-; g(0; g( estie die Shittpukte it de hse für = + d estie de Shittpukt vo f(= - ud g( = +. Liere Fuktioe = + t ist die Steigug der Gerde t ist der -hseshitt, d.h. Gerde sheidet die -hse i T( 0 t Erstelle die Gleihug der Gerde it ( ud (- :. Shritt: erehe die Steigug. Shritt: estie de hseshitt t Setze eie Pukt z.. (- i die Gleihug = + t ei = t= = Soderfll: Direkte Proportiolität Fuktiosgleihug: = Der Grph ist eie Ursprugsgerde Wertepre sid quotietegleih ( t t Gerde :. ufge: estie die Gleihug der Gerde durh C( - ud D(-. Zeihe die Grphe der Fuktioe it ud it Hilfe vo ud t De Doppelte, Dreifhe,... der eie Größe wird ds Doppelte, Dreifhe,... der dere Größe zugeordet. zhl reze 8 Preis i 0,0,00,00,00 / i 0, 0, 0, 0,
2 . Gleihugssstee it zwei Vrile Zwei liere Gleihuge it zwei Vrile ilde ei lieres Gleihugssste LGS. Es k eie Lösug (Zhlepr oder keie oder uedlih viele Lösuge C esitze. Lösugsöglihkeite: grfishes Verfhre Stelle eide Gleihuge ls Fuktiosgleihug = + t dr. Der Shittpukt S der Grphe ist die Lösugsege des LGS sp: (I = (II = - + Zeihe die Gerde Eisetzugsverfhre sp: (I - = (II + = dditiosverfhre dditio vo Gleihuge ist eie Äquivlezuforug.. Gerohe-rtiole Fuktioe der For g( ethlte i Neer die Vrile. (II h ufgelöst, ergit: (II = - i (I ( - - = = i (II = - = = L={( } sp. : (I = (II + = 8 (I+(II : = 0 = 8 = 8 8 = 0 L={(8 0} sp. : (I = (II - + = - (I+(II: 0+0 = 8 Widerspruh! Es git lso keie Lösug. L= { } Geoetrishe Deutug der Lösug: : Lösug Gerde he Shittpukt : keie Lösug Gerde prllel C: uedlih viele Lsg Gerde idetish S( L = {( }. ufge: Löse ds Gleihugssste (I + = (II - = 8 it de Eisetzugsverfhre (II + = 6. ufge: Löse ds Gleihugssste (I + 6 = 8 (II - + = - it de dditiosverfhre. f ( D = Q \ {0} g ( D = Q \ {} Neer Nie Null: D = Q \ {}! Die sptote ist eie Gerde, der sih der Grph ier ehr ähert. Sekrehte sptote ei = (sie heißt uh Polstelle Wgrehte sptote ei = Die Grphe heiße Hperel. De Grphe vo g erhält durh Vershiee des Grphe vo f it f( =. ruhtere ud ruhgleihuge Vereifhe ud Zusefsse vo ruhtere: ruhtere köe wie rühe erweitert ud gekürzt werde. ruhtere werde vor de ddiere oder Sutrhiere gleihig geht Löse vo ruhgleihuge:. Defiitiosege estie.. eide Seite der ruhgleihug it de Hupteer ultipliziere ud d kürze.. Vereifhte Gleihug wie ülih löse. Prüfe, o Lösug i der Defiitiosege liegt. sptote := 0 ud = 0 sptote: = ud = ehte: Zuerst die Defiitiosege gee! D = Q \ {}; D leit ei lle Uforuge uverädert: ² D Q \{-,0} - O -. ufge: f ( estie f(-, f(0, ud lle sptote! Zeihe de Grph vo f( ² ( ( (- (+ ; D=Q \ {-;+} Mit de Hupteer ultipliziere ( ( ( ( Kürze der Tere ( ( liefert: (+ = - = D L={ }, es git keie Lösug
3 . ufge: Vereifhe die Tere i, estie die Defiitios- ud Lösugsege i, d: 0, ² ² d ² 6. Poteze it gzzhlige Epoete (, Q \ {0} ud, Z gilt: 0 ; Rehegesetze für Poteze 0 ; 0 ( ; z z ( z Poteze it gleiher sis: ( : Poteze it gleihe Epoete: ( : ( : zw. ehte: ( ud ( ; ( ( ( ( : ( ( ( ( ( 6 ( : (8 : 6. ufge: Vereifhe! ³ ³ ( = ( s ( s ( k ( s ( Gleitkodrstellug eier Zhl zq: k ( s ( k ( 6 ( ,6 0 ; 0,00006,6 0 0,0 =, 0 - =, 0 -. Strhlestz: Werde zwei Gerde g ud h it de Shittpukt Z vo zwei Prllele p ud p (die Z iht ethlte geshitte, so gilt:. Je zwei shitte uf g (z.. Z, Z' verhlte sih wie die etsprehede shitte uf h (z.. Z : ' Z : ' Z ' : Z Z' : Z Z' : ' Z' : ' Z, Z'.. Die shitte uf de Prllele verhlte sih wie die vo Z us geessee shitte uf g oder h. ' ' : Z' : Z ' ' : Z' : Z Dies gilt für eide Figure! Zueider ählihe Figure he die Eigeshft, dss sie i lle etsprehede Wikel ud i lle etsprehede Seiteverhältisse üereistie. eispiel Ählihkeitsstz für Dreieke: We Dreieke i Wikel üereistie, sid sie sho ählih. V-Figur: p Z X-Figur: p Z D C d ' p h ' ' g p g ' ' h ' D' d' ' C' ' '. ufge: erehe wie weit C-stdt vo D-u ud D-u vo -reuth etfert sid! S-dorf 6 k k -hei C-stdt k k -reuth erehe, ud z! z D-u Streke: ' : ' :... k ; k heißt Ählihkeitsfktor Ufg ud Fläheihlt des Kreises u r r² heißt Kreiszhl ud ht ugefähr de Wert: =,6..., 8. ufge: Der Ufg eies Kreises ist,8. Wie groß ist sei Fläheihlt? Der Fläheihlt eies Kreises ist,. erehe de Durhesser!
