15 Trigonometrie des rechtwinkligen Dreiecks

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1 Mthemtik PM Trigmetrie des rehtwiklige Dreieks 5 Trigmetrie des rehtwiklige Dreieks Trigmetrie (v trig [griehish]; Dreiek, ud metrei [griehish]; messe) 5 Eiführug (Gegeüerstellug Pythgrs ud Trigmetrie) Pythgrs Trigmetrie erehug ur mit Seite (he Wikel) erehug mit Seite ud Wikel Die Trigmetrie ermögliht us gegeee Seite ud Wikel die ürige Stüke eies Dreieks zu erehe ezeihug der Dreiekstüke vm Wikel us etrhtet: vm Wikel us etrhtet: Gegekthete kthete kthete Gegekthete Hypteuse Hypteuse 5 Trigmetriedx FP Seite v

2 Mthemtik PM Trigmetrie des rehtwiklige Dreieks 5 Ählihkeit der Dreieke I = 50 mm = 0 II = 0 = 40 mm III = 0 = 0 mm Verhältisse (Msse us de Skizze herusgemesse) 9 mm 57 mm 0,5 mm 46 mm 0,50 7 mm 5 mm 0,49 9 mm 50 mm 0,58 mm 40 mm 0,58 7 mm 0 mm 0,57 Erketis Die Verhältisse zw sid ur vm Wikel hägig Die Verhältisse he ls für de gleihe Wikel immer de gleihe Wert, he Rüksiht uf die Grösse des Dreieks Die Verhältiswerte sid eie Fukti des Wikels! 5 Trigmetriedx FP Seite v

3 Mthemtik PM Trigmetrie des rehtwiklige Dreieks 5 Trigmetrishe Fuktie Gee wir u de egete Verhältisse h eie Nme, s heisse die Verhältisse Wikelfuktie der trigmetrishe Fuktie si Gegekthete Hypteuse Siusfukti s kthete Hypteuse Ksiusfukti t Gegekthete kthete Tgesfukti kthete t Gegekthete Ktgesfukti Merke Die meiste Tshereher stelle die Ktgesfukti iht zur Verfügug us der Telle ist jedh ersihtlih: t t t t der t t smit: t t t 5 Trigmetriedx FP Seite v

4 Mthemtik PM Trigmetrie des rehtwiklige Dreieks 54 eziehuge zwishe de trigmetrishe Fuktiswerte Kmme i rehtwiklige Dreieke Wikelgrösse v 0º ud 60º der 45º vr, s ergee sih esdere Werte für die Wikelfuktie 45º 0º 60º 45º i gemss i º 0º 0º 45º 60º 90º si 0 s 0 t 0 iht defiiert t iht defiiert 0 5 Trigmetriedx FP Seite 4 v

5 Mthemtik PM Trigmetrie des rehtwiklige Dreieks Die flgede eziehuge lsse sih us der eestehede Zeihug herleite si α s 90 s α si 90 us ud flgt si s 4 i 4 si s 90 us ud flgt s si 4 i 4 s si 90 t α t 90 t α t 90 us ud flgt t t 4 i 4 t t 90 us ud flgt t t 4 i 4 t t 90 Merke Der Sius eies Wikel ist gleih dem Ksius seies Ergäzugswikels (Kmplemetwikel) z si 60º = s 0º si s 90 s si 90 Der Tges eies Wikel ist gleih dem Ktges seies Ergäzugswikels (Kmplemetwikel) z t 75º = t 5º t t 90 t t 90 5 Trigmetriedx FP Seite 5 v

