Der Additionssatz und der Multiplikationssatz für Wahrscheinlichkeiten

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1 Der Additiossatz ud der Multiplikatiossatz für Wahrscheilichkeite Die Wahrscheilichkeitsrechug befasst sich mit Ereigisse, die eitrete köe, aber icht eitrete müsse. Die Wahrscheilichkeit eies Ereigisses ist ei Maß der Glaubwürdigkeit dafür, dass dieses Ereigis eitritt. Wahrscheilichkeite, mit dee ma reche ka, werde i Zahle zwische 0 ud agegebe. Ist die Wahrscheilichkeit gleich ull, hält ma das Ereigis für umöglich; ist die Wahrscheilichkeit gleich eis, hält ma das Ereigis für sicher. Dazwische ka die Wahrscheilichkeit für ei usicheres Ereigis beliebig abgestuft werde. Wahrscheilichkeite lasse sich gut aus Zufallsexperimete ableite. Ei Zufallsexperimet ist ei Experimet, das uter gleiche Bediguge mehrmals durchgeführt werde ka ud desse Ergebis bei eimaliger Durchführug sich icht vorhersage lässt. So weiß ma beim Würfelspiel zwar, dass der Würfel, we er gefalle ist, ur eie der Zahle vo eis bis sechs azeige ka, aber welche Zahl beim ächste Wurf obe liege wird, das ka ma u ebe icht vorhersage. We ma icht gerade mit Betrüger spielt, gibt es keie Grud zu glaube, dass eie Zahl bevorzugt auftritt ma wird wohl alle 6 Möglichkeite für gleich glaubwürdig halte ud ihe also die gleiche Wahrscheilichkeit beimesse. Die Überlegug liegt auf der Had: Es gibt, we ei Würfel ei Mal geworfe wird, 6 Möglichkeite für das Ergebis. Iteressiert ma sich für die Wahrscheilichkeit dafür, dass eie bestimmte Augezahl gewürfelt wird, zum Beispiel eie 6, da ka ma sage: Die 6 ist eie vo 6 Möglichkeite, also ist die Wahrscheilichkeit, bei eimaligem Würfel eie 6 zu erziele, gerade /6. We mehrere Fälle vo Iteresse sid, zum Beispiel we ma gewit bei eier oder bei eier 6, da sid dies 2 vo 6 Möglichkeite, die Wahrscheilichkeit wäre 2/6 /3. Somit lässt sich die Wahrscheilichkeit des iteressierede Falles oder der iteressierede Fälle als Ergebis eies Zufallsexperimetes folgedermaße defiiere: Azahl der iteressierede Fälle Wahrscheilichkeit der iteressierede Fälle Azahl der mögliche Fälle Wisseschaftlich gesehe setzt diese Defiitio der Wahrscheilichkeit voraus, dass die mögliche Fälle alle gleich wahrscheilich sid. Damit ist die Wahrscheilichkeit mit sich selbst defiiert, eie wisseschaftlich abzulehede Tautologie. We ma aber wie hier die Wahrscheilichkeit als Maß der Glaubwürdigkeit für das Eitrete vo Ereigisse defiiert, da ka ma auch glaube, dass mache Ereigisse gleich wahrscheilich sid. Welche Grud sollte es sost gebe, eie bestimmte Augezahl beim Würfel für wahrscheilicher zu halte als die adere? Die eizele sich gegeseitig ausschließede Ergebisse eies Zufallsexperimetes heiße Elemetarereigisse. Die Mege aller mögliche Elemetarereigisse eies bestimmte Zufallsexperimetes ist der Ereigisraum. We ma de Ereigisraum richtig defiiert hat, ka ma sage: Eies der Elemetarereigisse tritt mit Sicherheit ei, oder