Einführung des Wahrscheinlichkeitsraumes

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1 II Eiführug des Wahrscheilichkeitsraumes Relative Häufigkeit. Defiitioe V: 30-maliges Werfe eies Würfels A : Azahl der Augezahl bei 30 Würfe Ai A beim i-te Versuch Bi : Summe der Azahle der Augezahl vom. bis zum i-te Versuch. Versuch ( Ai h(ai) Ai/ Bi ges h(bi) 30) ,3 % 4 30,7 % % ,4 % % ,6 % ,3 % Ergebis: Empirisches Gesetz der große Zahle Bei eier große Zahl vo Versuche stabilisiert sich die relative Häufigkeit um eie feste Wert Defiitio: Tritt bei Versuche ei bestimmtes Ereigis k-mal auf, so heißt h (A) k/ die relative Häufigkeit des Ereigisses A. k ist dabei die absolute Häufigkeit des Ereigisses A. Die relative Häufigkeit wird meist i Prozet agegebe. Weitere Beispiele siehe Buch S Eigeschafte der relative Häufigkeit. 0 h (A) ( ) 2. h ( ) 0; h (Ω) 3. A B 2 h (A B) 0 Versuch: Geg: Zwei Ereigisse A ud B mit h (A) ud h (B) 30-maliges Werfe eies Würfels A : Augezahl gerade B : Augezahl ist vo ud 6 verschiede Häufigkeite der Elemetarereigisse Ai (Augezahl i): Ereigis Ai {} {2} {3} {4} {5} {6} h (Ai) 6/30 6/30 4/30 /30 8/30 5/30 A B icht 8

2 Vermutug: h (A B)? h (A) + h (B) h (A) 2/30 40 % h (B) 9/30 63 /3 % h (A) + h (B) 03 /3 % (Schmarr!, Wid. zu ) Wo liegt der Fehler? Aderer Asatz: h (A B) h ({2}) + h ({3}) + h ({4}) + h ({5}) + h ({6}) 24/30 80 % (auf jede Fall richtig!) Fehler: h ({2}) ud h ({4}) werde doppelt addiert. A B {2, 4} 4. h (A B) h (A) + h (B) h(a B) Beweis: Mehrfeldertafel A B B B A k (A B) k (A B ) k (A) A k ( A B) k ( A B ) k(b) k (...) sid die absolute Häufigkeite der i Klammer stehede Ereigisse bei Versuche. k (A B) k (A) + k (B) k (A B) : Folgeruge: 5. A B {} h (A B) h (A) + h (B) (da h (A B) h ( ) 0) 6. h ( A ) h (A) Beweis: A A Ω; A A ; h (A A ) h (A) + h ( A ) h (Ω) h (A) + h ( A ) q. e. d. 7. A {ω; ω2;...; ω} h (A) h ( ω ) ω A Beispiel: Würfelwurf (siehe obe!) A : Augezahl gerade A : {2; 4; 6} ω; ω2; ω3 h (A) h ({2}) + h ({4}) + h({6})... 40% Beispiel (Quelle: Statistisches Budesamt Statistisches Jahrbuch) Am hatte Deutschlad Eiwoher. Davo ware icht volljährig, mälich ud davo wieder volljährig. : mälich v: volljährig h ( ) 48,8 % h ( v ) 39, % h (v) 8,2 % 9

3 v v 39, % 9,7 % 48,8 % 42, % 9, % 5,2 % 8,2 % 8,8 % h ( ) h ( v) + h ( v ), da ( v) ( v ) ud ( v) ( v ) Allgemei: A A B x y x + y B v w v + w x+v y+ w 00 % Nach Lösug der Vierfeldertafel lässt sich dort jede passede Fragestellug ablese. Im obige Beispiel: Wie viele Eiwoher sid weiblich oder volljährig? v a : v h ( v) 00 % - h ( v ) 90,3 % Referate Experimetelle Bestimmug der Zahl π ach Buffo Les problème des partis Laplace-Paradoxa Das Beroulli-Eulersche Problem der vertauschte Briefe 0

