5. Vektor- und Matrizenrechnung

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1 . Vektore Mtrize ud Determite. Vektor- ud Mtrizerehug. Vektore Mtrize ud Determite (i) Vektore Im Folgede betrhte wir Vektore R i der Ebee R im Rum oder llgemeier (... ) R. Vektore köe ls Spltevektore (wie i de erste beide Fälle) oder ls Zeilevektore (wie im letzte Beispiel) geshriebe werde. Beispiele für Vektore sid etw Krft- Geshwidigkeits- Mege- oder Preisvektore. Wie rehet m mit Vektore? y y dditio vo Vektore: y y y y λ Multipliktio mit eiem Sklr: λ R λ λ. hse λ y y. hse Multipliktio vo Vektore (Sklrprodukt): y y y Läge eies Vektors: y Wikel zwishe zwei Vektore: osϕ y

2 . Vektore Mtrize ud Determite Die Seiteläge des Dreieks BC mit () B() C() bestimme wir gemäß C B C C 8 ud log b. I edem Dreiek mit de Seitevektore b b gilt die Dreieksugleihug b b. Welhe Wikel shließe die Flähe- ud die Rumdigole eies Würfels miteider ei? Wähle wir de Eiheitswürfel im erste Oktte mit der Flähedigole der Bsisflähe d () ud der Rumdigole e () so folgt de osϕ ϕ. d e uh Folge oder Fuktioe köe ls Vektore gesehe werde ud bilde eie Vektorrum. Ei Vektorrum besteht llgemei us eier Mege vo Vektore V ud eier Mege vo Sklre K (zumeist K R oder C) für welhe eie Vektordditio ud eie Multipliktio zwishe Vektore ud Sklre erklärt sid sodss gewisse Gesetze (die Vektorrumiome) erfüllt sid. Sid... Vektore ud λ λ...λ Sklre so et m λ λ... λ eie Lierkombitio vo.... Die Vektore... heiße lier bhägig we eier uter ihe ls Lierkombitio der übrige drgestellt werde k lso etw λ λ... λ λ i R. derflls heiße... lier ubhägig. Die Vektore... sid geu d lier ubhägig we gilt λ λ... λ λ λ... λ. Die drei Vektore () b ( ) () sid lier bhägig de b. Die Vektore () e () e () sid lier ubhägig. e Im R sid Vektore stets lier bhägig Vektore sid lier bhägig we sie i eier Ebee zwei Vektore sid lier bhägig we sie uf eier Gerde liege.

3 . Vektore Mtrize ud Determite (ii) Mtrize Uter eier Mtri m m m oder kurz ( i ) versteht m ei Shem reeller oder kompleer Zhle mit m Zeile ud Splte. M et eie m -Mtri über R bzw. C. F E D C B Die Mtri ist eie - B eie -Mtri über C. Die beide Mtrize gehe durh Vertushe vo Zeile ud Splte ieider über B T ist die trspoierte Mtri vo. lle übrige Mtrize i obigem Beispiel sid -Mtrize über R. llgemei et m ede -Mtri eie qudrtishe Mtri ud... ihre Huptdigole. Die Mtri C ist überdies symmetrish d.h. C C T. Die Mtrize D ud E sid Digolmtrize d.h. lle ihre Eiträge ußerhlb der Huptdigole vershwide dbei ist E die -Eiheitsmtri. Shließlih ist die Mtri F ei Beispiel für eie obere Dreieksmtri d.h. lle Eiträge uterhlb der Huptdigole vershwide. Wie rehet m mit Mtrize? dditio vo Mtrize: ( i ) B (b i ) m -Mtrize B ( i b i ) Multipliktio mit eiem Sklr: λ R oder C w.o. λ (λ i ) Multipliktio vo Mtrize: ( i ) m -Mtri B (b k ) p-mtri k i ik ik k... m... für i b Mtri mit p - m ) ( C B. Ds Mtrizeprodukt B ist lso ur d defiiert we die Spltezhl vo gleih der Zeilezhl vo B ist. B B

4 . Vektore Mtrize ud Determite 9 8 B B Für ds Rehe mit Mtrize gelte die üblihe Reheregel mit folgeder ushme: I.llg. gilt B B d.h. die Mtrizemultipliktio ist iht kommuttiv de z.b. B B B. Beispiel (us der Bedrfsrehug): Wir betrhte eie Produktiosprozess bei dem zwei Edprodukte E E us Zwisheprodukte Z Z Z ud Rohstoffe b so hergestellt werde wie us dem hstehede Grphe hervorgeht. Dbei steht ebe eder Kte eie Zhl die gibt wie viele Eiheite des geriger wertige Produkts i ds höherwertigere Produkt (siehe Kterihtug) direkt eigehe. Beispielsweise beötigt m für der Herstellug vo eier Eiheit des Produkts E Eiheite des Zwisheprodukts Z eie Eiheit vo Z sowie Eiheite des Rohstoffes. E E Z Z Z b Dieselbe Iformtio wie der obige Gozito-Grph ethält uh die so gete Gozito- Mtri: E E Z Z Z b E E Z D Z Z b

