6.1 Einführung Wenn bei einer Multiplikation lauter gleiche Faktoren auftreten, so wird dafür meistens die Potenzschreibweise gewählt.

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1 Poteziere 6 Poteziere 6. Eiführug We bei eier Multiplitio luter gleiche Ftore uftrete, so wird dfür meistes die Potezschreibweise gewählt.... Ftore Potezwert : Bsis oder Grudzhl, R * N,,, : Expoet oder Hochzhl, Es ist,,, Bsis der Potez ist Ist die Bsis eier Potez die, ist ds zugehörige Produt ebeflls. Bsis der Potez ist Ist die Bsis eier Potez die, ist ds zugehörige Produt ebeflls. Ds Vorzeiche beim Poteziere Bei positiver Bsis ist der Wert der Potez immer positiv. z. B. 8 z. B. Bei egtiver Bsis ist der Wert der Potez positiv, we der Expoet gerde ist. * N,,, z. B. 6 Bei egtiver Bsis ist der Wert der Potez uch egtiv, we der Expoet ugerde ist. * N,,, - - z. B. 8 Achtug, bechte Sie de Uterschied: 9 9

2 Poteziere 6. Additio ud Subtrtio vo Poteze Bei der Additio ud bei der Subtrtio öe ur Poteze mit gleicher Bsis ud gleichem Expoete zusmmegefsst werde. Dbei werde die Koeffiziete ddiert bzw. subtrhiert. Beispiele. 6 b b b 8 b b b. b b b 5 b b 6. Multiplitio ud Divisio vo Poteze Bei der Multiplitio ud Divisio werde zwei Fälle uterschiede. Zum eie öe Poteze gleiche Bse, zum dere gleiche Expoete besitze. Gleiche Bse Multiplitio. Potezstz Beweis m m Poteze mit gleicher Bsis werde multipliziert, idem m die Bsis uverädert lässt ud die Expoete ddiert. Beispiele Wede Sie de. Potezstz :.? 6 b b?. b b 5. 5 b b? 6 b 6 b xy xy? 5xyxy 6xy 6 5. '? 6

3 Poteziere Gleiche Bse Divisio. Potezstz Beweis m m 5 5 Poteze mit gleicher Bsis werde dividiert, idem m die Bsis uverädert lässt ud die Expoete subtrhiert. Beispiele Wede Sie de. Potezstz : 7 5. x : x? x x 75. x c c x? xx xx c c c 5. :? x x y y? 6 x y x y x y xy Luzer, lte BM-Prüfug (log Nummer obe) 5. x y 6x y x y : x y? schrittweise zeige! 5x x y x y y x y x y 5x y x y x y 5x y 6 8 xy x y 5x y xy y x y 5x 6 8 6

4 Poteziere Schwierigeit Nr. mit der Formel (. Potezstz) erhält m: Dieses Problem lässt sich ur us der Welt schffe, idem m festsetzt (defiiert): gilt für, der Ausdruc ist icht defiiert! Schwierigeit Nr. 5 mit der Formel (. Potezstz) erhält m: 5 5 Dieses Problem lässt sich ur us der Welt schffe, idem m festsetzt (defiiert): gilt für b b b b b gilt für, b dere Beweisführug für Schwierigeit Nr. (über ):

5 Poteziere Gleiche Expoete Multiplitio. Potezstz Beweis b b b b b b b b b b Poteze mit gleiche Expoete ber ugleiche Bse werde multipliziert, idem m die Bse multipliziert ud de Expoete beibehält. Beispiele Wede Sie de. Potezstz :. 5? 5. xy xy? x y xy 6x y 6x y. m m x x? x x m x x m. m m? m m m m ?