4 2 Der Wahrscheilichkeitsbegriff 2. Defiitio Auf der Grudlage des empirische Gesetzes der große Zahle Wahrscheilichkeit als Stabilisierugswert der relative Häufigkeit. vo Mises: Wahrscheilichkeit lim->00h Problem: scheitert a der Umöglichkeit des mathematische Nachweises des Grezwerts. Modere Mathematik icht mehr über Begriffe, soder durch grudlegede Eigeschafte festgelegt. Axiome vo Kolmogorow: Eie Fuktio P : (Ω), die jedem Ereigis A aus (Ω) eie reelle Zahl zuordet, heißt Wahrscheilichkeitsmaß (Wahrscheilichkeitsfuktio), we gilt: I) P(A) 0 (Nichtegativität) II) P(Ω) (Normierug) III) A Β P(A B) P(A) + P(B) (Additivität) Bemerkug: Fuktioe mit I) ud III) heiße Maße, z.b. Läge-, Fläche-, Wikelmaß. Diese Axiome etstamme weitestgehed der Aschauug ud erfülle die Bediguge: - Widerspruchsfreiheit - Miimale Azahl Aus de Axiome ud zusätzliche Defiitioe werde weitere Aussage hergeleitet. Bemerkeswert: Nach dieser Defiitio ist ichts über die zahlemäßige Wahrscheilichkeit eies Elemetarereigisses ausgesagt. Dieser wird i der Realität durch seie relative Häufigkeit bestimmt( P(A) : lim h (A); Mises) oder bei idealisierte Voraussetzuge der Gleichwahrscheilichkeit vo Ereigisse (P(A): Azahl der güstige Ergebisse ; Laplace) durch logische Überleguge. Azahl der mögliche Ergebisse z.b. idealer Würfel: {ω} P({ω}) z.b. idealer Tetraeder Pascal, Fermet v. Mises Kolmogorow

5 2.2 Folgeruge aus de Axiome vo Kolmogorow Aus de Kolmogorow-Axiome leite sich umittelbar folgede füf Sätze her, vo dee S ud S5 besoders wichtig sid: Satz : P (A) + P ( A ) Begr: (Ax2) P (Ω) (I.3) P (A A ) (Ax3) P (A) + P( A ) weil A A Satz 2: P( ) 0 Begr: Wege Ω {} gilt ach S: P (Ω} + P ( ) Daebe gilt ach Ax2: + P ( ) > P ( ) 0 Satz 3: A B > P (A) P (B) (Mootoie des W Maßes) Begr: A B > B A ( A B) mit A ( A B) Ax3: P (B) P (A) + P ( A B) > P (B) P (A) 0 Satz 4: P (A A2... Am) P (A) + P (A2 ) P (Am) Begr: Erweiterug vo Ax3, falls alle Ai, Aj paarweise uvereibar. Satz 4: P (A B) P (A) + P (B)- P (A B) Satz vo Sylvester A B A (A B) Begr: je uvereibar B (A B) (A B) Ax3: P(A B) P(A) + P(A B) () P(B) P(A B) + P(A B) (2) (2) i ()... P (A B) P (A) + P (B)- P (A B) Satz vo Sylvester für drei Ereigisse P (A B C) P (A) + P (B) + P (C) - P (A B) - P (A C) - P (B C) + P (A B C) Ausblick: Wir besitze eie axiomatische Theorie, die alle Eigeschafte der empirische, relative Häufigkeit etspricht (vgl. Gesetze vo.2). Ugeklärt bleibt, wie ma im kokrete Experimet die Wahrscheilichkeit vo Ereigisse fidet. 2

6 2.3 W verteiluge bei mehrstufige Zufallsexperimete Passt zwar thematisch icht so gut rei vor 2.4, wird aber sost sehr theorielastig. Beispiel: Eie Ure ethalte 3 rote, 2 schwarze ud grüe Kugel. Ma zieht drei Kugel ohe Zurücklege. Mit welcher Wahrscheilichkeit ist die dritte Kugel rot? Bei oberster Verzweigug zusamme mache, de Rest selbst A oberste Ast erläuter: I der Hälfte aller Fälle wird im erste Zug eie rotee Kugel gezoge > ud i /5 aller Fälle da och im zweite eie grüe > Zahle multipliziere. Pfadregel Die Wahrscheilichkeit eies Elemetarereigisses erhält ma durch Multiplikatio der Wahrscheilichkeite auf seiem Pfad. 2. Pfadregel: Die Wahrscheilichkeit eies Ereigisses bei eiem mehrstufige Zufallsexperimets ist die Summe der Wahrscheilichkeite aller zugehörige Pfade. 3

