Parametrische Koordinatenposition (r, θ, φ) auf der Kugeloberfläche mit einem Radius r ... θ π. φ π/2. Based on material by Werner Purgathofer

Transkript

1 Bse o mteril y Werer rgthofer er/ber Möglihe D-Ojetreräsettio Grhishe Szee eihlte solie geometrishe Ojete Bäme Blme Wole Felse Wsser Reräsettioe Oerflähe Iemoelle rozerle Moelle hysilish sierte Moelle Oerflähemoelle Bory Reräsettio B-Res Rmfteilgsmoelle Se-rtitioig Moels olygoetz Effiziete Dtestrtr für Oerflähe Trigle Stri - Dreiee für Ete Qrilterl Mesh -m m- Vieree Krve gerümmte Oerflähe Defiiert rh mthemtishe Ftioe imlizit elizit rmetrish Vorgee vo Dtete Oerflähe-Aroimtio olygole Aroimtio Tesseltio es olygoetzes Dreiee Vieree... Flähe?! Beisiel: Qrtishe Oerflähe Defiiert rh Gleihge. Gres qrtish Kgel Ellisoi Rig roloi yeroloi... Qrtishe Oerflähe: Kgel Imlizit rmetrish rmetrishe Kooriteositio r θ φ f er Kgeloerflähe mit eiem Ris r y z rosφ osθ y rosφ siθ z rsiφ r -π/ φ π/ -π θ π

2 Qrtishe Oerflähe: Ellisoi Imlizit r y ry rmetrish z rz r osφ osθ y r osφ siθ z r siφ z y -π/ φ π/ -π θ π Qrtishe Oerflähe: Tors imliit rmetri r z r siφ y r ry r φ θ r os os y r r osφsiθ z y z r z -π φ π -π θ π Allgemeie Freiformflähe Köe rgestellt were rh: Große Azhl vo te oer olygoe Belieige Form möglih Große Seiherforerge Veräerge verrshe zviel Areit Ee h Slierg! Moellierg reitsitesiv? Mthemtishe Ftioe Nr für estimmte Formtegorie Gerige Seiherforerge Leihtere Veräerge möglih Belieige ete Defiitio Moellierg ozetell shwieriger! Niht-rmetrish vs rmetrish Ahsehägig y f Beisiel: y ft y gt Ahsehägig ost ysit t Eigeshfte vo Krve Iteroltio oer Aroimierg er Kotrollte? Geigeit er Kotiität ei Verüfge C G Shwiggsverhlte - omt oer üershwige? Glol oer loler Eiflss er Kotrollte Ahsehägigeit - veräert sih ie Krve we s Kooritesystem rotiert wir? Mehrfhte möglih? - für geshlossee Krve für shrfte Ee Möglihe rstellre Krveforme Slies Slie-Krve si Zsmmegesetzte Krve olyomil stüweise otiierlih Kotiitätseigge Slie-Fähe Erzegt s Shre vo orthogole Slie-Krve

3 Slie-Krve Slie-Sezifitio Sezifitio mit Kotrollte Iterolierte Slies Aroimierte Slies Slies: Kotrollolygo / hrteristishes olygo olygo efiiert ie Krve Slies: Eigeshfte Oertioe f Slies Vershiee Kotrollte eifüge Trsformtioe mittels Trsformiere ller Kotrollte Kovee ülle! Slie: Kotiitätsoitioe rmetrishe Kotiitätsoitioe C Aleitge Kotrollte si gleih y y C Kotiität C Kotiität C Kotiität z z C C C Slie: Kotiitätseigge Geometrishe Kotiitätseigge G Aleitge Kotrollte si roortiol G C Kotiität G Kotiität Tgevetore si ollier G Kotiität G C Kishe Slie-Iteroltio Kotrollte y z... Kishes olyom zwishe jeem r vo Kotrollte... Tgetevetor vo C ei läger ls Tgetevetor vo C ei