4 . Zufll ud Whrsheilihkeit Skript für jede Shüler! Ergeis (Versuhsusgg. lle Ergeisse fsst i Ergeisru zuse. Teilege des Ergeisrues sid Ereigisse. Ei Eleetrereigis esteht us ur eie Ergeis. Siheres Ereigis, uöglihes Ereigis. Zufllseperiete, ei dee jedes Eleetrereigis gleihwhrsheilih ist, heiße Lple-Eperiete. M k d die Whrsheilihkeit P(E für ei Ereigis E so erehe: I eier Ure efide sih füf Lose it de Zhle is. ei Ziehe eies Loses sid die öglihe Ergeisse,,,, oder. Diese ilde de Ergeisru. = {,,,, }. Ei Ereigis wäre z.. E = { Die Losuer ist gerde } = {, }. Es ist E ( ist die kürzug für Teilege Ds Gegeereigis E (sprih Niht-E ethält lles us ohe E: d.h. E = {,, }. Die Eleetrereigisse {}, {}, {}, {}, {} he lle die gleihe Whrsheilihkeit. Dieses Zufllseperiet ist lso ei Lple-Eperiet, deshl gilt für die Whrsheilihkeit, eie gerde Zhl zu ziehe: P ( E zhl der zhl der Eleete vo E Eleete vo P ( E 0% ud P ( E P( E 60% LÖSUNGEN: f(0 = ; f(- = ; f(0 = ; f(0, = 0,8 g( = ; g(- = ; g(0 = ; g( = S (0 ; N(, 0 d S( = -0,6; t = 0,8; = -0,6+0,8 Trik: ( uskler: Erweiter uf HN (+: ( D = Q \ {-}; Hupteer: + Multipliktio it HN ergit: ²+(+ = (+ (+ lger. Vereifhug: = - L = {- } d D = Q \ {0;}; Hupteer: ² = ( Multipliktio it HN ergit: + (- = = L = {} 6. ufge: Vereifhe! ³ -+ = =; =; L={( } =; =; L={( } O f(-= - f(0, = sptote: = - sekreht =- wgreht ³ ( = ³ ² 6 6 k CD CD, k ; 6k k D k 6k k D, k 6k 6 ; ; z z r =, ; =,0 8 r = ; r = ; d =
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BBS Nürnberg Grundwissen Mathematik 8. Jahrgangsstufe
S Nürerg Grudwisse Mthetik 8. Jhrggsstufe Wisse ud Köe. Fuktioe eeihuge: D Defiitiosege f( Fuktiosvorshrift f( Fuktioster f( Fuktiosgleihug Fuktioswert vo ufge ud eispiele Eie Fuktio ist eie Zuordug, die
Funktion: Grundbegriffe A 8_01
Fuktio: Grudegriffe A 8_ Eie Fuktio ist eie eideutige Zuordug: Jede Wert us der Defiitiosege wird geu ei Wert us der Werteege zugeordet. Ist f eie Fuktio ud sid ud y eider zugeordete Werte, d schreit kurz:
VORKURS: MATHEMATIK RECHENFERTIGKEITEN, ÜBUNGEN MONTAG ( ) a) (4a 3b)(a + 2b)(5a + 6b) b) 1 x (1 x (1 x (1 x (1 x (1 x) ) ) ) ) b) ( m + 10) 5
Üuge Motg -- VORKURS: MATHEMATIK RECHENFERTIGKEITEN, ÜBUNGEN MONTAG Blok Die Musterlösuge werde Aed uf der Vorkurs-Hoepge ufgeshltet!. Berehe Sie vo Hd: : 9 9. Berehe Sie vo Hd: / /. Zu welhe Zhleege ln,
