3.2 Das Wahrscheinlichkeitsmaß

Transkript

1 3 Wahrscheilichkeite Das Wahrscheilichkeitsmaß Relative Häufigkeite Der Begriff der relative Häufigkeit Peter verliert beim Mesch ärgere Dich icht. Wüted behauptet er, dass der verwedete Würfel zu viele Eise liefere. Um de Streit zu schlichte, schlägt Petra vor, de verdächtige Würfel zu teste. Petra würfelt 120-mal ud otiert die jeweils gewürfelte Augezahl, Peter würfelt sogar 200-mal. Petras Ergebis bei 120 Würfe: Elemetarereigis {1} {2} {3} {4} {5} {6} absolute Häufigkeit relative Häufigkeit 0,175 0,16 0,15 0,15 0,175 0,183 Peters Ergebis bei 200 Würfe: Elemetarereigis {1} {2} {3} {4} {5} {6} absolute Häufigkeit relative Häufigkeit 0,18 0,165 0,16 0,17 0,165 0,16 I de zweite Zeile der Tabelle sid jeweils die absolute Häufigkeite otiert, mit dee die verschiedee Augezahle i de Versuchsserie auftrete. Zum bessere Vergleich ihrer Versuchsserie bereche beide auch die relative Ateile der Augezahle i ihre Versuchsserie, die so geate relative Häufigkeite, idem sie die absolute Azahle durch die Läge der Versuchsserie dividiere. Der Vergleich der relative Häufigkeite liefert hier kei Idiz dafür, dass der verwedete Würfel uregelmäßig (gezikt) ist. Der Begriff relative Häufigkeit ist icht ur auf Elemetarereigisse beschräkt, soder er ka auch für beliebige Ereigisse erklärt werde. Relative Häufigkeit Tritt das Ereigis A i eier Serie vo Versuche z-mal ei, so heißt die Zahl z Azahl der Versuche, bei dee Aeitritt h( A ) = = relative Häufigkeit vo A i dieser Serie. Gesamtzahl der Versuche

2 22 3 Wahrscheilichkeite Beispiel (Absolute ud relative Häufigkeit im Eigagsbeispiel) Betrachtet ma im Eigagsbeispiel das Ereigis A: Peter würfelt eie gerade Zahl., so beträgt die absolute Häufigkeit vo A i dieser Serie z( A ) = 99. Für die relative Häufigkeit vo A gilt da: z( A) 99 h ( A ) = = = 0, 495 = 49,5 % Dies bedeutet: I 49,5 % der Fälle wird i der Serie eie gerade Zahl gewürfelt. Eigeschafte der relative Häufigkeit Aus der Defiitio der relative Häufigkeit lasse sich umittelbar eiige, zum Teil umittelbar eisichtige Eigeschafte ableite. Tritt ei Ereigis A i eier Serie vo Versuche z-mal ei, so gilt 0 z oder 0 z 1. Das sichere Ereigis Ω tritt immer ei, daher gilt z =. Das umögliche Ereigis { } tritt bei keiem Versuch ei, daher gilt z = 0. 0 h ( A) 1 h ( Ω ) = 1 h ({ }) = 0 Die relative Häufigkeit für das Eitrete eies A = { ω, ω..., ω } 1 2 k Ereigisses ist die Summe der relative Häufigkeite der zugehörige Elemetarereigisse. h ( A) = h ({ ω }) h ({ ω }) 1 k Die Summe der relative Häufigkeite aller Elemetarereigisse ist 1 = h ({ ω }) h ({ ω }) 1 1. Aufgabe Eiwoher eier Stadt sid über 65 Jahre alt, das sid 32 %. Wie viele Eiwoher hat diese Stadt? 2. I eiem Betrieb sid 30% der Beschäftigte Fraue. 65 % der Mäer köe das Rauche icht lasse, isgesamt sid dies 455 mäliche Raucher. Wie viele Beschäftigte hat der Betrieb? 3. Die Azahl der Agestellte, Arbeiter, Beamte ud Selbststädige eier Großstadt verhalte sich wie 5 : 3 : 3 : 1. Bereche Sie die relative Häufigkeite ud die absolute Zahle, we die Stadt Bewoher zählt ud ur 60% der Eiwoher berufstätig sid.

