Die zu den Zufallswerten x gehörigen Wahrscheinlichkeiten fasst man in einer Tabelle zusammen:

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1 0 Statistik 0. Wahrscheilichkeitsfuktio ud optische Darstellug Bei der Auswertug vo Zufallsexperimete ist oft gar icht das eizele Ergebis vo Iteresse, soder vielmehr eie Zahlegröße (Zufallsgröße X), die das Ergebis des Experimets der Fragestellug etspreched charakterisiert. Bsp. : Werfe zweier Würfel ;, ;, ;,... Defiitiosmege Ergebisraum: X : Augesumme Zufallsgröße Fuktio Zufallswert: ; ; 4;...;; Wertemege Schreibweise: PX x gibt die Wahrscheilichkeit a, mit der die Zufallsgröße X de Zufallswert x aimmt. Die zu de Zufallswerte x gehörige Wahrscheilichkeite fasst ma i eier Tabelle zusamme: x P X x Durch diese Wertetabelle lässt sich auf gaz IR eie Fuktio W defiiere, ämlich: W : x PX x mit ID W IR, dere Wertemege dem Itervall 0; agehört. Diese Fuktio heißt Wahrscheilichkeitsfuktio W der Zufallsgröße X. 7 W x x W. Stark; Berufliche Oberschule Freisig

2 Die so defiierte Wahrscheilichkeitsfuktio W hat meist de Wert 0, weil für alle W x 0 ist. x, die icht als Werte der Zufallsgröße X auftrete, Ma et W auch die Wahrscheilichkeitsverteilug der Zufallsgröße X. Da der Graph der Wahrscheilichkeitsfuktio optisch recht dürftig ist, wählt ma i der Praxis adere Arte der Veraschaulichug: Stabdiagramm: 7 W x x Säulediagramm (Histogramm): 7 W x x W. Stark; Berufliche Oberschule Freisig

3 Verkaufszahle vo Mercedes Bez im Jahr 004: Absolute Häufigkeit Relative Häufigkeit Klasse Azahl der Sektorwikel Proz. Ateil verkaufte Autos im Kreisdiagramm A ,4 4 C ,4 5 E ,7 99 S ,07 M ,0 5 G.00 0,00 Gesamt Kreisdiagramm S % M 7% G % A % E % C 4% Adere Beispiele durch Zahlematerial der Schüler. Wir betrachte u das Zufallsexperimet: -maliges Werfe eies Würfels. Die Zufallsgröße X gibt die Azahl der geworfee a. Die zu de Zufallswerte x gehörige Wahrscheilichkeite fasse wir u i eier Tabelle zusamme: Zufallswerte x W(x) P X x 0,490 0,40 0,0094 0,055 0,0004 0,0004 0,0000 F(x) P X x 0,490 0,77 0,977 0,990 0,9994 0,9999 W. Stark; Berufliche Oberschule Freisig

4 Wahrscheilichkeit 0,45 0,4 0,5 0, 0,5 0, 0,5 0, 0,05 0 Histogramm Trefferazahl 0. Kumulative Verteilugsfuktio Bisher habe wir us damit beschäftigt, wie groß die Wahrscheilichkeit ist, dass ei bestimmter Zufallswert x eitritt. Ebeso ka ma daach frage, wie groß die Wahrscheilichkeit ist, dass die Zufallsgröße X eie Wert kleier oder gleich eiem bestimmte Zufallswert x aimmt. Auf user Beispiel bezoge: Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass die Azahl der geworfee -er höchstes ist. Also: P X P X 0 P X P X 0,977 Führt ma das für jede mögliche Azahl der geworfee -er durch, so ka ma die Wertetabelle etwas erweiter (siehe obe!). Defiitio: Die Fuktio F, die jeder reelle Zahl ach der Vorschrift F : x F(x) P X x geau eie reelle Zahl F(x) als Wahrscheilichkeit zuordet, heißt kumulative Verteilugsfuktio der Zufallsgröße X. Die vollstädige Wertetabelle für die Verteilugsfuktio lautet da: Zufallswerte x ;0 0; ; ; ;4 4;5 5; ; F(x) P X x 0 0,490 0,77 0,977 0,990 0,9994 0,9999 W. Stark; Berufliche Oberschule Freisig 4