aders ausgedrückt: Die Wahrscheilichkeit dafür, dass irgedei Elemetarereigis bei eimaliger Durchführug eies Zufallsexperimetes eitritt, ist. Es ka ur eies der Elemetarereigisse eitrete ud icht gleichzeitig als Ergebis desselbe Zufallsexperimetes ei aderes. Zwei Ereigisse, die icht gemeisam eitrete köe, die sich also gegeseitig ausschließe, et ma disjukte Ereigisse. Die Augezahl eies Würfels ka icht gleichzeitig ud 2 sei, ud auch adere Kombiatioe vo Augezahle köe bei eimaligem Werfe eies Würfels icht auftrete. Da dies für jedes Paar vo Elemetarereigisse gilt (sost wäre es keie Elemetarereigisse), bezeichet ma die Elemetarereigisse eies bestimmte Ereigisraumes auch als paarweise disjukt. Es leuchtet umittelbar ei, dass die Wahrscheilichkeit, bei eiem Wurf etweder eie oder eie 2 zu erziele, /6 + /6 /3 beträgt. Ma addiert eifach die Eizelwahrscheilichkeite für die beide Ereigisse. Dass dies richtig ist, sieht ma spätestes bei folgedem Satz ei: Die Wahrscheilichkeit, mit eiem Würfel etweder eie oder eie 2 oder eie 3 oder eie 4 oder eie 5 oder eie 6 zu würfel, ist /6 + /6 + /6 +/6 +/6 + /6. Eie vo de 6 Augezahle liegt mit Sicherheit obe. Dies lässt sich mathematisch elegater formuliere. Es sei P(A) die Wahrscheilichkeit für das Ereigis A ud P(B) die Wahrscheilichkeit für das Ereigis B. We A ud B disjukte Ereigisse sid, ist die Wahrscheilichkeit dafür, dass etweder A oder B eitritt: P( A B) P( A) + P( B) - - wahr0.doc

2 Der Additiossatz ud der Multiplikatiossatz für Wahrscheilichkeite Dies ist der Additiossatz für die Wahrscheilichkeite vo disjukte Ereigisse. Für paarweise disjukte Ereigisse A i (i..) lässt sich der Additiossatz erweiter. Es gilt: oder, i alterativer Schreibweise: P( A A A ) 2 i i i Natürlich gibt es auch Ereigisse, die icht disjukt sid, die gemeisam eitrete köe. Würfelt ma mit eie Würfel zwei Mal, da ka ma eie ud eie 2 gleichzeitig würfel, oder zwei Sechse Ereigisse, die bei eimaligem Würfel disjukt sid, hier aber Elemetarereigisse darstelle. Diese Elemetarereigisse bestehe u aus zwei Ereigisse, dem Ergebis des erste Wurfs ud dem Ergebis des zweite Wurfs (ob ma deselbe Würfel zwei Mal wirft oder zwei Würfel zur gleiche Zeit, das läuft auf das Gleiche hiaus). Ei eizeler Wurf ist dagege kei Elemetarereigis mehr, de das Zufallsexperimet besteht ebe im zweimalige Würfel. Das Zufallsexperimet zweimaliges Werfe eies Würfels hat als Elemetarereigis das jeweilige Ergebis beider Würfe. Nach dem erste Wurf muss ma de zweite abwarte, damit ma ei Elemetarereigis erhält. Isgesamt ergibt sich für dieses Zufallsexperimet folgeder Ereigisraum:, 2, 3, 4, 5, 6,,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,2,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,3,4 2,4 3,4 4,4 5,4 6,4,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5,6 2,6 3,6 4,6 5,6 6,6 Ereigisraum des Wurfs zweier Würfel Ei Elemetarereigis ka also aus mehrere Ereigisse bestehe. Adererseits köe Elemetarereigisse