Zahlenbereiche. Jeder Zahlenbereich ist eine Erweiterung des vorigen und enthält diesen

Transkript

1 Mthemtik Ihlt Zhlebereiche Recheopertioe Hierrchie der Recheopertioe Recheregel Brüche Recheregel für Brüche Klmmerreche Potezrechug Potezgesetze

2 Ntürliche Zhle Zhlebereiche Jeder Zhlebereich ist eie Erweiterug des vorige ud ethält diese Irrtiole Zhle N{0,,,,...} umfsst die türlichste Zhle, ämlich jee, die us beim Zähle vo Gegestäde begege. Nch DIN-Norm gehört die Null zu de türliche Zhle, d.h. N{0,,,,...}; zuvor defiierte m die Mege türliche Zhle ls N{,,,...} Um die 0 defiitiv uszuschließe, schreibt m N*. Demch ist die Mege ller positive gze Zhle defiiert ls: N \{0} : N* Z Gze Zhle Z {..., -,-,-,0,+,+,+...} Wrum ei euer Zhlebereich? m gibt mehr Geld us, ls eiem zur Verfügug steht, wird der Kotostd durch eie egtive Zhl gegebe, die ußerhlb der türliche Zhle liegt N Z. M sgt: Die Mege N der türliche Zhle ist eie Teilmege der gze Zhle Z. Q Rtiole Zhle Q {/b :,b Z ud b 0} die Mege der gze Zhle um die Mege ller Divisiosergebisse, d.h. um die Mege ller mögliche Brüche /b, erweitert. N Z Q Für lle rtiole Zhle,b Q gilt: +b Q, -b Q, b Q ud :b Q Reelle Zhle R{, π, e} Die Mege der reelle Zhle ist die Vereiigugsmege der rtiole Zhle ud irrtiole Zhle R Q I N Z Q R. Komplee Zhle Um uch Wurzel us egtive Zhle ziehe zu köe, muss R zu de sogete komplee Zhle C erweitert werde. I dieser Zhlemege C ht die Gleichug - d zwei verschiedee Lösuge: +i, -i, wobei i die imgiäre Eiheit bezeichet.

3 Zusmmefssug Im Zuge der Behdlug uterschiedlicher Zhlemege hbe wir die türliche Zhle sukzessive bis hi zu de reelle Zhle erweitert. Dbei gilt folgede Beziehug: N Z Q R. Die rtiole Zhle Q liege dicht uf der Zhlegerde, d.h. zwische zwei beliebige rtiole Zhle lässt sich immer eie weitere rtiole Zhl fide. Obwohl Q dicht ist, bleibe doch Lücke uf der Zhlegerde bestehe. Erst die reelle Zhle umfsse de Zhlestrhl komplett, m sgt R ist vollstädig. Nicht lle Recheopertioe sid i lle Mege ubeschräkt usführbr. Die i de uterschiedliche Zhlemege stets usführbre Opertioe: N Ntürliche Zhle: Additio, Multipliktio Z Gze Zhle: Additio, Multipliktio, Subtrktio Q Rtiole Zhle: Additio, Multipliktio, Subtrktio, Divisio (ußer durch Null) R Reelle Zhle: Additio, Multipliktio, Subtrktio, Divisio (ußer durch Null)

4 Recheopertioe - Additio Zhlebereich: N Mit je zwei türliche Zhle m ud ist uch die Summe m+ wieder eie türliche Zhl. I de türliche Zhle gelte folgede Rechegesetze mit m,,k N Kommuttivgesetz (Vertuschugsgesetz ) für Additio: m + + m Assozitivgesetz (Verküpfugsgesetz) für Additio: (m + ) + k m + ( + k) Beispiele: Summd + Summd Summe ist Elemet der Ntürliche Zhle + 9 N Kommuttivgesetz Summd + Summd + Summd Summe ( + ) ( + ) + 9 ( + ) Assozitivgesetz