5 Ud der Graph der kumulative Verteilugsfuktio sieht da so aus. F x x W. Stark; Berufliche Oberschule Freisig 5

6 0. Erwartugswert Wie viele Treffer erwartet ma eigetlich, we ma obiges Zufallsexperimet durchführt? Defiitio: Sei X eie Zufallsgröße, die ihre Zufallswerte x, x, x,..., x mit de Wahrscheilichkeite W(x ), W(x ), W(x ),..., W(x ) aimmt, da heißt: E X x W x x W x x W x... x W x der Erwartugswert der Zufallsgröße X. Zufallswerte x W(x) P X x 0,490 0,40 0,0094 0,055 0,0004 0,0004 0,0000 E(X) 0 0,490 0,40 0,0094 0, , ,0004 0,0000 0,9999 vo Rudugsfehler abgesehe Der Erwartugswert E(X) sagt u aus, dass ma e Treffer erwartet. Bsp. : Eie Müze wird dreimal geworfe. Zufallsgröße sei jeweils die Azahl vo W. Erstelle Sie die Wertetabelle, zeiche Sie de Graphe der Wahrscheilichkeitsfuktio ud bereche Sie de Erwartugswert der Zufallsgröße. Wertetabelle: x 0 W x Graph der Wahrscheilichkeitsfuktio W x 0 Bsp : I eier Lostrommel befide sich 4 rote ud weiße Kugel, vo dee 5 Stück mit Zurücklege gezoge werde. Zufallsgröße sei die Azahl der gezogee weiße Kugel. Erstelle Sie die Wertetabelle, zeiche Sie de Graphe der Wahrscheilichkeitsfuktio ud bereche Sie de Erwartugswert der Zufallsgröße. x W x 0,004 0,070 0,040 0,450 0,590 0,0777 W. Stark; Berufliche Oberschule Freisig

7 0.4 Variaz ud Stadardabweichug Seie X ud Y Zufallsgröße mit folgede Wahrscheilichkeitsverteiluge. x - 0 y W(x) W(y) (X) E(X) (X) (Y) E(Y) (Y) Für die beide Erwartugswerte gilt: E(X) 0 E(Y) Obwohl beide Wahrscheilichkeitsverteiluge deselbe Erwartugswert habe uterscheide sich die beide Wahrscheilichkeitsverteiluge wesetlich. Die Werte der Zufallsgröße Y schwake stärker als die vo X. Ma sagt: Y besitzt eie größere Streuug um de Erwartugswert als X. E(X) hat de Charakter eies mittlere Wertes um de die Werte der Zufallsgröße streue. Durch diese Raffug geht aber Iformatio über die Badbreite der Zufallsgröße X verlore. Ei Iformatio über die Streuug der Werte um de Erwartugswert liefert die Stadardabweichug Ei Iformatio über die Streuug der Werte um de Erwartugswert liefert die Variaz bzw. die Stadardabweichug. Defiitio: (Variaz) Sei X eie Zufallsgröße, die ihre Zufallswerte x, x, x,..., x mit de Wahrscheilichkeite W(x ), W(x ), W(x ),..., W(x ) aimmt ud sei E(X) der Erwartugswert der Zufallsgröße, da heißt Var X x W x x W x... x W x die Variaz vo X. Sie wird auch mittlere quadratische Abweichug geat ud mit (X) bezeichet. W. Stark; Berufliche Oberschule Freisig 7

8 Da die Maßeiheit für die Variaz das Quadrat der Eiheit ist, i der die Zufallsgröße X gemesse wird, empfiehlt sich daher folgede Defiitio: (Stadardabweichug) Als Stadardabweichug (auch Streuug) der Zufallsgröße X bezeichet ma die Zahl (X) Var(X) Sie wird auch mittlere Abweichug geat. Die meiste Werte der Zufallsgröße X liege ierhalb der Stadardabweichug um de Erwartugswert, d.h. im Itervall x Var(X)... (X),4 Var(Y)... 4 (Y) 4,7 i die Wahrscheilichkeitsverteilug eitrage W. Stark; Berufliche Oberschule Freisig