4 4 Ntürlihe ishe Slies Ntürlihe ishe Slies Agrezee Krvesegmete he ie gleihe Agrezee Krvesegmete he ie gleihe erste zweite Aleitg erste zweite Aleitg C C Kotiität Kotiität Löse eies Gleihgssystems mit 4 Vrile Löse eies Gleihgssystems mit 4 Vrile zsätzlihe Gleihge erforerlih zsätzlihe Gleihge erforerlih z.b. z.b. - Gloler Eiflss er Kotrollte Gloler Eiflss er Kotrollte ermite ermite-iteroltio Iteroltio Tgete D Tgete D ist jeem Kotrollt ist jeem Kotrollt sezifiziert sezifiziert Loler Eiflss er Kotrollte Loler Eiflss er Kotrollte... D D ermite ermite-iteroltio Iteroltio [ ] [ ] D D D D D D D D ermite ermite-iteroltio Iteroltio D D M ermite-mtri ermite ermite-iteroltio Iteroltio 4 4 D D M [ ] [ ] D D M ermite ermite-iteroltio Iteroltio 5 5 D D D D - Bleig Ftioe Bleig Ftioe

5 Cril slies Tgete were s ehrte Kotrollte erehet Tesio rmeter t... ½-t - - ½-t - Cril slies Umrehg i ermite she slies Cril mtri mit s-t/: [ ] Als olyom: MC M C s s s s s s s s s s [ s s ] [ s s s] s s s s s Bézier-Krve -Flähe Slie-Aroimtio für te i i... Berstei-olyome BEZ BEZ Kishe Bézier-Bleig-Ftioe BEZ BEZ BEZ Die 4 Bézier-Bleig- Ftioe für ishe Krve BEZ.... -Dim. Bézier-Krveeisiel Geeriert s 4 5 Kotrollte Bézier-Krve Eigeshfte olyomil vom Gr gloler Eiflss iteroliert Afgs- Et Tgete ei Afgs- Et Kovee ülle! BEZ 5

6 Bézier-Krve Desigtehie Geshlossee Bézier Krve erster letzter Kotrollt Eie Bézier Krve äher eier gegeee Koorite voreigeführt were iem m mehrere Kotrollte ere ositio git Bézier-Krve Desigtehie Stüweise roimieree Krve s Bézier-Krvestüe. C - C -Kotiität rh setze ollier ehme Kishe Bézier-Krve i Mtriottio.... [ ] M Bez Bézier-Flähe Krtesishes rot vo zwei Bézier- Krveüel v m j j Gitter vo m Kotrollte j BEZ j m v BEZ M Bez 6 m m4 4 Bézier-Flähe Eigeshfte Gleihe Eigeshfte wie ei Bézier-Krve: Gloler Eiflss Iteroliert Ete Tgete ei Ete Kovee ülle C-Kotiität B-Slie-Krve -Flähe Slie-Aroimtio für te i i... olyomgr hägig vo Loler Eiflss er Kotrollte B B-Slie-Bleig-Ftioe B rersive Co-eBoor-Formel mi m C we D Ojet LReresettio :L ostt 6

7 B-Slie-Ftioe für B B B B B 4 B 5 B-Slie-Bsisftioe B if < else B B B für for < for for > glol iht äer Wihtige Eigeshft B Für lle B-Slie Grftioe gilt folgee Eigeshft: -Dim. B-Slie Slie-Beisiele Σ B für lle jeer Krvet ist ei gewihtetes Mittel er Kotrollte 4 Eiflß vo eshreit wieviele Kotrollte jee t f er Krve eeiflsse lier qrtish 4 ish Utershiee B-Slie / Bézier Kotrollte he lole Eiflss Liere Ahägigeit vo rm ist ei Teile vo große tmege iht otweig für erhält m Bézier Krve! 7

