Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik

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1 Wahrscheilichkeitstheorie ud Statistik Fraz Hofbauer Diese Vorlesug brigt eie elemetare Eiführug i die Wahrscheilichkeitstheorie ohe Verwedug der Maßtheorie. Sie besteht aus drei Teile. Im erste Teil wird Wahrscheilichkeit ud bedigte Wahrscheilichkeit defiiert ud grudlegede Formel zum Reche mit Wahrscheilichkeite hergeleitet. Im zweite Teil geht es um Zufallsvariable ud dere Verteiluge. Uabhägigkeit vo Zufallsvariable, Erwartugswert, Variaz ud Korrelatioskoeffiziet werde behadelt sowie Formel zum Reche mit Wahrscheilichkeitsdichte. Dabei wird mit dem Riemaitegral gearbeitet. Es werde jedoch icht immer alle für das Reche mit dem Riemaitegral otwedige Voraussetzuge formuliert (diese wäre machmal umstädlich), sodass maches Itegral eigetlich als Lebesgueitegral iterpretiert werde müsste. Der dritte Teil brigt eiige Resultate über mometerzeugede ud charakteristische Fuktioe (Laplace- ud Fouriertrasformatio) ud dere Aweduge i der Wahrscheilichkeitstheorie. Isbesodere werde die Kovergez i Verteilug ud der zetrale Grezwertsatz behadelt. Der vierte Teil gibt eie Eiführug i die Statistik. Es werde Parameterschätzer, Kofidezitervalle, statistische Tests, Variazaalyse ud lieare Regressio behadelt.

2 I. Reche mit Wahrscheilichkeite. Ereigisse ud dere Wahrscheilichkeit Ei Zufallsexperimet hat verschiedee mögliche Ausfälle. Beispiele für Zufallsexperimete sid das Werfe eies Würfels oder die Lottoziehug. Die mögliche Ausfälle beim Würfel sid die Augezahle bis 6. Ei Ereigis ka ma durch Worte beschreibe oder als Mege darstelle. Wählt ma die Megedarstellug, da fasst ma die Mege aller mögliche Ausfälle des Zufallsexperimets zu eier Mege Ω zusamme. Die Teilmege vo Ω sid da die Ereigisse. Ist A Ω, da tritt das Ereigis A geau da ei, we das Zufallsexperimet eie Ausfall liefert, der i A liegt. Beim Zufallsexperimet Würfel ist Ω = {,, 3, 4, 5, 6}. Das Ereigis gerade Zahl würfel ist die Teilmege {, 4, 6}. Etspreched ka ma auch die Megeoperatioe iterpretiere. Sid A Ω ud B Ω Ereigisse, da ist A B das Ereigis, dass sowohl A als auch B eitritt. Der Ausfall des Zufallsexperimets liegt ja geau da i A B, we er sowohl i A als auch i B liegt. Aalog ka ma adere Megeoperatioe iterpretiere. Wir tu das i folgeder Tabelle. Es wird auch die logische Schreibweise agegebe, die ma verwedet, we ma Ereigisse icht als Mege darstellt. logische Schreibweise Megeschreibweise ist das Ereigis, dass A B A B A ud B eitrete A B A B A oder B oder beide eitrete A A c = Ω \ A A icht eitritt A B A \ B A eitritt, aber B icht Die Ereigisse A, A,..., A heiße uvereibar, we keie zwei dieser Ereigisse gleichzeitig eitrete köe. Verwedet ma Megedarstellug, da bedeutet das, dass keie zwei dieser Ereigisse ei gemeisames Elemet habe, somit die Mege A, A,..., A paarweise disjukt sid. Die Wahrscheilichkeit eies Ereigisses A ist ei Maß für die Häufigkeit, mit der das Ereigis eitritt. Wir defiiere die Wahrscheilichkeit als Grezwert der relative Häufigkeite. Wir wiederhole das Zufallsexperimet k Mal ud zähle, wie oft das Ereigis A eitritt. Die Azahl der Wiederholuge des Zufallsexperimets, bei dee A eitritt, bezeiche wir mit N k (A). Der Quotiet N k(a) k ist da die relative Häufigkeit des Ereigisses A bei k Wiederholuge. Als Wahrscheilichkeit des Ereigisses A defiiere wir N k (A) P(A) = lim k k wobei wir die Existez des Grezwertes eifach aehme. Wege N k (A) k folgt N k(a) k ud daraus P(A). Die leere Mege ist das Ereigis, das ie eitritt. Daher gilt N k ( ) =, woraus P( ) = folgt. Die Mege Ω ist das Ereigis, das immer eitritt. Daher gilt N k (Ω) = k, woraus P(Ω) = folgt.

3 Reche mit Wahrscheilichkeite Satz (Additiossatz) Die Ereigisse A, A,..., A seie uvereibar (disjukt), das heißt keie zwei dieser Ereigisse köe gleichzeitig eitrete. Da gilt P(A A A ) = P(A ) + P(A ) + + P(A ) wobei wir die Megeschreibweise verwedet habe. Geauso köte ma statt auch schreibe. Beweis: Wir wiederhole das Zufallsexperimet k Mal. Die Azahl der Wiederholuge, bei dee A eitritt, ist N k (A ). Die Azahl der Wiederholuge, bei dee A eitritt, ist N k (A ) ud so weiter. Daher ist N k (A ) + N k (A ) + + N k (A ) die Azahl der Wiederholuge, bei dee eies der Ereigisse A, A,..., A eitritt. Das ka ma als midestes eies oder geau eies verstehe. Beides ist richtig, da wir voraussetze, dass bei keier Wiederholug mehr als eies der Ereigisse A, A,..., A eitrete ka. Adererseits ist A A A gerade das Ereigis, dass midestes eies der Ereigisse A, A,..., A eitritt. Daraus folgt N k (A A A ) = N k (A ) + N k (A ) + + N k (A ) Dividiert ma durch k ud lässt k gege gehe, so folgt das gewüschte Resultat. Satz : Seie A ud B Ereigisse. Da gilt (a) P(A \ B) = P(A) P(A B) (b) B A P(A \ B) = P(A) P(B) (c) B A P(B) P(A) (d) P(A c ) = P(A) (e) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (f) P(A B) P(A) + P(B) Beweis: (a) Die Ereigisse A \ B ud A B sid disjukt. Ihre Vereiigug ist A. Aus dem Additiossatz folgt daher P(A) = P(A \ B) + P(A B) ud (a) ist gezeigt. (b) Ist B A, da gilt A B = B. Aus (a) folgt P(A \ B) = P(A) P(B). Das ist (b). (c) Wege (b) gilt P(A) P(B) = P(A \ B). Wege P(A \ B) ist (c) gezeigt. (d) Die Mege A ud A c sid disjukt ud ihre Vereiigug ist Ω. Der Additiossatz ergibt P(A) + P(A c ) = P(Ω). Wege P(Ω) = folgt P(A c ) = P(A) ud (d) ist gezeigt. (e) Die Ereigisse B ud A \ B sid disjukt. Ihre Vereiigug ist A B. Der Additiossatz ergibt P(A B) = P(B) + P(A \ B). I (a) wurde P(A \ B) = P(A) P(A B) gezeigt. Setzt ma das ei, so hat ma bereits (e). (f) Wege P(A B) folgt (f) aus (e).. Gleichwahrscheiliche Ausfälle Bei viele Zufallsexperimete habe alle Ausfälle die gleiche Wahrscheilichkeit. Beispiele dafür sid das Werfe eies faire Würfels ud die Lottoziehug. Für eie edliche Mege X sei X die Azahl der Elemete vo X. Der folgede Satz führt das Bereche der Wahrscheilichkeit auf das Abzähle der Elemete vo Mege zurück. Satz 3: Die Mege Ω aller Ausfälle eies Zufallsexperimets sei edlich. Sid alle Ausfälle gleich wahrscheilich, da gilt P(A) = A / Ω für alle A Ω. Beweis: Sei q die Wahrscheilichkeit, mit der jeder der Ausfälle eitritt, oder geauer, mit der jedes Ereigis, das ur aus eiem Ausfall besteht, eitritt. Sei A Ω ei beliebiges Ereigis ud k = A die Azahl der Elemete vo A. Seie A, A,..., A k die eielemetige

