8. Der Wahrscheinlichkeitsbegriff

Transkript

1 8. Der Wahrscheilichkeitsbegriff M.5 Wahrscheilichkeitsbegriff (ca. 0 Std.) Die Etwicklug eies abstrakte Wahrscheilichkeitsbegriffs erlaubt es de Schüler, verschiedee bereits aus de vorhergehede Jahrgagsstufe bekate Begriffe ud Vorgehesweise zu präzisiere ud zu erweiter. Sie erkee, dass für weitergehede Betrachtuge vo Zufallsexperimete, die icht der Laplace- Aahme geüge, ei tragfähiger, auf uterschiedliche Sachverhalte awedbarer Wahrscheilichkeitsbegriff ötig ist. Die Tatsache, dass auch bedeutede er bis zu seier axiomatische Fudierug lage um eie eiwadfreie Defiitio des Wahrscheilichkeitsbegriffs geruge habe, macht de Schüler deutlich, dass i der ei städiger Prozess der Etwicklug vo Begriffe ud Aussage stattfidet. Die Schüler arbeite u formaler mit Ereigisse ud vertiefe dabei ihre bisherige Ketisse. Sie erkee, wie die Darstellug eies Ereigisses als Komplemet-, Schitt- oder Vereiigugsmege es erleichter ka, desse Wahrscheilichkeit zu bestimme. Ausgehed vom bereits bekate Begriff der bedigte Wahrscheilichkeit lere die Schüler, zwische abhägige ud uabhägige Ereigisse zu uterscheide sowie Aussage darüber zu mache, ob Ereigisse eiader beeiflusse. axiomatische Defiitio vo Wahrscheilichkeit verküpfte Ereigisse ud ihre Wahrscheilichkeite 8. Das Zufallsexperimet Experimete, dere Ergebisse vor der Versuchsdurchführug icht eideutig vorhergesagt werde köe (selbst bei Wiederholug uter gleiche Bediguge), heiße Zufallsexperimete. Beispiele:. Werfe eier Müze 2. Werfe eies Würfels 3. Ziehe aus eier Ure mit verschiedefarbige Kugel 4. Lottospiel 6 aus 49 8.

2 Beispiel : Werfe eier Müze Versuch: Mögliche Ergebisse: Eie Müze wird eimal geworfe. Kopf K Zahl Z Die Mege aller mögliche Ergebisse fasst ma zum Ergebisraum (auch Ergebismege geat) zusamme. Hier: = Allgemei: Eie ichtleere, edliche Mege :,,..., m m Experimets, we heißt Ergebisraum eies 2 () jedes Elemet i ei Ergebis des Experimets bezeichet ud (2) jedem Ergebis des Experimets geau ei Elemet aus etspricht. Beispiel 2: Werfe eier Würfels Versuch: Eimal eie Würfel werfe. Mögliche Ergebisse: Ergebisraum: = Beispiel 3: Ziehe aus eier Ure Eie Ure ethält 5 rote ud 5 blaue Kugel. Die Kugel werde gut gemischt. Aschließed wird eie Kugel gezoge ud ihre Farbe festgestellt. Mögliche Ergebisse: Ergebisraum: = Beispiel 4: Lottospiel 6 aus 49 Ei mögliches Ergebis: Beliebiges Ergebis: Ergebisraum: = 8.2

