5. Vektor- und Matrizenrechnung

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1 . Vektore, Mtrize ud Determite 69. Vektor- ud Mtrizerehug. Vektore, Mtrize ud Determite (i) Vektore Im folgede betrhte wir Vektore i der bee, im Rum oder llgemeier (,..., ). Vektore köe ls Spltevektore (wie i de erste beide Fälle) oder ls eilevektore (wie im letzte Beispiel) geshriebe werde. Beispiele für Vektore sid etw Krft-, Geshwidigkeits-, Mege- oder Preisvektore. Wie rehet m mit Vektore? y + y Additio vo Vektore:, y + y y + y Multipliktio mit eier reelle hl (mit eiem Sklr ): λ, λ λ λ λ y + y Multipliktio vo Vektore (Sklrprodukt): y y + y Läge eies Vektors: + y Wikel zwishe zwei Vektore: osϕ y

2 . Vektore, Mtrize ud Determite Beispiele: Die Seiteläge des Dreieks ABC mit A(,), B(,), C(,6) bestimme wir gemäß B C ,8 ud log b,. I jedem Dreiek mit de Seitevektore, b, + b gilt die Dreieksugleihug + b + b. Welhe Wikel shließe die Flähe- ud die Rumdigole eies Würfels miteider ei? Wähle wir de iheitswürfel im erste Oktte mit der Flähedigole der Bsisflähe d (,,) ud der Rumdigole e (,,), so folgt de os ϕ ϕ,6,. d e Auh Folge oder Fuktioe köe ls Vektore gesehe werde. Sie bilde ebeso wie,, - eie Vektorrum. (Vgl. Kpitel 6!) Defiitio: Sid,,..., Vektore ud λ,λ,...,λ Sklre, so et m λ + λ λ eie Lierkombitio vo,,...,. Defiitio: Die Vektore,,..., heiße lier bhägig, we (midestes) eier uter ihe ls Lierkombitio der übrige drgestellt werde k, lso etw λ + λ λ, λ i. Aderflls heiße,,..., lier ubhägig. Die Begriffe lier bhägig bzw. lier ubhägig lsse sih uh uf folgede Weise hrkterisiere: Stz: Die Vektore,,..., sid geu d lier ubhägig, we gilt λ+ λ λ λ λ... λ, d.h., we die Gleihug λ+ λ λ ur die trivile Lösug λ λ... λ besitzt. We diese Gleihug uh dere Lösuge besitzt, so sid die Vektore lier bhägig. Beispiele: Die drei Vektore (,,), b (,, ), (,, ) sid lier bhägig, de b bzw. b +, d.h. die Gleihug λ + µ b + ν besitzt iht ur die trivile Lösug λ µ ν, soder uh die Lösug λ, µ, ν.

3 . Vektore, Mtrize ud Determite Die Vektore (,,), e (,,), e (,,) e sid lier ubhägig. Im sid Vektore stets lier bhägig. Vektore sid lier bhägig, we sie i eier bee liege ( komplr sid). Vektore sid lier bhägig, we sie uf eier Gerde liege ( kollier sid). (ii) Mtrize Uter eier Mtri A m m m oder kurz A ( ij ) versteht m ei Shem reeller oder kompleer hle mit m eile ud Splte. M et A eie m -Mtri über bzw.. Beispiele: j j + j A, B j + j j + j + j C, D,, F Die Mtri A ist eie -, B eie -Mtri über. Die beide Mtrize gehe durh Vertushe vo eile ud Splte ieider über, B A T ist die trspoierte Mtri vo A. Alle übrige Mtrize i obigem Beispiel sid -Mtrize über. Allgemei et m jede -Mtri eie qudrtishe Mtri ud,..., ihre Huptdigole. Die Mtri C ist überdies symmetrish, d.h. C C T. Die Mtrize D ud sid Digolmtrize, d.h., lle ihre iträge ußerhlb der Huptdigole vershwide, dbei ist die -iheitsmtri. Shließlih ist die Mtri F ei Beispiel für eie obere Dreieksmtri, d.h., lle iträge uterhlb der Huptdigole vershwide. Wie rehet m mit Mtrize? Additio vo Mtrize: A ( ij ), B (b ij ) m -Mtrize A + B ( ij + b ij ) Multipliktio mit eiem Sklr: λ oder, A w.o. λa (λ ij ) Multipliktio vo Mtrize: A ( ij ) m -Mtri, B (b jk ) p-mtri AB C ( ik ) m p - Mtri mit ik j ij b jk für i,...,m, j,..., k. Ds Mtrizeprodukt AB ist lso ur d defiiert, we die Spltezhl vo A gleih der eilezhl vo B ist.

