Proseminar zur Diskreten Mathematik Ilse Fischer 1, WS 06/07

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1 Prosemiar zur Disrete Mathemati Ilse Fischer 1, WS 06/07 (1 I eier Schachtel sid 4 rote, 2 blaue, 5 gelbe ud 3 grüe Stifte We ma die Stifte mit geschlossee Auge zieht, wieviele muss ma ehme, um sicher vo jeder Farbe eie zu habe? (2 I eier Lade sid 4 rote, 2 blaue, 5 gelbe ud 3 grüe Soce We ma u die Soce mit geschlossee Auge zieht, wieviele muss ma ehme, um sicher zwei gleichfarbige Soce zu habe? (3 (a Vo 6 Persoe sid mache miteiader befreudet ud mache icht Zeige, dass zwei vo ihe gleichviele Freude i dieser Gruppe habe (Hiweis: I diesem Beispiel gibt es eie eiseitige Freudschafte Betrachte die Fälle, dass jemad gar eie Freude hat ud dass alle midestes eie Freud habe, getret (b Zeige, dass es i Wie zwei Persoe gibt, die mit der gleiche Azahl vo Wieer befreudet sid (4 Eie Maus fidet eie große Würfel Käse, der aus 27 leie gleichgroße Würfel besteht Ist es möglich, dass die Maus die 26 äußere Würfel so frisst, dass immer ur diret beachbarte Würfel acheiader draomme? (5 Es sid eiige Müze gegebe, vo dee eie leichter ist, die adere alle gleich schwer Was ist die größte Azahl vo Müze, uter dee ma mit zwei Wäguge mit eier Balewaage sicher die leichtere herausfide a? (6 Beim Lotto 6 aus 45 werde aus de Zahle 1 45 zufällig sechs gezoge Da wird och eie siebete als Zusatzzahl bestimmt Wie hoch ist die Wahrscheilicheit für eie Sechser, wie hoch für eie Füfer ud wie hoch für eie Füfer mit Zusatzzahl? (7 Wie hoch ist die Wahrscheilicheit bei 6 aus 45, dass uter de 6 gezogee Zahle zwei aufeiaderfolgede Zahle sid? (8 (a 6 Persoe spiele bei eiem (leie Teisturier mit Auf wieviele Arte a ma sie i drei Paare für die erste Rude eiteile? (b Löse dieselbe Aufgabe für 2 Persoe (9 Zeige, dass folgedes gilt: ( ( < < < 0 1 ( ( > /2 /2 ( (Diese Eigeschaft heisst Uimodalität des Biomialoeffiziete 1 ispiriert durch Übugsbeispiele vo Joha Cigler, Theresia Eiseölbl ud Christia Krattethaler

2 2 (10 Ma gebe ombiatorische Beweise für die folgede Biomialidetitäte: (a ( ( 1 1 (Aleitug: Wieviele Möglicheite gibt es, aus eier - elemetige Mege eie -elemetige Teilmege auszuwähle ud i dieser ei Elemet rot, die restliche Elemete gelb zu färbe? (b i ( i 2 1 i0 (11 Ma gebe ombiatorische Beweise für die folgede Biomialidetitäte: (a ( +1 ( +1 m m ( m m (b ( ( ( m m (12 Es sei S eie -elemetige Mege Wieviele Folge (T 1, T 2,,T vo Teilmege vo S gibt es, sodass T 1 T 2 T? (13 Im Parlamet eies Lades gibt es 151 Sitze ud drei Parteie Wieviele Möglicheite der Sitzverteilug gibt es, sodass eie Partei eie absolute Mehrheit hat? (14 Welche Idetität für Biomialoeffiziete ergibt sich durch Ablese des Koeffiziete vo z 2 auf beide Seite der Gleichug (1 z 2 (1 z (1 + z? (15 Wieviele Kompositioe vo i lauter ugerade Summade gibt es? (Drüce die Atwort durch Fiboaccizahle aus (Hiweis: Falluterscheidug letzter Summad ist 1 oder grösser (16 Verwede erzeugede Futioe, um geschlossee Ausdrüce für die folgede Folge zu bereche: (a a 2a 1 a 2 ud a 0 1, a 1 2 (b a 5a 1 6a 2 ud a 0 2, a 1 5 (17 Zeige, dass die Multipliatio vo formale Potezreihe assoziativ ud ommutativ ist (18 Wieviele Möglicheite gibt es, ei 2 Rechtec mit 2 1 Domios ud 2 2 Quadrate zu überdece? (19 Es sei f(m, die Azahl der Wege vo (0, 0 ach (m, i Z Z, wobei die eizele Schritte vo der Form (1, 0 (Schritt i die x-richtug, (0, 1 (Schritt i die y-richtug oder (1, 1 (diagoaler Schritt sid Ma zeige, dass für die erzeugede Futio dieser Zahle f(m, x m y 1 1 x y xy gilt m, 0