4 Reche mit Wahrscheilichkeite 3 Teilmege vo A. Da diese disjukt sid ud ihre Vereiigug A ist, folgt aus dem Additiossatz, dass P(A) = P(A ) + P(A ) + + P(A k ) gilt. Da die Ereigisse A j eielemetig sid, gilt P(A j ) = q für j k. Es folgt P(A) = qk = q A. Für A = Ω heißt das P(Ω) = q Ω. Wege P(Ω) = folgt q = Ω. Damit ist P(A) = q A = A / Ω gezeigt. Mit Hilfe dieses Satzes ud Formel aus der Kombiatorik ka ma Beispiele reche. Beispiel : Es wird mit Würfel gewürfelt. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, Augesumme 5 zu erhalte? Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass midestes eie 6 auftritt? Wirft ma zwei Würfel gleichzeitig, so immt ma uterscheidbare Würfel (eie rote ud eie grüe). Die Ausfälle des Zufallsexperimets sid da Paare vo Augezahle, wobei die Augezahl des rote Würfels a die erste Stelle ud die Augezahl des grüe Würfels a die zweite Stelle geschriebe wird. Dadurch erhält ma gleichwahrscheiliche Ausfälle. Wir köe Satz 3 awede. Die Ausfallsmege Ω ist da {(i, j) : i, j 6}. Sie hat 6 = 36 Elemete. Das Ereigis Augesumme 5 ist die Mege aller Paare vo Augezahle, dere Summe 5 ist. Wir erhalte A = {(, 4), (, 3), (3, ), (4, )}. Das ergibt P(A) = A Ω = Die Mege A = {(, 6), (, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 6), (6, ), (6, ), (6, 3), (6, 4), (6, 5)} stellt das Ereigis midestes eie 6 dar. Das ergibt P(A) = A Ω = 36. Beispiel : Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass beim Lotto 6 aus 45 vo de sechs Zahle, die ich getippt habe, geau füf gezoge werde? Jetzt ist die Ausfallsmege Ω die Mege aller ugeordete Stichprobe vom Umfag 6, also die Mege aller 6-elemetige Teilmege aus der Mege der erste 45 atürliche Zahle. Somit ist Ω = ( ) Das Ereigis geau 5 meier getippte Zahle werde gezoge ist die Mege A aller 6-elemetige Teilmege, die füf der 6 getippte ud eie der 39 icht getippte Zahle ethalte. Es gibt ( 6 5) füfelemetige Teilmege aus de getippte Zahle ud ( ) 39 eielemetige Teilmege aus de icht getippte Zahle. Daraus folgt A = ( 6 39 ) 5)(. Wir erhalte P(A) = A Ω = 5)( (6 39 ) ( 45 6 ). Beispiel 3: I eier Schachtel sid 7 rote, 5 grüe ud 8 blaue Kugel. Es werde zufällig 9 Kugel ohe Zurücklege (eie 9-elemetige Teilmege) gezoge. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, rote, 3 grüe ud 4 blaue Kugel zu ziehe? Die Ausfallsmege Ω ist die Mege aller 9-elemetige Teilmege eier -elemetige Mege. Somit ist Ω = ( ) 9. Das gefragte Ereigis ist die Mege A aller 9-elemetige Teilmege, die rote, 3 grüe ud 4 blaue Kugel ethalte. Da es ( 7 ) -elemetige Teilmege aus de 7 rote Kugel, ( 5 3) 3-elemetige Teilmege aus de 5 grüe Kugel ud ( ( 8 4) 4-elemetige Teilmege aus de 8 blaue Kugel gibt, erhalte wir A = )( 3)( 4). Daraus ergibt sich da P(A) = A Ω = )( (7 5 3)( 8 4). ( 9 ) 3. Bedigte Wahrscheilichkeit Wir führe ei Zufallsexperimet durch ud iteressiere us dafür, ob das Eitrete eies Ereigisses B ei aderes Ereigis A begüstigt. Dazu wiederhole wir das Zufallsexperimet k Mal. Wir berücksichtige jedoch ur die Wiederholuge, bei dee das Ereigis B

5 4 Reche mit Wahrscheilichkeite eitritt. Uter diese zähle wir die Häufigkeit des Ereigisses A. Diese ist die Azahl der Wiederholuge, wo A ud B eitrete, also N k (A B). Die bedigte relative Häufigkeit des Eitretes vo A uter B ist da N k (A B)/N k (B), da ja ur die Wiederholuge des Zufallsexperimets berücksichtigt werde, bei dee B eitritt. Lässt ma k gege gehe, so erhält ma wieder eie Wahrscheilichkeit, diesmal die bedigte Wahrscheilichkeit des Ereigisses A uter der Bedigug B (oder gegebe B), die mit P(A B) bezeichet wird. Wir defiiere N k (A B) P(A B) = lim k N k (B) Mit Hilfe der Defiitio der Wahrscheilichkeit erhalte wir da k P(A B) = lim N k(a B) P(A B) k k N = k(b) P(B) Die bedigte Wahrscheilichkeit P(A B) = P(A B) P(B) ist eie Maßzahl für die Häufigkeit des Eitretes des Ereigisses A uter der Bedigug, dass auch das Ereigis B eitritt. Dabei wird immer vorausgesetzt, dass P(B) > gilt. I de Awedugsbeispiele werde Wahrscheilichkeite oft mit Hilfe vo bedigte Wahrscheilichkeite berechet. Satz 4 (Multiplikatiossatz) Für Ereigisse A, A,..., A gilt P(A A A ) = P(A )P(A A )P(A 3 A A )... P(A A A A ) Es wird dabei vorausgesetzt, dass die Ereigisse, die als Bediguge auftrete, Wahrscheilichkeit > habe. Beweis: Aus der Defiitio folgt P(A A ) = P(A A ) P(A ), P(A 3 A A ) = P(A A A 3 ) P(A A ) ud so fort bis P(A A A A ) = P(A A A A ) P(A A A ). Setzt ma das i die rechte Seite der Formel ei, so kürzt sich alles weg, es bleibt ur die like Seite übrig. Typische Awedugsbeispiele für de Multiplikatiossatz sid geordete Stichprobe. Dazu gehört auch wiederholtes Würfel ud Müzewerfe. Beispiel 4: Aus der Buchstabemege ANANAS werde der Reihe ach drei Buchstabe ohe Zurücklege gezoge. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, ANA zu ziehe? Sei A = erster Zug ist A, A = zweiter Zug ist N ud A 3 = dritter Zug ist A. Gesucht ist P(A A A 3 ). Aus Satz 4 folgt P(A A A 3 ) = P(A )P(A A )P(A 3 A A ). P(A ) = Wahrscheilichkeit, aus ANANAS ei A zu ziehe = 3 6 P(A A ) = Wahrscheilichkeit, dass der zweite Zug N ist, we der erste A war = Wahrscheilichkeit, aus NANAS ei N zu ziehe = 5 P(A 3 A A ) = Wahrscheilichkeit, dass dritter Zug A ist, we vorher AN gezoge wurde = Wahrscheilichkeit, aus ANAS ei A zu ziehe = 4 Wir erhalte somit P(A A A 3 ) = =. Beispiel 5: Aus eier Mege vo drei schwarze, zwei blaue ud eier rote Kugel wird solage ohe Zurücklege gezoge, bis eie schwarze Kugel kommt. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, die rote Kugel zu ziehe? Das gesuchte Ereigis lässt sich i drei Ereigisse zerlege, die de Zugfolge R, BR ud BBR etspreche. Nach Satz 4 habe diese Zugfolge die Wahrscheilichkeite 6, 6 5 = 3 ud = 6. Die Summe dieser Wahrscheilichkeite ist ach de Additiossatz die Wahrscheilichkeit des gefragte Ereigisses. Sie ist somit = 4.