je ach Fragestellug a das Zufallsexperimet zu beliebige Ereigisse kombiiert werde. So ka ma als zusammegesetztes Ereigis defiiere: Beide Würfel zeige die gleiche Augezahl : oder Die Augesumme beträgt 0 : A { (,), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) } B { (4,6), (5,5), (6,4) } Der Fatasie sid hier keie Greze gesetzt. Im Folgede bleibe wir bei de icht äher defiierte Ereigisse A, B, C oder A i ud verwede die Darstellug des Ereigisraumes als Fläche. I der obige Tabelle immt ja jedes der 36 Ereigisse geau /36 der gesamte Fläche ei. Defiiert ma diese als, da ist die Fläche eies Elemetarereigisses gerade die Wahrscheilichkeit, mit der es eitritt (es iteressiert Fall vo 36 mögliche Fälle). Diese Darstellug vo Wahrscheilichkeite als Fläche i eiem Ereigisraum mit der Fläche et ma ach dem Erfider Joh Ve ei Ve-Diagramm. So lasse sich die Wahrscheilichkeite zweier disjukter Ereigisse A ud B folgedermaße darstelle: wahr0.doc

3 Der Additiossatz ud der Multiplikatiossatz für Wahrscheilichkeite Wahrscheilichkeite disjukter Ereigisse Ei Blick auf dieses Diagramm bestätigt umittelbar die Richtigkeit des Additiossatzes für die Wahrscheilichkeite disjukter Ereigisse: Die Wahrscheilichkeit, dass A eitritt, ist die Fläche P(A), die Wahrscheilichkeit, dass B eitritt, ist die Fläche P(B), ud die Wahrscheilichkeit, dass etweder A oder B eitritt, ist die Summe der Fläche P(A) ud P(B). Nu gibt es auch de Fall, dass die iteressierede Ereigisse sich icht gegeseitig ausschließe, soder gemeisam eitrete köe. Wie wahrscheilich ist es da, dass etweder das Ereigis A oder das Ereigis B eitritt? Wie lautet der Additiossatz für die Wahrscheilichkeite icht disjukter Ereigisse? Dieser Fall lässt sich leicht i eiem Ve-Diagramm darstelle, idem die Wahrscheilichkeite P(A) ud P(B) überlapped eigezeichet werde. Der Überlappugsbereich stellt da die Wahrscheilichkeit dar, dass sowohl das Ereigis A als auch das Ereigis B eitritt. Bezeichet ma die Wahrscheilichkeit für das gemeisame Eitrete vo A ud B als P(A B), ist dies die Durchschittsmege vo P(A) ud P(B): ( B) Wahrscheilichkeite icht disjukter Ereigisse Offesichtlich ist die Wahrscheilichkeit, dass etweder A oder B eitritt, die vo beide Wahrscheilichkeite eigeschlossee Fläche. Addiert ma aber P(A) ud P(B), um diese Wahrscheilichkeit zu erhalte, muss ma bedeke, dass die Fläche P(A B) sowohl i P(A) als auch i P(B) ethalte ist. I der Summe P(A) + P(B) ist P(A B) zwei Mal ethalte; die Fläche wird doppelt gezählt. Zieht ma deswege P(A B) ei Mal ab, erhält ma das richtige Ergebis, de Additiossatz für die Wahrscheilichkeit zweier icht disjukter Ereigisse: P( A B) P( A) + P( B) P( A B) Die Wahrscheilichkeit, dass etweder ei beliebiges Ereigis oder ei aderes beliebiges Ereigis eitritt, ist die Summe ihrer Wahrscheilichkeite abzüglich der Wahrscheilichkeit für das gemeisame Eitrete beider Ereigisse. Die Dige verkompliziere sich, we drei Ereigisse betrachtet werde. Ituitiv ergibt sich für diese Fall folgede Darstellug: wahr0.doc