5 . Vektore Mtrize ud Determite Der Gesmtbedrf Rohstoffe oder Zwisheprodukte der zur Herstellug der Edprodukte erforderlih ist k us D oh iht bgelese werde. Will m z.b. wisse wie viele Eiheite i E idirekt über eie Zwisheshritt eigehe d betrhtet m zuähst die direkt i E eigehede Produkte lso Z Z ud. D ber i ede Eiheit Z wiederum ud i ede Eiheit Z wiederum eigehe ist die zhl der Eiheite vo die idirekt über geu eie Zwisheshritt i E eigehe gegebe durh ; ds ist gerde ds Sklrprodukt der -Zeile ud E -Splte der Mtri D ds i der vorletzte Zeile ud zweite Splte der Mtri D steht. Führt m diese Überleguge für lle Produkte durh so erket m dss die Eiträge der Mtri D gebe wie viele Eiheite des Produkts der eweilige Zeile zur Herstellug eier Eiheit des Produkts i der eweilige Splte idirekt über geu eie Zwisheshritt (d.h. lägs eies Weges der Läge ) erforderlih sid: E E Z Z Z b E E Z Z 8 b 8 D Z llgemei ist D m die Mtri die gibt wie viele Eiheite des Produkts der eweilige Zeile idirekt über geu m Zwisheshritte lso lägs eies Weges der Läge m i ds Produkt der etsprehede Splte eigehe. D der Produktiosprozess us edlih viele Shritte besteht gibt es zu eder Gozito-Mtri D eie Epoete so dss D gilt. Die so gete Gesmtbedrfsmtri bildet m d gemäß G E D D... D wo E die Eiheitsmtri bezeihet. I userem Beispiel gilt D de die lägste Wege im Gozito-Grphe besitze die Läge ud somit ist G E D D D lso E E Z Z Z b E E Z G Z Z 8 b 8

6 . Vektore Mtrize ud Determite Will m z.b. Eiheite E Eiheite E ud für ds Lger uf Vorrt Eiheite Z produziere d bruht m ur de Vektor p () mit G zu multipliziere: G p T (9899) T. Der Rohstoffbedrf für dieses Produktiosprogrmm beträgt lso 9 Eiheite Eiheite b ud Eiheite. (iii) Determite Ist ( i ) eie qudrtishe -Mtri über R oder C so defiiert m die Determite R bzw. C wie folgt: : : : llgemei erklärt m eie -Determite rekursiv idem m ihre Berehug uf Determite der Dimesio ( ) ( ) zurükführt:... wobei i die mit dem Vorzeihe () i multiplizierte Determite dereige Mtri ist welhe m us durh Streihe der i-te Zeile ud -te Splte erhält. M et i lgebrishe Komplemete der Mtri. Etwiklugsstz vo Lple: Eie Determite k h eder beliebige Zeile oder Splte etwikelt werde d.h. i i i i... i i i... (Etwiklug h der i-te Zeile) (Etwiklug h der -te Splte) (Etwiklug h der. Zeile)

7 . Vektore Mtrize ud Determite (Etwiklug h der. Splte) Für die prktishe Berehug werde folgede Eigeshfte vo Determite verwedet:. Vertusht m zwei Zeile (oder Splte) so ädert sih ds Vorzeihe.. Multipliziert m eie Zeile (Splte) mit eiem kostte Fktor so multipliziert sih die Determite mit diesem Fktor.. ddiert m ei Vielfhes eier Zeile (Splte) zu eier dere Zeile (Splte) so ädert sih die Determite iht.. Für die Trspoierte eier Mtri gilt T sowie für ds Produkt B B. Beispiel: Dem Kehrwert eier reelle oder komplee Zhl etspriht die Iversebildug vo Mtrize: Eie -Mtri heißt iht sigulär (oder ivertierbr) flls es eie Mtri gibt sodss E; heißt d iverse Mtri vo. Wie erket m u ob iht sigulär ist ud wie berehet m? Stz: Eie -Mtri ist geu d iht sigulär we. I diesem Fll gilt ( ) T ik. Beispiel: Gegebe sei die Mtri. Wege ist iht sigulär ud es folgt T T Zur Probe bestätigt m E wie leiht hzurehe ist..