7 2.4 Eiführug der Wahrscheilichkeitsverteilug Statt des uhadliche Wahrscheilichkeitsmaßes (Defiitiosbereich IP (Ω)) strebe wir eie eifachere Fuktio a ud betrachte hierzu die Elemetarereigisse. Sei Ω {ω, ω2,..., ωm} Da: () alle {ωi} für i m paarweise uvereibar (2) {ω} {ω2}... {ωm} Ω () (2) P({ω})+P({ω2})+...+P({ωm}) Dabei sid wir i der Wahl der jeweilige reelle Zahle P({ωi}) frei, soweit ur die Axiome aus 2. erfüllt sid. Defiitio Die Fuktio P : {ωi} -> P({ωi}) für i m et ma Wahrscheilichkeitsverteilug, we gilt: () P({ωi}) 0 (2) P({ ω i }) m i Beispiel: Werfe eies Würfels Zuordug reeller Zahle zu de Elemetarereigisse ω P({ω}) /4 0 /4 /3 0 /6 Σ P2({ω}) /2 /4 0 0 /4 0 Σ P3({ω}) /6 /6 /6 /6 /6 /6 Σ /2 0-3/4 ¼ /2 ½ Σ /3 /2 0 /4 /2 /3 Σ > Bemerkuge:. Die 4. ud 5. Zeile sid keie W-Verteiluge! 2. Wahrscheilichkeit für beliebige Ereigisse als Summe der Elemetarereigisse A: Gerade Zahl P ({A}) W-Maß ist a 2 m Stelle, W-Verteilug a m Stelle defiiert > Vereifachug 4. Zu eiem Experimet gibt es uedlich viele Verteiluge, über dere Zutreffe empirisch etschiede werde muss. Ma spricht daher vo Uvollstädigkeit des Axiomesystems. B A B C A B C A B C A B C Nicht B A B C A B C A B C A B C Nicht C C Nicht C 4

8 2.5 Laplace- Experimete Machmal sid alle Elemetarereigisse gleichwahrscheilich. Beispiel dazu? Natürlich hägt dieses vo der Wahl des Ergebisraums ud der Wahrscheilichkeitsverteilug ab: Zweimal Würfel: Wer sagt eie Ergebisraum, bei dem alle Elemetarereigisse gleiche Wahrscheilichkeit habe: ( );... oder ( );(2 2);...aber zum Beispiel Augesumme 2;3,4;...;2 > Geschickte Wahl Bsp: Eimaliger Würfelwurf ω P({ω}) /6 /6 /6 /6 /6 /6 Schafkopf (Wahrscheilichkeit, dass Spieler vo 4 Oid hat, Roulette /37)... Defiitio () Eie W-Verteilug heißt gleichmäßig, we alle Elemetarereigisse die gleiche Wahrscheilichkeit besitze. (2) Ei Experimet mit gleichmäßiger Wahrscheilichkeitsverteilug heißt Laplace- Experimet. Formel: Für ei Elemetarereigis gilt: P ({ω}) / Ω Für ei Ereigis A, das aus A Elemetarereigisse besteht, gilt: P(A) P ({ω}) / / A / Ω ω Ω A Azahl der güstige Ereigisse P ({ω}) A / Ω (Formelsammlug!) Ω Azahl der mögliche Ereigisse Ma et eie Würfel Laplace-Würfel oder L-Würfel, we alle Elemetarereigisse gleich wahrscheilich sid. Beispiel: Drei-Midestes-Aufgabe mit eiem Laplace-Würfel Wie oft muss ma eie L-Würfel midestes werfe, damit mit eier Wahrscheilichkeit vo midestes 97% midestes eimal die Sechs fällt? E: Bei Würfe midestes eimal Sechs P (E) > 0,97 Midestes eimal ist Gegeereigis zu Keimal P(E) P( E ) > 0,97 - (5/6) > 0,97 (5/6) > 0,03 l ((5/6) ) l (0,03) > Lösugsweg für ei Laplace-Experimet im Beispiel gleichzeitiges Werfe zweier Würfel : Gesucht wird die Wahrscheilichkeit für die Ereigis A: Augesumme 4, B: Augesumme mid. 0 C: Augesumme icht 3 ud die wahrscheilichste Augesumme.. Kostruktio eies geeigete Ergebisraums Ω, desse Elemete gleichwahrscheilich sid. 2. Bestimmug der Mächtigkeite der betrachtete Ereigisse zu : Ma muss küstlich eie Würfelreihefolge eiführe, sost wäre P () P (2) Zur eifache Berechug der Mächtigkeite glieder wir das Ergebis schematisch ach Augesumme: 5

