Übungsaufgaben. Häufige Fehler: Banale Rechenfehler. Signifikante Stellen falsch. Unsaubere Arbeitsweise. Einheiten vergessen, Pi ist KEINE Einheit

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1 Übugsaufgabe Häufige Fehler: Baale Rechefehler Sigifikate Stelle falsch Eiheite vergesse, Pi ist KEINE Eiheit Usaubere Arbeitsweise Rudugsfehler Eiheite falsch ugerechet T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Verteilugsfuktioe Vorlesug 04-

2 Erstabgabe Übug icht abgegebe T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Verteilugsfuktioe Vorlesug 04-

3 Verteilugsfuktioe : Reche it Wahrscheilichkeite Bioialverteilug Noralverteilug T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Verteilugsfuktioe Vorlesug 04-3

4 Wahrscheilichkeitsdefiitio Die Wahrscheilichkeit eies Eizelereigisses ist der Quotiet der güstige Fälle zur Zahl der ögliche Fälle. W E Z Z E Azahlder für E güstige Ereigisse Azahlderögliche, gleich wahrscheiliche Eleetarereigisse Die Wahrscheilichkeit des sichere Ereigisses ist. Die Wahrscheilichkeit des uögliche Ereigisses ist 0. 0 W Je äher W a ist, desto wahrscheilicher ist ei Ereigis. I tägliche Lebe wird die Wahrscheilichkeit oft i % agegebe. T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Verteilugsfuktioe Vorlesug 04-4

5 Reche it Wahrscheilichkeite Zu Beispiel ist die Wahrscheilichkeit, eie "6" zu würfel: /6 Wie groß ist die Wahrscheilichkeit für das Ereigis A = {, 4, 6 }? Das Ereigis A lässt sich zerlege i die Eleetarereigisse E, E 4 ud E 6 Es gilt für die Wahrscheilichkeit vo A W(A ) = W(E ) + W(E 4 ) + W(E 6 ) = /6 + /6 + /6 = / Obige Additio vo Wahrscheilichkeite ist ur da korrekt, we die Ereigisse E i eiader ausschließe. Eiader ausschließe heißt, a ka etweder eie eie 4 oder eie 6 würfel. Es gibt auch Ereigisse, die sich icht ausschließe. T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Verteilugsfuktioe Vorlesug 04-5

6 Reche it Wahrscheilichkeite Es seie A ud B Teilege vo A AB B Der Durchschitt (Schitt) vo A ud B: Die Mege der Eleete vo, die gleichzeitig zu A ud zu B gehöre, heißt Durchschitt: A B oder AB A B Die Vereiigug vo A ud B: Die Mege der Eleete vo, die zu A oder zu B gehöre, heißt Vereiigug. Ei Eleet ka auch zu beide gehöre (Oder ist icht zu verwechsel it etweder oder) A B T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Verteilugsfuktioe Vorlesug 04-6

7 Reche it Wahrscheilichkeite Allgeei gilt: Die Wahrscheilichkeit für de Schitt ud die Vereiigug zweier Eizelereigisse ist: We stochastisch uabhägig: AB W (A B) = W (A) * W (B) A B W (A B) = W (A) + W (B) W (A B) A B T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Verteilugsfuktioe Vorlesug 04-7

8 Reche it Wahrscheilichkeite Zusaegefasst für stochastische Uabhägigkeit: W (A B) = W (A) + W (B) W (A B) W (A B) = W (A) * W (B) Da a bei eie Würfel icht gleichzeitig eie "" ud eie "3" würfel ka, ist die Wahrscheilichkeit, eie "" oder eie "3" zu würfel, gleich der Sue der Wahrscheilichkeite der Eizelereigisse, also ergibt sich: Sid A ud B sich gegeseitig ausschließede Ereigisse, ist also W (AB) = W (A B ) = 0, da ist die Wahrscheilichkeit für die Vereiigug vo A ud B: W (A B) = W (A) + W (B) /6 + /6 = /3 T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Verteilugsfuktioe Vorlesug 04-8

9 Reche it Wahrscheilichkeite Beispiel : Kartespiel it 5 Karte. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, eie Dae oder ei Herz zu ziehe? 5 Karte habe vier Dae ud 3 Herz, davo ist eie Karte Herz-Dae. W (A B) = W (A) + W (B) W (A B) W (A B) = W (A) * W (B) 3 5 W (A B) = 3/5 + 4/5 (3/5*4/5) 4 W (A B) = 3/5 + 4/5 -/5 = 6/5 T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Verteilugsfuktioe Vorlesug 04-9