4 Der Additiossatz ud der Multiplikatiossatz für Wahrscheilichkeite ( B) ( ) B C PB C C Wahrscheilichkeite dreier icht disjukter Ereigisse Die Wahrscheilichkeit für das alterative Eitrete dieser Ereigisse ist wieder die vo de Wahrscheilichkeite eigeschlossee Fläche. Addiert ma u P(A), P(B) ud P(, da hat ma die drei überlappede Fläche P(A B), P(A ud P(B doppelt gezählt. We ma diese drei Fläche wieder abzieht, um das zu korrigiere, muss ma wieder bedeke, dass die Wahrscheilichkeite P(A B), P(A ud P(B allesamt auch i der Fläche P(A B ethalte sid. Zieht ma also die Fläche P(A B), P(A ud P(B ab, da hat ma i Wirklichkeit jedes Mal die Fläche P(A B mit abgezoge. Damit ist die Fläche P(A B i der Additio vo P(A), P(B) ud P( drei Mal ethalte, ud mit der Subtraktio vo P(A B), P(A ud P(B ist sie drei Mal abgezoge, sodass sie überhaupt icht mehr ethalte ist. Um dies zu korrigiere, addiert ma diese Fläche wieder ud erhält mit eier gewisse Aspaug der Vorstellugskraft de Additiossatz der Wahrscheilichkeite vo drei icht disjukte Ereigisse: P( A B P( A) + P( B) + P( P( A B) P( A P( B + P( A B Ei strigeter Beweis ist das aber icht. Dieser lässt sich führe, we ma alle Fläche eideutig ud uterscheidbar beet. Die Fläche P(A B) ist ja tatsächlich größer als eigezeichet, weil die Wahrscheilichkeit für das gemeisame Eitrete vo A ud B auch i der Fläche P(A B ethalte ist. Die als P(A B) gekezeichete Fläche ist geau geomme die Fläche P(A B), aber icht P(. Mithilfe des Megeoperators \ (ohe) lässt sich diese Fläche korrekt als P(A B \ bezeiche. Wedet ma diese Notatio auf alle Kombiatiosmöglichkeite der drei Ereigisse A, B ud C a, bilde drei Ereigisse, die gemeisam eitrete köe, folgede Mege: A\B\C A C\B A B\C A B C C\A\B B\A\C B C\ A Kombiatiosmöglichkeite vo drei Ereigisse A, B ud C Jede Fläche ist u vo alle adere verschiede, die Fläche sid eideutig gegeeiader abgegrezt. Bei eimaliger Durchführug eies Zufallsexperimetes mit diese mögliche Ergebisse ka ur eie der Möglichkeite eitrete, alle adere icht. Das heißt, die dargestellte Ereigisse ud Ereigiskombiatioe sid disjukt. Damit gilt für das alterative Eitrete dieser Ereigisse der Additiossatz disjukter Ereigisse, es ist: wahr0.doc

5 Der Additiossatz ud der Multiplikatiossatz für Wahrscheilichkeite () ( ) P( A B\ + P( B C\ A) + P( A C\B) + P( A B B C \B\C P B\ A \C P C\ A \B Zwische de Elemete dieses Ausdrucks bestehe Beziehuge, die ma zu seier Vereifachug ausutze ka. So ist die Wahrscheilichkeit für das Eitrete des Ereigisses A i alle Wahrscheilichkeite ethalte, i dee der Eitritt vo A vorkommt. Es gilt: (2) P( A) P( A \B\ + P( A B\ + P( A C\B) + P( A B Etspreched gilt für P(B) ud P(: (3) PB PB\A\C + PA ( B\ + PB ( C\A) + PA ( B (4) PC PC\A\B + PA ( C\B) + PB ( C\A) + PA ( B Für das paarweise Eitrete der Ereigisse A, B ud C lasse sich die Zusammehäge auf die gleiche Weise ableite: (5) P( A