3 Weitere Beispiele: a) Gleichzeitiges Werfe vo zwei Würfel: Ma iteressiert sich für die Augesumme = b) Gleichzeitiges Werfe zweier uterscheidbarer Würfel (rot ud blau). Vo Iteresse sid die Augezahle der eizele Würfel. = c) Aus eier Ure mit rote ud blaue Kugel, die aderweitig icht uterscheidbar sid, werde gleichzeitig zwei Kugel zufällig herausgegriffe. Mögliche Ergebisse: Ergebisraum: = Äderug des Experimets, so dass es auf die Reihefolge akommt: 8.. Der Ergebisraum zusammegesetzter Zufallsexperimete Komplizierte Experimete ( Werfe zweier uterscheidbarer Würfel usw.) lasse sich oft auf eifache Experimete ( Werfe eies Würfels ) zurückführe. Dabei ka der Ergebisraum des zusammegesetzte Experimets aus de Ergebisräume der Eizelexperimete abgeleitet werde. Beispiel: Werfe zweier uterscheidbarer Würfel. Würfel: ;2;3;4;5;6 Durch Paarbildug ergibt sich der Ergebis- 2. Würfel: 2 ;2;3;4;5;6 raum des zusammegesetzte Experimets. 8.3

4 2 (;),(;2),(;3),...,(6;5),(6;6) kartesisches Produkt (Kreuzprodukt) Defiitio: A A2 A3... A heißt kartesisches Produkt vo Mege Soderfall: A A A... A 8..2 Das Zählprizip Gegebe ist ei Ergebisraum Bekat ist außerdem die Mächtigkeit (Azahl der ethaltee Elemete) der eizele Mege: i ki. Gesucht ist die Azahl der Elemete vo. Baumdiagramm (zur Veraschaulichug des Zustadekommes aller mögliche Tupel) =3 2 k KZ ; k ;2;3;4 k abc 3 ; ; 8.4

5 Azahl der Elemete beim zusammegesetzte Experimet: 8.5

6 Allgemei gilt das Zählprizip: Besteht ei zusammegesetztes Experimet aus voeiader uabhägige Eizel-experimete mit k, k2,..., k mögliche Ergebisse, so hat das zusammegesetzte Experimet k k 2... k mögliche Ergebisse. Beispiel: Werfe zweier uterscheidbarer Würfel Vergröberug des Ergebisraumes Die Mächtigkeit eies Ergebisraumes hägt ab vo der Iformatio, die ma bei de Versuche gewit. Außerdem wird sie bestimmt vo dem Merkmal, für das ma sich bei der Ausführug des Experimets iteressiert. Beispiel: Kotrolle maschiegefertigter Teile Experimet: Zufälliges Etehme vo 4 Teile aus jeder Produktiosserie (Karto) b: brauchbar u: ubrauchbar Mögliche Ergebisräume: a) bbbb, bbbu, bbub,..., uuuu b) Es iteressiert ur die Azahl der ubrauchbare Stücke ierhalb jeder Stichprobe: 5 0;;2;3;4 heißt Vergröberug vo. 8.6

7 Übugsaufgabe: Zwei Persoe A ud B trage ei Teisturier aus. Diejeige Perso, die zuerst zwei Spiele acheiader oder zuerst isgesamt drei Spiele gewit, soll Turiersieger sei. Wie laute die mögliche Ergebisse? (Baumdiagramm!) 8.2 Der Ereigisraum Eiem Ereigis aus dem Ergebisraum etspricht eie Teilmege vo. Beispiel: Werfe eies Würfels G 2;4;6 bedeutet das Ereigis eie gerade Zahl wird gewürfelt. Ei Ereigis A tritt geau da ei, we das Ergebis des Zufallsexperimets ei Elemet vo A ist. A A ist eigetrete A A ist icht eigetrete Die Mege aller Ereigisse aus (also die Mege aller Teilmege vo ) heißt Ereigisraum ( ). Besodere Ereigisse: a) ist das sichere Ereigis b) (leere Mege) ist das umögliche Ereigis 8.2. Mächtigkeit des Ereigisraumes Ist die Mächtigkeit eies Ergebisraumes m, so hat der zugehörige Ereigisraum die Mächtigkeit 2 m. 2 m m ( ) 8.7