9 A_Summe Erg-Raum Also: Ω 36 ud p /36 zu 2. Die Mächtigkeite ergebe sich durch Auszähle der Elemete i eiem Ereigis oder seiem Gegeereigis. P(A) 3/36 /2; P (B) 6/36 /6; P (C) 2/36 34/36 7/8; 7 ist die wahrscheilichste Augesumme. S42/-5 6

10 2.6 Kombiatorik a Allgemeies Zählprizip Beispiel: Bereche die Wahrscheilichkeit dafür, dass eie willkürlich aus dem Itervall [00, 999] herausgegriffee atürliche Zahl aus lauter verschiedee Ziffer besteht. Ω {00, 0, 02,..., 999} Ω A: Zahl besteht aus lauter verschiedee Ziffer A {02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 20,..., 987} A? A {(a a2 a3) a {,2,...,9}, a2,3 {0,,2,...,9}, a, a2, a3 paarweise verschiede} Mgk. A P (A) 9 9 8/00 72 % Satz : Zählprizip zum Abzähle vo Tupel Gibt es bei eiem -Tupel (a a2.. a) für die Besetzug der Stelle k Möglichkeite Stelle k2 Möglichkeite te Stelle k Möglichkeite, so gibt es isgesamt k k2... k mögliche Tupel. Weitere Beispiele:. er-wette beim Fußballtoto: Ω {(a a2... a) a a2,...,a {0,,2}} Ω A eiem Pferderee ehme 20 Pferde teil. Beim Wettabschluss solle die erste drei Plätze richtig getippt werde. Wie viele Möglichkeite? Ω {(a a2 a3) a,a2,a3 {,2,...20}, a, a2, a3 paarweise verschiede } Ω

11 b Die geordete Stichprobe mit Zurücklege Beispiele:. Aus eier Ure mit 5 (Billard!) durchummerierte Kugel wird viermal (allgemei: k-mal) eie Kugel gezoge ud zurückgelegt. viermal: Ω Ω Ω2 Ω3 Ω (ach Satz )) k-mal: Ω 5 k 2. Möglichkeite beim Spiel Stei, Schere, Papier (Aalog: Aus eier Ure mit drei uterscheidbare Kugel wird zweimal mit zurücklege gezoge.) Spieler : 3 Möglichkeite, Spieler 2: 3 Möglichkeite Ω Ω Ω Wie viele zweistellige Zahle lasse sich aus {; 2; 3; 4} bilde, we Wiederholug erlaubt ist? Nach a) ergebe sich Ω Ω Ω2 4² Möglichkeite. Satz 2: Aus uterscheidbare Objekte i eier Ure werde acheiader ud mit zurücklege k Objekte etomme. Azahl der Tupel der Läge k (k-tupel) aus eier Mege mit Elemete. Mächtigkeit des Ergebisraumes: Ω k 8

12 c Geordete Stichprobe ohe Zurücklege Permutatioe Beispiele:. A, B, C solle a die Tafel komme ud sich auf eie Stuhl setze. Wie wahrscheilich war es (Sympathie außer Acht gelasse), dass der Juge zwische de Mädche sitzt? Ausprobiere, da: wie viele Möglichkeite hat der erste, wie viele der zweite...: Ω 3 2 E 2 P(E) /3 Defiitio Das Produkt der erste atürliche Zahle et ma Fakultät:! ( )... 2 mit! ud 0! 2. Eie -köpfige Familie setzt sich auf die Plätze eies rude Tisches. Wie viele Möglichkeite? Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass sie i der Reihefolge ihres Alters sitze (uter Beachtug des Drehsis)? Betrachte zuächst de Fall 5: Gesamtazahl der Möglichkeite:! Im Fall 5:! 20 E: Zyklus, d.h. z.b: (2345) (3452)... E 5 (ohe Beachtug des Drehsis: 0 ) allgemei: E (o. B. d. D: 2) P (E) 5/20 /24 allgemei: P (E) /! /( - )! 3. Wie viele zweistellige Zahle lasse sich aus {,2,3,4} ohe Wiederholug bilde? ach Satz : Ω 4 3 4! 2 2! Satz 3: Aus uterscheidbare Objekte werde acheiader ohe Zurücklege k Objekte etomme. k Permutatioe eier -Mege lat. permutare, veräder, wechsel, vertausche! Mächtigkeit des Ergebisraumes: Ω ( )... ( k + ) ( k)! Hiweis auf Tascherecher, Pr 4. 3 Schüler aus dem Kurs auf Plätze bei Wettree: Beispiel: Eie Ure ethält 26 Kugel für die Buchstabe des Alphabets. Mit welcher Wahrscheilichkeit erhält ma bei zehmal ziehe ohe/mit Zurücklege das Wort STICHPROBE? 26! Ωohe > p 0,5 0-3 (26 0)! Ωmit 26 0 > p 0,

