a) Vollständiges Messergebnis der Fläche A des Rechtecks mit den abweichungsbehafteten Kantenlängen a und b:

Transkript

1 X Lösug zu ugabe 5: bweihugsortplazug a) Vollstädiges Messergebis der Flähe des Rehteks mit de abweihugsbehatete Kateläge a ud b: Viele Messgröße werde idirekt gemesse, d.h. um eie Messwert zu ermittel werde mehrere Eilussgröße gemesse ud mittels eier Formel die gewüshte Größe errehet. Die bweihugs- bzw. Fehlerortplazug beshreibt die uswirkuge abweihugsbehateter Eilussgröße au das Gesamtergebis. Im vorliegede Fall sei die Flähe eies Rehteks die eigetlih iteressierede Messgröße. Eie aheliegede Möglihkeit zur messtehishe Bestimmug dieser Flähe stellt die Messug der beide Kateläge a ud b dar. Das Messergebis der Flähe wird demah iht direkt erasst, soder idirekt aus der Ketis der beide Kateläge a ud b ermittelt. Für die Bestimmug der Flähe werde jedoh iht ur die Kateläge beötigt, soder es muss darüber hiaus auh ei uktioaler Zusammehag bekat sei, welher ür de spezielle Fall eies Rehteks die bekate Kateläge a ud b ud die zu bestimmede Flähe zueiader i Beziehug setzt. Dieser uktioale Zusammehag (a, b) lautet im vorliegede Fall oesihtlih: a b Die Messgröße ist also vo de beide Eigagsgröße a ud b abhägig. Es ist daher eisihtig, dass bweihuge der Eigagsgröße a ud b sih au das Ergebis der usgagsgröße auswirke. Die quatitative Bestimmug des Zusammehags zwishe de bweihuge der Eigagsgröße ud der resultierede bweihug der aus diese zusammegesetzte Messgröße ist Gegestad der bweihugsrehug. Bevor wir mit Hile der aus der Vorlesug bekate Berehugsvorshrite das vollstädige Messergebis der Flähe des Rehteks reherish ermittel, wolle wir ahad eier graishe Darstellug des vorliegede, eiahe Problems ei Verstädis ür das Grudprizip der bweihugsrehug etwikel. Hierzu gehe wir zuähst vereiahed davo aus, dass die tatsählihe Kateläge sih jeweils aus de Newerte a bzw. b ud de bweihuge Δa ud Δb zusammesetze. We wir ür diese Kateläge a + Δa ud b + Δb das resultierede Rehtek graish darstelle, gelage wir zu aholgeder bbildug:

2 Y a Δa Δb b Flähe a*b b* Δa Δb* Δa a* Δb Der Newert der Flähe, hier grau hiterlegt, beträgt demah a b. Weiterhi etstehe durh die bweihuge Δa ud Δb drei weitere Teillähe, welhe i die Gesamtlähe des abweihugsbehatete Rehteks eiließe. Betrahte wir zuähst die i obiger bbildug blau hiterlegte Teillähe, so stelle wir est, dass diese eierseits vo der bweihug Δa der erste Kateläge abhägt ud adererseits vom Newert b der zweite Kateläge. Wie groß der Eiluss der bweihug Δa au das Gesamtergebis ist, hägt also iht ur vom Betrag der bweihug selbst ab, soder auh vo eiem zugehörige Empidlihkeitsaktor, welher hier de Wert b auweist. Ebeso verhält es sih ür de aus der bweihug Δb resultierede Beitrag zur Gesamtlähe, welher sih hier zu a Δb ergibt ud i obiger bbildug grü hiterlegt ist. Bei der reherishe Bestimmug der bweihugsortplazug gilt es daher iht ur, die eizele bweihuge zu idetiiziere ud zu quatiiziere, soder es sid darüber hiaus auh die jeder abweihugsbehatete Eigagsgröße zuzuordede Empidlihkeitsaktore zu ermittel. Betrahte wir shließlih die letzte, i obiger bbildug rot hiterlegte, Teillähe, so stelle wir est, dass diese ur oh vo de bweihuge Δa ud Δb selbst abhägt ud verglihe mit de adere Teillähe ur eie gerige Beitrag zum Gesamtergebis lieert. Bei dieser bweihug hadelt es sih um eie sogeate bweihug höherer Ordug, welhe uter der ahme, dass die Eizelabweihuge Δa ud Δb klei sid im Verhältis zu de Newerte a ud b verahlässigbar klei ist. Tatsählih hadelt es sih bei dem Stadardverahre zur Bestimmug der bweihugsortplazug um eie lieare satz, bei welhem derartige bweihuge höherer Ordug verahlässigt werde. obiger graisher Darstellug lässt sih im Umkehrshluss ashaulih ahvollziehe, weshalb dieses Stadardverahre auh ur bei kleie bweihuge (gemesse a de Ne- bzw. Mittelwerte) sivolle Ergebisse lieert wäre im vorliegede Beispiel die bweihuge Δa ud Δb größer als die Newerte a ud b, so hätte die rot hiterlegte Teillähe de größte teil a der Gesamtlähe ud dürte olglih auh iht verahlässigt werde.