4 . Vektore, Mtrize ud Determite Beispiele: + 6 A, B A B, A 9 8 AB B, A Für ds Rehe mit Mtrize gelte die üblihe Reheregel mit folgeder Aushme: I.Allg. gilt AB BA, d.h., die Mtrizemultipliktio ist iht kommuttiv, de z.b. BA, AB B, 6 A. Beispiele (us der Bedrfsrehug):. Wir betrhte eie Produktiosprozess, bei dem eie Megeeiheit eies dprodukts us iheite eies wisheprodukts ud eie iheit vo us iheite eies Rohstoffes R erzeugt wird: R Für die rzeugug eier iheit vo beötigt m somit iheite vo R.. Wir wolle u e iheite vo herstelle (d.h. ih bruhe e iheite R dfür); zusätzlih will ih z iheite vo ud r iheite vo R uf Lger lege. Die Mtri: R D R gibt, ws i geu eiem Produktiosshritt beötigt wird: R ud D DD i drükt de Bedrf bei geu Produktiosshritte us. Weiters gilt: (Deute Sie ds selbst!) D Außerdem k m für de -te Produktiosshritt shreibe: D Die Summe us diese Mtrize gibt die Gesmtbedrfsmtri G :

5 . Vektore, Mtrize ud Determite G D D D Aus dem Bedrfsvektor e B z r erhält m u de Gesmtbedrf us: e e e+ z+ r Gi z i z e+ z+ r r 6 r 6 e+ z+ r. Wir betrhte eie Produktiosprozess, bei dem zwei dprodukte, us wisheprodukte, ud Rohstoffe R, R hergestellt werde: b b b b R R Für wird R beötigt: b + b Für wird R beötigt: b + b Für wird R beötigt: b + b Für wird R beötigt: b + b Die Agbe im obige Grphe köe uh durh die folgede Mtrize usgedrükt: R R bzw. b b b b Der zur rzeugug vo je eier iheit, gehörige Bedrf R ud R ist durh ds Produkt der Mtrize gegebe: A ud B b b b b b b b + b b + b G AiB ` b b b + b b + b Für eie Bedrfsvektor p e e erhält m die beötigte iheite R, R durh Gp i.

6 . Vektore, Mtrize ud Determite Diese Mtrize geüge, we m ur für bestimmte Bedrfsgbe vo, die etsprehede Mege vo R ud R ermittel will. Will m ber ebe der Produktio vo e i iheite vo i (i, ) uh z j iheite vo j ud r k iheite vo R k uf Lger lege, so bildet m die Mtri: R R b b R R D b b Berehe Sie selbst D ud vergleihe Sie mit der obige Mtri!. Wir betrhte eie Produktiosprozess, bei dem zwei dprodukte, us wisheprodukte,,, N ud Rohstoffe, b, so hergestellt werde, wie us dem hstehede Grphe hervorgeht. Dbei steht ebe jeder Kte eie hl, die gibt, wie viele iheite des geriger wertige Produkts i ds höherwertigere Produkt (siehe Kterihtug) direkt eigehe. Beispielsweise beötigt m bei der Herstellug vo eier iheit iheite des Rohstoffes ud 6 iheite vo b, währed iheite des Nebeprodukts N frei werde. - 6 N b Dieselbe Iformtio wie der obige Grph ( Gozito-Grph ) ethält die Gozito- Mtri :