13 d Geordete Stichprobe o. Z. mit mehrfach gleiche Elemete Wie viele verschiedee Möglichkeite gibt es, die Buchstabe i LILLI zu uterscheidbare Zeichefolge zu arragiere? Bemerkug: Zieht ma aus eier -Ure -mal, so spricht ma vo eier Vollerhebug. Nach c gibt es dabei uter Beachtug der Reihefolge! Variate für die Aordug, falls alle Elemete uterscheidbar sid. Beispiele. Gesucht ist die Azahl der 0-stellige Zahle mit geau 2-mal Ziffer 7 3-mal Ziffer 5-mal Ziffer 9 also z. B Dies etspricht eiem Ureexperimet mit 0-maligem Ziehe aus eier 0-Ure. Falls alle Ziffer uterscheidbar wäre, gäbe es 0! Möglichkeite. Da die 7er icht uterscheidbar sid, gibt es ur halb so viele Möglichkeite, wege der 6er verschmelze jeweils 3! dieser Möglichkeite... 0! Isgesamt also 2520 Möglichkeite. 2! 3! 5! Satz 4 Aus Objekte eier Ure, vo dee ur p verschiede sid ud das erste mal, das zweite 2 mal u. s. w. vorkommt, werde acheiader ohe Zurücklege alle gezoge. Permutatioe eier -Mege mit p verschiedee Elemete.! Mächtigkeit des Ergebisraumes: Ω!!...! Dabei gilt: p ud p i i 2 2. Auf wie viele verschiedee Arte lasse sich die Buchstabe im Wort MISSISSIPPI aorde?! Ω 34650!4! 4!2! 3. Alle Permutatioe vo AAS, OTTO, LILLI 3! Ω 3 AAS, ASA, SAA 2! 4! Ω 2 6 OOTT, OTOT, OTTO, TOOT, TOTO, TTOO 2!2! 5! Ω 3 0 IILLL, ILILL, ILLIL, ILLLI, LIILL, LILIL, LILLI, LLIIL, LLILI, LLLII 3!2! p 4. Wie viele Permutatioe vo HALLELUJA gibt es? Mit welcher Wahrscheilichkeit erhält ma bei viermaligem Ziehe mit/ohe Zurücklege aus der Ure das Wort ULLA? 9! a) Ω !3! b) Pm (ULLA) 0, c) Po (ULLA) 0,