3 3 Wahrscheilichkeite Empirisches Gesetz der große Zahle Beim Werfe eies Reißagels sid die Ergebisse 0 ud 1 möglich. Das Zufallsexperimet»Werfe eies Reißagels«wird 200-mal durchgeführt. Nach jeweils 10 Versuche werde die relative Häufigkeite h (0) ud h (1) berechet ud i ei Diagramm eigetrage. h 0 1 h (0) h (1) Es zeigt sich, dass die experimetell bestimmte relative Häufigkeite sich bei große Versuchszahle immer mehr stabilisiere. Diese Stabilisierug, die sich auch bei zahlreiche adere Zufallsexperimete zeigt, wurde vo viele Mathematiker immer wieder überprüft ud bestätigt. Der daraus hergeleitete Erfahrugssatz trägt eie eigee Name: Empirisches 1 Gesetz der große Zahle Bei Zufallsexperimete stabilisiere sich die relative Häufigkeite eies bestimmte Ereigisses mit wachseder Versuchszahl. Beim Empirische Gesetz der große Zahle hadelt es sich icht um eie mathematische Satz, der bewiese werde ka, soder ur um ei Erfahrugsgesetz. Es liegt eie Gesetzmäßigkeit vor, die ur bei eier große Azahl vo Versuche feststellbar ist. Eie Stabilisierug der relative Häufigkeite tritt bei lage Versuchsserie sehr häufig, jedoch zwagsläufig icht immer ei. Es ka durchaus auch eimal vorkomme, dass eie Serie eitritt, i der die relative Häufigkeite stark schwake, auch we die Serieläge sehr groß gewählt ist. Solche Ausreißer trete bei größerem jedoch immer selteer auf. 1 empirisch bedeutet erfahrugsgemäß, aus der Erfahrug (Beobachtug) erwachse, dem Experimet etomme, vo Empirie (griech.), Erfahrug, Erfahrugswisse

4 24 3 Wahrscheilichkeite Aufgabe 4. Scho umittelbar ach Schließug der Wahllokale gibt es i der Fersehberichterstattug die erste Progose über de vermutliche Wahlausgag. Im Laufe des Abeds werde immer mehr Ergebisse aus de eizele Stimmbezirke bekat. Diese Zwischeergebisse werde für Hochrechuge des Wahlergebisses beutzt. a) Die erste Hochrechuge für die A-Partei lage bei 55 %, 53 % ud bei 54 %. Obwohl erst ei Viertel der Stimme ausgezählt ist, spricht der Vorsitzede der A-Partei vo der absolute Mehrheit. Hadelt er voreilig? b) Die Hochrechuge für die D-Partei ware 6 %, 4 % ud 4,5 %. Kei Vertreter der D-Partei möchte sich zu eiem mögliche Scheiter a der 5% -Hürde äußer. Ist dies verstädlich? 5. Ei Würfel wird 1000-mal geworfe. Dabei werde ach 50, 100, 250, 500 ud 1000 Würfe für die eizele Augezahle die relative Häufigkeite berechet. Es ergebe sich die folgede Werte: h(1) 0,120 0,130 0,120 0,130 0,135 h(2) 0,200 0,180 0,220 0,190 0,196 h(3) 0,100 0,110 0,100 0,120 0,112 h(4) 0,160 0,170 0,160 0,150 0,156 h(5) 0,120 0,140 0,120 0,130 0,125 h(6) 0,300 0,270 0,280 0,280 0,2765 a) Weshalb ist ei solcher Würfel für Gesellschaftsspiele wie beispielsweise Mesch ärgere Dich icht ugeeiget? b) Welche Werte müsste die relative Häufigkeite bei eiem geeigete Würfel besitze? c) Mit welcher Azahl vo Sechse ka ma gemäß obiger Tabelle bei dem betrachtete Würfel i eier Serie vo 5000 Würfe reche? Wodurch ist diese Aahme gerechtfertigt?