10 Beispiel: Kugel aus Ure Reche it Wahrscheilichkeite Für viele grudsätzliche Überleguge köe Ereigisse it zwei ögliche Ergebisse (Treffer / kei Treffer) betrachtet werde Ureodell: Wichtig bei Qualitätssicherug ud Eigagskotrolle. Eie Ure ethält 5 Kugel, drei davo sid weiß, zwei sid schwarz. Es werde zwei Kugel zufällig herausgegriffe. ide a beide Kugel zugleich herausit (Ziehe ohe Zurücklege) ide a zuächst eie Kugel herausit, zurücklegt ud och al zieht (Ziehe it Zurücklege) Die Kugel seie ueriert Weiß = {,, 3 } ud Schwarz = {4, 5 } T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Verteilugsfuktioe Vorlesug 04-0

11 Reche it Wahrscheilichkeite Ziehe it Zurücklege Auf Reihefolge achte! Wie viele Möglichkeite gibt es isgesat? Ma hat 5 Möglichkeite für die erste Kugel: (,..), (,..), (3,..), (4,..), (5,..) Für jede dieser 5 Möglichkeite gibt es 5 Möglichkeite für die zweite Kugel, also Z() = 5 * 5 = 5 T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Verteilugsfuktioe Vorlesug 04-

12 Reche it Wahrscheilichkeite Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, zwei weiße Kugel zu ziehe? Lösugswege: Stupfsiiges Hischreibe (,), (,), (,3), (,), (,), (,3), (3,), (3,), (3,3) Dies sid eu Möglichkeite also: W ("zweial weiß") = 9/5 = 0.36 Kobiatorik Ma hat für die erste Kugel 3 güstige Möglichkeite. Für jede dieser drei Möglichkeite gibt es bei zweite Zug wiederu 3 güstige Möglichkeite, also Z ("zweial weiß") = 3*3 = 9 T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Verteilugsfuktioe Vorlesug 04-

13 Reche it Wahrscheilichkeite Ziehe ohe Zurücklege Hier ist die Reihefolge ohe Bedeutug. Wie viele Möglichkeite gibt es isgesat? Ma hat isgesat zeh al Möglichkeite : [,], [,3], [,4], [,5], [,3], [,4], [,5], [3,4], [3,5], [4,5], Davo sid 3 al Ereigisse zwei weiße Kugel Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, zwei weiße Kugel zu ziehe? W ("zweial weiß") = 6/0 = 0.30 T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Verteilugsfuktioe Vorlesug 04-3

14 Kobiatorik I diese Beispiele sid die Eleetarereigisse och abzählbar. Suche ach atheatische Hilfsittel zur allgeeie Behadlug Aahe: Wir habe vier Bücher i eier Kiste. Wir greife zufällig ei Buch aus der Kiste ud stelle es auf ei Regal. Wir greife das ächste Buch, stelle es daebe ud so fort Wie viele verschiedee Reihefolge (Perutatioe) gibt es? T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Verteilugsfuktioe Vorlesug 04-4

15 Kobiatorik Bezeichug der Bücher it A, B, C ud D. Ausprobiere ist lagwierig ud ustädlich (A,C,B,D)...(D,A,C,B). Bei erste Griff i die Kiste habe wir vier Möglichkeite. Auf de Regal steht das Buch A, B, C oder D. Bei zweite Griff i die Kiste habe wir drei Möglichkeite. Bei dritte zwei ud bei vierte ur och eie Es gibt soit isgesat 4*3** = 4! = 4 Reihefolge Bezeichug für! : - Fakultät T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Verteilugsfuktioe Vorlesug 04-5

16 Kobiatorik Es gilt :! = (-)! ud 0! = Weiteres Beispiel: 5 Bücher auf 3 Plätze Für de erste Platz habe wir füf Möglichkeite, für de zweite Platz vier ud für de letzte Platz drei. Dies bedeutet, es gibt 5*4*3 = 60 ögliche Perutatioe 543 5! (5 3)! T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Verteilugsfuktioe Vorlesug 04-6

17 Kobiatorik Allgeeie Schreibweise P r! ( r)! Auf de drei Plätze gibt es ehrere Möglichkeite, die drei Bücher (z.b. C, E ud A) azuorde. Wie wir wisse geau: 3! = 6, (CEA, CAE, EAC, ECA, ACE, AEC) We us die Reihefolge egal ist, wir lediglich dara iteressiert sid, wie viele uterschiedliche Kobiatioe verschiedeer Bücher es gibt, üsse wir die Zahl der Perutatioe durch r! dividiere. C r! r! r! r T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Verteilugsfuktioe Vorlesug 04-7

