Mathematikaufgabe 79

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1 Home Strtseite Impressum Kotkt Gästeuh Aufge: Betrhte wir wei sih sheiee Kreise mit utershielihe ie u gemeismer Tgete Berehe Sie s Verhältis er Bogeläge vom Shittpukt es jeweilige Kreises mit er Tgete um gemeisme Shittpukt Lösug: Sei er Ast wishe e eie Shittpukte er Kreise mit er gemeisme Tgete ie Kreise D si u ie gesuhte Bogeläge ere Verhältis u ile ist Dei ist er Wikel wishe er -Ahse u eier Gere urh e Mittelpukt es kleiere er eie Kreise sowie jee er eie Shittpukte er e kleiere Wikel mit er -Ahse eishließt Der Wikel sei er Wikel wishe eier ur -Ahse prllele Gere im Ast u eier Gere urh e Mittelpukt es Kreises mit em größere ius sowie e soee efiierte gemeisme Shittpukt (wie i A rgestellt) Ailug Zwei sih sheiee Kreise mit is u wei sih ergeee Shittpukte Die Shittpukte er eie Kreise erhlte wir iem wir uähst ie urtishe Terme eies er eie Kreise mit em ius es ere Kreises elimiiere u so uf eie Geregleihug komme ie urh eie Shittpukte geht Seie u ie Koorite es Mittelpukts es größere er eie Kreise mit em ius Aus ( ) ( ) w Dieser sollte h Möglihkeit im erste Qurte liege owohl s keie wigee Vorussetug ist Copright Mfre Hiel Alle ehte vorehlte Seite

2 Copright Mfre Hiel Alle ehte vorehlte Seite folgt h etspreheer Auflösug eie Geregleihug ie wir ur Bestimmug ie - Koorite er eie Shittpukte verwee köe: Diese Geregleihug sete wir ur Elimiierug er -Koorite i ie Gleihug es kleiere er eie Kreise ei u erhlte somit eie urtishe Gleihug ere Lösuge ie eie Shittpukte gee: Mit er Nottio erhlte wir ie Koeffiiete u Seie u u ie Mittelpuktkoorite es größere Kreises Dmit vereifhe sih ie Koeffiiete u Die eie Lösuge si mit gegee urh woei mittels für ie Diskrimite folgt: Für Werte ergee sih mit ie folgee Lösuge:

3 Copright Mfre Hiel Alle ehte vorehlte Seite Im etrtete Grefll vershwiet ie Wurel u es git ur eie Shittpukt ei esse -Koorite positiv oer egtiv sei k je hem o oer Für git es ur eie Lösug für u Der kleie Kreis liegt i iesem Fll vollstäig ierhl es größere u erührt iese ur i eiem Pukt Betrhte wir ur Lösuge für Wikel wishe u / so muß positiv sei u es muß gelte: w Diviiere wir urh s Astsurt so ergit sih h eiiger Umformug Somit erhlte wir für ie Ashätug 7 für ie eltio u llgemei für mit / e Ausruk ) ( f

4 Copright Mfre Hiel Alle ehte vorehlte Seite Die Fuktio ) ( f ist für vershieee Werte vo i A rgestellt Der Fll ist ei Soerfll u esitt ur eie Lösug ei / I Eiheite es Asts er Kreismittelpukte i Tgeterihtug hägt ie Nullstelle ur vom Verhältis er Krümmugsrie u vom Verhältis es eigee Krümmugsrius um Ast er Kreismittelpukte i Tgeterihtug : Ailug Gleihug ur Bestimmug er Shittpukte weier Kreise h eier Nullstellesuhe Dmit liegt er positive Shittpukt ei / / I reltive Eiheite gilt Für u gilt = / f() Bereih < < / ls Fuktio vo / = = = =

5 mit lim Klr ist ß es für /( ) keie positive Lösuge git Im miimle reiproke Ast mi er sih us er Wikelforerug / ergit ist u Dieses Ergeis hägt ur vom Verhältis er eie Krümmugsrie Bei gleihe Krümmugsrie ist u Im Grefll / / ist lso / Bei eiem Verhältis gilt Die Lösuge si ei eigeshräkt uf /( ) Im miimle reiproke Ast mi / ist / u rt 5 Bei eiem Verhältis gilt Die Lösuge si ei eigeshräkt uf /( ) Im miimle reiproke Ast / mi ist / u rt() 5 Ds Mimum er Fuktio f () für kosttes fie wir urh Differetitio vo f ( ) Copright Mfre Hiel Alle ehte vorehlte Seite 5

6 Copright Mfre Hiel Alle ehte vorehlte Seite h Ds Ergeis lutet 5 ) ( f Durh Nullsete er Aleitug u Küre vo u eiige kostte Terme verleit eie urtishe Gleihug i : Mit er Akürug u e Koeffiiete lutet ie Lösug für Sustituiere wir wie geht s Verhältis er Krümmugsrie mit so fie wir für ie positive Wurel e Ausruk Ds Mimum er Fuktio f liegt für ei 7 für ei u für ei 5 Der Werteereih er erlute Krümmugsrie ht oh eie oere Grewert e wir urh estimme köe ß wir ie Nullstelle er Fuktio ) ( f

7 Copright Mfre Hiel Alle ehte vorehlte Seite 7 uswerte Mit er Akürug erhlte wir für eie kuishe Gleihug i : mit e Koeffiiete Die Normlform ieser Gleihug lutet mit e Aküruge t s r Sustituiere wir r gelge wir ur reuierte Gleihug 7 u mit t rs r r s p p Sete wir i iese ie Koeffiiete r s u t ei so ergee sih ie eifhere Ausrüke 7 u p Die Determite ist egtiv 7 p D h es git rei reelle Lösuge vo ee us ur er komplee Huptweig iteressiert weil ie eie ere Lösuge kojugiert komple ueier si: /) os( woei

8 Copright Mfre Hiel Alle ehte vorehlte Seite 7 p u 7 ros ros Mithi ist Die Nullurhgäge ergee sih wie i er Zeihug für u 7 9 Aus er -Koorite folge für ie Wikel wishe er Gere urh e Shittpukt u e jeweilige Ursprug es etsprehee Krümmugskreises u er -Ahse w eier u prllele Gere im Ast ie Ausrüke rsi u rsi Mit e Beiehuge u ergit sih rsi w rsi Verwee wir i iese Ausrüke ie Aküruge u / so folgt weiter rsi w rsi woei

9 I er folgee Telle si ie miimle u mimle Grewikel sowie er whrsheilihste Wikel i Ahägigkeit vo er Vrile gegee: mi m 9 mi m 7 5 m mi 5 / I Fälle wo es ruf kommt e Shittpukt vo jeem Tgetepukt us möglihst shell u erreihe müsse ie Vrile u so optimiert were ß sih ei möglihst güstiges Verhältis für / ergit Vom Verhältis er Geshwiigkeite hägt es für welhes wir i e für us güstige Bereih komme Copright Mfre Hiel Alle ehte vorehlte Seite 9