6 Mthemtik PM Trigmetrie des rehtwiklige Dreieks 55 Ermittel der Wikelfuktiswerte mit dem Tshereher eispiel: Sie wlle de Sius v 5º 5' 0'' ermittel! Vrgehe Wikelsystem uf ltgrd eistelle DEG ei HP, DRG ei Texs Wikel i ltgrd umwdel 5,6º (uf zwei Stelle gerudet) Siustste etätige 0,58 (uf zwei Stelle gerudet) 4 Resultt: si 5,6º = 0,58 eispiel: Sie wisse, dss der t =0,88 eträgt ud möhte de dzugehörige Wikel ermittel! Vrgehe Wikelsystem uf ltgrd eistelle DEG ei HP, DRG ei Texs Verhältis eitippe 0,88 rustgestste (TN - ei HP, INV TN ei Texs) etätige 4,5º (uf zwei Stelle gerudet) 4 Resultt: r t 0,88 = 4,5º eispiele (Resultte uf Stelle gerudet) Geg: si = 0,99 Ges: Wikel =? Lösug: Wikel = 8,89º Geg: Wikel = 80º Ges: t =? Lösug: t = 5,67 Geg: Wikel = 75º Ges: t =? Lösug: t = t (90º-) = t 5º = 0,7 4 Geg: Wikel = /8 rd Ges: s =? Lösug: /8 rd =,50º s,50º = 0,9 5 Geg: t = 0, Ges: Wikel =? Lösug: t = 8, t 0, Wikel = 8,6º 6 Geg: Wikel = 0º Ges: s =? Lösug: s = 0,87 5 Trigmetriedx FP Seite 6 v

7 Mthemtik PM Trigmetrie des rehtwiklige Dreieks 56 Üuge Der si, si, t ud t slle i dem eestehede Dreiek durh ds Verhältis der Seite usgedrükt werde x z y erehe Sie die Werte flgeder Wikelgrösse (uf 4 Stelle gerudet): ) si 45º0 ) s 88º0 ) si 0º40 d) si 6º50 e) s º0 f) s 87º0 g) s 45º00 h) si 45º00 i) s 79º0 j) si 0º40 k) si 0º00 l) s 4º50 erehe Sie die Wikel v flgede Werte (Wikel uf Stelle gerudet, Dezimlfrmt): ) si = 0,78 ) s = 0,4 ) t = 8,7 d) t =,00 e) si = 0,5 f) s = 0,75 g) t =,50 h) t = 5,00 i) si = 0,50 j) s =,00 k) t = 99,99 l) t =,55 4 Zeihe Sie die Sius- ud die Ksiusfukti v 0º is 60º uf (i 0º Grdshritte) Die x-hse etspriht dem Wikel ud die y-hse dem Fuktiswert Dmit die Resultte vergleihr sid verwede Sie de flgede Mssst: 60º etspriht 8 m (x- hse) ud eie etspriht 5 m (y-hse) 5 I eiem rehtwiklige Dreiek sid: = 7 m ud = 40º erehe Sie die Grösse des dritte Wikels ud die Läge der ürige Seite 6 I eiem rehtwiklige Dreiek sid: = 8 mm ud = 6 mm erehe Sie die eide Wikel, ud die Seite 7 Die Steigug eier Strsse wird mit % gegee Wie grss ist der Steigugswikel? 8 Wie grss ist der Wikel m skizzierte Drehstük? Die Spitze eies Shrsteis erlikt m us 5 m Etferug uter dem Erheugswikel = 4º 0 Welhe Höhe ht der Shrstei, we die ugehöhe des ehters,4 m eträgt? 5 Trigmetriedx FP Seite 7 v

8 Mthemtik PM Trigmetrie des rehtwiklige Dreieks 0 Ei ehter steht i de Düe 6 m üer dem Meeresspiegel ud sieht die Spitze eies 45 m hhe Leuhtturmes uter dem Erheugswikel = º 0 Wie weit ist der ehter v dem Leuhtturm etfert? Eie Wetterwrte lässt eie Messll ufsteige Ei ehter, der 650 m etfert ist, sieht de Messll uter eiem Wikel v 4º zur Hriztle Wie weit wr der ll i diesem ugelik vm ehter etfert, we er sekreht ufgestiege ist? Ei gerder Kegel ht eie Durhmesser v 6 m ud eie Spitzewikel = º 0 Wie grss ist der Rumihlt des Kegels? Welhe Höhe ht ei um, we sei Shtte 58 m lg ist, ud die Sestrhle mit dem Erdde eie Wikel v º 0 ilde 4 Für eie N-gesteuerte hrmshie müsse die hruge is 4 i de x-y-krdite prgrmmiert werde erehe Sie die x-y städe! y º 5º 40 x 45 5 Ei kugelförmiger Wsserehälter efidet sih uf eiem 5 m hhe Sthlgerüst Sei Durhmesser wird v eiem Pukt, der i wgrehter Rihtug 50 m vm Fussmittelpukt des Gerüstes etfert ist, uter eiem Wikel v º 0 gesehe (ugehöhe:,6 m) erehe Sie de Durhmesser des Wsserehälters uter der hme, dss der Sehstrhl de höhste Pukt des Wsserehälters trifft 6 erehe Sie die Seite ud die Digle des Rehteks, we die Flähe des Rehteks 47,48 m eträgt! 56º 0' 5 Trigmetriedx FP Seite 8 v