7.1 Einführung Unter der n-ten Wurzel aus a versteht man eine Zahl x, die mit n potenziert a ergibt.
Rdiziere 7 Rdiziere 7. Eiführug Uter der -te Wurzel us versteht eie Zhl x, die it poteziert ergit. x x für 0 9 9 * : Wurzelexpoet, N ud : Rdikd, 0 x: Wurzel(wer t) Poteziere: Bsis ud Expoet sid gegee,
5.6 Additionsverfahren
5.6 Additiosverfhre Prizip Die eide Gleihuge werde so umgeformt, dss ei der Additio der eide Gleihuge eie Vrile wegfällt. Es müsse h der Umformug lso i eide Gleihuge gleih viele x oder gleih viele y (er
Wiederholungsaufgaben Mathematik
Wiederholugsufge Mthemtik Liee Shülerie ud Shüler, liee Elter, ei siherer Umgg mit de Theme ud Ihlte der Mittelstufe stellt die Bsis für eie erfolgreihe Mitreit im Mthemtikuterriht der Oerstufe dr. Aus
Grundlagen Mathematik 9. Jahrgangsstufe
Grudlge Mthetik 9. Jhrggsstufe ALGEBRA. Uter der (Qudrt-)Wurzel Zhl, die qudriert ergit : der positive Zhl versteht diejeige positive heißt dei der Rdikd.. Rtiole Zhle Q = lle Brüche zw. edliche oder uedlich
Grundwissen Mathematik Klasse 9
Grudwisse Mthetik Klsse Reelle Zhle: Qudrtwurzel: ist die icht-egtive Lösug der Gleichug:. Merke: heißt Rdikd ud drf icht egtiv sei! Bsp.: 7 6, 7 7 Irrtiole Zhle: Jede Zhl, die sich icht ls Bruch drstelle
Formelsammlung. 2 c 3. Wenn die Ebene durch die Gerade g und den Punkt g gehen soll, gilt: 3 und h : 2
Formelsmmlug Gere urh zwei Pukte A( 3 ) u B( 3 ) g AB : 3 Eee urh rei Pukte A( 3 ), B( 3 ) u C( 3 ) [Eee i Prmeterform] E ABC : 3 s 3 Eee urh Gere u Pukt. Sei P( p p p 3 ) u g : We ie Eee urh ie Gere g
( ) a ) ( ) n ( ) ( ) ( ) a. n n
Pre-Study 7 orste Shreier 77 Wiederholu Diese Fre sollte Sie ohe Skript etworte köe: W ist der Sius zw. der Cosius immer NULL? Ws versteht m uter eier Phsevershieu? Ws wird im Eiheitskreis sekreht /wereht
Kommutativgesetz 1.) a + b = b + a Entsprechende Umformungen gelten. Assoziativgesetz 3.) ( a + b ) + c = a + ( b + c ) = a + b + c
03.05.0 Elemetre Termumformuge Kommuttivgesetz. + + Etsprehede Umformuge gelte... für Sutrktio ud Divisio iht. Assozitivgesetz 3. ( + + + ( + + + 4. (... (... 5. ( + - + ( - + - 6. (. :. ( :. : Etsprehede
Grundwissen Mathematik Otto-Hahn-Gymnasium Marktredwitz. Jahrgangsstufe 7. Schulweg 27%
Grudwisse Mthemtik - 9 - Otto-Hh-Gymsium Mrktredwitz Jhrggsstufe 7 7.1 Dte, Digrmme ud Prozete 7.1.1 Dte ud Digrmme Zum Vergleih vo Dte sid Säule- ud lkedigrmme (ute liks) geeiget. Die Verteilug ierhl
7.1 Einführung Unter der n-ten Wurzel aus a versteht man eine Zahl x, die mit n potenziert a ergibt.
Rdiziere 7 Rdiziere 7.1 Eiführug Uter der -te Wurzel us versteht eie Zhl x, die it poteziert ergibt. x x für 0 9 3 3 9 * : Wurzelexpoet, N ud 1 : Rdikd, 0 x: Wurzel(wer) t Poteziere: Bsis ud Expoet sid
Komplexe Zahlen Ac '16
Komplexe Zhle Ac '16 I der Mege der reelle Zhle ist die Gleichug x² = -1 icht lösr. Ahilfe schfft eie Zhlereichserweiterug vo der Mege uf die Mege der sogete komplexe Zhle. Die Mege der komplexe Zhle esteht
Komplexe Zahlen Ac '16
Komplexe Zhle Ac '16 I der Mege der reelle Zhle ist die Gleichug x² = -1 icht lösr. Ahilfe schfft eie Zhlereichserweiterug vo der Mege uf die Mege der sogete komplexe Zhle. Die Mege der komplexe Zhle esteht
Mathematikaufgabe 79
Home Strtseite Impressum Kotkt Gästeuh Aufge: Betrhte wir wei sih sheiee Kreise mit utershielihe ie u gemeismer Tgete Berehe Sie s Verhältis er Bogeläge vom Shittpukt es jeweilige Kreises mit er Tgete
Mittelwerte. Sarah Kirchner & Thea Göllner
Mittelwerte Srh Kirher The Göller Mittelwerte sid vershiedee mthemtish defiierte Kegröße. Uter dem Mittelwert zweier oder mehrerer Zhle versteht m meistes de Durhshitt, owohl viele dere Mittelilduge vorkomme.
