Kurze Einführung in die elementare Mathematik von Dr.-Ing. Herbert Voß

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1 Kurze Eiführug i die elemetre Mthemtik vo Dr.-Ig. Herbert Voß Erstfssug 972/73 Überrbeitug 995

2 2 Ihltsverzeichis MATHEMATISCHE HILFSMITTEL 3. Grudlge der Aussgelogik 3.. Verküpfuge 3... Die Ud -Verküpfug (Kojuktio) Die Oder -Verküpfug (Altertive) Die Etweder-Oder - Verküpfug (Disjuktio) Die Nicht -Verküpfug (Negtio) Die We-So -Verküpfug (Impliktio) Die Äquivlez 5 2 MENGEN 5 2. Der Megebegriff Reltioe zwische Mege Gleichheit vo Mege Teilmege, Restmege Opertioe mit Mege Vereiigugsmege Durchschitt Differez Produktmege Potezmege Zusmmefssug 8 3 ZAHLBEREICHE 9 4 DER BEREICH DER NATÜRLICHEN ZAHLEN 9 4. Recheopertioe im Bereich der türliche Zhle Additio Subtrktio Multipliktio Divisio 5 DER BEREICH DER GANZEN ZAHLEN 5. Wese ud rithmetische Struktur 5.. Vorzeicheregel 6 DER KÖRPER DER RATIONALEN ZAHLEN 2 6. Wese der rtiole Zhle Die Mege der rtiole Zhle ls Zhlekörper 2 7 ABSOLUTE BETRÄGE UND ABSCHÄTZUNGEN 3 7. Absolute Beträge Abschätzuge Allgemei Beroullische Ugleichug Cuchy-Schwrzsche Ugleichug Dreiecksugleichug 4 8 POTENZEN, LOGARITHMEN 4 8. Poteze mit rtiole Expoete Rtiolmche des Neers Poteze vo Biome (biomischer Lehrstz) Logrithme reeller Zhle Defiitioe ud Gesetze Logrithmesysteme 8

3 3 Mthemtische Hilfsmittel. Grudlge der Aussgelogik Gegestd mthemtischer Betrchtuge sid Aussge. Die ussgelogische Kostte diee dzu, Aussgeforme zu eue Aussgeforme zu verküpfe. Eie Aussge ist etweder whr oder flsch... Verküpfuge... Die Ud -Verküpfug (Kojuktio) 2 Symbol der Ud -Verküpfug: Die beide Aussgeforme 2 teilt x; 3 teilt x werde durch Ud zusmmegefßt zu der eie Aussgeform 2 teilt x ud 3 teilt x. Die Kojuktio zweier Aussge ist wieder eie Aussge, ud sie ist geu d whr, we jede der beide durch Ud -verküpfte Kompoete whr ist. Tbelle Whrheitstfel der Ud -Verküpfug A w f w f B w w f f A B w f f f...2 Die Oder -Verküpfug (Altertive) 3 Symbol der Oder -Verküpfug: Währed ds umggssprchliche Oder verschiedee Bedeutuge ht, verwedet m i der Mthemtik ds Oder meist im Sie des lteiische vel ls ichtusschließedes Oder, z.b., we m sgt: Jede türliche Zhl, die größer ls zwei ist, ist eie Primzhl, oder sie besitzt eie Primteiler. Eie Altertive ist geu d whr, we weigstes eie ihrer Kompoete whr ist: Tbelle 2 Whrheitstfel der Oder -Verküpfug A w f w f B w w f f A B w w w f Die sogete Fuzzy-Logik versucht diese Aussge zu erweiter, idem eie Aussge weder richtig whr och richtig flsch zugelsse wird. 2 Lt.: et 3 Lt.: vel