18 Bioischer Satz C r! r! r! r Das Klaersybol (gesproche über r) heißt auch Bioialkoeffiziet. Es sei der Ausdruck (a + b) auszureche. al Es gibt Faktore (a + b) [(a+b) (a+b) (a+b)...(a+b) (a+b)] Wir habe die Aufgabe, aus jede dieser Faktore etweder a oder b auszuwähle ud diese Glieder iteiader zu ultipliziere ud die Ergebisse aufzuaddiere. Wir köe aus jede Faktor das a herausziehe, was a ergibt. Da ka a aus (-) Faktore das a herausziehe ud aus de verbleibede das b auswähle. Dies ergibt a - b. Wir erhalte Glieder der For a -r b r. T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Verteilugsfuktioe Vorlesug 04-8

19 T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Verteilugsfuktioe Vorlesug 04-9 Das Glied a -r b r kot so oft vor, wie es öglich ist, aus de vorhadee Faktore diejeige r Faktore auszuwähle, aus dee a das b zur Multiplikatio herazieht. Da die Reihefolge egal ist, ist dies auf verschiedee Arte öglich r r -r r b a r b a 0 Bis auf a 0 b ud a b 0 koe alle Glieder ehrfach vor. b a b a b a b a b a Bioischer Satz

20 Aweduge Beispiel: Ure it zeh Kugel vier sid weiß, sechs sid schwarz weiß hat die Ziffer bis 4 schwarz die Ziffer 5 bis 0 a) ohe Zurücklege b) it Zurücklege Wir ziehe drei Kugel. Us iteressiere folgede Wahrscheilichkeite: E o : a erhält drei weiße Kugel E : a erhält zwei weiße Kugel ud eie schwarze Kugel E : a erhält eie weiße Kugel ud zwei schwarze Kugel E 3 : a erhält drei schwarze Kugel T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Verteilugsfuktioe Vorlesug 04-0

21 Aweduge a ) Ziehe ohe Zurücklege Reihefolge ist egal (Kobiatioe, icht Perutatioe) Diskussio für W(E o ) (Drei weiße Kugel) Z Z E o soit ist W (E o ) = 4/0 = T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Verteilugsfuktioe Vorlesug 04-

22 Aweduge a ) Ziehe ohe Zurücklege Reihefolge ist egal (Kobiatioe icht Perutatioe) Diskussio für W(E ) (zwei weiße, eie schwarze Kugel) 4 Es gibt Möglichkeite, die erste beide Stelle zu besetze. 6 Für jede dieser Möglichkeite gibt es Möglichkeite de dritte Platz zu besetze 4 6 Die Azahl der eleetare Ereigisse ist soit Z(E) = = 36 soit ist W (E ) = 36/0 = 0.30 T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Verteilugsfuktioe Vorlesug 04-

23 T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Verteilugsfuktioe Vorlesug 04-3 a ) Ziehe ohe Zurücklege Zusaefassug E W E W E W E W o W(E 0 ) + W(E ) + W(E ) + W(E 3 ) = Aweduge

24 Aweduge Beispiel: Ure it zeh Kugel vier sid weiß, sechs sid schwarz weiß hat die Ziffer bis 4 schwarz die Ziffer 5 bis 0 a) ohe Zurücklege b) it Zurücklege Wir ziehe drei Kugel. Us iteressiere folgede Wahrscheilichkeite: E o : a erhält drei weiße Kugel E : a erhält zwei weiße Kugel ud eie schwarze Kugel E : a erhält eie weiße Kugel ud zwei schwarze Kugel E 3 : a erhält drei schwarze Kugel T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Verteilugsfuktioe Vorlesug 04-4

25 Aweduge b ) Ziehe it Zurücklege Reihefolge ist wichtig [Hier werde geordete Tripel gesucht (i,i,i 3 )]! Diskussio für W(E o ) (Drei weiße Kugel) Die Gesatzahl der Ereigisse ist : Z() = 0 3 Wie viele Möglichkeite für weiße Kugel gibt es? Z(E o ) = = 64 soit ist W (E o ) = 64/000 = T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Verteilugsfuktioe Vorlesug 04-5