5 Recheopertioe - Subtrktio Zhlebereich: Z Defiitio: Eie Zhl Z heißt gz, we es türliche Zhle, m mit z -m gibt. (gilt ur, we N die 0 ethält!) I de gze Zhle gelte folgede Rechegesetze für die Subtrktio icht! Kommuttivgesetz (Vertuschugsgesetz ) für Subtrktio: m - m Assozitivgesetz (Verküpfugsgesetz) für Subtrktio: (m - ) - k m - ( - k) Beispiele: Miued - Subtrhed Differez ist Elemet der Gze Zhle Z

6 Recheopertioe - Multipliktio Zhlebereich: N, Z Mit je zwei türliche Zhle m ud ist uch ds Produkt m wieder eie türliche Zhl. Die Multipliktio türlicher Zhle etsteht durch ds wiederholte Addiere (Zusmmezähle) des gleiche Summde: Zum Beispiel schreibt m für + + ud spricht diese Term ls "dreiml vier". I de Ntürliche / Gze Zhle gelte folgede Rechegesetze mit m,,k N, Z Kommuttivgesetz (Vertuschugsgesetz ) für Multipliktio: m m Assozitivgesetz (Verküpfugsgesetz) für Multipliktio: (m ) k m ( k) Distributivgesetz (Verteilugsgesetz): m ( + k) m + m k Beispiele: Fktor Fktor Produkt ist Elemet der Ntürliche/ Gze Zhle N N - - Z 68 N 68 N Kommuttivgesetz Fktor Fktor Fktor Produkt ( ) ( ) 6 ( ) 8 (- ) (-6) - Assozitivgesetz

7 Recheopertioe - Divisio Zhlebereich: Q Sie ist die Umkehrug der Multipliktio. Die Divisio wird umggssprchlich uch ls Teile bezeichet. ist die Mege ller Brüche der Form m/, wobei m eie gze ud eie türliche Zhl ist: So sid /8 ud -/ Beispiele rtioler Zhle. Die Zhl, die geteilt wird (), Die Zhl, durch die geteilt wird (b), Ds Ergebis der Divisio heißt Divided. heißt Divisor. heißt Quotiet Der Divisor muss ubedigt ugleich 0 sei, d der Quotiet / b ls Lösug der Gleichug b defiiert ist, ud diese Gleichug für b 0 etweder gr keie (für ugleich 0) oder mehr ls eie Lösug ht (für gleich 0). Für die Divisio gilt weder ds Kommuttivgesetz och ds Assozitivgesetz. Beispiele: Divided : Divisor Quotiet ist Elemet der Ntürliche, Gze oder Rtiole Zhle 6 : 8 N 0 :, Q 6 : - -8 Z

8 Hierrchie der Recheopertioe. Klmmer. Potez ud Wurzel. Multipliktio/Divisio. Additio/Subtrktio Puktrechug vor Strichrechug Beispiel: + ( + )² 0. Klmmer ². Potez 6² Multipliziere Addiere Ergebis 0

9 Recheregel. Assozitivgesetz (Verküpfugsgesetz) für Additio: (m + ) + k m + ( + k) ( + 8) Awedug des Assozitivgesetzes ( + 6) + 8 Vorteil: ud Bei der Additio vo rtiole Zhle dürfe die Summde beliebig zusmmegefsst (verbude) werde, ohe dss sich der Wert des Ergebisses ädert. Assozitivgesetz (Verküpfugsgesetz) für Multipliktio: (m ) k m ( k) ( ) 6 0 Awedug des Assozitivgesetzes ( ) Vorteil 0 0 Bei der Multipliktio vo rtiole Zhle dürfe die eizele Fktore beliebig zusmmegefsst (verbude) werde, ohe dss sich der Wert des Ergebisses ädert

10 Recheregel. Kommuttivgesetz (Vertuschugsgesetz ) für Additio: m + + m + + Kommuttivgesetz (Vertuschugsgesetz ) für Multipliktio: m m. Distributivgesetz (Verteilugsgesetz): m ( + k) m + m k I eier Summe mit Produkte us rtiole Zhle dürfe gleiche Fktore zusmmegefsst (usgeklmmert) werde, ohe dss sich der Wert des Ergebisses ädert. 6 + (6 + ) ( + ) 0 0 (6 + ) ( + ) + 0 0