7 . Vektore, Mtrize ud Determite D b N 6 b N Der Gesmtbedrf Rohstoffe oder wisheprodukte, der zur Herstellug der dprodukte erforderlih ist, k us D oh iht bgelese werde. Will m z.b. wisse, wie viele iheite i idirekt über eie wisheshritt eigehe, d betrhtet m zuähst die direkt i eigehede Produkte, lso, ud. D ber i jede iheit wiederum ud i jede iheit wiederum eigehe, ist die Azhl der iheite vo, die idirekt über geu eie wisheshritt i eigehe, gegebe durh + ; ds ist gerde ds Sklrprodukt der -eile ud -Splte der Mtri D, ds i der vorletzte eile ud zweite Splte der Mtri D steht. Führt m diese Überleguge für lle Produkte durh, so erket m, dss die iträge der Mtri D gebe, wie viele iheite des Produkts der jeweilige eile zur Herstellug eier iheit des Produkts i der jeweilige Splte idirekt über geu eie wisheshritt (d.h. lägs eies Weges der Läge ) erforderlih sid: D b N 8 b N Allgemei ist D m die Mtri, die gibt, wie viele iheite des Produkts der jeweilige eile idirekt über geu m wisheshritte, lso lägs eies Weges der Läge m, i ds Produkt der etsprehede Splte eigehe. D der Produktiosprozess us edlih viele Shritte besteht, gibt es zu jeder Gozito-Mtri D eie poete, sodss D gilt. Die Gesmtbedrfsmtri bildet m d gemäß G + D + D D, wo die iheitsmtri bezeihet. I userem Beispiel ist G + D + D + D, lso

8 . Vektore, Mtrize ud Determite 6 G b N b N Will m z.b. iheite, iheite ud für ds Lger uf Vorrt iheite produziere, d bruht m ur de Vektor p (,,,,,,,,) mit G zu multipliziere: Gp (,,9,8,9,96,,6,). Der Rohstoffbedrf für dieses Produktiosprogrmm beträgt lso 96 iheite, iheite b, 6 iheite ud es flle iheite des Nebeprodukts N. (iii) Determite Aufgbe: Löse Sie ds Gleihugssystem: + u + v W ist es lösbr? Ist A ( ij ) eie qudrtishe -Mtri über oder, so defiiert m die Determite A bzw. wie folgt: : A : A : A + Allgemei erklärt m eie -Determite rekursiv, idem m ihre Berehug uf Determite der Dimesio ( ) ( ) zurükführt: A A + A A, wobei A ij die mit dem Vorzeihe () i+j multiplizierte Determite derjeige Mtri ist, welhe m us A durh Streihe der i-te eile ud j-te Splte erhält. M et A ij lgebrishe Komplemete der Mtri A.

9 . Vektore, Mtrize ud Determite twiklugsstz vo Lple: ie Determite k h jeder beliebige eile oder Splte etwikelt werde, d.h. A i A i + i A i i A i, i,..., (twiklug h der i-te eile) A j A j + j A j j A j, j,..., (twiklug h der j-te Splte) Beispiele: bzw.: (twiklug h der. eile) (twiklug h der. Splte) Für die prktishe Berehug werde folgede igeshfte vo Determite verwedet:. Vertusht m zwei eile (oder Splte), so ädert sih ds Vorzeihe.. Multipliziert m eie eile (Splte) mit eiem kostte Fktor, so multipliziert sih die Determite mit diesem Fktor.. Addiert m ei Vielfhes eier eile (Splte) zu eier dere eile (Splte), so ädert sih die Determite iht.. Für die Trspoierte eier Mtri gilt A T A sowie für ds Produkt AB A B. Beispiel: Dem Kehrwert eier reelle oder komplee hl etspriht die Iversebildug vo Mtrize: ie -Mtri A heißt iht sigulär (oder ivertierbr), flls es eie Mtri A gibt, sodss A A A A ; A heißt d iverse Mtri vo A. Wie erket m u, ob A iht sigulär ist? Stz: u eier -Mtri A gibt es geu d eie iverse Mtri A, we A

10 . Vektore, Mtrize ud Determite 8 Beispiel: Gegebe sei die Mtri A dher die iverse Mtri A -. Berehug: b d. Wege A ist A iht sigulär ud es eistiert + b + d + b + d Kurzshreibweise: ( ) ( ) 6, ( ) ( ), Also:, - b -, d ud somit: A. ur Probe bestätigt m A A, wie leiht hzurehe ist. D die like Seite der beide Gleihugssysteme gleih ussehe (bis uf die Bezeihug der Vrible), sid zur Lösug uh die selbe Reheshritte ötig. Dher k m beide Systeme uh simult löse: ( ) ( ) 6, Hier k m sofort die iverse Mtri blese.