9. Jahrgangsstufe Mathematik Unterrichtsskript
. Jhrggsstufe Mthetik Uterrichtsskript. Die ioische Forel Beispiel: Auftrg: Bereche die Gestfläche der oe stehede Figur uf zwei verschiedee Arte!. Möglichkeit. Möglichkeit: Teilflächeerechug Mit Zhleeispiel
VORKURS: MATHEMATIK RECHENFERTIGKEITEN, LÖSUNGEN MONTAG
Lösuge Motg -- VORKURS: MATHEMATIK RECHENFERTIGKEITEN, LÖSUNGEN MONTAG Blok. Beekuge: Kle vo ie h usse uflöse; Pukt vo Stih 0. / /. π lr lr Q lr d 00 ln Beekug zu d Geht uh ohe TR! Küze Nee: ud Zähle:
Landeswettbewerb Mathematik Baden-Württemberg Musterlösungen 1. Runde 2006
Ldeswettbewerb thetik de-württeberg usterlösuge 1 Rude 2006 ufgbe 1 Die Ziffer vo 1 bis 5 solle so i eier Reihe geordet werde, dss jedes Pr behbrter Ziffer eie Zhl ergibt, die ei Produkt zweier eistelliger
SS 2017 Torsten Schreiber
SS 07 Torste Schreier e Wert eier etermite köe wir is zu eiem Formt vo mittels dem Verfhre vo Srrusestimme. Für Mtrize, die ei höheres Formt he, köe wir die etermite mit dem estimme. zu sollte Sie im erste
Das Wurzelziehen (Radizieren) ist die Umkehrung des Potenzierens. Durch Berechnung der entsprechenden Wurzel entsteht wieder der Wert der Basis.
. Wurzel Ds Wurzelziehe (Rdiziere) ist die Umkehrug des Potezieres. Durch Berechug der etsprechede Wurzel etsteht wieder der Wert der Bsis. poteziere Wurzel ziehe. Die Qudrtwurzel Ds Ziehe der Qudrtwurzel
Integralrechnung kurzgefasst
Itegrlrehug kurzgefsst. Flähe uter eiem Grphe Die Eistiegsfrge lutet: Wie k m de Fläheihlt A eies Flähestüks erehe, ds egrezt wird - vom Grphe G f eier (stetige) Fuktio - vo der -Ahse - vo zwei Prllele
Matrix Theorie FACHBEREICH BAUINGENIEURWESEN PROF. DR. PETER SPARLA MATHEMATIK 1 1
Mtrix Theorie FCHBEREICH BUINGENIEURWESEN PROF. DR. PETER SPRL MTHEMTIK htug! Dieses Folieskript soll de Studierede eiiges mehisher Shreibrbeit behme ud dzu beitrge, sih uf ds eigetlihe Fh ud seie vielfältige
Zusammenfassung: Komplexe Zahlen
Zusmmefssug: Komplexe Zhle Ihltsvereichis Komplexe Zhleeee che mit komplexe Zhle Polrform komplexer Zhle 4 Wurel komplexer Zhle 6 Formel vo Crdo 8 Nullstelle ud Fktorisierug vo Polyome 9 Für Experte Komplexe
Also definieren wir: Die Definition ist damit unabhängig vom Kürzen oder Erweitern des Exponenten.