8 . Liere Gleihugssysteme 8. Liere Gleihugssysteme Beispiel: Wir begie mit der Berehug eies eifhe elektrishe Netzwerks mit vier Widerstäde ud zwei Spugsquelle ds i der folgede bbildug drgestellt ist. V V i i i R Ω R Ω R Ω R Ω i i i Nu iteressiere wir us für die Stromverteilug i i i. us de Kirhhoff she Gesetze ud dem Ohm she Gesetz ergebe sih die folgede Beziehuge: R i R (i i i ) R i R i R i R i. Wir erhlte lso ei so getes lieres Gleihugssystem i de ubekte Ströme i i i. Setzte wir kokret R Ω R R Ω ud R Ω ei so erhlte wir i i i i i i i. us der zweite Gleihug folgt i i ud us der dritte ergibt sih i / / i. Setzt m diese Beziehuge i die erste Gleihug ei so verbleibt dort ur mehr i ls eizige Ubekte ud es folgt i. Drus erhält m i weiterer Folge i ud i. Die Spug m Widerstd R beträgt d R (i i i ) V de Widerstäde R ud R e V ud R liegt eie Spug vo V. Die hier gewählte Vorggsweise zur Lösug dieses Gleihugssystems ist oh ziemlih usystemtish. Zur systemtishe Behdlug lierer Systeme empfiehlt es sih edeflls die ubekte Größe i i i zu eiem Vektor (i i i ) ud die Koeffiziete uf der like Seite der Gleihuge zu eier Mtri zusmmezufsse. Dmit erhält m ds Gleihugssystem i Mtrizeform i i. i

9 . Liere Gleihugssysteme 9 llgemei ist ei lieres Gleihugssystem mit m Gleihuge ud Vrible vo der Form m m wo i ud b i reelle oder komplee Koeffiziete ud die Vrible sid (i...m...). Setzt m ( i ) b (b i ) ( ) so lutet ds System i Mtrizeform b. m b b b m Dbei heißt die m -Mtri Systemmtri ud ( b ) erweiterte Mtri des Gleihugssystems. W ist dieses System überhupt lösbr? Wie viele Lösuge gibt es? Wie erhält m lle möglihe Lösuge? Die twort uf lle diese Frge erhält m mit Hilfe des Gußshe Elimitiosverfhres. Dieses Verfhre beruht uf der Idee ds gegebee Gleihugssystem i ei lösugsäquivletes System umzuforme welhes vo besoders eifher Gestlt ist. Dzu behte wir zuähst: Die Lösugsgesmtheit eies liere Gleihugssystems ädert sih iht bei. Vertushe zweier Gleihuge d.h. zweier Zeile vo ( b ) b. Vertushe zweier Splte vo (ud Umbezeihug der zugehörige Vrible). Multipliktio eier Gleihug mit eiem Fktor. Multipliktio eier Gleihug mit eiem Fktor ud dditio zu eier dere Gleihug. Durh wedug der Regel. bis. k ds System ( b ) wie folgt i Trpezform (oder Hlbdigolform) (C d ) umgeformt werde: rr r d d d r d r d m Dbei sid... rr ud die Zhl r mit r m r heißt Rg der Mtri bzw. C; sie gibt die Zhl der lier ubhägige Zeilevektore vo. Die Splte vo C etsprehe der Vrible... evetuell i eier dere Reihefolge (siehe Beispiel).

10 . Liere Gleihugssysteme Zur Lösug des Systems (C d ) i Trpezform utersheide wir drei Fälle:. Gilt r < m ud d i für ei i > r d ist ds System ulösbr. I edem dere Fll deke wir us die überflüssige Zeile vo r bis gestrihe.. Gilt r berehe wir sukzessive die Vrible... vo ute h obe. Ds System ist eideutig lösbr.. Gilt shließlih r < so ersetzt m die Vrible r... durh beliebige Prmeter λ...λ r ud berehet dmit sukzessive r... w.o. Ds System ht uedlih viele Lösuge der Lösugsrum ist ( r)-dimesiol. Die Lösug ist wege r eideutig bestimmt ud lutet / / lso (/ /). 8 8 Ds System ht m Gleihuge i Vrible ud ist dher uterbestimmt. Wege r besitzt der Lösugsrum die Dimesio r. Wir setze λ ud berehe sukzessive λ ud shließlih λ. Dmit lutet die Lösug des Gleihugssystems ( ) λ( ) λ R d.i. eie Gerde im R. 8 9 Wie us der letzte Gleihug zu ersehe ist ist ds System ulösbr.