9 Um die Variaz eies Zufallsexperimets zu ermittel gibt es aber auch eie etwas eifachere Berechugsmöglichkeit. Die sogeate Verschiebugsformel Die Variaz lässt sich oft eifacher mit der Verschiebugsformel bereche. Es gilt: Var(X) E(X ) mit E(X) Beweis: Ma geht vo der Defiitio der Variaz aus ud formt etwas um. Var X x W x x W x... x W x k k Var X x W x k k k k Var X x x W x k k k k k k Var X x W x x W x W x k k k k k k k k Var X x W x x W x W x k k k E X EX Var X E X Var X Bsp.: Gegebe ist folgede Wahrscheilichkeitsverteilug x W(x) 0, 0, 0, 0, 0,4 E(X) 0, 0 0, 0, 4 0, 5 0,4, E(X ) ( ) 0, 0 0, 0, 4 0, 5 0,4 4,4 Var(X) E(X ) 4,4, 7,4 Var(X) 7,4,7 W. Stark; Berufliche Oberschule Freisig 9

10 0.5 Biomialverteilte Zufallsgröße Für biomialverteilte Zufallsgröße ist die Berechug des Erwartugswertes ud der Variaz etwas eifacher. Für de Erwartugswert gilt: E(X) p Beweis: Ma geht vo der Defiitio des Erwartugswertes aus ud formt etwas um. k k k W k p E X x W x E X k0 k0 E X k P X k k0 k k EX k p q k0 k! E X k p q da für k 0 gilt : k P X k 0 k k! k!! k k! k!! k k k E X p q k k E X p q k! k! k k p k k p EX p q Nu erweiter wir mit k k p k k EX p p q k k E X p p q p q... p q Setze : m m m 0 m m i mi EX p p q i0 i 0 m m E X p p q p q... E X p m p m q 0 W. Stark; Berufliche Oberschule Freisig 0

11 Für die Variaz gilt: Var X p q p q Der Beweis ist sehr schwierig ud recheitesiv. Er wird deshalb hier icht durchgeführt. Bsp.: Eie Ure ethält 0 weiße ud 0 schwarze Kugel, vo dee Stück mit Zurücklege gezoge werde. Zufallsgröße X sei die Azahl der gezogee schwarze Kugel. x W(x) Auf die herkömmliche Art: E(X)... 4 E(X ) 7 4 Var(X),5 Mittels obiger Beziehuge: 4,5 4 Mit welcher Wahrscheilichkeit ka ma u damit reche, dass die beim Experimet erhaltee Trefferzahl ierhalb der eifache (zweifache) Stadardabweichug vom Erwartugswert liegt? P x P x P 4,5 x 4,5 P,5 x 5,5 P x P x 4 P x 5 0,,% Das bedeutet, dass,% aller auftretede Werte eie Abweichug vom Erwartugswert habe, dere Betrag icht größer als die Stadardabweichug ist. (Größere Abweichuge sid also weiger wahrscheilich) P x P x P 4,5 x 4,5 P,7 x, P x P x P x 4 P x 5 P x 0,9 9,% Das bedeutet, dass 9,% aller auftretede Werte eie Abweichug vom Erwartugswert habe, dere Betrag icht größer als die doppelte Stadardabweichug ist. W. Stark; Berufliche Oberschule Freisig

12 0. Recheregel Sei X eie Zufallsgröße, da gilt für a, b IR : EaX b a EX b Var ax b a Var X Beweis: i i i i i i i i E ax b a x b W x k0 E ax b a x W x b W x k0 E ax b a x W x b W x k0 k0 E ax b a xi W xi b W xi k0 k0 E X E ax b a E X b i i i i i i i i Var ax b ax b a b W x k0 Var ax b ax b a b W x k0 Var ax b a x W x k0 Var ax b a x W x k0 Var ax b a Var X Var X Aus letzter Gleichug folgt da: ax b Var ax b a Var X a Var X a X W. Stark; Berufliche Oberschule Freisig