7. Poteze mit rtiole Expoete Eiführedes Beispiel: Wir versuche ls Potez vo zu schreie. Bei dieser Erweiterug solle die isherige Potezgesetze gültig leie. x mit poteziert x x ( ) ( ) log 8 Also defiiere
Die Logarithmusfunktion
Ihltsverzeichis Ihltsverzeichis...1 Die Logrithusfuktio...2 Eiführug...2 Eiige Beispiele...2 Spezielle Logrithe...3 Die Ukehrfuktio der Epoetilfuktio...3 Die Eigeschfte der Logrithusfuktio...4 Defiitiosereich
Repetitionsaufgaben Potenzen und Potenzgleichungen
Ktole Fchschft Mthemtik Repetitiosufge Poteze ud Potezgleichuge Ihltsverzeichis A) Voremerkuge B) Lerziele C) Poteze D) Potezgleichuge E) Aufge Poteze mit Musterlösuge F) Aufge Potezgleichuge mit Musterlösuge
Zusammenfassung: Komplexe Zahlen
LGÖ Ks VM Schuljhr 06/07 Zusmmefssug: Komplexe Zhle Ihltsvereichis Komplexe Zhleeee che mit komplexe Zhle Polrform komplexer Zhle 4 Wurel komplexer Zhle 6 Formel vo Crdo 8 Nullstelle ud Fktorisierug vo
MATRIZENRECHNUNG A = Matrix: m Zeilen, n Spalten. Allgemein: A = heißt Komponente der Matrix (Element der Matrix) aij:
MATRIZENRECHNUNG Mtri: 3 5 4 5 A = 3 5 5 7 8 3 8 Allgeei: A = 3 3 3 Zeile, Splte ij: heißt Kopoete der Mtri (Eleet der Mtri) ij ist Kopoete der i-te Zeile, j-te Splte Mtri der Ordug, ( -Mtri): A(,) oder
VORKURS: MATHEMATIK RECHENFERTIGKEITEN, ÜBUNGEN MONTAG. 1. Berechnen Sie von Hand und Beachten Sie dabei die Reihenfolge der Operationen:
Üuge Motg -- VORKURS: MATHEMATIK RECHENFERTIGKEITEN, ÜBUNGEN MONTAG Block Die Musterlösuge werde Aed uf der Vorkurs-Hoepge ufgeschltet!. Bereche Sie vo Hd ud Bechte Sie dei die Reihefolge der Opertioe:
Formelsammlung WS 2005/06
Forelslug WS 005/06 FH Düsseldorf Fhereih Mshieu ud Verfhrestehik Mthetik für Igeieure Prof. Dr. W. Sheideler Ausreitug: Sevd Mer Ihltsverzeihis. Zeihe für esodere Zhleege 3. Poteze 3 Reheregel für Poteze
Potenzen, Wurzeln und ihre Rechengesetze
R. Brik http://rik-du.de Seite 9.0.00 Poteze, Wurzel ud ihre Rechegesetze Der Potezegriff Defiitio: Eie Potez ist eie Multipliktio gleicher Fktore (Bsis), ei der der Epoet die Azhl der Fktore git. : =...
1. Übungsblatt zur Analysis II
Fchereich Mthemtik Prof Dr Steffe Roch Nd Sissouo WS 9/ 69 Üugsltt zur Alysis II Gruppeüug Aufge G Bestimme Sie für jede der folgede Fuktioe f : [, ] R ds utere ud oere Itegrl ud etscheide Sie, o die Fuktio
c) Wir betrachten alle möglichen Potenzen der natürlichen Zahlen. In welchen Fällen endet das Ergebnis einer Potenz immer auf eine 1?
Aufge : Poteze ) We die Zhl elieig oft mit sich selst multipliziert wird, d edet ds Ergeis immer uf eie. Git es och mehr Zhle, die diese Eigeschft esitze? ) Welche Edziffer esitzt die ute stehede Summe?
Integralrechnung = 4. = n
Computer ud Medie im Mthemtikuterriht WS 00/ Itegrlrehug. Allgemei Die Berehug vo Bogeläge, Shwerpukte ud Trägheitsmomete, der Areit ud des Effektivwertes eies elektrishe Wehselstromes, der Bhkurve vo
x + z y = 6 x 2 + z 2 y 2 = 36 x 3 + z 3 2y 3 = 1 x + z = y + 6 x 2 + z 2 = y x 3 + z 3 = 2y x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3 = 0 x + xy + y = 1
Gleihuge/Ugleihuge sltt Seite Gleihuge Aufge (Wurzel π37) Fide lle e (x, y, z) R 3 des Gleihugssystems M stellt ds System um zu x z y = 6 x z y = 36 x 3 z 3 y 3 = x z = y 6 x z = y 36 x 3 z 3 = y 3 Aus
15 Trigonometrie des rechtwinkligen Dreiecks
Mthemtik PM Trigmetrie des rehtwiklige Dreieks 5 Trigmetrie des rehtwiklige Dreieks Trigmetrie (v trig [griehish]; Dreiek, ud metrei [griehish]; messe) 5 Eiführug (Gegeüerstellug Pythgrs ud Trigmetrie)
Potenzen und Wurzeln
Poteze ud Wurzel.) Poteze mit türliche ud gze Epoete: Epoet Potez: Bsis Ei Produkt us gleiche Fktore lässt sich ls Potez schreie er: ( ) ( ) ( ) ( ) 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 (
Seminarstunden S-Std. (45 min) Nr. Modul Theorie Übungen. 14 Potenzieren und Radizieren 1 1
Mthemtik Grudlge Poteziere ud Rdiziere Mthemtik Grudlge für Idustriemeister Semirstude S-Std. (45 mi) Nr. Modul Theorie Üuge 4 Poteziere ud Rdiziere Ihlt 4 Poteziere ud Rdiziere... 4. Poteziere... 4..