6 Reche mit Wahrscheilichkeite 5 Beispiel 6: Wie groß ist beim Lotto die Wahrscheilichkeit, dass 5 der 6 vo mir getippte Zahle gezoge werde, ud die sechste getippte Zahl als Zusatzzahl gezoge wird? Sei A das Ereigis 5 der 6 getippte Zahle werde gezoge ud B das Ereigis die sechste getippte Zahl wird als Zusatzzahl gezoge. Gesucht ist P(A B) = P(A)P(B A). I Beispiel wurde P(A) = ( )( 6 39 ) ( 5 / 45 ) 6 berechet. Weiters ist P(B A) die Wahrscheilichkeit, die sechste getippte Zahl zu ziehe, we bei de vorhergehede sechs Züge bereits füf getippte Zahle gezoge wurde, das heißt aus 39 Zahle die sechste getippte Zahl zu ziehe. Diese Wahrscheilichkeit ist 39. Somit habe wir P(A B) = P(A) 39 = ( ( 6 5) / 45 ) 6. Weitere wichtige Formel zum Reche vo Beispiele sid die Formel für die totale Wahrscheilichkeit ud die Formel vo Bayes. Defiitio: Ma sagt, die Ereigisse B, B,..., B bilde eie Zerlegug der Ausfallsmege Ω we sie paarweise disjukt sid ud we j= B j = Ω gilt. Bemerkug: Die beide folgede Aussage sid äquivalet () Die Ereigisse B, B,..., B bilde eie Zerlegug vo Ω. () Geau eies der Ereigisse B, B,..., B tritt ei. Satz 5: Seie B, B,..., B Ereigisse, die Wahrscheilichkeit > habe ud eie Zerlegug vo Ω bilde. Für ei Ereigis A Ω gilt da (a) P(A) = P(A B )P(B ) + P(A B )P(B ) + + P(A B )P(B ) (b) P(B j A) = P(A B j)p(b j ) P(A) für j, we P(A) > Ma et (a) die Formel für die totale Wahrscheilichkeit ud (b) die Formel vo Bayes. Beweis: Für (a) verwede wir zuerst die Defiitio der bedigte Wahrscheilichkeit ud erhalte j= P(A B j)p(b j ) = j= P(A B j). Da die Ereigisse B j paarweise disjukt sid, sid es auch die Ereigisse A B j ud es folgt j= P(A B j) = P( j= (A B j)) aus dem Additiossatz. Wege j= B j = Ω erhalte wir j= (A B j) = A j= B j = A ud (a) ist bewiese. Es gilt P(B j A) = P(B j A) P(A) ud P(A B j ) = P(A B j )P(B j ) ach der Defiitio der bedigte Wahrscheilichkeit. Setzt ma die zweite Formel i die erste ei, da hat ma (b). Beispiel 7: Eie Versicherug teilt die Autofahrer i zwei Type ei, i Risikofahrer ud i Sicherheitsfahrer. Die Wahrscheilichkeit, dass ei Sicherheitsfahrer i eiem Jahr (Versicherugsperiode) eie Ufall hat, ist.6. Die Wahrscheilichkeit, dass ei Risikofahrer i eiem Jahr eie Ufall hat, ist.6. Die Versicherug weiß aus Erfahrug, dass 5 6 der Autofahrer Sicherheitsfahrer ud 6 der Autofahrer Risikofahrer sid. Ei Autofahrer schließt eie Versicherug ab (ma sieht ihm atürlich icht a, vo welchem Typ er ist). Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass er ächstes Jahr eie Ufall habe wird? Sei B das Ereigis, dass der Autofahrer ei Sicherheitsfahrer ist, ud B das Ereigis, dass der Autofahrer ei Risikofahrer ist. Es tritt geau eies dieser beide Ereigisse ei, sodass B ud B eie Zerlegug vo Ω bilde. Es gilt P(B ) = 5 6 ud P(B ) = 6. Gefragt ist ach der Wahrscheilichkeit des Ereigisses A, dass der Autofahrer im ächste Jahr eie Ufall hat. We der Autofahrer ei Sicherheitsfahrer ist, da ist diese Wahrscheilichkeit.6, das heißt P(A B ) =.6. We der Autofahrer ei Risikofahrer ist, da ist diese Wahrscheilichkeit.6, das heißt P(A B ) =.6. Die Formel für die totale Wahrscheilichkeit ergibt P(A) = P(A B )P(B ) + P(A B )P(B ) = =.5. Die Wahrscheilichkeit für eie Ufall im ächste Jahr beträgt also.5.

7 6 Reche mit Wahrscheilichkeite Beispiel 8: Seit sich der Autofahrer aus dem letzte Beispiel versicher ließ, ist ei Jahr vergage. Es hat sich herausgestellt, dass er eie Ufall hatte. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass der Autofahrer ei Risikofahrer ist? Wir wisse, dass der Autofahrer eie Ufall hatte. Gefragt ist daher die bedigte Wahrscheilichkeit dafür, dass er ei Risikofahrer ist. Verwedet ma die Bezeichug aus dem letzte Beispiel, da ist das die bedigte Wahrscheilichkeit P(B A). Die Formel vo Bayes besagt P(B A) = P(A B )P(B ) P(A). Aus dem letzte Beispiel wisse wir P(A B )P(B ) =.6 6 =. ud P(A) =.5. Wir erhalte P(B A) =..5 = 3. Nach diesem Ufall ist der Autofahrer mit Wahrscheilichkeit 3 ei Risikofahrer. Zwei Ereigisse A ud B sid uabhägig, we das eie das adere icht beeiflusst. Uter de Wiederholuge des Zufallsexperimets, bei dee B eitritt, wird A geauso häufig auftrete, wie uter alle Wiederholuge isgesamt. Das führt zu Defiitio: Zwei Ereigisse A ud B heiße uabhägig, we P(A B) = P(A) gilt, das heißt P(A B) = P(A)P(B). Defiitio: Sei. Da werde die Ereigisse A, A,..., A uabhägig geat, we P(A i A i A ik ) = P(A i )P(A i )... P(A ik ) für alle Teilmege {i, i,..., i k } vo {,,..., } mit k gilt. Satz 6: Die Ereigisse A, A,..., A seie uabhägig. Da sid auch die Ereigisse A c, A,..., A uabhägig. Die Ereigisse A, A,..., A bleibe uabhägig, we ma eiige dieser Ereigisse oder auch alle durch ihre Komplemete ersetzt. Beweis: Sei {i, i,..., i k } eie Teilmege vo {,,..., }, die icht ethält. Nach Voraussetzug gilt da P(A i A i A ik ) = P(A i )P(A i )... P(A ik ). Ebeso gilt P(A A i A i A ik ) = P(A )P(A i )P(A i )... P(A ik ). Aus Satz erhalte wir P(A c A i A i A ik ) = P(A i A i A ik ) P(A A i A i A ik ) ud P(A c ) = P(A ), sodass P(A c A i A i A ik ) = P(A c )P(A i )P(A i )... P(A ik ) mit Hilfe obiger Gleichuge folgt. Damit habe wir alle für die Uabhägigkeit der Ereigisse A c, A,..., A otwedige Gleichuge erhalte. Die zweite Aussage des Satzes folgt durch wiederholtes Awede der erste. 4. Axiome für die Wahrscheilichkeit Mit der Wahrscheilichkeit, die wir eigeführt habe, hat ma zwei Probleme. Der Additiossatz für edlich viele Ereigisse, wie er im erste Kapitel vorgekomme ist, ist icht allgemei geug, um darauf eie Wahrscheilichkeitstheorie aufzubaue. Dazu kommt och, dass ma bei überabzählbarem Ω eie Wahrscheilichkeit, die die für eie mathematische Theorie otwedige Eigeschafte hat, icht mehr auf der gaze Potezmege, das heißt für alle Teilmege vo Ω, defiiere ka. Um solche Schwierigkeite zu etkomme, habe die Mathematiker de axiomatische Zugag erfude. Ma listet die Eigeschafte auf, die ma braucht diese heiße Axiome ud et da alles, was diese Eigeschafte erfüllt, eie Wahrscheilichkeit. Für die Wahrscheilichkeitstheorie habe sich folgede Axiome eigebürgert. Defiitio: Eie Teilmege A der Potezmege vo Ω heißt -Algebra, we gilt (a) A (b) A A A c A (c) A j A für j j= A j A