8 Übugsaufgabe:. Beim zweimalige Würfel eies Würfels sei der Ergebisraum dargestellt durch ; 2;3; 4;5;6 2. Ma stelle folgede Ereigisse durch Mege dar: A: Augesumme 0 B: Augesumme 5 C: Augesumme gerade D: Augesumme 7 oder 0 E: Augesumme k ( 2 k 2) F: Augezahl beim 2. Wurf ist um mid. aber höchstes 2 größer als die Augezahl beim. Wurf 2. Aus eier Ure mit 0 rote ud 0 weiße Kugel werde acheiader mit Zurücklege 4 Kugel etomme. Gib zu jedem Ereigis Teilmege auf möglichst eifache Weise a. E : die 2. Kugel ist rot E i die zugehörige E 2 : E 3 : E 4 : geau die 2. Kugel ist rot midestes eie Kugel ist rot die beide erste ud die beide letzte Kugel sid rot 8.8

9 3. Gib zu jeder der folgede Teilmege E i eie Wortform des Ereigisses a. E5 E rrrw 6, rrrw rrrr E6 rrrw, rrwr, rwrr, wrrr, rrrr 4. Zu eier Party erwartet Susae 2 Mädche ud 3 Juge. Die 5 Gäste treffe acheiader ei. Beschreibe folgede Ereigisse durch Ergebismege: A: Der erste Gast ist ei Mädche. B: Uter de erste drei Gäste sid die zwei Mädche. C: Der letzte Gast ist kei Juge Relatioe ud Verküpfuge Beispiel: Ei Wurfpfeil wirft auf eie so große quadratische Scheibe geworfe, dass sie vom Wurfort mit Sicherheit getroffe werde muss. Jeder Pukt der Scheibe ist ei mögliches Versuchsergebis, ud da ach Voraussetzug keie weitere Ergebisse eitrete köe, ist die Gesamtfläche der Scheibe. Ma betrachtet folgede Ereigisse: A: Fläche des rot umradete Kreises B: Fläche des blau umradete Kreises 8.9

10 a) Relatioe zwische Ereigisse Gleichheitsrelatio Mege Zwei Mege A ud B heiße geau da gleich, we jedes Elemet aus A auch Elemet vo B ist ud umgekehrt. Iterpretatio bei Ereigisse Zwei Ereigisse A ud B heiße geau da gleich, we mit dem Ereigis A auch das Ereigis B eitritt ud umgekehrt. Veraschaulichug am Beispiel Teilmegerelatio Mege Eie Mege A heißt Teilmege vo B geau da, we jedes Elemet vo A auch Elemet vo B ist. Iterpretatio bei Ereigisse Gilt für zwei Ereigisse A ud B aus eiem Ereigisraum A B, so tritt mit dem Ereigis A stets auch das Ereigis B ei. Ma sagt: Das Ereigis A zeiht das Ereigis B ach sich. Veraschaulichug am Beispiel 8.0

11 b) Verküpfuge vo Ereigisse Operatioe mit Ereigisraum Komplemet Das Komplemet vo A, immer bezoge auf die Grudmege, ist die Mege aller Elemete vo, die icht zu A gehöre. A A Das zu A komplemetäre Ereigis A, auch Gegeereigis zu A geat, tritt geau da ei, we A icht eitritt. Bezeichug: Ereigis icht-a Vereiigug Die Vereiigug zweier Mege A ud B ethält alle Elemete, die A oder B oder beide Mege agehöre. Das Ereigis A B tritt geau da ei, we das Ereigis A oder das Ereigis B oder beide eitrete. Bezeichug: Ereigis A oder B Durchschitt Der Durchschitt zweier Mege A ud B ethält alle Elemete, die A ud B agehöre. Das Ereigis A B tritt geau da ei, we sowohl das Ereigis A als auch das Ereigis B eitritt. Bezeichug: Ereigis A ud B 8.