B) P( A B\ + P( A B (6) P( B P( B C\ A) + P( A B (7) P( A P( A C\B) + P( A B Die Gleichuge (5), (6) ud (7) werde ach de Ausdrücke umgestellt, die i de übrige Gleichuge zu ersetze sid: (8) P( A B\ P( A B) P( A B (9) P( B C\ A) P( B P( A B (0) P( A C\B) P( A P( A B Gleichuge (8) ud (0) i (2) eigesetzt: () P( A) P( A\B\ + P( A B) + P( A P( A B Gleichuge (8) ud (9) i (3) eigesetzt: (2) PB PB\A\C + PA ( B) + PB ( PA ( B Gleichuge (9) ud (0) i (4) eigesetzt: (3) P( P( C\ A \B) + P( A + P( B P( A B Die Gleichuge (), (2) ud (3) werde ach P(A \ B \, P(B \ A \ bzw. P(C \ A \ B) aufgelöst: (4) P( A \B\ P( A) P( A B) P( A + P( A B (5) P( B\ A \ P( B) P( A B) P( B + P( A B (6) P( C\ A \B) P( P( A P( B + P( A B Gleichuge (4), (5) ud (6) i () eigesetzt: wahr0.doc

6 Der Additiossatz ud der Multiplikatiossatz für Wahrscheilichkeite (7) ( ) ( ) ( ) + ( ) + P( B) P( A B) P( B + P( A B + P( P( A P( B + P( A B + P( A B\ + P( B C\ A) + P( A C\B) + P( A B B C B C B C Hieri die Gleichuge (8), (9) ud (0) eigesetzt: ( ) ( ) ( ) + ( ) + P( B) P( A B) P( B + P( A B + P( P( A P( B + P( A B + P( A B) P( A B + PB ( PA ( B + P( A P( A B + P( A B B C B C B C Die Vereifachug ergibt i der Tat de Additiossatz für die Wahrscheilichkeite vo drei icht disjukte Ereigisse: (8) P( A B P( A) + P( B) + P( P( A B) P( A P( B + P( A B Ma ka sich vorstelle, dass der Beweis des Additiossatzes für mehr als drei Ereigisse och komplizierter ud umstädlicher ist. Deswege wird a dieser Stelle auf die Siebformel vo Sylvester- Poicaré (ach James Sylvester ud Jules Heri Poicaré) zurückgegriffe. Die Siebformel, auch Eischluss-Ausschluss-Formel geat, beschreibt de gesuchte Zusammehag für Ereigisse. Die Wahrscheilichkeit, dass vo beliebige Ereigisse A i (i...) midestes eies eitritt, ist: wobei: i i< j i<< j k i i i<< j k< l ( i Aj) ( i j k) + A A ( i j k l) A A A + + ( ) P Ai i, j, k, l, i ; i j 2 ; j k 3 ; k l 4 ; l wahr0.doc

7 Der Additiossatz ud der Multiplikatiossatz für Wahrscheilichkeite Um das Eischluss-Ausschluss-Prizip deutlich zu mache, wird die Siebformel hier explizit für 2, 3 ud 4 agegebe. We eie dieser Werte aimmt, ist der letzte Term bereits ethalte. So gilt für 2 + ( ) P Ai + P Ai P( A A2) Dieser Ausdruck ergibt sich aber bereits aus dem zweite Term der Siebformel. Für 2 lautet die allgemeie Formulierug der Siebformel ur Hieri i, 2 ud j 2 eigesetzt: i ( i) ( i j) i i< j A 2 i + 2 A Dies ist der Additiossatz für zwei beliebige Ereigisse. Der letzte Term der allgemeie Siebformel ist hier mit P( A A ) 2 + ( ) P Ai bereits erreicht, de es gilt + 2 P( A A ) Hier stellt sich ämlich die bisher icht behadelte Frage, wie die Wahrscheilichkeit des gemeisame Eitretes vo Ereigisse bestimmt werde ka. We die Wahrscheilichkeit für das gemeisame Eitrete der Ereigisse A ud B als P(A B) defiiert wird, ist damit bereits vorgegebe, wie groß diese Wahrscheilichkeit ist. Betrachtet ma och eimal das Ve-Diagramm wahr0.doc i 2 Für 2 ist der letzte Term