4 4...3 Die Etweder-Oder -Verküpfug (Disjuktio) 4 Symbol der Etweder-Oder -Verküpfug: Die Etweder-Oder -Verküpfug soll Hd eies kleie Schltbildes verdeutlicht werde: Die Disjuktio ist geu d whr, we ei Schlter obe ud ei Schlter ute steht (Leuchte der Glühlmpe). "Etweder" ist S obe (whr) ud S2 ute (flsch), Oder S ist ute (flsch) ud S2 obe (whr). Abbildug Drstellug der Disjuktio ls Schltug Tbelle 3 Whrheitstfel der Etweder-Oder -Verküpfug A w f w f B w w f f A ++ B f w w f...4 Die Nicht -Verküpfug (Negtio) Symbol der Nicht -Verküpfug: Bei ichtklssische Auffssuge wird die Negtio etweder überhupt icht zugelsse, oder je ch dem eigeommee Stdpukt iterpretiert. We m die Negtio zuläßt, geschieht ds immer derrt, dß ie zugleich eie Aussge ud ihre Negtio erkt werde. Im klssische Fll der zweiwertige Logik folgt drus, dß icht de Whrheitswert umkehrt (egiert). Tbelle 4 Whrheitstfel der Nicht -Verküpfug A w f A f w...5 Die We-So -Verküpfug (Impliktio) Symbol der We-So -Verküpfug: Gelese: We A so B (A B B). Adere Aussgeforme sid We A, d B oder Aus A folgt B gilt, we A gilt A ist hireiched für B B ist otwedig für A A k ur gelte, we B Gilt We A flsch ist, wird ichts usgesgt. Gegeüber de dere Verküpfuge ht die We-So -Verküpfug keie iere Zusmmehg. 4 Lt.: ut-ut

5 5 Tbelle 5 Whrheitstfel der We-So -Verküpfug A w f w f B w w f f A B w w f w Aus etws Whrem folgt lso immer etws Whres! Aus etws Flschem k etws Whres oder Flsches folge! Für (A,B,C) = (f,w,f) folgt dher: (A B) C A (B C)...6 Die Äquivlez Symbol der Äquivlez: Die Äquivlez ( Geu d, we ) läßt sich ls Kojuktio reziproker Impliktioe uffsse: A gilt d ud ur d, we B gilt. Zwei Aussge heiße äquivlet, we beide i lle mögliche Fälle de gleiche Whrheitswert ergebe. Es existiere folgede Sprechweise für die Äquivlez A B: ) geu we A, so B oder b) d ud ur d, we A, so B oder c) us A folgt B ud umgekehrt. Beispiele: (A B) ( A B) (A B) ( A B) (A B) ( A B) (A B) ( B B) 2 Mege 2. Der Megebegriff Eie Mege ist eie Zusmmefssug bestimmter wohluterschiedeer Objekte userer Aschuug oder useres Dekes zu eiem Gze (Ctor). Diese Objekte werde die Elemete der Dige get. x y A wird gelese ls x ist Elemet vo A A wird gelese ls y ist icht Elemet vo A Soll eie Mege us de edlich oder uedlich viele Elemete,b,c,... gebildet werde, so bezeichet m sie mit {,b,c,...}. Ist Elemet der Mege A, so wird ds durch A symbolisiert. Die Defiitio schließt icht us, dß die Mege ur us eiem Elemet besteht. A={}. Die leere Mege ethält kei Elemet. Sie wird mit dem Symbol bzw. {} bezeichet.

6 6 2.2 Reltioe zwische Mege 2.2. Gleichheit vo Mege Eie Mege A ist gleich eier Mege B, i Zeiche A=B, we jedes Elemet vo A uch Elemet vo B ud umgekehrt jedes Elemet vo B uch Elemet vo A ist Teilmege, Restmege Eie Mege A ist i eier Mege B ethlte, i Zeiche A B, we jedes Elemet der Mege A uch Elemet der Mege B ist. A heißt d Utermege oder Teilmege vo B. Ist A B, spricht m uch vo eier echte Teilmege (A B). Ist A=B, spricht m vo eier uechte Teilmege (A B). Die leere Mege ist Teilmege eier jede Mege. Ist A eie echte Teilmege vo B, so et m die Mege der Elemete vo B, die A icht gehöre, die Restmege R vo B zu A (oder die zu A komplemetäre Mege vo B), i Zeiche R=B-A. Zu jeder Mege vo Elemete gibt es geu 2 Utermege. 5 Ist eie Mege A i eier Mege B, ethlte ud die Mege B Teilmege eier Mege C, so ist uch A Teilmege vo C: A A B ud B C A C. 2.3 Opertioe mit Mege 2.3. Vereiigugsmege Uter der Vereiigugsmege A B 6 der beide Mege A ud B versteht m die Mege ller Elemete, die zu A oder zu B oder zu A ud B gehöre. 7 Es gilt dher: A A B ud B A B. Aus der vorstehede Defiitio folgt, dß für die Vereiigug vo Mege die us der elemetre Arithmetik bekte Gesetze gelte: Kommuttivgesetz (Vertuschbrkeitsgesetz): A B = B A Assozitivgesetz (Vereiigugsgesetz): (A B) C = A (B C). Abbildug 2 Vereiigug der Mege A ud B Beispiele: 5 Siehe uch Beispiel zur Potezmege. 6 Ds Megezeiche eriert ds Symbol der ODER-Verküpfug. Nicht zu verwechsel mit der Etweder-Oder -Verküpfug! (Vgl. etsprechedes Kpitel) 7 C=A B wird gelese ls C gleich A vereiigt mit B.

