KOMBINATORIK. A) Permutationen: n! = n (n-1) (n-2) Beispiele :

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1 KOMBINATORIK Sie utersucht die verschiedee Möglicheite der Aordug vo Gegestäde, das öe Zahle, Buchstabe, Persoe, Versuche,... sei. Wir ee sie Elemete ud bezeiche sie mit Kleibuchstabe. Die Zusammestelluge aab, aba, baa gelte ur da als verschiede, we ihre Aordug berücsichtigt wird. A) Permutatioe: Eie Zusammestellug eier edliche Azahl vo Elemete i irgedeier Aordug, i der alle Elemete verwedet werde, heißt Permutatio. Azahl der Permutatioe ( vo verschiedee Elemete ): 5! = ! = 1 0! = 1! = (-1) (-)... 1! = Faultät, Fatorielle P() =! = (-1) P1 : Aus 3 Ziffer 1,3,5 lasse sich 3! = 3 1=6 verschiedee 3-stellige Zahle bilde : P : Auf wie viele Arte a ei Fußballtraier die 11 Spieler seier Maschaft die Positioe tausche lasse? 11! =

2 Permutatio mit Wiederholug :! m P ( ) = bzw. msr,,...! P ( ) = m! m! s! r!... P3: Bereche die Azahl aller 5-ziffrige Zahle, die sich aus de Ziffer: a) 3,3,3,6,9 b),,,7,7 bilde lasse. 5! 10 a) 3 P( 5) = = = 0 3! 6 b) 3, 5! 10 P () 5 = = = 10 3!! 6 P4: Bereche die Azahl aller 11-ziffrige Zahle, die sich aus de Ziffer: 1,1,1,1,,,3,4,5,5,5 43,, 11! P ( 11) = = 43!!! = = B) Kombiatioe : Jede Zusammestellug vo -Elemete aus -Elemete heißt eie Kombiatio -ter Ordug ( oder -ter Klasse ). Bei Kombiatioe wird die Aordug der Elemete NICHT berücsichtigt. Beispiel : Vo de Elemete 1,,3,4 sid 1,13,14,3,4,34... Kombiatioe.Ordug. ( Aordug icht berücsichtigt 1 = 1 ) Ma uterscheidet Kombiatioe mit ud ohe Wiederholug der Elemete :

3 a) Azahl der Kombiatioe ohe Wiederholug vo Elemete zur Ordug C = ( ) =!!( )! ( ) sprich : über... Biomialoeffiziet K1: Vo de 4 Ziffer 1,,3,4 lasse sich folgede Kombiatioe ohe Wiederholug zur.ordug agebe: 1,13,14,3,4,34 ( Kombiatio 1 scheit icht auf, da 1 =1 11,,33,44 fehle, da Kombiatio ohe Wiederholug ) C = 4! 4 4!! = 4 = 6 K: 6 Schüler ud 1 Lehrer sitze a eiem Tisch ud feier das Ede des Schuljahres ( Sie stoße mit de Gläser a ). Wie oft habe die Gläser geluge? C = 7! !! = 10 = 1 K3: Auf wie viele Arte a ma aus 10 Persoe eie 3-er Ausschuß bilde? 3 = 10! !! = = 10 C 10 K4: Teisturier: 16 Spieler Wieviel mögliche Paaruge habe wir a) i der 1.Rude b) i der. Rude? Verlierer scheidet aus! 16! a) C 16 = =10 14!! 8! b) C 8 = = 8 6!!

4 K5: A eier Party ehme 0 Persoe teil. Jeder begrüßt jede. Wie oft ommt es zum Hädeschüttel? C 0 0! = =190! 18! K6: Auf wie viele Arte lasse sich aus 100 Persoe Stadesvertreter wähle? C ! = = 4950! 98! b) Azahl der Kombiatioe mit Wiederholug, vo Elemete zur Ordug w C = ( + 1 ) K7: Vo de 4 Ziffer 1,,3,4 lasse sich folgede Kombiatioe mit Wiederholug zur.ordug agebe: 11,1,13,14,,3,4,33,34,44 =4 ; = w C ! + = ( ) = ( ) = =10 3!! K8: Wie viele Würfe a ma mit Würfel mache? w C 6 = ( ) = ( ) = C) Variatioe :

5 Wird die Aordug der Elemete berücsichtigt, da et ma die Kombiatioe Variatioe. a) Azahl der Variatioe ohe Wiederholug vo Elemete zur Ordug Das 1. Elemet a auf verschiedee Arte gewählt werde, das. Elemet auf ( -1 ), das 3. Elemet auf ( - ) ud das. Elemet auf [-(-1) ]= (-+1) Arte V = ( 1) ( )...( + ) ( + 1 ) =! ( )! V1: Vo de 4 Ziffer 1,,3,4 lasse sich folgede Variatioe ohe Wiederholug zur.ordug agebe: 1,13,14,1,3,4,31,3,34,41,4,43 =4 ; = V = 4! 4 4! = =1 V: Bei wieviel Elemete ist die Azahl der Variatioe 3.Klasse ohe Wiederholug 110 mal so groß wie die Azahl der Elemete? 3 V = x ( x 1) ( x ) = 110x x = 1 x b) Azahl der Variatioe mit Wiederholug vo Elemete zur Ordug Hier a jedes Elemet auf verschiedee Arte gewählt werde. w V = V3: Vo de 4 Ziffer 1,,3,4 lasse sich folgede Variatioe mit Wiederholug zur.ordug agebe : 11,1,13,14,1,,3,4,31,3,33,34,41,4,43,44 =4 ; = w V 4 = 4 = 16

6 V4: Aus de 6 Buchstabe useres Alphabetes lasse sich 6 4 = Variatioe zur 4.Ordug mit Wiederholug bilde. w 4 4 V 6 = 6 = V5: Bei eiem Kombiatiosschloß sid die eizele Eistelluge durch 3- bzw. 4-ziffrige Zahle mit de Ziffer 1 bis 9 möglich. Bereche jeweils die Azahl der Eistellugsmöglicheite? a) w 3 3 V 9 = 9 = 79 b) w 4 4 V 9 = 9 = 6561 V6: Beim Fußballtoto gibt es Vorhersagemöglicheite 1,,x.Wieviel Möglicheite der Ausfüllug ergebe sich beim 1 er Toto? w 1 1 V 3 = 3 = V7: Du ast mit jedem Arm durch Hoch-, Tief-, Lis- ud Rechtsstrece 4 Zeiche gebe. Wie viele Zeiche ast du mit beide Arme sigalisiere? w 4 4 V = = 16 V8: Wie viele eisilbige Wörter gibt es, die mit Kosoate ud mit eie zwische ihe stehede Voal gebildet werde, we ma 0 Kosoate ud 8 Voale zählt?(ilusive Umlaute ) w V 0 = 0 8 = 300 V9: Morse - Zeiche werde aus Put ud Strich gebildet. Bereche, wie viele Morsezeiche gebildet werde öe, we ei solches aus 4 Teile besteht? w 4 4 V = = 16