der allgemeie Formel redudat. Das Gleiche gilt für 3 ud 4. Der Term wird sozusage erst gebraucht für > 4 (wohlgemerkt i der hier agegebee Fassug der Siebformel). Der Eischluss ud Ausschluss wird solage fortgeführt, bis mit de kokrete Zahle der Ausdruck erreicht ist. + ( ) P Ai Die Siebformel gilt für beliebige Ereigisse, also auch für disjukte Ereigisse. We aber alle Ereigisse disjukt sid, ka keie wie auch immer geartete Kombiatio vo Ereigisse eitrete. Alle Wahrscheilichkeite für das gemeisame Eitrete vo Ereigisse sid gleich ull, ud die Siebformel reduziert sich auf de Additiossatz für paarweise disjukte Ereigisse: i i Im Folgede wird aber weiter davo ausgegage, dass die Ereigisse icht disjukt sid, dass sie gemeisam eitrete köe. 2

8 Der Additiossatz ud der Multiplikatiossatz für Wahrscheilichkeite Wahrscheilichkeite icht disjukter Ereigisse, da ist die Wahrscheilichkeit für das gemeisame Eitrete vo A ud B durch die Größe der Fläche P(A B) bereits festgelegt: ( B) Wahrscheilichkeite icht disjukter Ereigisse Der Ateil der Fläche P(A B) a der Fläche des gesamte Ereigisraumes ist die Wahrscheilichkeit für das gemeisame Eitrete der Ereigisse A ud B. Die Fläche des Ereigisraumes, die Mege aller mögliche Elemetarereigisse, wird stets mit gleichgesetzt (Normierug). We u das gemeisame Eitrete der Ereigisse A ud B betrachtet wird, so heißt gemeisam icht ubedigt simulta, soder dass sie das Ergebis eier Durchführug des Zufallsexperimets sid. Da u A ud B zwei Ereigisse darstelle, die gemeisam eitrete köe, hadelt es sich um eie mehrstufige Zufallsprozess, i diesem Fall um eie zweistufige. Nach der erste Stufe des Zufallsereigisses ist eies der Ereigisse bereits eigetrete oder icht. Da wir us hier für das gemeisame Eitrete der Ereigisse A ud B iteressiere, muss i der erste Stufe eies dieser Ereigisse eigetrete sei, sost gibt es kei gemeisames Eitrete der Ereigisse A ud B. Geht ma u davo aus, dass i der erste Stufe das Ereigis B bereits eigetrete ist, da lautet die Frage ach P(A B): Wie wahrscheilich ist es, dass A eitritt, achdem B bereits eigetrete ist? Eie solche Wahrscheilichkeit et ma eie bedigte Wahrscheilichkeit ud schreibt P(A B). P(A B) ist die Wahrscheilichkeit für A, achdem B bereits eigetrete ist. We dies u so ist, da gilt für das Ereigis A ud B ei euer, eigeschräkter Ereigisraum. Beide Ereigisse müsse ämlich im Ereigisraum B liege. Der Fall, dass B icht eitritt, iteressiert icht mehr: A B Ereigisraum bedigter Wahrscheilichkeite I der Zeichug muss das Ereigis A B i der eigefärbte Fläche A B + B \ A B liege. Dies ist der eue Ereigisraum. Da B bereits eigetrete ist, ka das Ereigis \ B (außerhalb der eigefärbte Fläche) icht mehr eitrete. Der eue Ereigisraum im Ve-Diagramm dargestellt: wahr0.doc