13 Aufgabe:. Eie Ure ethält weiße ud 4 schwarze Kugel, vo dee Stück gezoge werde a) mit Zurücklege. b) ohe Zurücklege. Zufallsgröße sei jeweils die Azahl der schwarze Kugel. Bereche für beide Fälle die Wahrscheilichkeitsfuktio ud die kumulative Verteilugsfuktio der Zufallsgröße. Gib die Wertetabelle ud de Fuktiosgraph a.. Es wird der Traiigsfleiß eier Eisläuferi utersucht. Zufallsgröße sei die Zahl der tägliche Traiigsstude. Die Wahrscheilichkeitsfuktio der Zufallsgröße ist durch folgede Wertetabelle gegebe: x 0 0,5,5 Sost W(x) 0,5 0,5 0, 0, 0 a) Wie groß ist die Wahrscheilichkeit für eie Traiigszeit vo Stude täglich? b) Bereche die Verteilugsfuktio der Zufallsgröße. Gib die Wertetabelle ud de Fuktiosgraph a. c) Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, das höchstes, geau, mehr als Stude traiiert wird? d) Welche tägliche Traiigszeit erwartet ma?. Bei eier Tombola ethält die Ure 000 Lose. Es gewie Los mit 500,-, 4 Lose mit je 00,- ud 5 Lose mit je 0,-. Wie groß ist der durchschittliche Verlust beim Kauf eies Loses um,-? Zufallsgröße X sei der Reigewi. 4. Bei eiem Würfelspiel wird mit Würfel geworfe. Die Augesumme oder gewie das 0-fache der Augezahl i, die Augesumme oder gewie das 5-fache, die Augesumme 4 oder 0 gewie das -fache. Aderfalls erfolgt keie Gewizahlug. Wie groß ist der Erwartugswert des Gewis? Welcher Eisatz wäre aehmbar? 5. Ei Lieferug geräucherter Forelle ethält 0 Stück, vo dee bereits 4 Stück ugeießbar sid. Zur Prüfug etimmt ma acheiader (ohe Zurücklege) Stück. Die Zufallsgröße sei jeweils die Azahl der verdorbee Fische. Bestimme ud zeiche die Wahrscheilichkeitsfuktio, die kumulative Verteilugsfuktio ud bereche de Erwartugswert.. Chuck-a-luck Auf eiem Rummelplatz wird i eie Glücksbude folgedes Spiel agebote: Der Spieler leistet $ Eisatz, darf eie der Zahle,,..., ee ud da Würfel werfe. Zeigt midestes eier der Würfel seie Zahl, so erhält er vom Budebesitzer de Eisatz zurück ud außerdem für jede weitere Würfel, der diese Zahl zeigt, och zusätzlich $. Erscheit seie Zahl icht, so verfällt der Eisatz. Die Zufallsgröße X sei der Gewi bei diesem Glücksspiel. Bereche Sie de Erwartugswert dieses Zufallsexperimets. Was sagt dieser aus? W. Stark; Berufliche Oberschule Freisig