Definition einer Gruppe
Defiitio eier Gruppe Uter eier Gruppe versteht i der Mthetik eie Ahl vo Eleete, die durch Regel i Beiehug stehe. Bediguge für eie thetische Gruppe: I. Verküpfug weier beliebiger Eleete (ud dit uch ds Qudrt
Vorbereitungskurs Mathematik
BBS Gerolstei Vorereitugskurs Mthemtik Vorereitugskurs Mthemtik für zweijährige höhere Berufsfhshule Berufsoershule I Dule Berufsoershule Auf der Homepge www.s-gerolstei.de uter Dowlods uter Mthemtik oder
Dr. Günter Rothmeier Kein Anspruch auf Vollständigkeit Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit
Uiversität Regesburg Nturwisseschftliche Fkultät I Didktik der Mthetik Dr. Güter Rotheier WS 008/09 Privte Vorlesugsufzeichuge Kei Aspruch uf Vollstädigkeit 5 7 Eleetrthetik (LH) ud Fehlerfreiheit. Zhlebereiche.5.
= 2. . Der gesuchte zur Ebene parallele Vektor ist dann: . Der Aufpunkt ist dann P 1, die beiden Richtungsvektoren
ASW Lösue zu Übu 7 Mthemtik I Geometrie o Gerde ud Ebee rof DrBGrbowski Zu Aufbe Durh die Gleihu x y z sei eie Ebee im R eebe Gebe Sie eie Vektor der sekreht uf der Ebee steht! b Gebe Sie eie Vektor der
10 1 Grundlagen der Schulgeometrie. 1.3 Das Dreieck
10 1 Grundlgen der Shulgeometrie 13 Ds Dreiek In diesem shnitt findet lles in der ffinen Stndrdeene 2 = R 2 sttt Drei Punkte, und, die niht uf einer Gerden liegen, ilden ein Dreiek Die Punkte,, nennt mn
7 Ungleichungen und Intervalle
Mthemtik. Klsse 7 Ugleichuge ud Itervlle Aufgbe 0 Löse Sie folgede Ugleichuge > + 8 < 5 + + 7. Itervlle Um gze Bereiche vo reelle Zhle zugebe, wird die Schreibweise mit Itervlle verwedet. Beispiele [,
7.4. Teilverhältnisse
7... erehnung von Teilverhältnissen ufgen zu Teilverhältnissen Nr. 7.. Teilverhältnisse Die Shwerpunkte von Figuren und Körpern lssen sih mit Hilfe von Teilverhältnissen usdrüken und erehnen. Definition
Aufgaben für Klausuren und Abschlussprüfungen
Techikerschule Aufge für Klusure ud Aschlussprüfuge Epoetilgleichuge, Logrithmusgleichuge Grudlgewisse: Recheregel zur Epoetil- ud Logrithmusrechug. Hiweise ud Formelsmmlug siehe Seite - 5. Bereche Sie.
Logarithmus - Übungsaufgaben. I. Allgemeines
Eie Gleichug höhere Grdes wie z. B. Gymsium / Relschule Logrithmus - Üugsufge Klsse 0 I. Allgemeies k ch ufgelöst werde, idem m die Wurzel zieht. Tritt die Uekte jedoch im Epoete eier Potez uf, spricht
5. Vektor- und Matrizenrechnung
. Vektore Mtrize ud Determite. Vektor- ud Mtrizerehug. Vektore Mtrize ud Determite (i) Vektore Im Folgede betrhte wir Vektore R i der Ebee R im Rum oder llgemeier (... ) R. Vektore köe ls Spltevektore
R. Brinkmann Seite e) 2ad = 8a d. b) ( )( ) b) b 4b = 20b e) 2 3 5
R. Brik http://rik-du.de Seite 7.0.0 Lösuge Poteze II Ergeisse: E Ergeisse ) d 8 d e) d 8 d ) f) 8 E Ergeisse ) d 6 d d d ) y y y E Ergeisse ) + + 6 + E Ergeisse ) 8 + 8 7 + 0( ) ) 7 y + y 8 y + 9 E E6
Grundwissen Mathematik 8.Klasse Gymnasium SOB. Darstellung im Koordinatensystem: Der Kreisumfang ist direkt proportional zu seinem Radius.
Gymso 1 Grundwissen Mthemtik 8.Klsse Gymnsium SOB 1.Funktionle Zusmmenhänge 1.1.Proportionlität Ändern sih ei einer Zuordnung die eiden Größen im gleihen Verhältnis, so spriht mn von einer direkten Proportionlität.