9 Der Additiossatz ud der Multiplikatiossatz für Wahrscheilichkeite ( B) Ve-Diagramm bedigter Wahrscheilichkeite Nach dem Eitritt vo B ist der Ereigisraum auf P(B) beschräkt. Die Wahrscheilichkeit für A, achdem B eigetrete ist, muss i diesem Raum liege. Für das zusätzliche Eitrete des Ereigisses A gilt da ur och die Wahrscheilichkeit P(A B), die i dieser Fläche liegt. Die Wahrscheilichkeit, dass A eitritt, achdem B eigetrete ist, wird da, wie immer i eiem Ve- Diagramm, durch de Ateil der Fläche für diese Wahrscheilichkeit a der Wahrscheilichkeit des gesamte Ereigisraumes, hier P(B), gegebe. Mit adere Worte: Die bedigte Wahrscheilichkeit für A, achdem B eigetrete ist, wird defiiert durch (9) P( A B) ( B) PB Hieraus folgt umittelbar der Multiplikatiossatz für die Wahrscheilichkeit des gemeisame Eitretes vo zwei Ereigisse: (20) P( A B) P( B) P( A B) Die Wahrscheilichkeit, dass zwei Ereigisse A ud B gemeisam eitrete, ist das Produkt der Wahrscheilichkeit für B ud der bedigte Wahrscheilichkeit für A, achdem B eigetrete ist. Betrachte wir folgedes Beispiel: Das Ereigis A sei die richtige Vorhersage der 6 Gewizahle im Lotto, das Ereigis B die Vorhersage der richtige Superzahl, ud das gemeisame Eitrete der Ereigisse A ud B das Kacke des Jackpots. Die Wahrscheilichkeit, 6 Zahle aus 49 richtig vorherzusage, ist Die Wahrscheilichkeit, vo 0 Ziffer die richtige vorherzusage, ist PB 0 We u ei Lottospieler die Ziehug der Lottozahle im Fersehe beobachtet ud erfreut feststellt, dass er 6 Richtige hat, wie groß ist da die Wahrscheilichkeit, auch och de Jackpot zu kacke? Ituitiv würde ma sage: Jetzt fehlt ur och die richtige Superzahl, ud dafür ist die Chace : 0. We ma also scho weiß, dass die richtige 6 aus 49 gezoge wurde, da ist die Wahrscheilichkeit, auch och de Jackpot zu gewie, /0. Mathematisch-statistisch gesehe muss ma für die Atwort auf diese Frage eie bedigte Wahrscheilichkeit etspreched Gleichug (9) bestimme. Die Frage lautet jetzt: Wir wahrscheilich ist es, dass Ereigis B eitritt, achdem A bereits eigetrete ist, also (2) PB A ( B) P( A) wahr0.doc

10 Der Additiossatz ud der Multiplikatiossatz für Wahrscheilichkeite PB A 0 Gesucht ist aber die Wahrscheilichkeit für das gemeisame Eitrete der Ereigisse A ud B, die sich aus der Umstellug der Gleichug für die bedigte Wahrscheilichkeit zum Multiplikatiossatz für Wahrscheilichkeite ergibt. Aus Gleichug (2) folgt (22) P( A B) P( A) P( B A) Die Wahrscheilichkeit, dass zwei Ereigisse A ud B gemeisam eitrete, ist das Produkt der Wahrscheilichkeit für A ud der bedigte Wahrscheilichkeit für B, achdem A eigetrete ist. P( A B) Die Wahrscheilichkeit, beim Lotto 6 aus 49 de Jackpot zu gewie, ist : Natürlich muss sich dies auch aus Gleichug (20) ergebe, de für de Gewi des Jackpots kommt es icht darauf a, ob die Superzahl tatsächlich ach de Lottozahle gezoge wird oder vorher; es gilt P( A B) P( B) P( A B) P( A B) Ma ka a diesem Beispiel eie weitere Eigeschaft vo Ereigisse erkee, ämlich die Abhägigkeit ud die Uabhägigkeit voeiader. Es ist ja gaz offesichtlich so, dass die Wahrscheilichkeit, 6 Richtige zu habe, uabhägig davo ist, ob eie bestimmte