8 Reche mit Wahrscheilichkeite 7 Auf der Ausfallsmege Ω legt ma eie -Algebra A fest. Die Mege i A et ma Ereigisse. Für edliches oder abzählbares Ω ist A immer die gaze Potezmege. Defiitio: Sei A eie -Algebra. Eie Abbildug P : A [, ] heißt Wahrscheilichkeit, we folgede Eigeschafte erfüllt sid (a) P( ) = ud P(Ω) = (b) sid A, A, A mit A i A j = für i j, da gilt P( = A ) = = P(A ) Ma wählt de Additiossatz i der Allgemeiheit, i der ma ih braucht, ämlich für abzählbar viele Ereigisse, eifach als Axiom. Gilt er für abzählbar viele Ereigisse A, A,..., da folgt er auch für edlich viele, idem ma A j = setzt für j >. Alle bisher bewiesee Sätze gelte auch für die axiomatische Wahrscheilichkeit, da sie ur auf dem Additiossatz ud der Gleichug P(Ω) = aufbaue, wobei die bedigte Wahrscheilichkeit durch die Formel P(A B) = P(A B) P(B) defiiert wird. Als Beispiel, das diese Axiome erfüllt, sei der diskrete Wahrscheilichkeitsraum ageführt. Vo eiem solche spricht ma, we Ω edlich oder abzählbar ud A die gaze Potezmege vo Ω ist. Eie Wahrscheilichkeit ka ma da durch die Agabe vo ichtegative Zahle p k für alle k Ω festlege, wobei k Ω p k = ist (p k ist die Wahrscheilichkeit, mit der der Ausfall k auftritt). Für A Ω defiiere wir P(A) = k A p k. Klarerweise gilt da P(A) für alle A Ω ud P(Ω) =. Wir iterpretiere die leere Summe als ud habe da auch P( ) =. Sid A, A, Ω paarweise disjukt ud A = j= A j, da gilt P(A) = k A p k = j= k A j p k = j= P(A j), wobei ma die Summe umorde darf, da alle p k sid. Damit habe wir alle Axiome achgeprüft. Beispiele für Wahrscheilichkeite mit überabzählbarer Ausfallsmege Ω werde mit Methode aus der Maßtheorie kostruiert ud köe daher hier icht gegebe werde. Für später beweise wir och Folgeruge aus de Axiome. Satz 7 (Stetigkeitssatz) Seie A, A, A 3,... Ereigisse. (a) We A A + für ud A = = A gilt, da ist lim P(A ) = P(A). (b) We A A + für ud A = = A gilt, da ist lim P(A ) = P(A). Beweis: Um (a) zu zeige, sei C = A ud C = A \ A für. Für i < j gilt C i A i A j ud C j A j =, also auch C i C j =. Die Mege C, C,... sid paarweise disjukt. Weiters gilt A = k= C k, sodass P(A) = k= P(C k) aus de Axiome folgt. Ebeso gilt A = k= C k ud daher auch P(A ) = k= P(C k). Somit habe wir P(A) = lim k= P(C k) = lim P(A ) ud (a) ist gezeigt. Um (b) zu zeige, sei B = A c für ud B = A c. Wege A A + für ud A = = A folgt B B + für ud B = = B. Aus (a) erhalte wir da lim P(B ) = P(B). Wege Satz (d) gilt P(B ) = P(A ) für ud P(B) = P(A), woraus da lim P(A ) = P(A) folgt. Damit ist auch (b) gezeigt. Satz 8: Für beliebige Ereigisse A, A, A 3,... gilt P( = A ) = P(A ). Beweis: Für sei B = A \ j= A j. Die Mege B, B,... sid paarweise disjukt. Aus de Axiome folgt P( = B ) = = P(B ). Wege B A folgt P(B ) P(A ) aus Satz (c). Da auch = B = = A gilt, habe wir P( = A ) = P(A ). I de folgede Kapitel arbeite wir mit eier Wahrscheilichkeit, für die wir aehme, dass alle bisher bewiesee Formel gelte. Wir werde us jedoch die Freiheit ehme, Ereigisse auf eie weiger schwerfällige Art als die Megeschreibweise darzustelle.

9 II. Zufallsvariable. Zufallsvariable ud Verteilugsfuktio Sid die Ausfälle eies Zufallsexperimets Zahle (zum Beispiel Azahle oder Messwerte), da verwedet ma Zufallsvariable zur Darstellug vo Ereigisse. Ma bezeichet de Ausfall des Zufallsexperimets mit eier Variable (für die ma üblicherweise Großbuchstabe verwedet), ud stellt Ereigisse durch Gleichuge, Ugleichuge ud dergleiche dar. Will ma zum Beispiel die Qualität vo Glühbire prüfe, so zieht ma eie Zufallsstichprobe. Sei X die Azahl der defekte Glühbire i der Stichprobe. Das Ereigis höchstes k defekte Glühbire i der Stichprobe lässt sich da als Ugleichug X k schreibe. Mit Zufallsvariable ka ma auch reche. Es gilt 3X+5 X. Daher habe die durch diese beide Ugleichuge dargestellte Ereigisse dieselbe Wahrscheilichkeit P(3X + 5 ) = P(X ) Das Ereigis X 3 ist das Komplemetärereigis zu X > 3. Daher gilt wege Satz (d) P(X 3) = P(X > 3) Es gilt X 3 X X (, 3]. Aus dem Additiossatz folgt P(X 3) = P(X ) + P(X (, 3]) da die beide Ereigisse X ud X (, 3] uvereibar sid. Ma ka die durch Zufallsvariable dargestellte Ereigisse auch wieder i die Megedarstellug übersetze. Dazu immt ma a, dass im Hitergrud ei Zufallsexperimet mit Ausfallsmege Ω abläuft. Eie Zufallsvariable X wird da als Abbildug vo Ω ach R defiiert. Die obe beschriebee Ereigisse ka ma da als Teilmege vo Ω auffasse. Zum Beispiel wird das Ereigis X t zur Mege {ω Ω : X(ω) t}. Wir werde vo dieser Megedarstellug jedoch keie Gebrauch mache. Um Methode aus der Aalysis awede zu köe, führe wir die Verteilugsfuktio eier Zufallsvariable ei. Defiitio: Die Abbildug F : R [, ] defiiert durch F (t) = P(X t) heißt Verteilugsfuktio der Zufallsvariable X. Satz 9: Sei F die Verteilugsfuktio eier Zufallsvariable X. Da gilt (a) s < t P(s < X t) = F (t) F (s) ud F (s) F (t) (F ist mooto wachsed) (b) lim t s F (t) = F (s) für alle s R (F ist rechtsseitig stetig) (c) lim t F (t) = ud lim t F (t) = Beweis: Sei s < t. Das Ereigis X t tritt geau da ei, we X s oder s < X t eitritt, wobei die Ereigisse X s ud s < X t uvereibar sid. Aus dem Additiossatz folgt P(X t) = P(X s) + P(s < X t). Wege F (t) = P(X t) ud F (s) = P(X s) ist damit P(s < X t) = F (t) F (s) gezeigt. Da eie Wahrscheilichkeit immer ist, habe wir auch F (s) F (t) ud (a) ist bewiese. Sei (t ) eie mooto fallede Folge mit lim t = s. Die Ereigisse X t bilde da eie mooto abehmede Folge, die gege das Ereigis X s geht (dere Durchschitt das Ereigis X s ist). Aus dem Stetigkeitssatz folgt lim P(X t ) = P(X s), das heißt lim F (t ) = F (s). Damit ist auch lim t s F (t) = F (s) gezeigt. Das ist (b). Sei (t ) eie Folge i R, die mooto wachsed gege geht. Die Ereigisse X t bilde da eie mooto aufsteigede Folge, die gege das Ereigis X < geht (dere

10 Zufallsvariable 9 Vereiigug das Ereigis X < ist). Nu folgt lim P(X t ) = P(X < ) aus dem Stetigkeitssatz. Da das Ereigis X < immer eitritt, heißt das lim F (t ) =. Damit ist auch lim t F (t) = gezeigt. De Beweis vo lim t F (t) = erhalte wir, idem wir s = im Beweis vo (b) setze ud beachte, dass das Ereigis X ie eitritt, also Wahrscheilichkeit hat. Damit ist auch (c) bewiese. Bemerkug: Sei F : R [, ] eie Fuktio, die die drei Eigeschafte aus Satz 9 erfüllt. Ma ka zeige, dass da eie Zufallsvariable X existiert, die F als Verteilugsfuktio hat. I der Maßtheorie zeigt ma, dass es für Ω = R eie -Algebra B gibt, die alle Itervalle ethält, ud eie Wahrscheilichkeit P : B [, ], sodass P((, t]) = F (t) für alle t R gilt. Defiiert ma X : R R als Idetität, da gilt P({ω : X(ω) t}) = P({ω : ω t}) = P((, t]) = F (t) für t R, sodass X eie Zufallsvariable mit Verteilugsfuktio F ist. I de Aweduge hat ma es praktisch immer mit diskrete oder kotiuierliche (stetige) Zufallsvariable zu tu, die wir jetzt defiiere. Defiitio: Eie Zufallsvariable X heißt diskret, we sie Werte i eier edliche oder abzählbere Mege R aimmt. Für k R defiiere wir w(k) = P(X = k). Wir ee R de Wertebereich ud w(k) mit k R die Eizelwahrscheilichkeite der Zufallsvariable X. Ket ma die Eizelwahrscheilichkeite eier Zufallsvariable oder hat sie mit Hilfe der Methode aus de letzte Kapitel bestimmt, so ka ma damit Wahrscheilichkeite vo Ereigisse bereche. Satz : Sei X eie diskrete Zufallsvariable mit Wertebereich R ud Eizelwahrscheilichkeite w(k) für k R. (a) Da gilt w(k) für k R ud k R w(k) =. (b) Für B R gilt P(X B) = k B w(k). Beweis: Wir zeige zuerst (b). Sei B = {k, k, k 3,... }. Das ist eie edliche oder abzählbare Mege. Es gilt X B X = k X = k X = k 3... Da die rechtsstehede Ereigisse uvereibar sid, folgt aus dem Additiossatz P(X B) = P(X = k ) + P(X = k ) + P(X = k 3 ) + = w(k ) + w(k ) + = k B w(k) Damit ist (b) gezeigt. Die erste Aussage vo (a) ist klar, da w(k) = P(X = k) eie Wahrscheilichkeit ud somit ist. Setzt ma B = R i (b), so folgt P(X R) = k R w(k). Da R alle mögliche Werte vo X ethält, gilt P(X R) =. Damit ist auch (a) gezeigt. Bemerkug: Sid w(k) mit k R die Eizelwahrscheilichkeite eier diskrete Zufallsvariable X ud F dere Verteilugsfuktio, da gilt F (t) = P(X t) = P(X R t ) = k R t w(k), wobei R t = {k R : k t} gesetzt wurde. Daraus erket ma, dass F i de Pukte k R Sprugstelle mit Sprughöhe w(k) hat ud zwische diese Pukte kostat ist. Defiitio: Eie Zufallsvariable X heißt kotiuierlich, we eie itegrierbare Fuktio f : R [, ) existiert, sodass P(X t) = t f(x)dx für alle t R gilt. Ma et f Wahrscheilichkeitsdichte der Zufallsvariable X. Ket ma eie Wahrscheilichkeitsdichte eier Zufallsvariable, so ka ma damit Wahrscheilichkeite vo Ereigisse bereche.