Eine Folge ist eine durchnummerierte (Index) Abfolge von Zahlen die eine Abbildung der natürlichen Zahlen auf eine andere Zahlenmenge darstellt.
. Kovergez.. Eiführug i ds Prizip der Folge Eie Folge ist eie durchummerierte (Idex) Abfolge vo Zhle die eie Abbildug der türliche Zhle uf eie dere Zhlemege drstellt. Beispiel: : = k uch ls Abbildug: f
A 2 Die Cramersche Regel
Die Crmersche egel Mtrixschreibweise eies liere Gleichugssystems Die Crmersche egel 5 Wir gehe vo der llgemei Gestlt eies liere Gleichugssystems us : Gegebe seie m (reelle oder komplexe) Zhle ik (i,,,
Abiturprüfung Baden-Württemberg: Mathematische Merkhilfe, 1. Auflage (2017) S. 1/8. Dreieck Flächeninhalt: Mindestens zwei Seiten sind gleich lang.
Aiturprüfug Bde-Württemerg: Mthemtishe Merkhilfe,. Auflge (7) S. /8 Eee Figure Dreiek Fläheihlt: A g hg gleihshekliges Dreiek Midestes zwei Seite sid gleih lg. gleihseitiges Dreiek Alle drei Seite sid
POTENZEN UND WURZELN. 1. Wurzeln als Potenzen mit rationalen Zahlen als Exponenten. Potenzen und Wurzeln 1
Poteze ud Wurzel POTENZEN UND WURZELN. Wurzel ls Poteze it rtiole Zhle ls Epoete Gegee ist die Zhl. Ds Qudrt vo ist 9: = 9. Ist u ugekehrt die Zhl 9 gegee ud es ist jee ichtegtive Zhl zu erittel, dere
Zahlbereiche. Algebra. Geometrie, Stereometrie. Sachrechnen. Daten und Zufall. Sonstiges. Schriftliche Arbeiten
RS Üerlige, Stru A B Zhlereihe. Gze Zhle. Rtiole Zhle. Poteze (große/kleie Zhle, Potezgesetze) 4. Wurzel, reelle Zhle Alger. Terme. Biomishe Formel. Liere Gleihuge 4. Liere Gleihugssysteme 5. Qudrtishe
mathphys-online WURZELFUNKTIONEN Graphen der n-ten Wurzelfunktion y-achse
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STUDIUM. Mathematische Grundlagen für Betriebswirte
STUDIUM Mthetische Grudlge für Betrieswirte Mit de folgede Aufge köe Sie i eie Selsttest üerprüfe, o Sie och eiigerße die Grudlge der Alger eherrsche. Diese hdwerkliche Fertigkeite sid wesetlich, we es
1. Grundlagen. 2. Potenzen, Wurzeln, Logarithmen. 3. Vektorrechnung. 4. Trigonometrische Funktionen. 5. Differentialrechnung. 6.
Ihlte Brüceurs Mthemti Fchhochschule Hover SS 0 Dipl.-Mth. Coreli Reiterger. Grudlge. Poteze, Wurzel, Logrithme. Vetorrechug 4. Trigoometrische Futioe. Differetilrechug. Itegrlrechug 7. Mtrize, Liere Gleichugssysteme
A. Bertrand sches Sehnenparadoxon, Modellierung V Zwei Punkte zufällig im Kreis (S. 212/213)
A. Bertrd sches Seheprdoxo, Modellierug V Zwei Pukte zufällig i Kreis (S. /) I Abb..58 sid 5 Sehe gezeichet, vo dee 7 kürzer ls die Dreiecksseite sid. Die reltive Häufigkeit ist,8. Bei große Versuchszhle
Kapitel 10: Optimalcodierung IV
Kpitel 10: odierug IV Ziele des Kpitels Lempel-Ziv Codig Cover, pp. 319ff 2 Lempel-Ziv Codig Lempel-Ziv Codig Wurde 1977 zum erste Ml vorgestellt Beötigt keie Quellesttistik Wesetlihes Chrkteristikum ist
ALGEBRA Potenzen Teil 2. Trainingsheft. Alle Regeln Musterbeispiele - Trainingsaufgaben. Datei Nr INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
ALGEBRA Poteze Teil it egtive Expoete Triigsheft Alle Regel Musterbeispiele - Triigsufgbe Dtei Nr. 0 Std 9. Dezeber 0 Friedrich W. Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK www.the-cd.de 0 Potezreche
Brückenkurs Mathematik Dr. Karl TH Nürnberg
Brükekurs Mthemtik Dr. Krl TH Nürerg Qudrtishe Gleihuge Ugleihuge Copyright : Huert Krl Alle Rehte vorehlte. Diese Puliktio drf ohe die usdrüklihe shriftlihe Geehmigug des Autors weder gz oh uszugsweise
Marek Kubica, Diskrete Strukturen Übungsblatt 13 Gruppe 11
Mrek Kubic, kubic@i.tum.de Diskrete Strukture Übugsbltt Gruppe Pukteverteilug: Σ Aufgbe () 8 () 7 Der Grph B ht de Prüfer-Code,,,,, der zustde kommt, we m de kleiste Kote vom Grd streicht ud de dere, übrig
Ergebnis: Abhängigkeit y(x) in der impliziten Form G(y) = F(x) + C. y =
Lösugsmethode Differetilgleihuge erster Ordug Für gewisse Tpe vo Differetilgleihuge läßt sih ei Weg gee, uf dem m, die Lösug der Differetilgleihug uf Qudrture d.h. uf ds Ausrehe vo Itegrle, urükführe k..