6 Poteziere Gleiche Expoete Divisio. Potezstz Beweis b b b b b b b b b b Poteze mit gleiche Expoete ber ugleiche Bse werde dividiert, idem m die Bse dividiert ud de Expoete beibehält. Beispiele Wede Sie de. Potezstz :. : 6? : b? b b. x x? x x. 8x 7y? x x y y 5. b b? b b b b b b? b b b b 6

7 Poteziere 6. Poteziere vo Poteze 5. Potezstz Beweis m m Hiweis:, somit gilt: 6 Poteze werde poteziert, idem m die Expoete multipliziert. Beispiele Wede Sie de 5. Potezstz :.? 9. b? 7 b 8b 6 9.? 8.? 6 5.? 6 6. x? gerde 6 6 x x x 6 x x 8 Detil: x x x Resultt positiv, weil der Expoet gerde ist! 5 7. x? 6 x x 6 6 x 6 x 7

8 Poteziere 8. x? x 6x x 6 x 9. x? 6 x x 8 x 8 8 x.? gerde x x x od. x x x x ? ? Poteze im Überblic Defiitio Potez:... N ud R Ftore Soderfälle: ist icht defiiert Recheregel: m m b b m m : : b : b m m, m Z ud, b R 8

9 Poteziere 6.6 Expoeteschreibweise I Nturwisseschft ud Techi omme oft sehr grosse oder sehr leie Zhle vor. Zum Beispiel ist die Soe ugefähr 5 m (Meter) vo der Erde etfert oder ei Eletro trägt die eletrische Ldug vo ugefähr.6 C (Coulomb) oder rotes Licht ht eie Welleläge vo.6 m (Meter). Dies sid sehr uhdliche Zhle. Deshlb otiert m diese Werte üblicherweise i der wisseschftliche Schreibweise oder Expoeteschreibweise. So betrge der Abstd zur Soe.5 m, die Eletroeldug.6 9 C oder die Welleläge vo rotem Licht 6. 7 m. Weiter ist es bei icht llzu grosse Expoete üblich, die Zeherpotez i eier Vorsilbe (Vorstz) zu itegriere. So ist der Abstd zur Soe 5 9 m = 5 Gm (=Gigmeter) oder die Welleläge vo rotem Licht 6 9 = 6 m (=Nometer). Die gebräuchliche Vorsilbe sid i der chfolgede Tbelle zusmmegestellt. Für grosse Zhle: Für leie Zhle: Ftor Vorsilbe Zeiche Ftor Vorsilbe Zeiche De d Dezi d Heto h Zeti c Kilo Milli m 6 Meg M 6 Miro µ 9 Gig G 9 No Ter T Pico p 5 Pet P 5 Femto f 8 Ex E 8 Atto Teilweise wird zwische der wisseschftliche ud der techische Schreibweise uterschiede. Bei der techische Nottio sid die Expoete der Zeherpotez immer durch drei teilbr. 6.7 Azeigeformte beim TI Beim TI ds Azeigeformt zwische «Norml», «Wisseschftlich» ud «Techisch» umgeschltet werde. c, «Eistelluge», «Doumeteistelluge» betätige ud d «Expoetilformt» uswähle: Wisseschftliche Nottio eier Zhl (SCI): ; Z Techische Nottio eier Zhl (ENG): ; ' Z 9

10 Poteziere 6.8 Übuge, Frommewiler Löse Sie die folgede Aufgbe: Nummer Seite Bemeruge 79 (lle) Grudlgebereich 8 (lle) Grudlgebereich 8 (, c, d, f, g ud h) Grudlgebereich 8 (lle) Grudlgebereich 8 (lle) Grudlgebereich 85 (, b, d, e, f, h ud i) Grudlgebereich 87 (lle) Grudlgebereich 88 (, c, e, g) Grudlgebereich 89 (lle) Grudlgebereich 9 (lle) 5 Grudlgebereich 9 (c, d, f, g, i, j, l) 5 Grudlgebereich 9 (freiwillig) 6 Grudlgebereich 9 (freiwillig) 6 Grudlgebereich 9 (, b, d, e, j, l) 6 Grudlgebereich 95 (freiwillig) 7 Grudlgebereich 96 (c, d, f, h) 7 Grudlgebereich 97 (lle) 7 Schwerputbereich 98 (lle) 7 Schwerputbereich (, c, d, f, h, j, l) 8 Schwerputbereich (lle) 9 Schwerputbereich 5 (, c, e, f, i) 9 Schwerputbereich 6 (c, f, g, i) 9 Schwerputbereich 8 (, c, d) 9 Schwerputbereich 9 (lle) Schwerputbereich (lle), Zeherpoteze Grudlgebereich (lle), Zeherpoteze Grudlgebereich (lle), Zeherpoteze Grudlgebereich (lle), Zeherpoteze Grudlgebereich 5, Zeherpoteze Grudlgebereich, Zeherpoteze Grudlgebereich, Zeherpoteze Grudlgebereich