11 Zufallsvariable Satz : Sei X eie kotiuierliche Zufallsvariable ud f : R [, ) eie Wahrscheilichkeitsdichte vo X. Da gilt (a) f(x)dx = (b) für ei Itervall B R gilt P(X B) = B f(x)dx Der Beweis folgt später, wo er gleich für de mehrdimesioale Fall gegebe wird. Bemerkug: Oft existiert ei Itervall W (das auch ubeschräkt sei ka), sodass f > im Ier vo W ud f = außerhalb des Abschlusses vo W gilt. Wir ee da W de Wertebereich vo X. Es gilt ja P(X W ) = W f(x)dx = f(x)dx =, sodass X mit Wahrscheilichkeit, das heißt immer, i W liegt. Will ma eie Wahrscheilichkeitsdichte f eier Zufallsvariable X bereche, so berechet ma zuerst die Verteilugsfuktio F (t) = P(X t) für t R. Ma erhält da eie Wahrscheilichkeitsdichte f als Ableitug vo F. Beispiel 9: Uabhägig voeiader werde zwei Pukte a ud b zufällig im Itervall [, ] gewählt. Sei X das Miimum vo a ud b. Gesucht ist eie Dichte f vo X. Wir bereche zuerst F (t) = P(X t). Die Ausfallsmege useres Zufallsexperimets ist Ω = [, ] [, ]. Das Ereigis X t etspricht der Teilmege A = {(a, b) : mi(a, b) t} vo Ω. Für t < ist A =. Für t ist A = Ω. Für t < ist A = Ω \ (t, ] (t, ]. Für t < gilt F (t) = P( ) =. Für t gilt F (t) = P(Ω) =. Für t [, ) verwede wir die Formel P(A) = A / Ω für gleichwahrscheiliche Ausfälle, wobei wir als Fläche iterpretiere, ud erhalte F (t) = ( t) = t t. Wir habe also F (t) = für t <, F (t) = t t für t < ud F (t) = für t gefude. Wege f(x) = F (x) ergibt sich f(x) = für x / [, ) ud f(x) = x für x [, ). Der Wertebereich der Zufallsvariable X ist also das Itervall [, ]. Bemerkug: Wie ma im letzte Beispiel de Fuktioswert vo f im Pukt wählt, spielt keie Rolle. Das hat keie Eifluß auf die mit Hilfe vo f berechete Wahrscheilichkeite, da diese ja Itegrale über f sid. Wahrscheilichkeitsdichte sid icht eideutig bestimmt. Ädert ma eie Wahrscheilichkeitsdichte zum Beispiel i eiem Pukt, da ist sie immer och eie Wahrscheilichkeitsdichte.. Biomialverteilug ud geometrische Verteilug I diesem ud de ächste Kapitel werde die wichtigste Verteiluge behadelt. Wir begie mit der Biomialverteilug. Defiitio: Seie ud < p <. Eie diskrete Zufallsvariable X mit Wertebereich R = {,,,..., } ud Eizelwahrscheilichkeite ( ) k w(k) = p k ( p) k für k R heißt biomialverteilt oder kurz B(, p)-verteilt. Satz : Eie Müze, bei der W (=Wappe) mit Wahrscheilichkeit p ud Z (=Zahl) mit Wahrscheilichkeit p fällt, wird Mal geworfe. Sei X die Azahl mit der W uter diese Würfe auftritt. Da hat X die B(, p)-verteilug. Beweis: Die mögliche Werte für die Azahl, mit der W uter diese Würfe auftritt, sid,,,...,. Der Wertebereich vo X ist also R = {,,,..., }.

12 Zufallsvariable Wir bereche w(k) = P(X = k) für k R. Wir schreibe alle Folge der Läge auf, die k Mal W ud k Mal Z ethalte. Diese Folge stelle die Teilereigisse dar, i die das Ereigis X = k zerfällt. Nach dem Multiplikatiossatz ist die Wahrscheilichkeit jedes dieser Teilereigisse ei Produkt aus Faktore, das k Mal p ud k Mal p ethält, das heißt p k ( p) k. Nach dem Additiossatz ist die Wahrscheilichkeit des Ereigisses X = k die Summe der Wahrscheilichkeite der Teilereigisse, also ( ) k p k ( p) k, da ( k) die Azahl der die Teilereigisse darstellede Folge ist. Damit ist w(k) = P(X = k) = ( ) k p k ( p) k für k R gezeigt. Die Zufallsvariable X ist B(, p)-verteilt. Beispiel : Bei eiem Glücksspiel ist. die Gewiwahrscheilichkeit. Wie oft muss ma spiele, damit ma mit Wahrscheilichkeit.95 midestes Gewie erzielt? Sei die zu bestimmede Azahl der Spiele. Sei X die Azahl der Gewie bei diese Spiele. Nach Satz hat X die B(,.)-Verteilug. Es soll so bestimmt werde, dass ( P(X ).95 gilt. Das ist äquivalet zu P(X ) <.5. Es gilt P(X ) = )..8 + ( )..8. Gesucht ist mit <.5. Die like Seite dieser Ugleichug ist gleich.57 für =, gleich.48 für =, gleich.4 für = 3 ud gleich.33 für = 4, wie ma durch Probiere herausfidet. Somit geüge Spiele, um mit Wahrscheilichkeit.95 midestes Spiele zu gewie. Wir führe och eie weitere Verteilug ei, die mit Müzewerfe zu tu hat. werfe wir die Müze solage, bis zum erste Mal Z fällt. Jetzt Defiitio: Sei < p <. Eie Zufallsvariable X mit Wertebereich R = {,, 3,... } ud Eizelwahrscheilichkeite heißt geometrisch verteilt. w(k) = p k ( p) für k R Satz 3: Eie Müze, bei der W mit Wahrscheilichkeit p ud Z mit Wahrscheilichkeit p auftritt, wird solage geworfe, bis Z fällt. Sei X die Azahl der dafür otwedige Würfe. Da ist X geometrisch verteilt mit Parameter p. Beweis: Die Azahl der otwedige Würfe ka,, 3,... sei. Der Wertebereich vo X ist daher R = {,, 3,... }. Das Ereigis X = k tritt geau da ei, we die erste k Würfe W ud der k-te Wurf Z ergibt. Nach dem Multiplikatiossatz hat dieses Ereigis die Wahrscheilichkeit p k ( p). Somit gilt w(k) = P(X = k) = p k ( p) für k R ud X ist geometrisch verteilt mit Parameter p. Beispiel : Ma würfelt so lage, bis 6 kommt. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass ma höchstes Mal würfel muss? Sei X die Azahl der Würfe bis zum erste Mal 6 auftritt. Gesucht ist P(X ). Nach Satz 3 hat X die geometrische Verteilug mit p = 5 6. Für die gesuchte Wahrscheilichkeit erhalte wir P(X ) = k= ( 5 6 )k 6 = ( 5 6 ). 3. Poissoverteilug I diesem Kapitel geht es um Ereigisse, die zu zufällige Zeitpukte eitrete. Defiitio: Sei λ >. Eie Zufallsvariable X mit Wertebereich R = {,,,... } ud Eizelwahrscheilichkeite w(k) = λk k! e λ für k R heißt Poissoverteilt oder kurz P (λ)-verteilt.