3 Z Nahdem wir obe ashaulih herleite kote, dass die beide relevate bweihugsbeträge b Δa ud a Δb betrage, stellt sih oh die Frage, welhe Wert da die Summe beider bweihuge auweist. Die twort darau hägt vo der statistishe Verteilug der bweihuge Δa ud Δb ab. Da die vo us im Bereih der Messtehik betrahtete zuällige bweihuge i der Regel ormalverteilt sid ud demah iht ur ihrem Betrag ah variiere, soder zudem sowohl positiv als auh egativ sei köe, köe sih eizele bweihugsateile bei etgegegesetztem Vorzeihe gegeseitig zumidest teilweise auhebe. Die resultierede Gesamtabweihug ergibt sih daher oesihtlih iht eiah als Summe der Eizelabweihuge. Wie geau die Berehug der Gesamtabweihug ür de vo us betrahtete Fall ormalverteilter, zuälliger bweihuge erolgt, sehe wir im Zuge der reherishe Bestimmug der bweihugsortplazug weiter ute. Die laut ugabestellug georderte gabe eies vollstädige Messergebisses ür die gesuhte Flähe erordert, wie bereits i voragegagee Übugsaugabe keegelert, die Bestimmug eies Koidezitervalls ür eie vorgegebee ussagewahrsheilihkeit, bestehed aus dem Mittelwert der Flähe sowie eier zugeordete Usiherheit, welhe die Breite des Koidezitervalls agibt. Da es sih bei der gesuhte Ergebisgröße allgemei um eie vo Eigagsgröße 1 bis abhägige Fuktio ( 1,..., ) hadelt, lautet das Koidezitervall laut Vorlesugsskript allgemei: [ (,..., ), (,..., ) ] Im vorliegede Fall der Fläheberehug eies Rehteks eistiere ur die zwei bereits obe diskutierte Eigagsgröße 1 ud, ür die hier gilt: 1 a b Die Fuktio (, 1 ) lautet damit wie bereits obe eigeührt: (, ) a b 1 Wie aus der obe augeührte allgemeie Notatio des Koidezitervalls zu ersehe, ergibt sih der Mittelwert der Flähe eiah durh Eisetze der Mittelwerte der Eigagsgröße i die Bestimmugsgleihug ür. Es gilt hier also: a b Eisetze der i der ugabestellug gegebee Zahlewerte lieert: 15 mm 10 mm 150 mm

4 Im ähste Shritt gilt es, die zugehörige Usiherheit zu berehe. Uter der ahme, dass die abweihugsbehatete Eigagsgröße 1 bis statistish uabhägig sid, also iht miteiader korreliere, ergibt sih diese Usiherheit laut Vorlesugsskript gemäß: i 1 i 1,..., i Betrahte wir diese usdruk äher, so erkee wir, dass ierhalb der Klammer jeweils das Produkt aus der partielle bleitug der Bestimmugsgleihug ah eier der Eigagsgröße i ud der zugehörige Usiherheit dieser Eigagsgröße gebildet wird. Dies i spiegelt die bereits obe aus der shauug abgeleitete Erketis wieder, dass der Usiherheitsbeitrag eier eizele Eigagsgröße sih jeweils aus der Usiherheit dieser Eigagsgröße sowie eiem durh de uktioale Zusammehag deiierte Empidlihkeitsaktor zusammesetzt. Die Gesamtheit all dieser Usiherheitsbeiträge der Eizelgröße ergibt sih ür de Fall zuälliger, ormalverteilter Größe, wie aus der Gleihug zu ersehe, als Wurzel aus der Summe über Quadrate aller Usiherheitsbeiträge. Für de vorliegede Fall der zusammegesetzte Messgröße i bhägigkeit vo de abweihugsbehatete Eigagsgröße a ud b lautet die Gleihug zur Berehug der Usiherheit olglih: a a + b b Die Empidlihkeitsaktore i Form der partielle bleituge a der Stelle a, b ergebe sih zu: a b b 10 mm a 15 mm Die Usiherheite a ud b der abweihugsbehatete Eigagsgröße a ud b müsse im vorliegede Fall iht gesodert berehet werde, da diese bereits i der ugabestellug i geeigeter Weise agegebe sid. Die Usiherheite der Größe a ud b ür eie ussagewahrsheilihkeit vo P 95% laute daah: a 0, mm b 0,1 mm

5 BB Eisetze der partielle bleituge ud der Usiherheite der Eigagsgröße lieert: ( 10 mm 0, mm) + ( 15 mm 0,1 mm),5 mm Das vollstädige Messergebis der Rehteklähe lautet damit im vorliegede Fall: 150 mm ±,5 mm ; P 95%