7 ) A sei die Mege ller durch 5 teilbre Zhle, die kleier ls 25 sid. B sei die Mege ller durch 7 teilbre Zhle, die kleier ls 35 sid. Es gilt d A B={0,5,7,0,4,5,20,2,24,28} b) A sei die Mege ller Qudrte. B sei die Mege Aller Dreiecke. A B ist d die Mege ller Qudrte ud Dreiecke Durchschitt Uter dem Durchschitt A B 8 der beide Mege A ud B versteht m die Mege ller Elemete, die sowohl zu A ls uch zu B gehöre. 9 Es gilt dher: A B A ud A B B. Für die Bildug des Durchschitts gelte die folgede Gesetze: Kommuttivgesetz (Vertuschbrkeitsgesetz): A B = B A 7 Assozitivgesetz (Vereiigugsgesetz): (A B) C = A (B C). Distributivgesetz (Verteilugsgesetz): (A B) C = (A B) (A C). Abbildug 3 Durchschitt der Mege A ud B We die Mege A ud B kei gemeismes Elemet ethlte, we lso gilt A B=, et m derrtige Mege elemetfremde oder disjukte Mege. Beispiele: ) A ist die Mege ller Rhombe. B ist die Mege ller Rechtecke. A B ist d die Mege ller Qudrte. b) A ist die Mege ller Rhombe. B ist die Mege ller Qudrte. Es gilt d A B=B; de lle Elemete vo B gehöre uch zu A Differez Uter der Differez A\B der beide Mege A ud B m die Mege ller Elemete vo A, die icht zu B gehöre. 0 Sid die Mege A ud B elemetfremd, so stimmt die Differez A\B mit A überei ud umgekehrt. Auf jede Fll ber gilt: A\B = A\ (A B), weil bei der Differezbildug vo A ur Elemete weggelsse werde, die sowohl zu A ls uch zu B gehöre. Abbildug 4 Differez der beide Mege A ud B Beispiel: 8 Ds Megezeiche eriert ds Symbol der UND -Verküpfug. 9 C=A B wird gelese ls C gleich A geschitte mi B 0 C=A\B wird gelese ls C gleich Differez vo A ud B

8 8 Aus A={,b,c,d} ud B={b,,} folgt A\B={c,d} Produktmege Uter dem Megeprodukt AxB der beide Mege A ud B versteht m die Mege ller geordete Elemetpre (;b) mit A ud b B. Beispiel: Aus A={, 2, 3 } ud B={b,b 2 } folgt AxB={(,b ),( b 2 ),( 2,b ),( 2 b 2 ),( 3,b ),( 3 b 2 )} Potezmege Die Potezmege (A) der Mege A ethält ls Elemete lle Utermege vo A. Besteht us A us Elemete, so ethält (A) isgesmt 2 Utermege. Beispiel: Aus A={,b,c} folgt (A)={,{},{b},{c},{,b},{,c},{b,c},{,b,c}} 2.4 Zusmmefssug Bezeichug Teilmege Gleichheit zweier Mege Vereiigugsmege Durchschittsmege Differezmege Symbolik A B A=B A B A B A\B Defiitio x A x B x A x B x A B x A B x A\B x A x x A x x A x B B B Erfßt werde... etweder i A... sowohl i A... zwr i A lle Elemete, oder i B oder ls uch i B ber icht i B die... i beide liege. liege. Mege liege. Bei de Prbilduge stehe jeweils die Elemete vo A erster Stelle.