13 Zufallsvariable Bei der Telefoauskuft treffe zu zufällige Zeitpukte Telefoarufe ei. Wir lege eie Zeitpukt als Nullpukt fest ud bezeiche die Azahl der Arufe im Zeititervall [, t] mit X. Da X eie Azahl ist, ist R = {,,,... } der Wertebereich vo X. Um die Eizelwahrscheilichkeite vo X zu bereche, müsse wir eiige Aahme mache. Sei s > t ud die Azahl der Arufe im Zeititervall [, s]. Wir ehme a, dass jeder Aruf uabhägig vo de adere rei zufällig i eiem Zeitpukt im Itervall [, s] akommt. Die Wahrscheilichkeit, dass ei Aruf im Zeititervall [, t] eitrifft, ist da t s ud die Wahrscheilichkeit, dass er im Zeititervall (t, s] eitrifft, ist s t s = t s (etspricht eiem Müzewurf, bei dem W mit Wahrscheilichkeit t s auftritt). Da X die Azahl der Arufe im Zeititervall [, t] ist, hat X die B(, t s )-Verteilug ach Satz. Wir halte µ = s, die durchschittliche Azahl der Arufe pro Zeiteiheit, fest ud lasse ud damit auch s gege gehe. Satz 4: Die Zufallsvariable X sei B(, t s )-verteilt. We ud s gege gehe, sodass = µ fest bleibt, da hat X im Grezwert eie P (µt)-verteilug. s Beweis: Wir bereche w(k) = P(X = k) für k. P(X = k) = ( ) k ( t s )k ( t s ) k = ( k = (µt)k k! ) ( µt )k ( µt ) k ( )...( k+) k ( µt ) ( µt ) k ( )...( k+) Wege lim = ud lim k ( µt ) = e µt erhalte wir aus obiger Rechug, dass lim P(X = k) = (µt)k k! e µt gilt. Das aber besagt, dass X im Grezwert die P (µt)-verteilug hat. Beispiel : Die Azahl der Arufe i eiem Zeititervall vo t Stude sei P (µt)-verteilt mit µ = Arufe pro Stude. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass zwische 6. ud 6.5 höchstes ei Aruf kommt? Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass zwische 6. ud 6.5 midestes drei Arufe komme? Sei X die Azahl der Arufe zwische 6. ud 6.5, das heißt X ist P (λ)-verteilt mit λ = 4 = 3. Daher gilt P(X ) = w() + w() = 3! e 3 + 3! e 3 = 4e 3 =.99 P(X 3) = P(X ) = w() w() w() = ( 3! + 3! + 3! )e 3 =.5768 Mit Wahrscheilichkeit.99 kommt höchstes ei Aruf. Mit Wahrscheilichkeit.577 komme midestes drei Arufe. Die Poissoverteilug wird für Ereigisse verwedet, die zu zufällige Zeitpukte eitrete, zum Beispiel für die Kude, die ei Geschäft betrete, für die Defekte eies Gerätes, oder für die Schadesmelduge, die bei eier Versicherug eitreffe. 4. Expoetialverteilug ud Gammaverteilug Jetzt komme wir zu de kotiuierliche Zufallsvariable. I diesem Kapitel geht es um Wartezeite. Defiitio: Sei λ >. Eie kotiuierliche Zufallsvariable X mit Wertebereich R + ud Wahrscheilichkeitsdichte f(x) = λe λx für x R + heißt expoetialverteilt oder kurz E(λ)-verteilt.

14 Zufallsvariable 3 Satz 5: Die Azahl der Arufe im Zeititervall [, t] sei P(λt)-verteilt, wobei λ die durchschittliche Azahl der Arufe pro Zeiteiheit ist (siehe letztes Kapitel). Sei Y die Wartezeit vom Zeitpukt bis zum erste Aruf. Da hat Y die E(λ)-Verteilug. Beweis: Sei t > beliebig ud X die Azahl der Arufe im Zeititervall [, t]. Die Wartezeit auf de erste Aruf ist geau da t, we im Zeititervall [, t] midestes ei Aruf kommt. Das heißt das Ereigis Y t tritt geau da ei, we das Ereigis X eitritt. Daher gilt F (t) = P(Y t) = P(X ) = P(X = ) = e λt. Eie Dichte f vo Y erhält ma als Ableitug vo F, ämlich f(x) = F (x) = λe λx für x >. Die Wartezeit Y ka icht egativ sei. Der Wertebereich der Zufallsvariable Y ist daher R + ud f(x) = für x R. Die Wartezeit Y auf de erste Aruf ist somit E(λ)-verteilt. Wir utersuche auch och die Wartezeit auf de -te Aruf. Dazu defiiere wir Defiitio: Seie λ > ud r >. Eie kotiuierliche Zufallsvariable X mit Wertebereich R + ud Wahrscheilichkeitsdichte f(x) = λr Γ(r) xr e λx für x R + heißt gammaverteilt oder kurz G(r, λ)-verteilt. Dabei wird Γ(r) = y r e y dy so defiiert, dass f(x)dx = gilt. Für spezielle Werte vo r ka ma Γ(r) explizit bereche. Für {,, 3,... } gilt Γ() = ( )! ud für {,,,... } gilt Γ( + ) = ()!! π. Die G(, λ)-verteilug ist die E(λ)-Verteilug. Die G( m, )-Verteilug spielt i der Statistik eie wichtige Rolle ud heißt dort χ -Verteilug. Satz 6: Die Azahl der Arufe im Zeititervall [, t] sei P(λt)-verteilt. Sei Z die Wartezeit vom Zeitpukt bis zum -te Aruf. Da hat Z die G(, λ)-verteilug. Beweis: Sei t > beliebig ud X die Azahl der Arufe im Zeititervall [, t]. Die Wartezeit Z auf de -te Aruf ist geau da t, we im Zeititervall [, t] midestes Arufe komme, das heißt Z t tritt geau da ei, we X eitritt. Daher gilt F (t) = P(Z t) = P(X ) = P(X ) = e λt λte λt (λt) ( )! e λt Eie Dichte f vo Z erhält ma als Ableitug vo F. Berechet ma diese, so kürze sich alle bis auf eie Summade weg. Ma erhält f(x) = λ ( )! x e λx für x. Da Z als Wartezeit ur positive Werte aehme ka, ist R + der Wertebereich vo Z ud f(x) = für x <. Die Zufallsvariable Z ist somit G(, λ)-verteilt. 5. Normalverteilug Hat ma es mit Größe zu tu, die zufällig um eie feste Wert schwake, zum Beispiel mit Messfehler behaftete Messwerte, da verwedet ma die Normalverteilug. Defiitio: Sei µ R ud >. Eie kotiuierliche Zufallsvariable X mit Wertebereich R ud Wahrscheilichkeitsdichte f(x) = π e (x µ) heißt ormalverteilt oder kurz N(µ, )-verteilt. für x R