26 Aweduge b ) Ziehe it Zurücklege Reihefolge ist wichtig [Hier werde geordete Tripel gesucht (i,i,i 3 )] Diskussio für W(E ) (Zwei weiße Kugel, eie schwarze) Die Gesatzahl der Ereigisse ist : Z() = 0 3 Irgedwelche zwei der drei Plätze werde it Zahle zwische ud 4 besetzt (Weiß). Der restliche dritte Platz wird it eier Nuer zwische 5 ud 0 besetzt (Schwarz) 3 Dies ist auf Arte öglich : w, w, s w, s, w s, w, w T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Verteilugsfuktioe Vorlesug 04-6

27 Aweduge b ) Ziehe it Zurücklege Diskussio für W(E ) (Zwei weiße Kugel, eie schwarze) Wir zähle zuächst alle Eleetarereigisse, bei dee die erste beide Plätze it weiße Kugel besetzt werde, der dritte it eier schwarze Kugel (w, w, s) Azahl ist 4 4 6, besser 4 6 Wir köe die zwei Plätze für weiße Kugel aus isgesat drei ögliche Plätze auf verschiedee Arte auswähle 3 Also habe wir für E geau 4 6 Möglichkeite (88) W(E ) = 88/000 = 0.9 T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Verteilugsfuktioe Vorlesug 04-7

28 Aweduge b ) Ziehe it Zurücklege Zusaefassug W E o W E W E W(E 0 ) + W(E ) + W(E ) + W(E 3 ) = W E T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Verteilugsfuktioe Vorlesug 04-8

29 Zusaefassug Eie Ure ethalte N Kugel, uter dee sich geau M schwarze Kugel befide (0 M N). Aus dieser Ure werde Kugel (0 N) zufällig herausgezoge, ud zwar a) ohe Zurücklege ( ist die Azahl der herausgegriffee schwarze Kugel) b) it Zurücklege ( ist die Azahl der herausgegriffee schwarze Kugel) Die Wahrscheilichkeit: a) ohe Zurücklege b) it Zurücklege W M N M N W M N NM Hypergeoetrische Verteilug Bioialverteilug T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Verteilugsfuktioe Vorlesug 04-9

30 T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Verteilugsfuktioe Vorlesug N M p wobei p p N M N M N N N M N M N M N M W, Ziehe aus eier Ure it Zurücklege Ma sieht, dass die Wahrscheilichkeit, uter gezogee Kugel geau schwarze zu fide, ur vo Ateil der schwarze Kugel i der Ure abhägt ud icht vo N oder M selbst abhägt. Die Bioialverteilug

31 Die Bioialverteilug W p p, wobei p M N Ma sieht, dass die Wahrscheilichkeit, uter gezogee Kugel geau schwarze zu fide, ur vo Ateil der schwarze Kugel i der Ure abhägt ud icht vo N oder M selbst abhägt. Dieser Ateil p ka atürlich selbst wieder als die Wahrscheilichkeit aufgefasst werde, bei eialige Ziehe eie schwarze Kugel zu erhalte. T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Verteilugsfuktioe Vorlesug 04-3

32 Die Bioialverteilug W p p Beispiel: Müzwurf Wir werfe zwazig Mal ( = 0) eie Müze ud frage: Wie oft erhalte ich das Ergebis Zahl? Die Wahrscheilichkeit für das Eizelereigis Zahl ist p = / Die Bioialverteilug gibt Auskuft über Frage ach der Wahrscheilichkeit, bei zwazig Würfe vier Mal ( = 4) das Ergebis Zahl zu erhalte. T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Verteilugsfuktioe Vorlesug 04-3

33 Die Bioialverteilug - Eigeschafte W p p Die Bioialverteilug hat zwei Paraeter ( ud p). Sie ist für p=/ syetrisch. Für kleie ud große p ist sie stark asyetrisch. Die Bioialverteilug ist oriert, d.h. die Sue der W() ist. Wie groß ist der Mittelwert (Erwartugswert)? T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Verteilugsfuktioe Vorlesug 04-33

34 T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Verteilugsfuktioe Vorlesug p p!!! W M 0 0 Der Suad it = 0 ist Null, daher ka a die Suatiosgreze = 0 durch = ersetze.!! Es gilt : Dait erhält a: p p!!! M Mittelwert der Bioialverteilug

35 Mittelwert der Bioialverteilug M p!!! p Ausklaer vo p! M p p p!! Substitutio vo a = - ud b = - ergibt: b b! a M p p p a! b a! a0 b a Dait ist der Mittelwert eier Bioialverteilug M = p T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Verteilugsfuktioe Vorlesug 04-35