14 e Ugeordete Stichprobe ohe Zurücklege 00, 00 ud 00 solle a Schüler der Klasse verschekt werde. Wie viele mögliche Verlosugsausgäge gibt es dabei: 27*26*25, aber Reihefolge uter de 3 gezogee iteressiert mich icht, deshalb sid immer 3! 6 Fälle gleich. Daher Azahl 27! /(24! 3!) Für eie Stichprobe ohe Beachtug der Reihefolge (ugeordete Stichprobe) etimmt ma k Objekte acheiader ud betrachtet sie als Mege (wie beim Lotto) oder zieht sie mit eiem Griff, d.h. (,2,3) (3,2,). Beispiele:. Wie viele verschiedeziffrige Teilmege zweier Elemete lasse sich aus {,2,3,4} etehme? geordet: 4! Ωg 2 ach c) (4 2)! ugeordet: Ωu Ωg / Dasselbe mit k 3 Teilmege der 4 Mege {,2,3,4}: Geordet: Ωg { 23; 32; 23; 23; 32; 32; <- k! 6 Permutatioe vo 23 24; 42; 24; 24; 42; 42; <- k! 6 Permutatioe vo 24 34; 43; 34; 34; 43; 43; <- k! 6 Permutatioe vo ; 243; 324; 342; 423; 432} <- k! 6 Permutatioe vo 234 Ugeordet: Ωu { 23; 24; 34; 234 } Jedes Elemet i Ω hat mit Reihefolge geau k! Permutatioe.! 4! Also Ω 4 ( k)!k! 3!(4 3)! Satz 5: Aus uterscheidbare Objekte eier Ure werde k auf eimal herausgegriffe. k- Teilmege eier -Mege k-kombiatioe eier -Mege. 0, falls k > Mächtigkeit des Ergebisraumes: :! k falls 0 k ( k)!k! heißt Biomialkoeffiziet. Lies: k aus oder über k. Tascherecher: Cr k Beispiel: Uter 30 Glühbire sid 2 defekt. Mit welcher Wahrscheilichkeit sid vo a) 2 gezogee Bire beide, b) 3 gezogee Bire eie defekt? P(A) A 2 B 2 0,00023 P(B) 0, Ω 30 Ω

15 f Ugeordete Stichprobe mit Zurücklege Satz 6 (Beweis müdlich): Aus uterscheidbare Objekte eier Ure werde k mit Zurücklege gezoge ud die Reihefolge icht beachtet. + k Mächtigkeit des Ergebisraums: Ω k Beweisidee siehe Folie Beispiel Aus eier Ure mit 5 (Billard!) durchummerierte Kugel wird viermal eie Kugel gezoge ud zurückgelegt, ohe auf die Reihefolge zu achte. Ω g Zusammefassug Azahl beim Ziehe vo k Elemete aus Mit Wiederholug Ohe Wiederholug Mit Beachtug der Reihefolge k (k-tupel)! (k-permutatioe) ( k)! Ohe Beachtug der Reihefolge + k (k-kombiatioe) k (k-mege) k 22

16 23 h Eigeschafte der Biomialkoeffiziete Eigeschafte:. 0 ud daraus: 0! ud! 2. k k 3. k k) (... ) ( k k k k 5. 0 k 2 k

17 24 i Typische Aweduge. Wahrscheilichkeit, dass beim Ziehe vo Kugel aus eier Ure mit N Kugel geau s schwarz sid, we die Ure S schwarze Kugel beihaltet: Z: Azahl schwarzer Kugel ) Ziehe ohe Zurücklege: P(Z s) N s S N s S Auch Herehme bei gleichzeitigem Ziehe der Kugel! 2) Ziehe mit Zurücklege P(Z s) s s N S N N S s oder kürzer mit p N S ud q p N S N P(Z s) s s q p s 2. I eier Schachtel mit 2 Tischteisbälle sid 3 ubrauchbar. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, beim Ziehe vo 4 Bälle höchstes eie ubrauchbare zu etehme? X: Azahl ubrauchbarer Bälle P (X ) P (X 0) + P (X ) , Geburtstagsprobleme Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass zwei (zufällig ausgewählte) Persoe a verschiedee Tage Geburtstag habe (ohe Schaltjahr)? Ω 365²; A > P 364/365 0,99726 Bei drei Persoe: Ω 365³; A > P /365² 0,9980 Bei k Persoe: Ω 365 k ; A (365 k + ) > P k)! ( ! 365 k (Hiweis auf 365 Pr k) Speziell: k 9: P 62, % (W keit bei 62% 38%, dass 2 am gleiche Tag habe!) k > 365: P 0% 4. I eier Schublade befide sich 4 rote, 2 gelbe ud 6 blaue Socke. Im Dukel werde zwei Socke etomme. Mit welcher Wahrscheilichkeit sid diese gleichfarbig? P I eier Ure befide sich 2 gelbe ud 4 blaue Kugel. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass sich uter 8 gleichzeitig gezogee Kugel geau 4 gelbe befide? P % 3,