8 Slie Drstellg Forwärts-Differeze Eifhes Beisiel: olyom. Org Gere δ - δ öhere Org: ist selst olyom rozess wieerhole Ute mit weige Aitioe Slie Drstellg Berehg er Iremete: δ δ δ δ 6 δ δ δ δ δ δ 6 δ 6 δ δ Berehg er Afgswerte : δ δ δ δ 6δ Rersive Uterteilg Berehg Slie Drstellg Slie Drstellg 4 Arhriterie z.b.: we Segmet - rz geg we Kotrollolygo ierhl vo ±ε eie Gere ähert iret: rersiv: T T T Noiform B-Slies Bsisftioe für Uiform B-Slies he gleihmäßige Kotevetor for < for for > zb {4567} o. { } Oe iform slies: Wh. m Afg Ee zb {456777} Noiform B-Slies he iht gleihmäßige Kotevetor zb {4567}4567} Mehr Freiheit eim Krveverlf möglih glol iht äer NURBS No-Uiform Rtiol B-Slies Σ ω B Σ ω B Kotrollte zsätzlih gewihtet Alle Gewihte Str B-Slie omogeisiere Kotrolle: yz Divisio. Σw B ergit gewihtes Mittel K Kreise Kegelshitte rstelle NURBS Flähe rh rot vo Krveshre 8

9 Volmsmoelle Costrtive Soli Geometry Costrtive Soli Geometry CSG Bool she Megeoertioe f D- Ojete Vereiigg Shittmege Differez Komiiert m Ojete mit eier Vereiigg erzegt m ei eizeles zsmmegesetztes Ojet CSG: Vershieee Megeoertioe Jees Ojet ist s eifhe Moelle mit Megeoertioe fget Dtestrtr: Biärm Rersive Evlierg CSG-Dtestrtr Oertioe mit CSG Bäme Trsformtioe Mltilitio ller Trsformtiosmtrize mit er Mtri ieser Trsformtio Komitioe Geeriert eie ee Kote mit em gewüshte Oertor verüft ie Oere ls Sm A o B: o Reerig vo CSG Bäme Trsformiere i B-Re verwee ormle Flähelgorithme oer Diretrstellg mit Ry Trig A B 9

10 Eigeshfte vo CSG Vorteile Ete Reräsettio Weig Seiherfw Komitioe Trsformtioe trivil Nhteile Afw für Drstellg ist hoh Ry-Cstig Methoe für CSG Sihtreitsermittlg Ry-Cstig Methoe für CSG Bestimme vo Flähegreze Ry-Cstig Methoe für CSG Volmsestimmg V A z ij ij ij V V ij Qtrees ierrhishe Afzählg vo Ojete I D: Qtree ierrhishe Afteilg is eie Regio homoge ist Regio eies -im. Rmes Qtrees Flähe mit y iel Qtree mit Levels Seihereffiziet Dteelemete im reräsettive Qtree-Kote

11 Qtrees Qtree-Reräsettio für eie Regio eihltet eie Vorergrfriel f eiem solie itergr Qtree Beisiel l.. r.. r.l. l.l. w w w w w w w w w w Geeiget für D Biler Otree Rersive Rmfteilg: Eifh leer voll Bmote Komle ere Fälle weiter fteile Otrees Otree teilt D-Würfel i Otte Volmselemete Voels Oertioe Otrees leiht szführe Geometrishe Trsformtioe shwer Regio eies -im. Rmes Dteelemet im reräsettive Otreeote 4 5 Otree Eifhes Beisiel 6 8 G W W W W S G W W W W W W W S S S Oertioe mit Otrees Trsformtioe Sehr omliziert sser für ei r Sezilfälle z.b. Rottio m 9 Siegelg eier Sivisioseee Slierg ei Komitioe sehr eifh - we A oer B homoge eifhe Regel sost omiiere rersiv lle 8 Otte vo A B

12 Reerig vo Otrees Algorithms: We Otreeote ist voll: zeihe e Würfel We Otreeote ist leer: mhe ihts We Otreeote iht homoge: reere ie 8 Otte vo hite h vore Eigeshfte vo Otrees Vorteile Komitioe sehr eifh Shelles reer Rämlihe She möglih Nhteile Uete Reräsettio Nierige Bilqlität Eigeshräte Trsfomtioe oher Seiherverrh Otree Beisiel Yoshifmi Kitmr Aere D Ojetreräsettioe BS-BämeBäme Frtle geometrishe Methoe Formgrmmti rozerle Moelle rtielsysteme hysilish sierte Moelle... weiterführee Lehrverstltge