Grundlagen der Mathematik (LPSI/LS-M1) WiSe 2010/11 - Curilla/Koch/Ziegenhagen
Fchbereich Mthemtik Algebr ud Zhletheorie Christi Curill Grudlge der Mthemtik LPSI/LS-M) Lösuge Bltt WiSe 00/ - Curill/Koch/Ziegehge Präsezufgbe P3)-d) Für jede der vier Mege gilt, dss die dri ethltee
8.3. Komplexe Zahlen
8.. Komplee Zhle Wie bereits i 8.. drgestellt, wurde die fortlufede Erweiterug der Zhlbereiche durch die Eiführug immer kompleerer Recheopertioe otwedig:. Auf de türliche Zhle führte der Wusch ch iverse
multipliziert und der Ausdruck dann in Real- und Imaginärteil aufgespaltet: Zur Berechnung der Phase werden Zähler und Nenner zunächst mit 1 F F
8 requezgg lierer Sstee 9 t t t e e e Jede Differetitio etspricht lso eier Multipliktio it! Setze wir diese ere i die Differetilgleichug 87 ei, so erhlte wir ür de requezgg ergit sich lso 88 Beispiel:
Konstruktion mit Zirkel und Lineal
Alert Ludigs Universität Freiurg Institut für Mthemtik Ateilung für Reine Mthemtik Prof Dr D Wolke Dipl Mth S Feiler Üungen ur Vorlesung Ergänungen ur Elementren Zhlentheorie Wintersemester 9/ 9 Üungsltt
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Vorkurs Mthemtik DIFFERENTIATION Ableitugsregel (f + g) = f + g (cf) = c f, c R ( ) = (c) =, c R Dmit köe wir Polyome bleite: Beispiel. ( 5 + 3 + ) = ( 5 ) + 3( ) + () = 5 4 + 3 = 5 4 + 6 Produkte- ud
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VORKURS: MATHEMATIK RECHENFERTIGKEITEN, LÖSUNGEN. Dienstag
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Teilbarkeit. Christoph Dohmen. Judith Coenen. 17. Mai Christoph Dohmen, Diskrete Mathematik Teilbarkeit. Judith Coenen
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Epertetipps für die Prüfug: Alle Aufgbestelluge im Überblick! Wertvolle Hiweise uf Stolperflle! Elegte Rechetipps! Übersicht ller wichtige Formel! Mthemtik Bde-Württemberg Ihlt:. Pflichtteilufgbe........................................
Glossar zum Brückenkurs "Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler" 1
Glossr zum Brückekurs "Mthemtik für Wirtschftswisseschftler" GLOSSAR Abbildug Eie eideutige Zuordug f zwische zwei Mege X ud Y heißt Abbildug oder Fuktio us X i Y. M schreibt: f: X Y. f heißt Abbildug
Propädeutikum Mathematik
Fultät IV - Wirtshft ud Iforti Ateilug Wirtshftsiforti Ateilug Betrieswirtshft Propädeutiu Mtheti Soerseester 013 Prof. Dr. Jörg Steph Prof. Dr. Dieter Leit Literturhiweise Büher zu Studieeistieg, die
Vektorrechnung. Ronny Harbich, 2003
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Kapitel VI. Eigenschaften differenzierbarer Funktionen
Kpitel VI Eigeschfte differezierbrer Fuktioe S 6 (Fermt, 6-665) Die Fuktio f sei uf dem Itervll I defiiert ud ehme der iere Stelle ξ vo I eiem bsolute Extremum Ist f der Stelle ξ differezierbr, d gilt
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Lineare Gleichungssysteme Der Gaußsche Algorithmus
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Die Satzgruppe des Pythagoras
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Funktion. y 1. x 1. = = c (Konstante) F s. F s. 50km
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Ds Riem-Itegrl u seie Eigeshfte Defiitio. Sei ie Fuktio f beshräkt uf [, b]. Stimme ie beie Drboux-Itegrle überei, heißt f Riem-itegrierbr uf [, b] (oer R-itegierbr). Der gemeisme Wert heißt Riem- Itegrl
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