11 Poteziere 6.9 Übuge (lte Aufhmeprüfuge vo Fchhochschule). Fsse Sie zusmme ud vereifche Sie so weit wie möglich. s s r r r s s r? sr s r r s r s (Luzer 995) s r r s s r s r icht ubedigt erforderlich besser erebr rs r s rs r s s r r s s r rs s r r s rs rs r s r s rs r s ss r r r s r s r s s r s r r s r s s r r s r s r s r s r s r s s r r s r s r s r s r s s r r s r s r s s r r s r s r s r s

12 Poteziere. Vereifche Sie de Ausdruc ud stelle Sie ds Resultt ls geürzte Bruch dr. 6 6? ist eie positive, gze Zhl 6 (Luzer 99) 6 6 positiv

13 Poteziere. Bereche Sie de Ausdruc llgemei ud für =. Stelle Sie die Resultte mit Hilfe vo Zeherpoteze dr.? (Luzer 985) ugerde ugerde gerde 9 6 somit für : 9

14 Poteziere. Vereifche Sie de Ausdruc ud stelle Sie ds Resultt ls geürzte Bruch dr.? ist eie positive, gze Zhl (Luzer 99) gerde gerde 6 oder gerde 6

15 Poteziere 5. Vereifche Sie de Ausdruc so weit wie möglich. m b :? m b (Ber/Thu 996) m b b b m m b m b b m m 6. Vereifche Sie de Ausdruc so weit wie möglich : 6? 6 6 (Quelle ubet) ugerde 6 gerde gerde : 6 gerde : : wird positiv : :

16 Poteziere 7. Vereifche Sie so weit wie möglich b b b b :? b b b b 5 b b b b 5 b 6 b b b b b b 5 b b b b 5 b b b b b b b b b b b b 5 5 b b b b b b b b b b b b b b b b b b 6

17 Poteziere 6. Biomiloeffiziete Der biomische Lehrstz gibt, wie zweigliedrige Summe (Biome) poteziert werde. Die erste füf Poteze des Bioms + b sid chfolged ufgelistet: b b + b b + b + b b + b + b + b b + b + 6 b + b + b Betrchtet m die Biome i der Summeschreibweise, so eret m folgede Gesetzmässigeite: Die Azhl der Summde ist um grösser ls der Expoet des Bioms. z. B.. Summde b b b Die Summde sid us ud b gebildete mit Koeffiziete versehee Potezprodute. Die Summe der Expoete i jedem Potezprodut ist gleich dem Expoete des Bioms. Der Expoet vo fällt, der vo b steigt mit jedem Glied um. Die Koeffiziete des zweite ud vorletzte Gliedes sid gleich wie der Expoet des Bioms. b b b b z. B. Koeffiziet Dmit ist die Gesetzmässigeit für die Kostrutio der Pltzhlter ud b gefude. Betrchtet m ur die Koeffiziete, so ergibt sich ds Psclsche Dreiec: = = + Koeffiziet = + + = = 6 Ds Psclsche Dreiec ht eie vertile Symmetriechse. Zur Berechug der ächste Zeile muss m Rd je eie Eis hizugefügt werde. Die mittlere Elemete ergebe sich jeweils durch Additio der beide schräg drüberstehede. Koeffiziet Koeffiziet Koeffiziet Zusmmefssug Mit dem Psclsche Dreiec sid die Koeffiziete bet. D die Etwiclug der Expoete der Vrible uch bet ist, öe Biome mit höhere Expoete diret otiert werde. 7