18 3 Bedigte Wahrscheilichkeit 3. Eiführug Beispiel J M M A: 5a 4 25 A : 5b Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass ei Kid aus der Klasse 5a ist, uter der Bedigug, dass es ei Mädche ist? Schreibweise: PM (A) A M Aus der Tabelle: PM (A) M 28 A M im Uterschied zu P (A M) Ω Doch: was tu, we die obige Tabelle ur aus Prozetagabe besteht? J M M A: 5a 25,45% 20,00% 45,45% A : 5b 23,64% 30,9% 54,55% 49,09% 50,9% Ka ma PM (A) auch ur mit Hilfe vo Wahrscheilichkeite bereche? M P (M) Ω ud P (A M) A M Ω A M Ω P(A M) > PM (A) M P(M) Ω Defiitio (Ω, P) (Ergebisraum; W verteilug) sei ei Wahrscheilichkeitsraum. Ist B ei Ereigis mit P (B) > 0 ud A ei beliebiges Ereigis, so heißt P(A B) PB(A) die bedigte Wahrscheilichkeit vo A uter der Bedigug B. P(B) 25

19 3.2 Bedigte Wahrscheilichkeite ud Baumdiagramm Beispiel aus 3.:. Ure: 28 M, 27 J. Zug: M > 2. Ure (5a), 7 (5b). Zug: W > 2. Ure 4 (5a); 3 (5b) Start P(M) 28/55 P(J) 27/55 M J PM(A)/28 A P(A M)/55 PM( A )7/28 A... PJ(A)4/27 A... PJ( A )3/27 A... bedigte W keite Beachte: A de Äste stehe bedigte Wahrscheilichkeite, die häufig vo der Vorgeschichte abhäge. Beispiel: Aus 3 Kartos mit Glühbire wird eier ausgewählt ud daraus eie Bire geprüft. Mit welcher Wahrscheilichkeit ist sie defekt, we sich im erste Karto 200 Bire befide, wovo 2% defekt sid.... zweite Karto 00 Bire befide, wovo % defekt sid.... dritte Karto 50 Bire befide, wovo 2% defekt sid. Ki: Karto i wird utersucht d bzw. g: getestete Bire kaputt/gaz P(K) P( K2) P(K3) PK(d) PK(g) PK2(d) PK2(g) PK3(d) PK(g) P(K d) P(K d) P(K d) P(K d) P(K d) P(K d) P (K)PK(d) P (K2)PK2(d) P (K2)PK2(d) P (defekt) + + 5%

20 3.3 Eigeschafte der bedigte Wahrscheilichkeit Beachte:. PA (B) ka sowohl >, als auch < P (B) sei 2. PA(A) 0, falls A B {} 3. PA(B), falls A B A 4. P (B) P (B), da im Neer steht. 5. Gleiche Eigeschafte wie für gewöhliche Wahrscheilichkeite PA (B) + PA ( B ) PA (B C) PA (B) + PA (C)- PA (B C) 6. Neu: Produktregel P (A C) P (A) PA(C) aus Defiitio P (A B C) P (A B) P A B (C) P (A) PA (B) P A B (C) Beispiel: Die Produktregel ka oft alterativ zur Kombiatorik geutzt werde. Aus eier Ure mit Kugel -5 wird zweimal mit Beachtug der Reihefolge ud ohe Zurücklege gezoge. Wie wahrscheilich ist das Ereigis (23) Kombiatorik P (23) 3!/5! /20 E: Die erste Kugel ist eie 2 E2: Die zweite Kugel ist eie 3... P (E) /5 PE(E2) /4 P (E E2) PE(E2) P (E) /4 /5 /20 27

21 3.4 Die Formel vo Bayes Beispiel 60% der Touriste auf dem Oktoberfest trage eie Sepplhut. Es gibt dort 5 mal mehr Touriste als Bayer. Nur jeder füfte Bayer trägt eie Sepplhut. Mit welcher Wahrscheilichkeit ist jemad mit eiem Sepplhut ei Bayer? Geg.: PT(S) 0,6; P(T) 5/6; P T (S) 0,2 Ges.: PS( T ) Baumdiagramm Start P(T) 5/6 T PT(S) 0,6 S P(T) PT(S) S P(T) PT( S ) P T (S) 0,2 S P( T )P T (S) P( T ) /6 T S P( T )P T ( S ) Lösug:... /6 Oder mit Rechug: P(S T) P (S) P(T) T PS (T) P(S) P(T) P (S) + P(T) P (S) T T Formel vo Bayes Ist A, A eie zweielemetige Zerlegug vo Ω, ud C ei Ereigis mit P(C) > 0, so gilt: P (C) P(A) A PC (A) P(A) P (C) + P(A) P A A (C) Für eie -elemetige Zerlegug vo Ω gilt die Formel auf S. 07 der Formelsammlug (icht im Lehrpla)! S. 74/6, 7 (eie davo als HA!) Als HA och 72/8 28