15 4 Zufallsvariable Satz 7: Sei X eie Zufallsvariable. Sei Y = X a b, wobei a R ud b > ist. Ist F die Verteilugsfuktio vo X da hat Y die Verteilugsfuktio G(t) = F (bt + a). Hat X eie Wahrscheilichkeitsdichte f, da hat auch Y eie, ämlich g(x) = bf(bx + a). We X die N(µ, )-Verteilug hat, da hat Y = X µ die N(, )-Verteilug. Beweis: Es gilt P(Y t) = P( X a b t) = P(X bt+a) = F (bt+a), sodass G(t) = F (bt+a) die Verteilugsfuktio vo Y ist. Hat X eie Wahrscheilichkeitsdichte f, da folgt aus dere Defiitio G(t) = bt+a f(y)dy = t f(bx + a)bdx, sodass g(x) = bf(bx + a) eie Wahrscheilichkeitsdichte vo Y ist. Damit ist der erste Teil des Satzes bewiese. Für eie N(µ, )-verteilte Zufallsvariable X ist f(x) = π e (x µ) / eie Wahrscheilichkeitsdichte. Nach dem erste Teil des Satzes hat Y = X µ Wahrscheilichkeitsdichte g(x) = π e (x+µ µ) / = π e x /. Somit hat Y die N(, )-Verteilug. Um die Wahrscheilichkeitsdichte der N(, )-Verteilug icht immer ausschreibe zu müsse, wurde dafür eie Bezeichug eigeführt. Ma setzt φ(x) = π e x. Ma ka zeige, e x dass dx = π ist, sodass φ(x)dx = gilt, woraus π e (x µ) dx = folgt. Weiters bezeichet ma die Verteilugsfuktio der N(, )-Verteilug mit Φ, das heißt Φ(t) = t φ(x)dx für alle t R. Es gilt φ( x) = φ(x) für alle x R. Daraus ergibt sich Φ( t) = Φ(t) für alle t R. 6. Zufallsvektore Besteht der Ausfall eies Zufallsexperimets icht aus eier, soder aus mehrere Zahle, da verwedet ma Zufallsvektore. Wir gebe ei Beispiel. Das Zufallsexperimet ist die Auswahl eier Perso. Sei X dere Körpergröße ud X dere Körpergewicht. Der Zufallsvektor X = (X, X ) beschreibt de us iteressierede Ausfall des Zufallsexperimets. Defiitio: Sei X = (X, X,..., X ) ei Zufallsvektor. Die Fuktio F : R [, ] defiiert durch F (t, t,..., t ) = P(X t, X t,..., X t ) heißt Verteilugsfuktio des Zufallsvektors X. Bemerkug: Die Beistriche i P(X t, X t,..., X t ) bedeute ei logisches ud. Ma sollte eigetlich schreibe. Jedoch ist diese Schreibweise mit Beistriche üblich. Die Eigeschafte der Verteilugsfuktio behadel wir ur für =. Aaloge Resultate gelte auch für de Fall >. Satz 8: Sei F : R [, ] die Verteilugsfuktio eies zweidimesioale Zufallsvektors X = (X, X ). Sei B = (r, s ] (r, s ] mit r < s ud r < s ei Rechteck. Da gilt P(X B) = F (s, s ) F (s, r ) F (r, s ) + F (r, r ). Beweis: Das Ereigis {X s, X s } lässt sich i die beide uvereibare Ereigisse {r < X s, X s } ud {X r, X s } zerlege. Aus dem Additiossatz folgt P(X s, X s ) = P(r < X s, X s ) + P(X r, X s ). Die Defiitio der Verteilugsfuktio ergibt da P(r < X s, X s ) = F (s, s ) F (r, s ). Idem ma s durch r ersetzt, hat ma auch P(r < X s, X r ) = F (s, r ) F (r, r ). Das Ereigis {r < X s, X s } zerlegt ma i die beide uvereibare Ereigisse {r < X s, r < X s } ud {r < X s, X r }. Der Additiossatz ergibt

16 Zufallsvariable 5 P(r < X s, X s ) = P(r < X s, r < X s ) + P(r < X s, X r ). Daraus folgt P(r < X s, r < X s ) = F (s, s ) F (r, s ) F (s, r ) + F (r, r ) durch Eisetze obiger Ergebisse. Das ist das gewüschte Resultat. Satz 9: Sei F : R [, ] die Verteilugsfuktio eies Zufallsvektors X = (X, X ). (a) Für r < s ud r < s gilt F (s, s ) F (s, r ) F (r, s ) + F (r, r ). (b) lim F (t (), t() ) = F (t, t ) für alle Folge t () ud t () mit t () t ud t () t. (c) lim t F (t, t ) =, lim t F (t, t ) = ud lim t F (t, t) =. Beweis: Da eie Wahrscheilichkeit immer ichtegativ ist, erhalte wir (a) aus Satz 8. Sid t () ud t () mooto fallede Folge i R mit t () t ud t () t, da bilde die Ereigisse {X t (), X t () } eie mooto abehmede Folge, die gege das Ereigis {X t, X t } geht. Es folgt lim P(X t (), X t () ) = P(X t, X t ) aus dem Stetigkeitssatz. Damit ist (b) gezeigt. Setzt ma t () = t für alle ud t =, da hat ma lim P(X t (), X t ) = P(X, X t ) =. Damit ist lim t P(X t, X t ) = gezeigt. Setzt ma t () = t für alle ud t =, da hat ma lim P(X t, X t () ) = P(X t, X ) =. Damit ist lim t P(X t, X t ) = gezeigt. Das sid die erste beide Aussage vo (c). Schließlich sei t () eie mooto wachsede Folge i R, die gege geht. Da bilde die Ereigisse {X t (), X t () } eie mooto aufsteigede Folge, die gege das Ereigis {X <, X < } geht, das immer eitritt. Es folgt lim P(X t (), X t () ) = aus dem Stetigkeitssatz. Damit ist lim t P(X t, X t) = gezeigt. Das ist die dritte Aussage vo (c). Defiitio: Ei Zufallsvektor X = (X, X,..., X ) heißt diskret, we die Zufallsvariable X, X,..., X diskret sid, das heißt sie habe edliche oder abzählbare Wertebereiche R, R,..., R. Sei S = R R R. Wir defiiere die Eizelwahrscheilichkeite des Zufallsvektors X durch u(k) = P(X = k) für k S I Koordiateschreibweise heißt das u(k, k,..., k ) = P(X = k, X = k,..., X = k ) für k R, k R,..., k R. Wir ee S de Wertebereich des Zufallsvariables X. Es ist jedoch möglich, dass u(k) = für mache k S gilt. Satz : Sei X ei diskreter Zufallsvektor, desse Eizelwahrscheilichkeite durch u(k) mit k S gegebe sid. (a) Da gilt u(k) für alle k S ud k S u(k) =. (b) Für B S gilt P(X B) = k B u(k). Beweis: Der Beweis ist derselbe wie für Satz. Beispiel 3 (Multiomialverteilug) Seie,,..., die Ausfälle eies Zufallsexperimets, die mit Wahrscheilichkeite p, p,..., p auftrete, wobei p j > für j ud p + p + + p = gilt. Wir wiederhole das Zufallsexperimet m Mal. Für j sei X j die Azahl der Wiederholuge, bei dee der Ausfall j eitritt. Gesucht sid die Eizelwahrscheilichkeite des Zufallsvektors X = (X, X,..., X ). Der Wertebereich der Zufallsvariable X j ist R j = R = {,,..., m}, das ist die Mege der Azahle, mit dee der Ausfall j bei de m Wiederholuge auftrete ka. Der Wertebereich des Zufallsvektors X ist da S = R. Nu ist X + X + + X die Azahl m aller durchgeführte Wiederholuge. Es muss daher X + X + + X = m gelte,

17 6 Zufallsvariable ud wir erhalte P(X = k, X = k,..., X = k ) =, we k + k + + k m ist. Durch eie aaloge Vorgagsweise wie im Beweis vo Satz folgt m! P(X = k, X = k,..., X = k ) = k!k!...k! pk pk... pk m! Dabei ist we k + k + + k = m k!k!...k! die Azahl der Folge der Läge m, die k Mal, k Mal,..., k Mal ethalte, ud aus dem Multiplikatiossatz folgt, dass p k pk... pk die Wahrscheilichkeit ist, mit der jede dieser Folge auftritt. Eie Awedug des Additiossatzes liefert da das agegebee Resultat. Nu komme wir zu de Zufallsvektore, die eie Wahrscheilichkeitsdichte habe. Sie werde kotiuierliche Zufallsvektore geat. Defiitio: Ei Zufallsvektor X = (X, X,..., X ) heißt kotiuierlich, we eie itegrierbare Fuktio g : R [, ) existiert, sodass P(X t, X t,..., X t ) = t t... t g(x, x,..., x )dx... dx dx für alle t, t,..., t R gilt. Die Fuktio g et ma Wahrscheilichkeitsdichte des Zufallsvektors X. Satz : Sei X = (X, X,..., X ) ei kotiuierlicher Zufallsvektor mit Wahrscheilichkeitsdichte g : R [, ). (a) Da gilt R g(x)dx =. (b) Für itegrierbare Teilmege B R gilt P(X B) = B g(x)dx. Beweis: Wir führe de Beweis ur für =. Für > fuktioiert der Beweis aalog. Wir begie mit (b). Sei B zuerst ei Rechteck C = (r, s ] (r, s ]. Aus Satz 8 folgt P(X C) = F (s, s ) F (s, r ) F (r, s ) + F (r, r ). Aus obiger Defiitio s g(x, x )dx dx s r g(x, x )dx dx = g(x, x )dx dx. Ersetzt ma i dieser Gleichug r durch s ei, so hat ma auch folgt u F (s, s ) F (s, r ) = s s s r F (r, s ) F (r, r ) = r s P(X C) = s Damit ist P(X C) = C s r g(x, x )dx dx. Setzt ma i obige Gleichuge ei, so folgt s r g(x, x )dx dx = s s r r g(x, x )dx dx. r g(x, x )dx dx r g(x)dx gezeigt. Sei B = C C C j eie disjukte Vereiigug vo edlich viele solche Rechtecke. Das Ereigis X B tritt geau da ei, we eies der Ereigisse X C,..., X C j eitritt. Wege der Disjuktheit der Rechtecke C i sid diese Ereigisse uvereibar. Aus dem Additiossatz erhalte wir da P(X B) = P(X C )+P(X C )+ +P(X C j ). Da P(X C i ) = C i g(x)dx für i j bereits im letzte Absatz bewiese wurde, habe wir auch P(X B) = C g(x)dx + C g(x)dx + + C j g(x)dx = g(x)dx, wobei die B letzte Gleichheit wege der Disjuktheit der Rechtecke C i folgt. Sei B eie beschräkte itegrierbare Mege. Sei ε >. Da existiere Mege B ud B, die disjukte Vereiiguge vo edlich viele Rechtecke wie obe sid, sodass B B B ud B g(x)dx B g(x)dx < ε gilt. Wege B B B ud wege Satz (c) erhalte wir P(X B ) P(X B) P(X B ). Ebeso folgt B g(x)dx B g(x)dx B g(x)dx, da ja g gilt. Wir habe P(X B ) = B g(x)dx ud P(X B ) = B g(x)dx bereits obe bewiese. Daher liege die beide Werte P(X B) ud g(x)dx i eiem Itervall, B das Läge ε hat. Damit ist P(X B) g(x)dx < ε gezeigt. Da ε > beliebig klei B gewählt werde ka, muss auch P(X B) = g(x)dx gelte. B