36 T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Verteilugsfuktioe Vorlesug Die Variaz ist der Erwartugswert vo (-M) 0 M p p!!! Nu wird geutzt, dass folgedes gilt: M x p x x p M x x x p p!!! M 0 lässt sich schreibe als ( ( - ) + ) Variaz der Bioialverteilug

37 Variaz der Bioialverteilug 0!!! p p M lässt sich schreibe als ( ( - ) + ) p p p p M 0!! 0!! M!! Für =0 ud = sid die Suade Null; Die Suatio begit also it = T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Verteilugsfuktioe Vorlesug 04-37

38 Variaz der Bioialverteilug! p p M M!!! p p p M M!! b! p p p M M a! b a! b a ba a0 T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Verteilugsfuktioe Vorlesug 04-38

39 Variaz der Bioialverteilug p M M Da M = p, p p p p Die Variaz der Bioialverteilug ist soit p p M p T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Verteilugsfuktioe Vorlesug 04-39

40 Die Bioialverteilug W p p = 0 p = / Verteilug ist diskret Verteilug ist syetrisch T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Verteilugsfuktioe Vorlesug 04-40

41 Die Bioialverteilug = 0 p = 0.85 = 0 p = 0.5 = 0 p = 0.0 Je größer die Abweichug vo p = 0.5, desto usyetrischer wird die Verteilug T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Verteilugsfuktioe Vorlesug 04-4

42 Übergag zur Grezverteilug T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Verteilugsfuktioe Vorlesug 04-4

43 Zetraler Grezwertsatz vo Moivre-Laplace Die Zufallsvariable S besitze eie Bioialverteilug it Paraeter ud p, wobei 0<p< vorausgesetzt ist. Da gilt für jede Wahl reeller Zahle a,b it a<b: b S p li P a b G( x) dx p( p) a Dabei ist die Fuktio G(x) defiiert als: x M G x e x,. Beweis siehe z.b: N. Heze, Stochastik für Eisteiger, Vieweg Verlag. T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Verteilugsfuktioe Vorlesug 04-43

44 Dabei ist die Fuktio G(x) defiiert als: Die Noralverteilug x M G x e x,. Diese Fuktio beschreibt die Noral- oder Gauß - Verteilug ud ist die a häufigste vorkoede Verteilug. Sie wird durch zwei Paraeter beschriebe: ud M (oder T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Verteilugsfuktioe Vorlesug 04-44

45 Eigeschafte der Noralverteilug Eigeschafte der Fuktio: syetrisch u M Der größte Wert wird a der Stelle x = M eigeoe Die Fuktio geht schell gege Null, sobald (x M) groß wird Eigeschafte, die eie Verteilug vo Messwerte darstellt. Der Vorfaktor diet der Norierug. G x x M e T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Verteilugsfuktioe Vorlesug 04-45

46 Noralverteilug wesetliche Itegrale Der Eifachheit halber folge alle weitere Überleguge für M = 0 Wichtige Itegrale (ohe Beweis) 0 x e x e e e x x x x dx dx dx dx 3 T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Verteilugsfuktioe Vorlesug 04-46

47 Bedeutug der Stadardabweichug Wir frage, welcher Ateil der Messuge liegt zwische M a ud M + b? P ierhalb M a ud M b M b M a e xm σ dx Zuächst a = b = T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Verteilugsfuktioe Vorlesug 04-47

48 Bedeutug der Stadardabweichug Wir frage, welcher Ateil der Messuge liegt zwische M ud M +? P ierhalb M M e xm dx Vereifachug durch Substitutio ( x M) / = z dait wird dx = dz ud die Itegratiosgreze P ierhalb e dz z T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Verteilugsfuktioe Vorlesug 04-48

49 Bedeutug der Stadardabweichug P ierhalb e dz Dieses Itegral ist ei Stadarditegral der atheatische Physik ud wird oft als Fehlerfuktio bezeichet, Bezeichug erf(t) [errorfuctio]. z P t ierhalb tσ e dz t z T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Verteilugsfuktioe Vorlesug 04-49

50 Die Fehlerfuktio P t ierhalb t e dz t Dieses Itegral ka icht aalytisch ausgewertet werde. Es liegt i tabellarischer Fuktio vor. z t P (%) T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Verteilugsfuktioe Vorlesug 04-50

51 Die Fehlerfuktio allgeeie For Häufig auftretede Fragestelluge: Wie viel % der Messwerte liege oberhalb (uterhalb) eies bestite Messwertes? Wie groß ist das Itegral bis zu eie bestite Wert? t z t e zwische ud σ dz T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Verteilugsfuktioe Vorlesug 04-5