9 9 3 Zhlbereiche Abbildug 5 Übersicht über die verschiedee Zhlbereiche 4 Der Bereich der türliche Zhle 4. Recheopertioe im Bereich der türliche Zhle De Opertioe mit edliche Mege etspreche Recheopertioe mit türliche Zhle. 4.. Additio Die Elemetezhl s der Vereiigugsmege S der beide elemetfremde edliche Mege A ud B mit de EIemetezhle ud b heißt Summe der beide Zhle ud b ud wird durch +b bezeichet: ud b heiße Summde. Die Rechug heißt Additio. Summe = Summd plus Summd. S=A B mit A B= s=+b

10 0 Assozitiosgesetz (Vereiigugsgesetz): +(b+c) = (+b)+c. Kommuttivgesetz (Vertuschugsgesetz): +b = b+. Mootoiegesetz: Aus <b folgt stets +c<b+c Subtrktio Ist für die beide Zhle ud b die Bedigug b+d= erfüllbr, so heißt die durch sie eideutig bestimmte Zhl d Differez vo ud b ud wird mit -b bezeichet. I der Subtrktio d=-b wird Miued ud b Subtrhed get. Differez = Miued Mius Subtrhed. Die Rechug heißt Subtrktio. We die edliche Mege B mit der Elemetezhl b i der edliche Mege A mit der Elemetezhl ethlte ist, so ht die Differezmege D die Elemetezhl d=-b: D=A\B mit B s=-b A Ds Assozitivgesetz gilt icht: (-2)-3 -(2-3)! Ds Kommuttivgesetz gilt icht: -2 2-! Mootoiegesetz: Aus <b folgt stets +c<b+c Multipliktio Die Elemetezhl p des Megeprodukts P der beide edliche Mege A ud B mit de Elemetezhle ud b heißt Produkt der Zhle ud b ud wird durch b oder kurz b bezeichet: ud b heiße Fktore. Die Rechug heißt Multipliktio. P=AxB p= b Assozitiosgesetz (Vereiigugsgesetz): (b c) = ( b) c. Kommuttivgesetz (Vertuschugsgesetz): b = b.

11 Distributiosgesetz (Verteilugsgesetz): (b+c) = b+ c. Mootoiegesetz: Aus <b ud c>0 folgt stets c<b c Divisio Ist für die beide Zhle ud b die Bedigug b c= erfüllbr ud b 0, heißt die durch sie eideutig bestimmte Zhl c Quotiet us ud b ud wird mit :b bezeichet. Im Quotiete wird Divided, b Divisor get. Quotiet = Divided dividiert durch Divisor. Die Rechug heißt Divisio. Vo größter Bedeutug für prktische Rechuge ist: 3 Die Divisio durch Null ist per Defiitio usgeschlosse. Assozitiosgesetz (Vereiigugsgesetz): :(b:c) = (:b):c. Ds Kommuttivgesetz gilt icht: :2 2:! Ds Distributivgesetz gilt icht: :(2+3) :2 + :3)! Mootoiegesetz: Aus <b ud c>0 folgt stets :c<b:c. 4 5 Der Bereich der gze Zhle 5. Wese ud rithmetische Struktur Der Bereich G der gze Zhle wird vo de Zhle..., -3, -2, -, 0,, 2, 3,... gebildet. I diesem Bereich trete vorzeichebehftete Zhle uf, über die zuächst eiiges Grudsätzliches gesgt werde soll. 5.. Vorzeicheregel Es ist stets: ) +(-)=0. 5 b) -(-) =. c) +(-b) = -b. 6 +(-b)+b=. 2 Gilt icht für c<0! 3 Es gibt llerdigs ersthfte Diskussiosbeiträge, die Uedlich ls türliche Zhl befürworte, womit die Divisio durch Null erlubt sei köte. 4 Gilt icht für c<0! 5 De 0-=- ist ch Defiitio vo 3..2 die Zhl, die zu ddiert Null ergibt. 6 De -b ist die Zhl, die zu b ddiert ergibt. Dieselbe Eigeschft besitzt ber uch die Zhl +(-b). (vgl. Regel ).