18 Zufallsvariable 7 Sei B schließlich eie ubeschräkte itegrierbare Teilmege des R. Für jedes m N sei B m = B {x R : x m}. Da B m eie beschräkte itegrierbare Mege ist, wurde P(X B m ) = B m g(x)dx bereits gezeigt. Wege B B... ud m= B m = B bilde die Ereigisse X B m eie aufsteigede Folge, die gege das Ereigis X B geht. Aus dem Stetigkeitssatz folgt P(X B) = lim m P(X B m ) = lim m B m g(x)dx = B g(x)dx. Damit ist (b) vollstädig bewiese. Da das Ereigis X R immer eitritt, habe wir P(X R ) =. Setzt ma B = R i die Formel aus (b) ei, so erhält ma (a). Wir frage ach dem Zusammehag zwische eiem Zufallsvektor X = (X, X,..., X ) ud de Zufallsvariable X j, aus dee er besteht. Satz : Sei X = (X, X,..., X ) ei Zufallsvektor. (a) Sei F : R [, ] die Verteilugsfuktio vo X. Die Verteilugsfuktio der Zufallsvariable X j ist da durch F j (t) = lim m F (m,..., m, t, m,..., m) gegebe (wobei t i der j-te Koordiate steht). (b) Seie R, R,..., R die Wertebereiche der diskrete Zufallsvariable X, X,..., X ud u(k, k,..., k ) mit k R, k R,..., k R die Eizelwahrscheilichkeite des Zufallsvektors X. Die Eizelwahrscheilichkeite der Zufallsvariable X j sid da durch w j (k) = k R... k j R j k j+ R j+... k R u(k,..., k j, k, k j+,..., k ) mit k R j gegebe. (c) Sei g : R [, ) eie Wahrscheilichkeitsdichte des Zufallsvektors X. Da ist durch f j (x) = g(x,..., x j, x, x j+,..., x )dx... dx j+ dx j... dx eie Wahrscheilichkeitsdichte der Zufallsvariable X j gegebe. Beweis: Es gilt P(X j t) = P(X R,..., X j R, X j t, X j+ R,..., X R). Wir erhalte P(X j t) = lim m P(X m,..., X j m, X j t, X j+ m,..., X m) aus dem Stetigkeitssatz. Das heißt P(X j t) = lim m F (m,..., m, t, m,..., m) ud (a) ist gezeigt. Es gilt P(X j = k) = P(X R R j {k} R j+ R ). Aus Satz (b) folgt P(X j = k) = k R... k j R j k j+ R j+... k R u(k,..., k j, k, k j+,..., k ). Damit ist (b) gezeigt. Es gilt P(X j t) = P(X R R (, t] R R). Aus Satz (b) folgt, dass t g(x,..., x j, x, x j+,..., x )dx... dx j+ dx j... dx dx gleich P(X j t) ist, wobei auch die Itegratiosreihefolge vertauscht wurde. Die Fuktio, die im Itegral t... dx steht, ist eie Wahrscheilichkeitsdichte vo X j. Damit habe wir auch (c) gezeigt. 7. Uabhägigkeit vo Zufallsvariable Nachdem wir früher scho die Uabhägigkeit vo Ereigisse defiiert habe, führe wir u auch eie Uabhägigkeitsbegriff für Zufallsvariable ei. Defiitio: Die Zufallsvariable X, X,..., X heiße uabhägig, we P(X t, X t,..., X t ) = P(X t )P(X t )... P(X t ) für alle t, t,..., t R gilt. Ist F j die Verteilugsfuktio der Zufallsvariable X j für j, ud F die Verteilugsfuktio des Zufallsvektors X = (X, X,..., X ) da ist das gleichbedeuted mit F (t, t,..., t ) = F (t )F (t )... F (t ).

19 8 Zufallsvariable Bemerkug: Setzt ma i dieser Defiitio t = m N ud lässt m gege gehe, da geht das Ereigis X m mooto aufsteiged gege das Ereigis X < ud der Stetigkeitssatz liefert P(X t,..., X t ) = P(X t )... P(X t ). Wedet ma das wiederholt a, so folgt aus dieser Defiitio, dass P(X j t j, X j t j,..., X jk t jk ) = P(X j t j )P(X j t j )... P(X jk t jk ) für alle Teilmege {j, j,..., j k } vo {,,... } mit k gilt. Daraus erket ma, dass obige Defiitio äquivalet dazu ist, dass die Ereigisse X t, X t,..., X t uabhägig sid für alle t, t,..., t R. Diese Bemerkug zeigt auch: Sid die Zufallsvariable X, X,..., X uabhägig ud ist {j, j,..., j k } eie Teilmege vo {,,... } mit k, da sid auch die Zufallsvariable X j, X j,..., X jk uabhägig. Der ächste Satz zeigt, wie sich Eizelwahrscheilichkeite ud Wahrscheilichkeitsdichte des Zufallsvektors X = (X, X,..., X ) bei Vorliege vo Uabhägigkeit bereche lasse. Satz 3: Seie X, X,..., X uabhägige Zufallsvariable ud X = (X, X,..., X ). (a) Sid diese Zufallsvariable diskret ud R j der Wertebereich ud w j (k) mit k R j die Eizelwahrscheilichkeite vo X j für j, da sid durch u(k, k,..., k ) = w (k )w (k )... w (k ) mit k R, k R,..., k R die Eizelwahrscheilichkeite des Zufallsvektors X gegebe. (b) Sid die Zufallsvariable X, X,..., X kotiuierlich mit Wahrscheilichkeitsdichte f, f,..., f, da ist durch g(x, x,..., x ) = f (x )f (x )... f (x ) für x R, x R,..., x R eie Wahrscheilichkeitsdichte des Zufallsvektors X gegebe. Beweis: Sei F die Verteilugsfuktio des Zufallsvektors X = (X, X,..., X ) ud F j die Verteilugsfuktio der Zufallsvariable X j für j. Nach Voraussetzug gilt da F (t, t,..., t ) = F (t )F (t )... F (t ) für t, t,..., t R. Wir beweise (a) ur für =. Mit Hilfe des Stetigkeitssatzes ud Satz 8 folgt u(k, k ) = P(X = k, X = k ) = lim m P(k m < X k, k m < X k ) = lim m (F (k, k ) F (k m, k ) F (k, k m ) + F (k m, k m )) = lim m (F (k )F (k ) F (k m )F (k ) F (k )F (k m ) + F (k m )F (k m )) = lim m (F (k ) F (k m ))(F (k ) F (k m )) = lim m P(k m < X k )P(k m < X k ) = P(X = k )P(X = k ) = w (k )w (k ) Damit ist (a) für = bewiese. Ei aaloger Beweis gilt auch für größere. Wir erhalte (b) mit Hilfe der Defiitio eier Wahrscheilichkeitsdichte. F (t, t,..., t ) = F (t )F (t )... F (t ) = t f t (x )dx f (x )dx t f (x )dx = t t... t f (x )f (x )... f (x )dx... dx dx Die Fuktio i diesem -fache Itegral ist ach Defiitio eie Wahrscheilichkeitsdichte des Zufallsvektors X. Damit ist (b) gezeigt.