c) Wir betrachten alle möglichen Potenzen der natürlichen Zahlen. In welchen Fällen endet das Ergebnis einer Potenz immer auf eine 1?

Transkript

1 Aufge : Poteze ) We die Zhl elieig oft mit sich selst multipliziert wird, d edet ds Ergeis immer uf eie. Git es och mehr Zhle, die diese Eigeschft esitze? ) Welche Edziffer esitzt die ute stehede Summe? Löse die Aufge ohe eie Tscherecher zu eutze ud eschreie dei Vorgehe! c) Wir etrchte lle mögliche Poteze der türliche Zhle. I welche Fälle edet ds Ergeis eier Potez immer uf eie? Lösug: Aufge.) J, die Zhle 0, ud, de die drei Zhle ergee ch elieiger Multipliktio mit sich selst immer wieder die Edziffer 0, eziehugsweise. Aufge.) Die Edziffer dieser Summe ist. Begrüdug: ist immer ist Potez > Edziffer Potez > Edziffer Potez > Edziffer Potez > Edziffer Potez > Edziffer Potez > Edziffer Die Edziffer,, ud wiederhole sich. Potez > Edziffer, de * ist Potez > Edziffer Potez > Edziffer 9 Potez > Edziffer 7 Potez > Edziffer Potez > Edziffer Potez > Edziffer 9 Die Edziffer, 9, 7 ud wiederhole sich. Potez > Edziffer, de *

2 ist Potez > Edziffer Potez > Edziffer Potez > Edziffer Potez > Edziffer Die Edziffer ud wiederhole sich. Potez > Edziffer, de ist eie gerde Zhl Werde u lle vier Edzhle ddiert ( ), d folgt drus, dss die Edziffer der Summe ist! Aufge.c) Die Edziffer eier Potez ist immer, we die Bsis... mit edet! Bsis: 0 mit 0,,,, ) x Potez: ( 0 mit 0,,,, ud x 0,,,, Beispiele: 0: 0,,,, : 0,,,., mit edet, er ur uter der Bedigug, dss der Expoet ei Vielfches vo ist (siehe Aufgeteil )). x Potez: ( 0 ) mit 0,,,, ud x 0,,,, 0 0 Beispiele: 0:,,., : 0,., Begrüdug: siehe Aufgeteil ) mit 7 edet, er wieder uter der Bedigug, dss der Expoet ei Vielfches vo ist. x Potez: ( 0 7) mit 0,,,, ud x 0,,,, Beispiele: 0: 7 0, 7. 0, , : 7 0, 7., , mit 9 edet, er ur uter der Bedigug, dss der Expoet gerde ist. ( 0 9) Potez: x mit 0,,,, ud x 0,,,, Beispiele: 0: 9 0, 9, 9., 9. : 9 0, 9, 9 0.

3 Aufge : Potezgesetze ) Stelle die Zhl durch midestes füf Potezrecheopertioe dr! ) Wie kst du us de Terme,,,,, ud 7 durch Multipliktio ud/oder Divisio de gegeee Term erhlte? c) Bereche de drgestellte Ketteruch! Welche Strtegie hst du zur Lösug dieser Aufge verwedet? Lösug: Aufge.) ) ) ² ) (-)² ) ² ) ) ( ) 7) ) ) ( ) ( 9) 0) ) ) ) ) 0 )... Aufge.) 0 7 Aufge.c) verwedete Strtegie: Rückwärtsreite Durch Kürze ud Awede der Potezgesetze folgt: ) ( 0 0 ) (

4 Aufge : Wurzelschecke ) Welche Zhl psst icht i die folgede Zhlereihe? Begrüde deie Atwort! 9 ) Die eestehede Zeichug zeigt die so gete Wurzelschecke/ Wurzelspirle. Zeiche die Wurzelschecke i dei Heft ud eschreie ihre Kostruktio! Wo trete Spirle i der Ntur, i der Techik, im Alltg ud/oder i der Kust uf? c) Mit Hilfe des Hero-Verfhres köe äherugsweise Wurzel erechet werde. Bereche 9 i vier Itertiosschritte ud erläutere die geometrische Iterprettio des Hero- Verfhres! Vergleiche m Ede dei Ergeis mit der Tscherecherlösug! Ws stellst du fest? Hilfe: Hero-Formel: d) Bereche de folgede Wurzelterm, ohe eie Tscherecher zu verwede! 7 Lösug: Aufge.) Alle Zhle, ußer der Zhl, lsse sich ls Produkt zweier gleicher Zhle schreie oder lle Zhle, ußer der Zhl, esitze eie türliche zweite Wurzel. Aufge.) Kostruktioseschreiug: Die Wurzelspirle wird durch ds Aeiderreihe rechtwikliger Dreiecke kostruiert. Dei ist die Hypoteuse des vorherige Dreieckes die Akthete des chfolgede. Die Gegekthete ist immer gleich. Vorkomme vo Spirle i der Ntur, im Alltg, i der Techik ud/ oder i der Kust: Scheckegehäuse Pflze (Smekpsel, Rke ud Blätter köe spirlförmig geordet sei: Bsp.: Soelume) Elefte wide ihre Rüssel spirlförmig Spie ue ihr Nest spirlförmig Nelschur eies Neugeoree Hrwirel der Figerdruck ethält spirlförmige Muster

5 die Schecke im Ieohr ist spirlförmig Wsserstrudel Alufstrudel der Bdewe Luftströmuge um ei Tiefdruckgeiet Aufge.c) Hero-Formel: folgt: Mit 9 ud 9,7,7 9,7,9 9,9,9,9 Ds Ergeis mit Hilfe des Hero-Verfhres ist gleich dem Ergeis mit Hilfe des Tscherechers. Ds Näherugsverfhre ist demch sehr geu. geometrische Iterprettio: Die Formel des Hero-Verfhres etspricht dem rithmetische Mittel zweier Rechtecksseite. > Verwdel eies Rechtecks i ei flächegleiches Qudrt! Die eide Rechtecksseite werde u rithmetisch gemittelt. > eie eue Rechtecksseite () Die eide Rechtecksseite werde u wieder rithmetisch gemittelt. > eie eue Rechtecksseite ()

6 Nu he wir ei Qudrt ud sid fertig! Aufge.d) 7 7