14 005 SI 4. Ei Achterbahzug besitzt 40 Sitzplätze. Am Wocheede ist ei Sitzplatz mit der Wahrscheilichkeit 0,9 besetzt. Die Zufallsgröße X gibt die Azahl der freie Plätze bei eier zufällig ausgewählte fahrt a. Utersuche Sie, ob der Wert x der Zufallsgröße X ierhalb der doppelte Stadardabweichug um de Erwartugswert liegt. ( BE) 5.0 Bei etsprechede, vom Zufall abhägige Voraussetzuge wird die Öffugszeit des Parks verlägert. Die Zufallsgröße Y gibt die Verlägerug der Öffugszeite i Stude a. Die Wahrscheilichkeitsverteilug lässt sich mit Hilfe eies Parameters a IR so darstelle: y 0,5 P(Y y) 0,4,5a a 0,5a 5. Bereche Sie de Parameter a ud stelle Sie die Wahrscheilichkeitsverteilug der Zufallsgröße Y geeiget graphisch dar. ( BE) 5. Setze Sie a 0,. Ermittel Sie die Wahrscheilichkeit dafür, dass die Verlägerug der E Y. Öffugszeit größer ist als der Erwartugswert ( BE) 00 SI.0 Bei der Utersuchug vo Kieferadel wird die Läge L vo 00 zufällig ausgewählte Nadel bestimmt ud i sechs Lägegruppe eigeteilt. Die Zufallsgröße X gibt die Nummer der jeweilige Lägegruppe a. Dabei ergibt sich folgede Verteilug mit a; b IN : L i mm L L L 4 4 L 5 5 L 5 L 5 Lägegruppe 4 5 Azahl a a 90 b Die Wahrscheilichkeit, dass eie zufällig ausgewählte Nadel i eier der Lägegruppe 4 bis liegt, beträgt 0,.. Bereche Sie die Werte der Parameter a ud b. ( BE)..0 Setze Sie für die folgede Teilaufgabe a 0 ud für b 0... Erstelle Sie die Wahrscheilichkeitsverteilug der Zufallsgröße X ud zeiche Sie ei zugehöriges Histogramm. (4 BE).. Bestimme Sie, mit welcher Wahrscheilichkeit die Zufallswerte ierhalb der eifache Stadardabweichug um de Erwartugswert liege. ( BE) 00 SI.0 Die Druckmaschie wird korrigiert. Die Zufallsgröße X gibt die Azahl der Fehlerarte a, die bei eier zufällig ausgewählte Briefmarke des eue Drucks auftrete. Die Wahrscheilichkeitsverteilug der Zufallsgröße X ka mit Hilfe eies geeigete Parameters a IR so dargestellt werde: x 0 P X x 0, 4a 0,05a 0,05 0,05 W. Stark; Berufliche Oberschule Freisig 4

15 . Bereche Sie de Parameter a. (4 BE) Für die Teilaufgabe. gilt: a.. Bereche Sie die Wahrscheilichkeit dafür, dass der Wert der Zufallsgröße ierhalb der zweifache Stadardabweichug um de Erwartugswert liegt. 000 SII.0 Der Bode eies Badezimmers wird gefliest. Erfahrugsgemäß köe auf eier geflieste Fläche vo der Größe dieses Saitärraums ierhalb des erste Jahres ach Verlegug der betreffede Fliesesorte isgesamt höchstes füf Risse auftrete. Die Zufallsgröße X gibt die Azahl der Risse i de Fliese des Badezimmers a, die i diesem Zeitraum etstehe. Mit geeigete Werte vo a ud b (a, b [0;]) lässt sich die Wahrscheilichkeitsverteilug der Zufallsgröße X wie folgt darstelle: x P X x a 0,5 b 0, b 0,05. Bereche Sie a ud b uter der Voraussetzug, dass die Wahrscheilichkeit dafür, dass höchstes zwei Risse auftrete, 0, beträgt. (4 BE) (Ergebis: a = 0,4; b = 0,05). Bereche Sie die Wahrscheilichkeit dafür, dass die Azahl der Risse ierhalb der eifache Stadardabweichug um de Erwartugswert liegt. 999 SII 4.0 Bei eiem Kidergartefest ist die Hauptattraktio ei i acht gleich große Sektore uterteiltes Glücksrad. Füf der Sektore sid rot, zwei grü ud eier blau gefärbt. Zur Rotatio gebracht, kommt das Rad ach kurzer Zeit zum Stillstad ud eie der Farbe erscheit i eiem Fester. Bei eiem Spiel wird das Glücksrad zweimal acheiader zur Rotatio gebracht. Erscheit beide Male der blaue Sektor, so erhält der etsprechede Spieler 0 Gummibärche als Gewi, bei zwei grüe Sektore Bärche, bei zwei rote Bärche; i alle adere Fälle wird Bärche als Trostpreis vergebe. Die Zufallsgröße Y gibt die Azahl der i eiem Spiel gewoee Gummibärche a. 4. Bestimme Sie die Wahrscheilichkeitsverteilug der Zufallsgröße Y ud zeiche Sie ei zugehöriges Histogramm. 4. Bereche Sie de Erwartugswert ud die Stadardabweichug der Zufallsgröße Y. 00 SII.0 Die Hochschule hat eie Eigagstest i Mathematik abgehalte, a dem geau 500 Studieafäger aller Fachrichtuge teilgeomme habe. Die Noteverteilug ergibt sich aus der folgede Tabelle, i der a, b ud c etsprechede Kostate darstelle: Note 4 5 Azahl der Prüflige a b 7 b c Die Zufallsgröße Y gibt die Note eies beliebig herausgegriffee Prüfligs a. Für E Y beträgt,0 ud die Variaz diese Zufallsgröße gilt: Der Erwartugswert Var Y ist gleich,7. W. Stark; Berufliche Oberschule Freisig 5