12 Ist A ud B das umögliche Ereigis (also A B= ), so köe A ud B icht gleichzeitig eitrete. Sie sid uvereibar. Relatives Komplemet Das relative Komplemet vo A bzgl. B ist die Mege aller Elemete vo, die der Mege B ud icht der Mege A agehöre. B A B A B A ist das Ereigis, das geau da eitritt, we das Ereigis B, aber icht das Ereigis A eitritt. Bezeichug: B A ist B ud (icht-a) Adere Darstellugsmöglichkeite vo Ereigisse: a) b) 8.2

13 Beispiel: AB, Diagramm Umgagssprache Ereigissprache Formale Sprache a) Beide Ereigisse trete ei. b) Höchstes eies der beide Ereigisse tritt ei. c) Keies vo beide tritt ei. d) Midestes eies vo beide tritt ei. e) Geau eies vo beide tritt ei. 8.3

14 8.2.3 Umgagssprache, Ereigissprache, formale Sprache Beispiel: Werfe eies Würfels Ereigisse: A: Augezahl höchstes 3 Gesucht: B: Augezahl ist durch 3 teilbar Ereigis, für das folgede Aussage gilt: Es tritt geau eies der beide Ereigisse A oder B ei. Umgagssprache: Ereigissprache: Formale Sprache: Rechegesetze 8.4

15 Beispielaufgabe: Werfe eies Würfels Ergebisraum ;2;3;4;5;6 Ereigisse: A: Die erste beide Zahle der Zifferfolge ;2;3;4;5;6 falle. B: Die letzte beide Zahle der Zifferfolge falle. C: Nur gerade Ziffer falle. Iterpretiere die folgede Ereigisse: a) AB C b) AB C c) AB C Für die Iterpretatio ka folgedes Diagramm eie wertvolle Hilfe sei: Mehrfeldertafel 8.5

16 Übugsaufgabe: Bei eier Verlosug, a der Frau Weiß, Frau Schwarz ud Frau Roth teilehme, wird als erster Preis eie Feriereise ud als zweiter Preis ei Fersehapparat verlost. A, B ud C seie die Ereigisse: A: Eie der drei Fraue gewit die Feriereise B: Frau Weiß gewit die Feriereise icht C: Die drei Fraue gewie icht beide Preise. Welche der folgede Ereigisse sid eigetrete, we Frau Schwarz die Feriereise gewit, die beide adere Fraue dagege leer ausgehe? a) A b) B c) C d) A B e) A B f) A g) A C h) B C i) A C 8.6

17 8.3 Die relative Häufigkeit Ist A ei Ereigis aus eiem Ereigisraum ud tritt i eier Folge vo Versuche A h A die geau z-mal ei, so et ma z die absolute Häufigkeit vo A ud z relative Häufigkeit vo A ( ). Eigeschafte der relative Häufigkeit: z h A ratioale Zahl 0h A. 2. Ist A das sichere Ergebis, da ist z= ud somit h A h 3. Ist A (umögliches Ereigis), da ist z=0 ud somit 0 h A h 4. Für zwei uvereibare Ereigisse A ud B, d.h. A B B icht gleichzeitig eitrete, gilt: 0 h A B h. z z z z 2 2 Da gilt für h A B h A h B Also: A B h A B h A h B, also köe A ud 5. Für zwei vereibare Ereigisse A ud B, d.h. A B gleichzeitig eitrete, gilt: z A B z A z B z A B. Also: A B h A B h A h B h A B, also köe A ud B 6. Es gilt außerdem: h A h A 8.7

18 Empirisches Gesetz der große Zahle: Es hadelt sich dabei um die Eigeschaft, dass sich bei jedem Zufallsexperimet bei eier große Azahl vo Versuche (uter gleich bleibede Bediguge) der Wert der relative Häufigkeit für ei bestimmtes Ereigis um eie feste Wert stabilisiert. Übugsaufgabe:. I eiem Studeteheim wohe 200 Studete. 65 vo ihe spreche Eglisch, 73 Frazösisch, 49 spreche beide Sprache. Wie groß ist die relative Häufigkeit der Studete, die a) midestes eie, b) keie der beide Sprache spreche % aller Deutsche sid Fraue. 67 % aller Deutsche Mäer scharche. Wie groß ist die relative Häufigkeit der scharchede Mäer uter de Deutsche? 3. Bei eier schulaufgabe ergab sich für die Note folgede Verteilug: Note Azahl Bereche die relative Häufigkeit der eizele Note. 8.8