Superzahl gezoge wird, das heißt, es gilt (23) P( A B) P( A) We die Wahrscheilichkeit für ei Ereigis A uabhägig davo ist, ob ei aderes Ereigis B eigetrete ist oder icht, da et ma das Ereigis A uabhägig vo B. Auch die Wahrscheilichkeit für das Ziehe der Superzahl ist uabhägig davo, welche Gewizahle vorher gezoge worde ist, das heißt (24) PB A PB Das Ereigis A ist hier also uabhägig vo B, ud das Ereigis B ist uabhägig vo A. Die beide Ereigisse sid wechselseitig uabhägig voeiader. Setzt ma u (23) i (20) oder (24) i (22) ei, erhält ma de Multiplikatiossatz für zwei wechselseitig uabhägige Ereigisse: (25) P( A B) P( A) P( B) Die Wahrscheilichkeit für das gemeisame Eitrete vo zwei wechselseitig uabhägige Ereigisse ist das Produkt ihrer Wahrscheilichkeite. Das Ereigis Kacke des Jackpots ist dagege abhägig davo, ob die richtige Gewizahle gezoge werde ud atürlich, ob die richtige Superzahl gezoge wird. Bezeichet ma das Ereigis Kacke des Jackpots zur Vereifachug ud zur Verallgemeierug als Ereigis C, da gilt PC wahr0.doc

11 Der Additiossatz ud der Multiplikatiossatz für Wahrscheilichkeite PC A PC B (26) PC PC A PC B Das Ereigis C ist sowohl vom Ereigis A abhägig als auch vom Ereigis B. Für mehr als zwei Ereigisse das hier defiierte Ereigis C setzt sich ja lediglich aus de zwei Ereigisse A ud B zusamme sid die Verhältisse komplizierter. Es liegt zwar die Vermutug ahe, dass die Wahrscheilichkeit für das gemeisame Eitrete vo beliebig viele uabhägige Ereigisse das Produkt ihrer Eizelwahrscheilichkeite ist, aber eie Vermutug ist kei Beweis. Ausgagspukt des Beweises ist der Multiplikatiossatz für Wahrscheilichkeite gemäß Gleichug (22). Es wird hier gesetzt: A A B A 2 Dies i Gleichug (22) eigesetzt: (27) P( A A ) P( A ) P( A A ) Numehr wird gesetzt: 2 2 A A A B A 2 3 Dies i Gleichug (22) eigesetzt: (28) P( A A A ) P( A A ) P( A A A ) Der Ausdruck ( A ) i dieser Gleichug wird ersetzt durch die rechte Seite vo (27), sodass: (29) P( A A A ) P( A ) P( A A ) P( A A A ) Die Ereigisse A A A A B A i (22) eigesetzt: (30) P( A A A A ) P( A A A ) P( A A A A ) Hieri die rechte Seite der vorhergehede Gleichug (29) eigesetzt: (3) P( A A A A ) P( A ) P( A A ) P( A A A ) P( A A A A ) Ma erket a der Etwicklug der Gleichuge (27), (29) ud (3), dass jedes weitere Ereigis de Faktor P(weiteres Ereigis alle bisherige Ereigisse) hizufügt. Für Ereigisse ergibt sich die Wahrscheilichkeit des gemeisame Eitretes demzufolge mit (32) ( ) ( ) ( ) A A A A A A A A A A Dies ist der Multiplikatiossatz für das gemeisame Eitrete vo beliebige Ereigisse. wahr0.doc - -

12 Der Additiossatz ud der Multiplikatiossatz für Wahrscheilichkeite We die Ereigisse alle uabhägig vo de adere sid, we also gilt P( A ) A 2 2 ( ) A A ( ) A A A ( ) A A A A 2 3 vereifacht sich Gleichug (32) zum Multiplikatiossatz für das gemeisame Eitrete vo uabhägige Ereigisse: (33) P( A A A A ) P( A ) P( A ) P( A ) P( A ) oder, i alterativer Schreibweise: i i wahr0.doc