16 . Zeige Sie zuächst, dass sich aus de obige Agabe folgedes lieare Gleichugssystem (LGS) herleite lässt: I. a b c II. a 7b c 5 (5 BE) III. a 9b c 95. Bereche Sie u aus dem LGS vo. die Kostate a, b ud c. (4 BE) [Lösug: a 99 ; b 5 ; c ]. Gebe Sie die Wahrscheilichkeitsverteilug der Zufallsgröße Y a ud zeiche Sie ei zugehöriges Histogramm. (4 BE).4 Bereche Sie, mit welcher Wahrscheilichkeit die Zufallswerte ierhalb der E Y liege. Schraffiere Sie eifache Stadardabweichug um de Erwartugswert aschließed im Histogramm vo Teilaufgabe. die zugehörige Fläche. (4 BE) 007 SI.0 Der Mathematiklehrer eier größere Klasse hat durch Beobachtuge über eie lägere Zeitraum bemerkt, dass ab ud zu eiige Schüler ihre Hausaufgabe zum fällige Termi icht gemacht habe. Die Zufallsgröße X gibt die Azahl der Schüler dieser Klasse a, die zu eiem beliebige Termi die Mathematik-Hausaufgabe icht erledigt habe. Dabei ergibt sich mit de Parameter a, b, c R folgede Verteilug (adere Zufallswerte trete icht auf): x P X x a b 0, B+c c 0, 0,05. Bereche Sie die Parameter a, b ud c, we im Durchschitt Schüler ihre P X 0, 5 ist. Stelle Sie die Hausaufgabe icht gemacht habe ud Wahrscheilichkeitsverteilug der Zufallsgröße X geeiget graphisch dar. [Teilergebis: a = 0,05; b = 0,] (BE). Bestimme Sie die Wahrscheilichkeit dafür, dass die Zufallswerte ierhalb der eifache Stadardabweichug um de Erwartugswert liege. (4 BE) 00 SI.0 Die Zufallsgröße X gibt die Azahl der Tasse Tee a, die ei Gast bei eiem Frühstück trikt. Es ergibt sich folgede Verteilug: x oder mehr Gästezahl Erstelle Sie für die Zufallsgröße X die Wahrscheilichkeitsverteilug ud stelle Sie diese geeiget graphisch dar. Bereche Sie, mit wie viel Tasse Tee der Herbergsvater im Durchschitt pro Gast reche ka. (4 BE). Bereche Sie wie viele Tasse Tee Max pro Gast midestes bereitstelle muss, we die Wahrscheilichkeit dafür, dass der Tee ausreicht, mehr als 90% betrage soll. ( BE) 009 SI.0 I eier Zulassugsstelle werde Fahrzeuge i füf Leistugsklasse erfasst. Die Zufallsgröße X gibt die Leistugsklasse eies zufällig ausgewählte Fahrzeugs a. Mit de Parameter a, b IR ergibt sich folgede Wahrscheilichkeitsverteilug: x 4 5 P X x a b 0, 0, 0,4 W. Stark; Berufliche Oberschule Freisig

17 . Bereche Sie a ud b für de Fall, dass für de Erwartugswert E(X) gilt: E(X) =,4. (4 BE) [Teilergebis: a 0, ]. Zeiche Sie ei Histogramm der Wahrscheilichkeitsverteilug. ( BE). Bereche Sie die Wahrscheilichkeit, mit der die Zufallswerte ierhalb der eifache Stadardabweichug um de Erwartugswert liege. Schraffiere Sie die zu dieser Wahrscheilichkeit gehörede Fläche im Histogramm vo Teilaufgabe.. ( BE) W. Stark; Berufliche Oberschule Freisig 7