5 3 Wahrscheilichkeite Axiomatische Defiitio des W-Maßes Das Axiomesystem vo Kolmogorow Nach dem empirische Gesetz der große Zahle stabilisiere sich die relative Häufigkeite h (A) eies Ereigisses A gege eie feste Zahl. Diese Zahl scheit geeiget zu sei als ei Maß P(A) für die Eitrittschace des Ereigisses A. Mathematisch formuliert legt das Gesetz der große Zahle es ahe, die Wahrscheilichkeit P(A) eies Ereigisses A als Grezwert der relative Häufigkeite h (A) für zu defiiere: P ( A) : = lim h ( A). Dieser Defiitiosversuch lässt sich jedoch icht widerspruchsfrei mit dem exakte mathematische Grezwertbegriff vereibare: Es sid durchaus erhebliche Abweichuge der relative Häufigkeite vo jeder dekbare Zahl P(A) möglich, gaz gleich wie groß ma die Zahl der Versuche wählt. Ma muss stets mit Ausreißer reche. Eie uedlich große Azahl vo Versuche, wie sie bei der Betrachtug des Grezwertes gefordert wird, ist i der Praxis icht zu realisiere. Die gesuchte Wahrscheilichkeit P(A) lässt sich somit icht mathematisch exakt als Grezwert der relative Häufigkeite defiiere. Bereits seit dem 17. Jahrhudert befasste sich viele Mathematiker mit de Probleme der Wahrscheilichkeitsrechug. Der Stellewert der Wahrscheilichkeitsrechug als exakte mathematische Wisseschaft war dabei umstritte. Erst der russische Mathematiker Adrej Kolmogorow ( ) begrüdete im Jahr 1933 mit seiem Werk Grudbegriffe der Wahrscheilichkeitsrechug die heutige modere Wahrscheilichkeitstheorie als eie exakte mathematische Diszipli. Kolmogorow umgig die geschilderte Schwierigkeit der exakte Festlegug des Wahrscheilichkeitsmaßes, idem er eie axiomatische Defiitio wählte: 1. Er forderte die Existez eier Fuktio P, die jedem Ereigis A seie Wahrscheilichkeit P(A) zuordet. 2. Er formulierte grudlegede Eigeschafte eier solche Fuktio i Form vo Axiome 1. Bei der Auswahl der zu forderde Axiome orietierte sich Kolmogorow a de Eigeschafte der relative Häufigkeite. Er versuchte dabei ei möglichst kleies ud i sich widerspruchfreies System vo Axiome zu fide, so dass sich alle adere bekate Eigeschafte als Folgeruge ergebe. Adrej Kolmogorow 1 Ei Axiom ist ei zu Grude gelegter Ausgagssatz, der icht aus adere Sätze hergeleitet werde ka.

6 26 3 Wahrscheilichkeite Kolmogorows etscheidede Leistug aus dem Jahr 1933 bestad dari, erkat zu habe, welche drei Eigeschafte der relative Häufigkeite als Grudlage für ei derartiges Axiomesystem ausreiche. Axiomatische Defiitio des Wahrscheilichkeitsmaßes Sei Ω die Ergebismege eies Zufallsexperimets. Eie Fuktio, die jedem Ereigis A ( Ω ) eie reelle Zahl P(A) zuordet, also die Form P: Ω ( ) R, A P( A) hat, heißt Wahrscheilichkeitsmaß (W-Maß), we sie folgede Eigeschafte besitzt: (P1) P ( A) 0 für alle A ( Ω ) (Nichtegativität) (P2) P ( Ω ) = 1 (Normiertheit) (P3) A B= {} P( A B) = P( A) + P( B) (Additiosregel für uvereibare Ereigisse) Die Zahl P(A) heißt Wahrscheilichkeit 1 des Ereigisses A. Die Axiome (P1), (P2) ud (P3) bilde das so geate Axiomesystem vo Kolmogorow. Kolmogorow verzichtete darauf zu erkläre, was Wahrscheilichkeit ist, oder wie ma sie erhält. Er legte ur fest, welche Eigeschafte Wahrscheilichkeite besitze. Es ist gaz wesetlich hervorzuhebe, was das Axiomesystem vo Kolmogorow leiste ka ud was icht: Es wird exakt defiiert, welche Zuorduge vo Wahrscheilichkeite zu Ereigisse legitim sid. Es wird aber icht gesagt, welche Zuorduge dafür geeiget sid, eie reale Situatio auch tatsächlich korrekt zu beschreibe. Eie solche axiomatische Vorgehesweise ist auch i viele adere Situatioe durchaus üblich: Schachspiel Die Schachfigure werde durch ihre Bewegugsmuster charakterisiert. Geometrie Euklid postulierte i seiem Werk Elemete (3. Jh. v. Chr.): Ei Pukt ist, was keie Teile hat. Aalytische Geometrie Erst i de 1920er Jahre setzte sich eie axiomatische Defiitio des Begriffs Vektor durch. 1 Das Fuktiossymbol P steht als Abkürzug für: probabilitas (lat.) bzw. probabilité (fraz.) bzw. probability (egl.), Wahrscheilichkeit.