12 2 d) -(-b) = +b. 7 e) -(+b) = -+(-b). 8 f) -(-b) = -+b. 9 g) -(-b) = -b. h) (-) (-b) = -(-) b = b. 6 Der Körper der rtiole Zhle 6. Wese der rtiole Zhle Alle Brüche g/h, die sich us gze Zhle g ud h mit h 0 (die Divisio durch Null ist i keiem Zhlebereich möglich) bilde lsse, werde ls rtiole Zhle oder gebrochee Zhle bezeichet. Die Mege K der rtiole Zhle ethält die Mege G der gze Zhle: G K. Zwei Brüche g/h ud g /h sid geu d gleich, we gh =g h ist: g h g h gh g h Ei Bruch ht d ud ur d de Wert Null, we sei Zähler gleich Null ist! 6.2 Die Mege der rtiole Zhle ls Zhlekörper Bei der Multipliktio zweier Brüche wird Zähler mit Zähler ud Neer mit Neer multipliziert. Bei der Divisio vo Brüche wird der Divided mit dem Kehrwert des Divisors multipliziert. Zur Additio oder Subtrktio werde zwei rtiole Zhle zuächst so erweitert, dß sie eie gleiche Neer, eie Hupteer, erhlte. Als Hupteer diet bektlich ds kleiste gemeischftliche Vielfche der beide Neer. Bei der Additio (Subtrktio) gleichmiger Brüche (gleicher Neer) werde dere Zähler ddiert (subtrhiert) ud der Neer beibehlte. Idem lso im Bereich der rtiole Zhle die vier Grudrecherte bis uf die Divisio durch Null ubeschräkt usführbr sid, ist ei i dieser Hisicht volledeter Zhlebereich erreicht. Zhlebereiche dieser Art werde Zhlekörper get. Der Körperbegriff wird ber uch uf Mege gewedet, die icht ur us Zhle bestehe. 7 Ersetzt m i der Regel c) die Zhl b durch (-b) folgt d durch b) die Regel d). 8 Oder ch c: (--b). 9 Dies ergibt sich us Regel e) uter Bechtug vo b) ud c).

13 Eie Mege M, uter dere Elemete eie Additio, eie Subtrktio, eie Multipliktio ud eie Divisio mit de uter 3. gete Grudgesetze erklärt ud bis uf die Divisio durch Null (=- für ei beliebiges M) ubeschräkt usführbr sid, heißt Körper. Der Körper K der rtiole Zhle ist der kleiste Zhlekörper, der de Bereich der türliche Zhle ethält. 7 Absolute Beträge ud Abschätzuge 3 7. Absolute Beträge Uter dem bsolute Betrg eier Zhl, i Zeiche, versteht m die ichtegtive der beide Zhle ud (-). Hierus ergebe sich die Folgeruge: ist iemls egtiv! Für jede Whl des Vorzeiches gilt: ±. - =. Der Betrg eies Produktes ist gleich dem Produkt us de Beträge der Fktore: b = b. Der Betrg eies Quotiete ist gleich dem Quotiete us de Beträge vo Divided ud Divisor: :b = : b. 7.2 Abschätzuge 7.2. Allgemei Für ichtegtive Zhle ud b ud jede beliebige türliche Zhl 0 gilt: b b Dies folgt umittelbr drus, dß liks ur die beide Rdglieder der Summeetwicklug vo (+b) ch dem biomische Lehrstz stehe ud keier der vorkommede Summde egtiv ist Beroullische Ugleichug Für jedes ichtegtive ud jede türliche Zhl gilt: Hier sid rechts ur die beide der ch dem biomische Lehrstz zu errechede Glieder ufgeschriebe währed die übrige icht-egtiv sid.