19 8.4 Defiitio der Wahrscheilichkeit eies Ereigisses Sid bei eiem Zufallsexperimet alle Ergebisse aus gleich wahrscheilich, so ist die Wahrscheilichkeit eies Ereigisses A gleich der Azahl der Elemete vo A dividiert durch die Azahl der Elemete vo : Eie Fuktio, die jedem Ereigis A eie reelle Zahl zuordet, heißt Wahrscheilichkeitsverteilug, we sie folgede Eigeschafte besitzt: Axiom I: Axiom II: Axiom III: Satz : P A P A Die Summe der Wahrscheilichkeite eies Ereigisses ud seies Gegeereigisses ist gleich. Satz 2: P 0 Die Wahrscheilichkeit des umögliche Ereigisses ist gleich 0. Satz 3: Sid A ud B zwei Ereigisse mit A B, so gilt das Mootoiegesetz der Wahrscheilichkeitsmaßes: PB P A Satz 4: 0P A für alle A 8.9

20 Satz 5: Sid A, A 2, A 3,., A paarweise uvereibare Ereigisse, so ist P A A A A P A P A P A P A Satz 6: Sid A ud B zwei beliebige Ereigisse, so ist P A B P A PB P A B Beachte:. A P( A) 0 Aber: P( A) 0 A 2. A P( A) 0 P( A) 0 A 3. A P( A) P( A) A 4. A P( A) P( A) A 5. A B P ( A) P ( B ) P ( A) P ( B ) A B 6. A B P ( A) P ( B ) P ( A) P ( B ) A B 8.4. Beispiele für Wahrscheilichkeitsverteiluge a) Müze Die Müze hat die Seite W (Wappe) oder Z (Zahl). Geht ma vo eier ideale Müze (Laplace-Müze) aus, so darf ma davo ausgehe, dass beide Seite mit der gleiche Wahrscheilichkeit falle. Das ergibt für de eifache Müzwurf die folgede Wahrscheilichkeitsverteilug: W Z P ( )

21 Wirft ma eie Müze zweimal so liegt ei zweistufiges Zufallsexperimet mit de gleichwahrscheiliche Elemetarereigisse WW, WZ, ZW, ZZ vor. Ma erhält folglich als Wahrscheilichkeitsverteilug: WW WZ ZW ZZ P ( ) b) Würfel Ei idealer Würfel (Laplace-Würfel) hat ebefalls für alle Elemetarereigisse die gleiche Wahrscheilichkeit P ( ) Beim zweimalige Würfelwurf hat der Ergebisraum die Mächtigkeit 36. Daher ergibt sich: P ( ), wobei ;2;3;...;65;66 36 c) Ure Aus eier Ure mit zeh Kugel (6 rot, 3 schwarz, weiß) wird eie Kugel gezoge. Ma erhält folgede Wahrscheilichkeitsverteilug: r s w P ( ) Jedes Zufallsexperimet ud desse Ausgäge ka durch ei Ureexperimet simuliert werde! 8.2

22 d) Glücksrad Die eifachste Form eies Glücksrades ist eie i Sektore geteilte Scheibe, die vor eiem Zeiger gedreht wird. Hat ei Kreissektor eies ideale Glücksrades de Mittelpuktswikel, da wird ihm die Wahrscheilichkeit p zugeordet Wahrscheilichkeitsverteiluge mehrstufiger Zufallsexperimete ud Pfadregel Bei mehrstufige Zufallsexperimete wird i der Regel ei Baumdiagramm gezeichet. Beispiel : Aus eier Ure mit zeh Kugel, vo dee 6 rot, 3 schwarz ud weiß sid, werde zwei Kugel ohe Zurücklege gezoge. Bestimme die Wahrscheilichkeitsverteilug für die Elemetarereigisse. Lösug: 8.22