7 3 Wahrscheilichkeite 27 I der Praxis muss ma de Ereigisse Zahle als Wahrscheilichkeite zuorde. Zu eiem eizige Zufallsexperimet sid gemäß der axiomatische Defiitio viele uterschiedliche Wahrscheilichkeitsmaße möglich. Mathematisch ist dabei keies gegeüber eiem adere ausgezeichet. Beispiel (Uterschiedliche W-Maße beim Werfe eier Müze) Für das Werfe eier Müze mit der Ergebismege Ω= {W, Z} ud der Ereigismege Ω ( ) = { },{W},{Z},{W,Z}} werde die folgede Zuorduge vo Wahrscheilichkeite betrachtet: {} 0 {} 0 {W} 0,5 {W} 0,65 P : 1 P : 2 P {Z} 0,5 {Z} 0,35 Ω 1 Ω 1 P 1 ud P 2 sid Wahrscheilichkeitsmaße: P 1 gehört zu eier ideale Müze. P 2 gehört zu eier gezikte Müze. P 3 ist dagege kei Wahrscheilichkeitsmaß, de es gilt: 1 = P ( Ω) P (W) + P (Z) = 1, {} 0 {W} 0,65 : {Z} 0,4 Ω 1 Beispiel (Geburt eies Kides) Wir betrachte die Geburt eies Kides aus stochastischer Sicht. Als statistische (empirische) Wahrscheilichkeitswerte hat ma festgestellt P( Juge ) = 0,514 ud P( Mädche ) = 0,486. We ma sehr große Bevölkerugsgruppe betrachtet, so stabilisiere sich die Wahrscheilichkeite auf die agegebee Werte. Betrachtet ma dagege ur kleie Bevölkerugsgruppe (z.b. eie kiderreiche Familie), so ka da auch P( Juge ) = 0 sei. Aufgabe 6. Veraschauliche Sie das 3. Axiom vo Kolmogorow A B= {} P( A B) = P( A) + P( B) ahad eies Ve-Diagramms. 7. Für uvereibare Ereigisse A ud B gelte P ( B ) = 0,55 ud P ( A B) = 0,7. Bereche Sie die Wahrscheilichkeit des Ereigisses A.

8 28 3 Wahrscheilichkeite Festlege ubekater Wahrscheilichkeite i der Praxis Die Wahrscheilichkeitsaxiome ethalte keierlei Aussage darüber, wie ma bei eiem kokrete Zufallsexperimet die Wahrscheilichkeite der dabei auftretede Ereigisse ermittelt. Sie lege de Wahrscheilichkeite aber Bediguge auf, die erfüllt werde müsse ud stelle Recheregel für de Umgag mit Wahrscheilichkeite dar. I der Praxis stellt sich die Frage, wie ma i eiem kokrete Fall die ubekate Wahrscheilichkeite vo zufällige Ereigisse ermittel bzw. festlege ka. Im eifachste Fall legt die Alage des Experimets selbst scho eie Zuordug vo Wahrscheilichkeite ahe: Ideale Müze Ma wird die Wahrscheilichkeite für das Eitrete vo Zahl ud Wappe jeweils auf 0,5 festlege. Idealer Würfel Ma wird jeder Augezahl die Wahrscheilichkeit 1/6 zuorde. Glücksrad Bei dem abgebildete Glücksrad wird ma die Wahrscheilichkeite auf 1/4, 1/4 ud 1/2 festlege. Bei dieser Art der Festlegug der Wahrscheilichkeite spricht ma vo klassischer Wahrscheilichkeit. Bei viele adere Zufallsexperimete ka ma jedoch icht, wie gerade beschriebe, vorgehe. So ist es beispielsweise bei dem Zufallsexperimet»Werfe eies Reißagels ud Feststelle, welche Lage er eiimmt«icht möglich, allei durch Überlege Wahrscheilichkeite zuzuorde. Als Grudlage für die Festlegug der Wahrscheilichkeite für die eizele Ergebisse diet hier das Empirische Gesetz der große Zahle, woach sich die relative Häufigkeite eies bestimmte zufällige Ereigisses bei umfagreiche Versuchsreihe im Allgemeie stabilisiere. Die Festlegug der ubekate Wahrscheilichkeite erfolgt daher im Regelfall ahad der bei umfagreiche Versuchsreihe beobachtete relative Häufigkeite. Ma betrachtet dabei die relative Häufigkeit eies Ereigisses als eie Näherugs- oder Schätzwert für die ubekate Wahrscheilichkeit. So stabilisiert sich beim Werfe eies Reißagels ach 200 Würfe die relative Häufigkeit für Spitze ach obe um 0,38 ud für Spitze zur Seite um 0,62. Bei dieser Art der Festlegug der Wahrscheilichkeite spricht ma vo häufigkeitsbasierter Wahrscheilichkeit.