14 Cuchy-Schwrzsche Ugleichug Für beliebige 2 Zhle, 2,...,, b, b 2,..., b gilt die Ugleichug: 20 2 b 2b2... b b 2 b b Dreiecksugleichug Der Betrg eier Summe ist iemls größer ls die Summe der Beträge der Summde: Der Beweis k durch vollstädige Iduktio geführt worde. 8 Poteze, Logrithme 8. Poteze mit rtiole Expoete Die eifchste Poteze sid solche mit türliche Zhle ls Expoete, uf die weiter eigegge wird. Bei der Potez, ( N\{0}) heißt dbei Bsis, Expoet ud Potezwert. 0 defiiert m sivollerweise ls : 0 = Die erste Erweiterug dieses Potezbegriffes besteht i der Defiitio vo Poteze mit egtive gze Expoete, bei dee die Bsis 0 sei muß. Ist 0 ud (-) eie egtive gze Zhl, so versteht m uter der Potez - de Wert / : ; 0; N \{ 0} Ist eie positive reelle Zhl ud g/ (g G, N\{0}) eie beliebige rtiole Zhl, so versteht g m uter die positive Zhl, dere -te Potez g ist. Sttt / drf uch werde. Dieser Ausdruck wird -te Wurzel us get. Dbei heiße: : Wurzelexpoet, : Rdikd, : Wurzelwert. geschriebe Für die Multipliktio, die Divisio ud ds Poteziere der Poteze gelte folgede Potezgesetze: 20 Hier ohe Beweis.

15 5 Poteze mit gleicher Bsis werde multipliziert, idem m ihre Expoete ddiert ud die Bsis beibehält: s t s t Poteze mit gleicher Bsis werde dividiert, idem m ihre Expoete subtrhiert ud die Bsis beibehält: s t s t : Poteze mit gleiche Expoete werde multipliziert, idem m ihre Bse multipliziert ud ds Produkt mit dem gleiche Expoete poteziert: 2 s s b b s Poteze mit gleiche Expoete werde dividiert idem m ihre Bse dividiert ud de Quotiete mit dem gleiche Expoete poteziert: 22 s s b Eie Potez wird poteziert, idem m die Expoete multipliziert ud die Bsis der Potez beibehält: s t s t b s Die letzte drei Potezgesetze werde uch ls Wurzelgesetze formuliert: b b m b b m Eie Zusmmefssug vo Poteze bzw. Wurzel durch Additio ud Subtrktio ist ur möglich, we Bsis ud Expoet bzw. Rdikd ud Wurzelexpoet übereistimme. Im Flle -b gilt: b b 2 b b 2 b... mit dem Spezilfll 2 2 b b b Aus der Defiitio für Poteze folgt für egtive Bse: 2 Oder: ei Produkt wird poteziert, idem m jede Fktor eizel poteziert: 22 Oder: Ei Bruch wird poteziert, idem m Zähler ud Neer eizel poteziert.

16 , Z 8.2 Rtiolmche des Neers Bei der umerische Berechug vo Brüche, dere Neer Wurzel ls Irrtiolzhle sid, ist es zweckmäßig, vor dem Reche de Neer i eie Rtiolzhl zu verwdel. Dies ersprt die ugüstige Divisio durch eie Dezimlbruch ls Näherugswert eier Irrtiolzhl. Die Irrtiolität des Neers wird durch etsprechedes Erweiter beseitigt. 8.3 Poteze vo Biome (biomischer Lehrstz) * Sid,b ud N, so läßt sich (+b) i eie Summe zerlege: b 2 k k b b... b 0 2 b k k b Rechts stehe (+) Summde, i dere Produkte die Expoete vo mit begied je um ch rechts behme, die vo b umgekehrt mit 0 begied je um zuehme ud die ls Eulersche Symbole geschriebee Biomilkoeffiziete k (Sprechweise: über k) us de folgede Defiitioe herus berechet werde köe: k ( )( 2)...( k ) ( k ) k! k!( k)!, k N 23 Hierbei gilt: 0! 0 ; ;. k k k k k Schreibt m für =0,,2,... die Biomilkoeffiziete zeileweise uf, so erhält m ds ute drgestellte Psclsche Zhledreieck. I der rechts stehede usgerechete Form läßt sich die Symmetrie der Zhle zur Mittelsekrechte der Zeile ud die Drstellug eier Zhl ls Summe der liks ud rechts drüber stehede erkee. Dmit k ds rechts stehede Zhledreieck forml etwickelt werde. 23 Sprechweise für k!: k Flkultät.