11 . Liere Gleihugssysteme 9. Liere Gleihugssysteme Allgemei ist ei lieres Gleihugssystem mit m Gleihuge ud Vrible vo der Form m m wo ij ud b i reelle oder komplee Koeffiziete ud j die Vrible sid (i,...,m, j,...,). Setzt m A ( ij ), b (b i ), ( j ), so lutet ds System i vektorieller Form A b. Dbei heißt die m -Mtri A Systemmtri ud (A, b ) erweiterte Mtri des Gleihugssystems. W ist dieses System überhupt lösbr? Wie viele Lösuge gibt es? Wie erhält m lle möglihe Lösuge? Die Atwort uf lle diese Frge erhält m mit Hilfe des Gußshe limitiosverfhres. Dieses Verfhre beruht uf der Idee, ds gegebee Gleihugssystem i ei lösugsäquivletes System umzuforme, welhes vo besoders eifher Gestlt ist. Dzu behte wir zuähst: m b b b Die Lösugsgesmtheit eies liere Gleihugssystems ädert sih iht bei. Vertushe zweier Gleihuge, d.h. zweier eile vo (A, b ), b. Vertushe zweier Splte vo A (ud Umbezeihug der zugehörige Vrible). Multipliktio eier Gleihug mit eiem Fktor. Multipliktio eier Gleihug mit eiem Fktor ud Additio zu eier dere Gleihug. Durh Awedug der Regel. bis. k ds System (A, b ) wie folgt i Trpezform (oder Hlbdigolform) (C, d ) umgeformt werde: rr r m, d d d r d r+ d m Dbei sid,..., rr, ud die hl r mit r m, r heißt Rg der Mtri A bzw. C; sie gibt die hl der lier ubhägige eilevektore vo A. Die Splte vo C etsprehe der Vrible,...,, evetuell i eier dere Reihefolge (siehe Beispiel).

12 . Liere Gleihugssysteme 8 ur Lösug des Systems (C, d ) i Trpezform utersheide wir drei Fälle:. Gilt r < m ud d i für ei i > r, d ist ds System ulösbr. I jedem dere Fll deke wir us die überflüssige eile vo r + bis gestrihe.. Gilt r, berehe wir sukzessive die Vrible,,..., vo ute h obe. Ds System ist eideutig lösbr.. Gilt shließlih r <, so ersetzt m die Vrible r+,..., durh beliebige Prmeter λ,...,λ r ud berehet dmit sukzessive r,..., w.o. Ds System ht uedlih viele Lösuge, der Lösugsrum ist ( r)-dimesiol. Beispiele: Die Lösug ist wege r eideutig bestimmt ud lutet /,, + + /, lso (/,, /) Ds System ht m Gleihuge i Vrible ud ist dher uterbestimmt. Wege r besitzt der Lösugsrum die Dimesio r. Wir setze λ ud berehe sukzessive, λ ud shließlih λ. Dmit lutet die Lösug des Gleihugssystems (,,, ) + λ(,,, ), λ, d.i. eie Gerde im. 8 9 Wie us der letzte Gleihug zu ersehe ist, ist ds System ulösbr. igewerte ud igevektore Sei A eie qudrtishe Mtri. Viele igeshfte der Mtri (bzw. der mit dieser Mtri verküpfte Abbildug) werde durh die igewerte ud igevektore vo A bestimmt. (Vgl. Kp. 6!)

13 . Liere Gleihugssysteme 8 Defiitio: M et eie Sklr λ eie igewert ud eie Vektor eie igevektor der Mtri A, flls A λ. ur Bestimmug sämtliher igewerte ud igevektore eier Mtri A ist ds Gleihugssystem A λ bzw. (A λ ) zu löse. Dieses System besitzt geu d eie ihttrivile Lösug, we A λ gilt. Dmit bietet sih folgede Vorggsweise zum Auffide der igewerte ud igevektore der Mtri A :. Bestimmug der igewerte λ us der hrkteristishe Gleihug A λ. Bestimmug der zugehörede igevektore us dem liere Gleihugssystem (A λ ) Beispiel: Gesuht sid lle igewerte ud igevektore der Mtri Die hrkteristishe Gleihug lutet A λ λ 6 ( λ)( λ A 6 λ λ. λ ( λ) 6 + λ ) ( λ ) ( λ + ) λ ud besitzt die Lösuge, d.h. die igewerte λ λ, λ. Die igevektore zu λ sid die Lösuge des Gleihugssystems ( A ) 6 6 ud die igevektore zu λ erhält m us ( A + ) mit, b, b