11 Brüche Ei Bruch besteht us eiem Zähler, eiem Neer ud eiem Bruchstrich. Bruch : Zähler Neer bei eiem Bruch p q heißt p Zählerud q Neer. Der Bruchstrich steht dbei für eie Divisio. Auch we für p ud q grudsätzlich beliebige reelle Zhle eigesetzt werde dürfe, ist es üblich, i Brüche gze Zhle zu verwede, lso p,q Z. Immer gilt, dss der Neer q 0 sei muss, d durch 0 icht geteilt werde drf! 000 Brüche, die eie im Zähler hbe, werde Stmmbrüche get.,,,,. Echte Brüche: der Betrg des Zählers ist kleier ls der Betrg des Neers, d.h. der Betrg des gesmte Bruches ist kleier ls.,,,, ,,,, 0 Bei uechte Brüche ist der Zähler größer ls der Neer.. Gemischte Brüche (uch gemischte Zhle get) bestehe us eier türliche Zhl ud eiem echte Bruch:,, 8 0,9 6,.

12 Brüche Ei gemischte Zhle lässt sich i eie Bruch umreche, idem m die gze Zhl mit dem Neer multipliziert ud zum Zähler ddiert, de Neer behält m bei. + 9 Gleichmige Brüche: Brüche, die de gleiche Neer hbe, heiße gleichmig. ud Der etsprechede Neer heißt Hupteer der Brüche Hupteer Ugleichmige Brüche: Brüche, die icht de gleiche Neer hbe, heiße ugleichmig. ud 6 Teilt m de Zähler eies Bruches durch seie Neer, erhält m eie Dezimlzhl. :,

13 Recheregel für Brüche Erweiter Zwei Brüche werde erweitert, idem m Zähler ud Neer mit der gleiche Zhl multipliziert. Der Wert des Bruches ädert sich dbei icht. 8 Kürze Zwei Brüche werde gekürzt, idem m Zähler ud Neer durch die gleiche Zhl dividiert. Der Wert des Bruches ädert sich dbei icht. 0 0 : : 6 Additio Gleichmige Brüche werde ddiert, idem m die Zähler ddiert ud de Neer uverädert lässt Ugleichmige Brüche werde ddiert, idem m 6 + sie gleichmig mcht (z.b. durch Erweiter) ud d ddiert Subtrktio 6 Gleichmige Brüche werde subtrhiert, idem m die Zähler subtrhiert ud de Neer uverädert lässt. 6 Ugleichmige Brüche werde subtrhiert, idem m sie gleichmig mcht ud d subtrhiert M k ur gleichmige Brüche Addiere oder Subtrhiere.

14 Recheregel für Brüche Multipliktio Brüche werde multipliziert, idem m jeweils die Zähler ud die Neer multipliziert. Divisio Hiweise Ist ds Ergebis eier Bruchrechugsufgbe ei Bruch, sollte dieser so weit wie möglich gekürzt werde. ACHTUNG: Aus Summe drf m icht kürze! Differeze ud Summe kürze ur die Dumme "über Kreuz" Kürze Die Multipliktio mit dem Kehrwert wird eifcher we m vor der Multipliktio "über Kreuz" kürze k, d.h. kürze "de erste Zähler mit dem zweite Neer" sowie "de erste Neer mit dem zweite Zähler" Ht m vor dem Ausreche scho lles so weit wie möglich gekürzt, d lässt sich ds Ergebis icht mehr weiter kürze. Eie kurze Prüfug schdet ber türlich uch ichts :-) : 8 : : 8 9 Zwei Brüche werde dividiert, idem m mit : dem Kehrwert des zweite Bruches multipliziert. Doppelbrüche Produkt us Zähler des. ud Neer des. Bruches Z. des eue Bruches b d b c d Produkt us Neer des. ud Zähler des. Bruches N. des eue Bruches de : c bc c b d bc d d 8 0