23 Ma stellt fest: Die Summe aller Wahrscheilichkeite, die vo eiem Verzweigugspukt ausgehe, ist stets. Außerdem bestimmt ma die Wahrscheilichkeite der Elemetarereigisse mithilfe der Bruchrechug, z.b. hat das Elemetarereigis rr die Wahrscheilichkeit 5 vo 6 = 9 0. Pfadregel: I eiem mehrstufige Zufallsexperimet erhält ma die Wahrschei-lichkeit eies Elemetarereigisses als das Produkt der Wahrscheilichkeite auf de Teilstrecke des Pfades, der zu diesem Elemetarereigis führt. Damit ergibt sich im Beispiel die folgede Wahrscheilichkeitsverteilug: rr rs rw sr Ss sw wr ws P ( ) Beispiel 2: Gleiche Ure wie i Beispiel, aber füfmaliges Ziehe ohe Zurücklege. Bestimme die Wahrscheilichkeit des Elemetarereigisses rrswr. Lösug: Dieses Experimet führt zu eiem riesige, uübersichtliche Baum. Da aber ur ei Elemetarereigis iteressiert, geügt es de etsprechede Pfad zu zeiche: Ma erhält also: P rrswr 8.23

24 Beispiel 3: Gleiche Ure ud gleiches Experimet wie i Beispiel. Bestimme die Wahrscheilichkeit des Ereigisses A: Die beide gezogee Kugel habe die gleiche Farbe. Lösug: P ( A) P ( rr ) P ( ss ) 2. Pfadregel: Die Wahrscheilichkeit eies Ereigisses erhält ma als Summe der Wahrscheilichkeite der Elemetarereigisse (Pfade), die zu diesem Ereigis gehöre. Beispiel 4: Gleiche Ure wie i Beispiel, aber es werde jetzt zwei Kugel mit Zurücklege gezoge. Bestimme die Wahrscheilichkeit des Ereigisses A: Die beide gezogee Kugel habe die gleiche Farbe. Lösug: 8.24

25 Übugsaufgabe. I eiem fere Lade werde i de Schule die 3 Fremdsprache Deutsch, Eglisch ud Frazösisch agebote. 40% der Schüler lere Deutsch, 60% Eglisch ud 55% Frazösisch. Mache der Schüler lere 2 Fremdsprache, ud zwar 30% Eglisch ud Deutsch, 20% Frazösisch ud Deutsch ud 35% Frazösisch ud Eglisch. 20% der Schüler wolle später Karriere mache ud lere daher 3 Fremdsprache. Ei Tourist, der diese 3 Fremdsprache beherrscht, trifft auf eie Eiheimische. Mit welcher Wahrscheilichkeit ka er sich mit diesem verstädige? (Mehrfeldertafel) 2. I eiem Bus sitzt eie Reisegruppe vo 20 Persoe. Zwei Persoe habe Schmuggelware bei sich, eier dieser Schmuggler ist Herr Ato. Ei Zollbeamter ruft der Reihe ach 3 Persoe aus dem Bus heraus. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit dafür, dass er a) Herr Ato, b) midestes eie der Schmuggler, c) beide Schmuggler bei dieser Kotrolle etdeckt? Zeiche dazu ei Baumdiagramm mit de Wahrscheilichkeite auf de Pfade. 3. Auf eier Weihachtsfeier eies Vereis wird eie Tombola verastaltet. Im Glückshafe liege 4 Gewilose ud 6 Niete. a) Theodor zieht 2 Lose. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, midestes ei Gewilos zu ziehe? b) Wie viele Lose muss Theodor midestes ziehe, um mit eier Wahrscheilichkeit vo midestes 50% midestes ei Gewilos zu ziehe? 8.25