22 4 Uabhägigkeit 4. Uabhägigkeit zweier Ereigisse Eiführug (Folie: Lotto-Ziehugshäufigkeite) Sid blode Mesche wirklich doofer als adere Mesche? Sid die Merkmale B ud D stochastisch uabhägig? Es gilt: P(B) 2%; P(D) 30 % Ka ma hier scho deutlich erkee, ob blode Mesche doof sid? Wir brauche och de Ateil der Doofe a de Blode. P(B D) 3,6%. Sei A die Azahl der getestete Mesche. Frage: Sid die Blode geauso doof wie alle? Ateil der Doofe uter alle Ateil der blode Doofe a de Blode P(D) A P(D B) A A P(B) A P(D B) 3,6% P(D) ; 30 % P(B) 2% (wahr!) > B,D sid uabhägig. Produktformel Zwei Ereigisse A ud B heiße stochastisch uabhägig, we gilt: P(A) P(B) P(A B). Merke: Nicht verwechsel: We A ud B uvereibar sid, gilt: P(A B) P(A) + P(B) (Summeformel) Beispiele. 8 Schüler (0 w, 8 m) fahre auf Kursfahrt. 6 Fraue ud 3 Mäer wolle abeds i die Disko. Sid die Ereigisse W: Eie zufällig gewählte Perso ist weiblich ud D: Eie zufällig gewählte Perso will i die Disko. uabhägig? P (W) 5/9 P (D) ½ P (W D) /3 > abhägig (Die Fraue wolle überproportioal häufig i die Disko) 2. Für welche Ereigisse gilt, dass E ud E uabhägig sid? P (E) P (E) P (E) > P (E) 0 oder P (E) 3. Beweise uter Agabe des Geltugsbereichs des Satzes: Zwei uvereibare Ereigisse sid abhägig! uvereibar: A B > P (A B) 0 uabhägig: P (A B) P (A) P (B) Der Satz gilt, we P (A) 0 ud P (B) 0 Es gilt: A, B uabhägig A,B uabhägig A, B uabhägig (Mache Sie sich das am Blod-doof-Beispiel klar!) Zum Beweis: P( A B) P ((Ω\A) B) P(B\(A B)) P(B)-P(A B) (Uabh. vo A, B) P (B) P(A)P(B) (-P(A)) P(B) P( A )P(B) 29

23 4.2 Uabhägigkeit vo drei ud mehr Ereigisse Beispiel Fritz hat am die Fächer Mathe, Deutsch ud Chemie vo Diestag bis Freitag. Sei Ω {Di, Mi, Do, Fr} (Laplace-verteilt) mit M {Di, Fr}, D {Do, Fr}, C {Mi, Fr} M, D, C sid offesichtlich paarweise uabhägig, da z. B: P (M D) ¼ ½ ½ P (M) P (D) u. s. w. Dagege sid C ud M D abhägig, de P (C (M D)) P ( C M D) ¼ /8 P (C) P(M D) (We ma gleichzeitig (a eiem Tag) Mathe ud Deutsch hat, hat ma sicher auch Chemie) Vollstädig uabhägig sid drei Ereigisse A, B, C aber erst da, we sie ebe der paarweise Uabhägigkeit auch die Uabhägigkeit jedes Ereigisses vom gleichzeitige Eitrete der beide adere erfülle, also: P (A (B C)) P (A) P (B C) P (A) P (B) P (C) P (B (A C)) P (B) P (A C) P (B) P (A) P (C) P (C (A B)) P (C) P (A B) P (C) P (A) P (B) Diese drei Gleichuge lasse sich zusammefasse i P (A B C) P (A) P (B) P (C) Defiitio. Drei Ereigisse A, B, C heiße stochastisch uabhägig, we gilt: a. Je zwei der Ereigisse sid paarweise uabhägig (wie i 4. defiiert) b. Es gilt die Produktregel für drei Ereigisse: P(A B C) P(A) P(B) P(C) 2. Ereigisse A, A2,..., A heiße stochastisch uabhägig, we für jede Kombiatio vo zwei oder mehr voeiader verschiedee Ereigisse die Produktregel gilt. 30