18 Poteziere Beispiel Bereche Sie b 5 mit Hilfe des Psclsche Dreiecs. Lösug: Für die 5. Potez liefert ds Psclsche Dreiec die Koeffiziete: 5 5 somit: b b 5 b b b 5 b b b 5 b b b 5b b Die Methode der Berechug vo Biome ( + b) mit dem Psclsche Dreiec ht de Nchteil, dss m die Koeffiziete der -te Zeile ur bestimme, we m die vorgehede Zeile ebeflls berechet. Dies ufwädig werde. Deswege ist eie Formel sehr ützlich, die gestttet, ohe Berechug weiterer Koeffiziete umittelbr eie bestimmter Stelle des Zhledreiecs stehede Biomiloeffiziete zu erreche. Zu eier solche Formel gelgte Leohrd Euler durch ombitorische Überleguge. Für die Awedug der Formel werde die Zeile des Zhledreiecs ch de Expoete der zugehörige Poteze vo + b ummeriert. Ebeso ummeriert m die Koeffiziete i eier Zeile. Die Eis gz lis steht i jeder Zeile ullter Stelle. Im Sie dieser Vereibrug gb Euler für de Biomiloeffiziete i der. Zeile. Stelle die Drstellug 6, i der 8. Zeile. Stelle die Drstellug , i der 5. Zeile 5. Stelle die Drstellug 5 5 ud llgemei für de Biomiloeffiziete i der -te Zeile ( > ) -ter Stelle ( > ) die Drstellug Der Aufbu dieser Brüche ist durch folgede Gesetzmässigeite geezeichet: Im Zähler ud Neer stehe Produte mit der gleiche Azhl Ftore. Diese bilde i de Zähler fllede, i de Neer steigede Folge türlicher Zhle. Die Nummer der Zeile gibt, mit welcher Zhl der Zähler begit. Die Nummer der Stelle et die Azhl der Ftore im Zähler ud Neer ud gibt, womit der Neer edet. 8

19 Poteziere Für de i der -te Zeile -ter Stelle stehede Biomiloeffiziete ht Euler die Abürzug (gesproche: über oder tief ) eigeführt. Spezilfälle bilde die Biomiloeffiziete, die ullter Stelle i eier Zeile stehe:. Sivollerweise setzt m für beliebiges. Erweitert m de Bruch () mit dem Produt ( )!, d öe Biomiloeffiziete uch mit Fultäte berechet werde. Die Fultät eier türliche Zhl ist ds Produt der türliche Zhle vo bis : Recheregel für die Fultät:! ud! Zhlebeispiel:! ! 6 5!!!! Es gilt somit:!!! Beispiele Bereche Sie die folgede Aufgbe:. 6!? 6! !?! '68'8. 6? , ud 5: 5. 7? , 5 ud : 5 5 9

20 Poteziere 5 für ;; ; ; ; Bereche Sie die Biomiloeffiziete ; 5 ; ; ; ; 5 5 Vergleiche Sie die Ergebisse mit de Koeffiziete vo b 5. Mit de Biomiloeffiziete öe die Zhle des Psclsche Dreiecs somit diret berechet werde. Die vorgehede Zeile müsse dbei icht berechet werde. Allgemei ergibt sich folgeder Zusmmehg: 6 Somit öe uch höhere Poteze der Summe ( + b) mit Hilfe der Biomiloeffiziete diret berechet werde: b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b

21 Poteziere Mit dem Summezeiche (Sigm) ud de Biomiloeffiziete lsse sich Poteze vo + b ompt schreibe. Biomischer Lehrstz (Summeschreibweise) Für die Zhle, b R ud, N mit gilt: b b Erlärug zum Summezeiche (Sigm) steht für eie vereifchte Schreibweise vo Zhle, die ufsummiert werde. Solle zum Beispiel Zhle summiert werde (x + x + x + + x ), ud zwr vom. bis -te Wert, folgede Schreibweise beutzt werde: Edwert x x x x x i Lufvrible (Lufidex) Futio bzgl. der Lufvrible i Strtwert Beispiele. Bereche Sie die erste Werte der 6. Zeile des Psclsche Dreiecs ; 6 ; 6 ; 7'. Bereche Sie x immer 5 5 x x x x x x x x x x x x 5 x x 5 x 5x x x 5x

22 Poteziere. Bereche Sie x 5y. x 5y x 5y x 5y x 5y x 5y x 5y x 5y y 5y 5y 7x 9x 5 x 7x 5x y 5xy 5y. Bereche Sie die erste Summde vo x 7y x 7y x 7y x 7y x 7y x 7y x 7y 6 68 y x 7 x 7y x 9y x x 9x y 6'66x y 'x y