3 (20 Für ei Fest ist ei ruder Tisch mit 7 Sessel ud 7 Namesschilder vorbereitet Die Gäste übersehe die Namesschilder ud setze sich zufällig so hi, dass iemad am richtige Platz sitzt Zeige, dass ma de Tisch so drehe a, dass midestes zwei der Gäste vor dem richtige Namesschild sitze (21 Zeige, dass die Zusammesetzug vo Potezreihe assoziativ ist, dh präsetiere de Beweis vo Satz 22 (22 Es seie a(z, b(z Potezreihe ud Z Beweise folgede Recheregel für de Differetiatiosoperator (a D(a b (D a b + a (D b (b D(a a 1 (D a (Für < 0 muss ma a 0 0 voraussetze (c Ist b 0 0, da ist ( a D b (D a b a (D b b 2 (23 Es seie a(z, b(z Potezreihe mit b 0 0 ud b 1 0 Da ist D(a b ((D a b (D b (24 Es sei α R Wir defiiere die Biomialreihe B(α(z : ( α z, 0 wobei ( α α(α 1 (α + 1! Zeige, dass (a B(α(z (1 + z α, we α Z, ud (b B(α(z B(β(z B(α + β(z für alle α, β R (25 Wieviele Möglicheite gibt es für Persoe eie Kreis zu bilde, wobei zwei Aorduge als gleich betrachtet werde solle, we jede Perso i beide dieselbe NachbarIe hat (icht ubedigt auf deselbe Seite? (26 Fide eie geschlossee Ausdruc für die Glieder der Folge (a 0, die der Reursio a a 1 +2a 2 +( 1 mit de Afagsbediguge a 0 a 1 1 geügt (27 Fide eie geschlossee Ausdruc für die Glieder der Folge (a 0, die der Reursio a a 1 + 5a 2 3a 3 mit de Afagsbediguge a 0 7, a 1 12, a 2 49 geügt 3

4 4 (28 Auf wieviele Arte a ei 3 2-Rechtec mit Domiios überdect werde? (Hiweis: Bezeiche mit a diese Azahl ud mit b die Überdecuge eies solche Rechtecs, bei dem i der letzte Spalte ei Domio fehlt Zeige, dass a a 1 + 2b ud b a 1 + b 1 Leite daraus Gleichuge für die erzeugede Futioe a ud b her, aus dee sich a ud b bereche lässt (29 Fide eie geschlossee Ausdruc für die Folge mit a 0 1 ud a a 1 0 (30 Fide ombiatorische Beweise für die folgede beide Idetitäte: (a S( + 1, m + 1 S(, m (b B +1 0 ( B m ( (31 Wir defiiere p m (x x(x 1 (x m+1 Zeige, dass p m ( p m+1 (+ 1/(m+1 für m 1 (Hiweis: p m (x 1 (p m+1 m+1(x + 1 p m+1 (x Beütze das ud die Stirligzahle, um m für m 1, 2,, 5 zu bereche 0 (32 Zeige, dass die Azahl aller Partitioe eier -elemetige Mege, wo i eiem Bloc zwei aufeiaderfolgede Zahle ethalte sid, gleich der Bellzahl B 1 ist (33 Zeige B <! für alle > 2 (Hiweis: Fide eie Permutatio zu jeder Partitio (34 Für welche Folge [ 1, 2,, ] ergibt sich die größte Azahl a Permutatioe i S mit Zyletyp (35 Fide eie ombiatorische Beweis für die Gleichug I +1 I + I 1, wobei I die Azahl der Ivolutioe i S ist (36 Bereche die folgede Summe (a (b (c i1 ji i j 0 j ( j 3 2 j ( 1 2 ( 3 1 x 2 0

5 (37 Es sei ϕ( die Azahl der zu relativ prime Zahle mit 1 Beweise mit dem Prizip vo Ilusio ud Exlusio, dass ϕ( ( 1 1 p p 5 (38 Es sei f(m, die Azahl der m -Matrize mit Eiträge 0 ud 1, wobei i jeder Zeile ud Spalte zumidest ei Eiser voromme soll Beweise die Gleichug ( f(m, ( 1 (2 1 m (39 Bereche (40 Bereche (41 Bereche (42 Bereche ( ( 2 ( ( 2 2 ( 1 + a ( (43 Zeige, dass es für ud q 2 geau da eie vollstädige q-baum mit Blätter gibt, we q 1 ei Teiler vo 1 ist (44 Es seie m Leute i eiem m -Rechtec ageordet Wir solle die ubeate Perso X durch Frage der Art Ist X i der i-te Zeile?, beziehugsweise Ist X i der j-te Spalte? fide Wieviele Frage beötige wir? (45 Es sei S {1, 2,, } gegebe ud x S ei ubeates Elemet Zur Verfügug stehe ur die Tests x < i? für i 2, 3,, mit ja/ei Atworte Zeige, dass L log 2 die optimale Läge eies Suchalgorithmus ist