15 Klmmerreche Ausklmmer (Fktorisiere) ist ds Gegeteil vom Klmmer uflöse Ziel ist es Ausdrücke zu vereifche / kürzer zu schreibe Erzeuge eies Produktes Beispiel 0 +. Gemeisme Fktore suche 0 i jedem Summde kommt die vor. De gemeisme Fktor (hier: ) vor die Klmmer schreibe (...). Durch de gemeisme Fktor (hier: ) teile 0 : + : +. Der Term wird i die Klmmer geschriebe ( + ) zwische dem Fktor ud der Klmmer steht eigetlich ei Mehrere Fktore gleichzeitig usklmmer: Beispiel 8² + ² +. Gemeisme Fktore suche i jedem Summde kommt die eie durch teilbre Zhl ud mi. ei vor. De gemeisme Fktor (hier: ) vor die Klmmer schreibe (...). Durch de gemeisme Fktor (hier: ) teile 8² : + : - ² : + : Der Term wird i die Klmmer geschriebe (6 + + ) Wichtig: die m Ede icht vergesse ud de Term suber durch de Vorfktor teile

16 Klmmerreche Klmmer ml Fktor (siehe Distributivgesetz) Wir multipliziere jede Summde i der Klmmer mit dem Fktor vor der Klmmer b + 8 b 9 + b + b Beispiel: (8 ) Klmmer ml Klmmer Wir müsse jede Summde us der erste Klmmer mit jedem Summde us der zweite Klmmer multipliziere. Beispiel: ( ) (8 ) 8 + ( ) + ( ) 8 + ( ) ( ) 0² Plus vor der Klmmer Stelle wir us eifch vor, dss vor der Klmmer der Fktor steht ud löse ds uf wie Klmmer ml Fktor. Klmmer k lso eifch weggelsse werde! Beispiel: + (8 ) + (8 ) Mius vor der Klmmer Stelle wir us eifch vor, dss vor der Klmmer der Fktor steht ud löse ds uf wie Klmmer ml Fktor. Klmmer weglsse ud die Vorzeiche i der Klmmer umdrehe! Beispiel: (8 ) (8 ) + ( ) (8 ) + ( ) 8 + ( ) ( ) 8 +

17 Defiitioe Potezrechug Bsis Epoet Bezeichug Epoet ( ist eie türliche Zhl) Bezeichug Bsis (Zhl) Potez , ber 0 0 wird uterschiedlich behdelt ( oder icht defiiert) ml multipliziere Beispiele + - (-) (-) (-) (-) (-) -8 6 (-) We gerde ist, ist ds Ergebis Positiv (- ) + We ugerde ist, ist ds Ergebis Negtiv

18 Potezrechug Epoet Bsis Potez Negtive Epoete Die Null ist uszuschließe, d die Divisio durch Null icht defiiert ist Rtiole Epoete 8 6 m m

19 Potezgesetze Epoet Bsis Potez Additio ud Subtrktio Poteze mit gleicher Bsis ud gleichem Epoete köe ddiert oder subtrhiert werde ( + ) Multipliktio Poteze mit gleicher Bsis werde multipliziert, idem m ihre Epoete ddiert ud die Bsis beibehält. *, ; N m R m m e e e e Poteze mit ugleicher Bsis ber gleichem Epoete werde multipliziert, idem m ihre Bse multipliziert ud de Epoete beibehält. * ;, ) ( N R b b b ( ) ( ) ( )( ) [ ] ( ) + +

20 Potezgesetze Epoet Bsis Potez Divisio Poteze mit gleicher Bsis werde dividiert, idem m de Neerepoete vom Zählerepoete subtrhiert ud die Bsis beibehält. m N m R m m >, ; R Z R ;... 0 Utersuchug für die Fälle, dss m ud m<: Setzt m eie Potez vom Zähler i de Neer oder umgekehrt, so ädert sich ds Vorzeiche des Epoete. Erweiterug: Beispiele: 0 e e e e e

21 Divisio Potezgesetze Bsis Epoet Potez Poteze mit ugleicher Bsis ber gleichem Epoete werde dividiert, idem m ihre Bse dividiert ud de Epoete beibehält. b Beispiele:, b R; b N ( u ) ( u + ) ( u ) ( u )( u + ) u + ( u + ) ( u ) Poteziere vo Poteze Poteze werde poteziert, idem m die Epoete multipliziert. 6 m m ( ) Beispiele: ( ) ( ) 6 ( )