26 8.5 Uabhägigkeit zweier Ereigisse Ist das Ereigis B eigetrete, da ist die bedigte Wahrscheilichkeit für das Eitrete eies Ereigisses A gleich. Zwei Ereigisse werde als stochastisch uabhägig bezeichet, we das Eitrete der Bedigug B die Wahrscheilichkeit vo A icht beeiflusst. Das ist bedeutet also bzw.. Die Ereigisse A ud B heiße (stochastisch) uabhägig, we gilt P A B P A P B Aderfalls heiße die Ereigisse abhägig. Stochastische Uabhägigkeit i der Vierfeldertafel Sid A ud B stochastisch uabhägig, so steht im Feld A B der Vierfeldertafel für Wahrscheilichkeite statt P A B u P A P B Im Feld für A B steht da. ( ) ) P A B P B P A P B P A P B P A P B Aalog füllt ma die Felder für A B ud A B aus ud erhält folgede Vierfeldertafel: A A B B P B P A P A P B P B P A P B P A Satz: Die Ereigisse A ud B sid geau da stochastisch uabhägig, we die Vierfeldertafel der Wahrscheilichkeite eie Multiplikatiostafel ist. 8.26

27 Satz: Die Uabhägigkeit zweier Ereigisse bleibt erhalte, we ma eies davo durch sei Gegeereigis ersetzt. A ud B uabhägig A ud B uabhägig A ud B uabhägig A ud B uabhägig VORSICHT! Die Begriffe der Uvereibarkeit ud Uabhägigkeit dürfe keiesfalls verwechselt werde! A ud B uvereibar AB A ud B uabhägig P A B P A P B 8.27

28 Übugsaufgabe. Vo de Autos, die i regelloser Folge auf eier Straße gefahre komme, sid 2 PKW ud LKW. 75 % der PKW sid ur mit Perso besetzt, 0 % 3 3 der LKW sid mit 2 oder mehr Persoe besetzt. a) Zeige die Abhägigkeit folgeder Ereigisse: Das ächste Fahrzeug ist ei LKW Im ächste Fahrzeug sitze midestes 2 Persoe. b) Bei welchem adere Ateil der LKW ud sost uveräderte Date wäre die Ereigisse abhägig? 2. Erfahrugsgemäß habe 2 % eies Abiturjahrgags die 7. Klasse, 9 % die 9. Klasse wiederholt. Nimm a, dass das Wiederhole dieser Klasse uabhägig erfolgt. Wie viel Prozet habe a) keie der beide Klasse, b) die 7., aber icht die 9. Klasse wiederholt? 3. Theodor ud Dorothea sid öfters motags krak, ud zwar Theodor mit der Wahrscheilichkeit ud Dorothea mit der Wahrscheilichkeit. Es kommt 3 2 ur mit der Wahrscheilichkeit vo 2 5 vor, dass sie am Motag beide im Uterricht awesed sid. Ma prüfe durch Rechug, ob die motägliche Erkrakug vo Theodor ud Dorothea uabhägige Ereigisse sid. 4. Herr Ato stellt fest, dass bei 20 Fahrte mit der S-Bah eimal seie Fahrkarte kotrolliert wird. Er beschließt daraufhi verwerflicherweise, auf Koste aderer zu fahre ud bei 3 % seier Fahre keie Fahrkarte zu löse. Dies hat zur Folge, dass er i 2 vo 000 Fahre vo eier Kotrolle ohe Fahrkarte überrascht wird. Lege eie Vierfeldertafel der Wahrscheilichkeite a. Sid die Ereigisse Ato besitzt eie gültige Fahrkarte ud A wird kotrolliert stochastisch uabhägig? 8.28