9 Mthemtik PM Trigmetrie des rehtwiklige Dreieks 57 Siusfukti m Eiheitskreis Zeihet m mit Hilfe des Eiheitskreisverfhres (Rdius mit der Lägeeiheit ) ei rehtwikliges Dreiek, s ist der Zhlewert der Läge der Gegekthete gleih dem Siuswert si y-hse eweis si r si - O P(m ) r = si x-hse m Weitere Erketisse us der eestehede Zeihug ist ersihtlih, dss zwishe dem Wikel 0º<<80º die Siusfukti psitiv ist ud immer Zwishe dem Wikel 80º<<60º ist die Siusfukti egtiv ud immer Ksiusfukti m Eiheitskreis uh hier ist es zwekmässig die Kstrukti, wie sh eim Sius, m Eiheitskreis vrzuehme S erhält m ls Ksiuswert immer die Läge der kthete y-hse eweis s m r m s m - O P(m ) r = m x-hse Weitere Erketisse us der eestehede Zeihug ist ersihtlih, dss zwishe dem Wikel 0º<<90º zw 70º<<60º die Ksiusfukti psitiv ist ud immer Zwishe dem Wikel 90º<<70º ist die Ksiusfukti egtiv ud immer - - s 5 Trigmetriedx FP Seite 9 v

10 Mthemtik PM Trigmetrie des rehtwiklige Dreieks 59 Weitere Zusmmehäge ufued uf der Sius- zw Ksiusfukti m Eiheitskreis, köe h flgede eziehuge geleitet werde: y-hse t t m m si s s si - O P(m ) r = si x-hse m Zum Shluss wede wir h de Stz v Pythgrs : s m zw si s - Zusmmefssug si s 90 s si 90 t t 90 t t 90 si t s s t si t t t t t t si s 5 Trigmetriedx FP Seite 0 v

11 Mthemtik PM Trigmetrie des rehtwiklige Dreieks 50 Üuge Zwei Kräfte F = 0 N ud F = 90 N wirke m gleihe griffspukt im rehte Wikel zueider Wie grss ist der etrg ihrer Resultierede ud wie grss ist der Wikel, zwishe der Resultierede ud der Krft F? Uter eiem Wikel v 45º wirke zwei Kräfte F = 0 N ud F = 40 N m gleihe griffspukt Gesuht: ) der etrg der resultierede Krft ) ud der Wikel zwishe de Wirkliie der Resultierede ud der Krft F Uter eiem Wikel v 5º wirke zwei Kräfte F = 00 N ud F = 50 N m gleihe griffspukt Gesuht: ) der etrg der resultierede Krft ) ud der Wikel zwishe de Wirkliie der Resultierede ud der Krft F 4 estimme Sie grfish ud reherish die Resultierede us zwei Geshwidigkeite 6 m/s ud 5 m/s, die eie Wikel v 75º eishliesse Gee Sie die Rihtug i ezug uf die grössere Geshwidigkeit 5 Zwei Spkräfte ziehe mit de Kräfte F = 500 N ud F = 00 N eiem Pfste uter eiem Wikel = 80º zueider F Gesuht: ) der etrg der Spkrft FS, die de Kräfte F ud F ds Gleihgewiht hält, ) der Wikel FS F 6 Ei prismtisher Körper mit der Gewihtskrft v 750 N liegt uf zwei uter de Wikel = 5º ud = 55º zur Wgrehte geeigte eee Flähe uf Wie grss sid die Stützkräfte de Flähe ud? S 7 Ei Flugzeug fliegt gegeüer der Luft mit 80 m/s Wie lge ruht es zum Üerfliege eier 400 km lge Streke im Hi- zw Rükflug ei Widstille? Wie lge ruht ds Flugzeug ei eiem kstte Rükewid v 0 m/s i Rihtug der Flugstreke für eie Streke? Wie lge ruht ds Flugzeug ei eiem Wid v 0 m/s quer zur Flugstreke für eie Streke ud uter welhem Wikel zur Flugstreke muss die Flughse gerihtet sei? 5 Trigmetriedx FP Seite v