17 7 =0: (+b) 0 = =: (+b) =+b =2: 2 (+b) 2 = 2 +2b+b 2 =3: 3 3 (+b) 3 = b+3b 2 +b 3 =4: (+b) 4 = b+6 2 b 2 +4b 3 +b 4 =5: (+b) 5 =... =6: (+b) 6 =... usw. Abbildug 6 Psclsche Zhledreieck Abbildug 7 Psclsche Zhledreieck mit Biomilkoeffiziete 8.4 Logrithme reeller Zhle 8.4. Defiitioe ud Gesetze Vorusgesetzt, > ud b sid positive reelle Zhle, so gibt es geu eie Zhl =log b, Logrithmus b zur Bsis get, die ls Expoet zur Bsis geu b ergibt: log b b;, b 24 ist der Logrithmus. ist die Logrithmebsis. b ist der Numerus des Logrithmus. Aus der Defiitio folgt: Ds Logrithmiere ist die Umkehrug des Potezieres, ud Logrithmiere ud Poteziere zur gleiche Bsis hebe sich uf: 25 log b b log b Weitere Folgeruge (>): 24 Die Bse 0<< werde selte beutzt Awedug vo Fuktio ud Umkehrfuktio liefert immer die Vrible: x 3 x

18 8 log b=, we b= (Bsis gleich Numerus) log b>0, we b> log b=0, we b= log b<0, we 0<b<. Auf Grud dieser Beziehuge k jeweils durch Logrithmiere eie Recheopertio mit reelle Zhle uf eie druterliegede Opertiosstufe zurückgeführt werde, lso us Poteziere wird Multipliziere us Multipliziere/Dividiere wird Additio/Subtrktio. log uv log u log v u log log u log v v log u m mlog u log u log u Logrithmesysteme Sämtliche Logrithme (0<b< ) zu eier bestimmte Bsis >0 werde ls ei Logrithmesystem bezeichet. Zwei Logrithmesysteme mit de Bse ud c sid durch die Beziehug verküpft. Für b= folgt log c log c =. log b = log c log c b Die Logrithme eies Systems köe lso i die Logrithme eies beliebig dere Systems umgerechet werde. Als Ausggssystem werde häufig die türliche Logrithme mit der Bsis =e verwedet. Der sich ergebee Umrechugsfktor M c =log c e wird Modul des Systems c get, so dß für eie Umrechug d gilt: log c b M l b c l b l c Tbelle 6 Die i der Prxis gebräuchliche Logrithmesysteme Bezeichug des Systems Bsis Schreibweise Modul M c Ntürliche oder Npiersche Logrithme e lim l b Me l e 2, 7828 Dekdische oder 0 lg b M Briggsche Logrithme 0 l0 0, Dydische Logrithme 2 ld b M 2 l 2, 443 Zum umerische Reche (ußer Additio ud Subtrktio) sid m beste die dekdische Logrithme geeiget, d dere Logrithme vo Zeherpoteze gze Zhle sid ud sich jede

19 Zhl b durch Abspltug eier Zeherpotez 0 i b=0 b' mit b 0 zerlege läßt. lg b läßt sich d wie folgt schreibe: lg b=+lg b, wobei ls Keziffer ud die hiter dem Komm erscheiede Stelle vo lg b i der Dezimlbruchschreibweise ls Mtisse bezeichet werde. I de Nturwisseschfte kommt dgege fst usschließlich der türliche Logrithmus zum Eistz, d für diese Fll Umrechugsfktore etflle; turwisseschftliche Prozesse folge häufig der Expoetilfuktio zur Bsis e. 9 Abbildug 8 Drstellug usgewählter Expoetilfuktioe

20 20 Abbildug 9 Drstellug usgewählter Logrithmusfuktioe (Umkehrug der Expoetilfuktioe)