Ein kurzer (historischer) Überblick über Zahlensysteme

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1 Chrlotte-Wolff-Kolleg Vorkurs Mthemtik Mthemtik Ds Fch Mthemtik ist Pflichtfch für die gesmte Duer des Besuchs der Oerstufe is zum Aitur. Dei werde (hier ur gro umrisse) folgede Ihlte ehdelt: Vorkurs (. Semester) : Alger, Arithmetik ud Grudlge der Megelehre - Reche mit Zhle - Reche mit Vrile - Termumformuge: Recheopertioe, Zusmmefsse, Auflöse vo Klmmer, Fktorisiere, Kürze, Erweiter - Potezrechug, Wurzel - Liere Gleichuge - Liere Gleichugssysteme - Qudrtische Gleichuge Eiführugsphse (. ud. Semester) : Grudlge der Geometrie ud Trigoometrie, eifche Fuktioe - Geometrische Grudlge ud Sätze - Eee Trigoometrie - Liere Fuktioe - Qudrtische Fuktioe - Eifche geroche-rtiole Fuktioe Kurssystem ( Semester) : Grudkurs - Alysis - Vektorrechug Leistugskurs - Alysis - Liere Alger ud Alytische Geometrie - Stochstik

2 Chrlotte-Wolff-Kolleg Vorkurs Mthemtik Ei kurzer (historischer) Üerlick üer Zhlesysteme Die eifchste Methode, Zhle drzustelle, ist die so gete Reihug: Es werde eifch so viele Striche hiter eider gesetzt, wie zur Drstellug der gewüschte Zhl ötig sid:. Ds wird uch heute och eutzt, z.b. vo Keller oder Brkeeper. Ei Nchteil liegt klr uf der Hd: Bei größere Zhle wird es recht uüersichtlich, ds "Lese" der Zhl erfordert ds Azähle der Striche. Ei Vorteil ist, dss m mit ur eiem eizige Symol uskommt! Die Reihug k üersichtlicher gestltet werde durch Büdelug:. So mcht z.b. der Mesch der Br ei jedem füfte Bier sttt des sekrechte Striches eie wgerechte Strich, jedes so etstdee "Büdel" steht lso für eie Azhl vo füf Biere, so gewit m viel leichter eie Üerlick üer die Azhl. Eie dere Möglichkeit ietet die spezielle Aordug, wie sie u.. vo de Ägypter ud Byloier eutzt wurde, woei ds Symol der Byloier für "" eher ei Keil wr, etw so: ϒ.) : Ägypter: Byloier: ϒϒϒ ϒϒϒ Der Zhlerum der so drstellre Zhle ist doch sehr egrezt. We m edekt, dss (icht ur) i Ägypte sehr viele Mesche i eier recht etwickelte Gesellschft lete, so erforderte dies eifchere ud üersichtlichere Zhledrstelluge. Dies wurde ddurch erreicht, dss m eue Symole für Büdel eiführte (die ute eutzte Symole sid türlich die i eiem ormle Zeichestz drstellre Zeiche, die Zeiche der Ägypter wre dgege sehr gegestädlich). Ägypter: Römer: V (Ochsejoch: 0) Byloier: ϒϒϒ ϒϒϒ ϒϒϒ ϒϒϒ ϒ D kote wiederum Büdel vo Büdel geildet werde: Ägypter: : 00) Lotoslüte 000; Schilfkole 0000; Frosch Byloier: Römer: V : 5 X : 0 ϒ : 60 (!!) L : 50 C : 00 D : 500 M : 000 Die Büdelug erfolgte icht immer i gleiche Astäde!

3 Chrlotte-Wolff-Kolleg Vorkurs Mthemtik Besoders prolemtisch wr, dss die Byloier ds Symol ϒ sowohl für "" ls uch für "60" eutzte. Dies führte eierseits zwr zuächst zu Missverstädisse, er uch zu eier geile Idee, wie wir ute sehe werde. Im tike Griecheld, welches erühmte Mthemtiker hervorrchte, eutzte m ei recht uprktisches Symolsystem, ämlich die Buchste ls Zhle: α, β, usw.; κ 0, λ 0, es g keie Büdelug. Ddurch wurde i Recheopertioe Alogie icht sichtr, die für us selstverstädlich sid: β + ε ζ κ + ν ο ς + φ ψ Auch dere Recheopertioe wre - wie üriges mit de römische Ziffer eeflls - sehr uüersichtlich. Zurück zu de Byloier: Die Drstellug vo Zhle durch ur zwei Symole, ud ϒ, die zudem och mehrfche Bedeutug htte (ϒ oder 60 oder 600 oder 6000 oder...), führte uf die Idee, die Symole ch ihrer Positio ierhl der Zhledrstellug ders zu ewerte: Ds Stellewertsystem wr geore. Jede "Stelle" (im Folgede drgestellt durch eie Tfel) wurde is mximl 59 ufgefüllt, dch ("Üerluf") geht es eie Stelle weiter ch vor mit 60 wieder vo vor los. Eifche Beispiele ϒ ϒ ϒ ϒ ϒ (5) ϒ ϒ (x60) () ϒ ϒ ϒ ϒ ϒ ϒ ϒ ϒ ϒ ϒ ϒ ϒ ϒ ϒ 0 59 x60x60x60x60 x60x60 x60 x60x60x60 Der Vorteil estd dri, dss mit ur zwei Symole ud ur weige "Stelle" uch sehr große Zhle drgestellt werde kote.

4 Chrlotte-Wolff-Kolleg Vorkurs Mthemtik Allerdigs wre die Zhledrstelluge icht eideutig, es kote z.b. ϒ für 70 oder für 60 stehe. Um eideutige Zhledrstelluge zu erhlte, wurde deswege später sogr ei der "Null" etsprechedes Symol eutzt. Der große Nchteil, der is i die heutige Zeit reicht, wr er folgeder: Ds kleie "Eimleis", ei us is 9 ml 9, geht is 59 ml 59, d "Ziffer" vo is 59 uftrete! Dies erforderte sehr gute Recheküste vo de dmit Befsste. Aus dieser Zeit kommt üriges ds Vorurteil, dss Mthemtik ur etws für Schlue ist: Ei "kleies Eimleis" dieser Größe ist ur etws für Leute mit eiem phäomele Gedächtis... Auch we m es kum glue möchte: Ds Zhlesystem der Byloier wird heutzutge immer och täglich eutzt! We wir zwei Zeite ddiere, so verfhre wir wie die lte Byloier : h 5mi 7s + 6h 8mi 45s 0h 4mi s oder gekürzt: Gleiche Recheopertioe tuche uf eim Areite mit Wikel, die i Grd, Miute ud Sekude gemesse werde. Die eschrieee Schwierigkeite he dzu geführt, dss sich eie Zhl zur Bsis eies Stellewertsystems durchgesetzt ht, welche us wege userer Körperkostruktio sehr sympthisch ud türlich erscheit: Die Zhl 0 (Amerkug: Auch 0 liegt he, wie es och im Frzösische erhlte ist); ud dies, owohl user Gehir Schwierigkeite ht, Zhle mit mehr ls siee Ziffer uf Ahie zu erkee. Im Dezimlsystem mit seie 0 Ziffersymole edeutet eie Ziffer, je ch ihrem Stdort i der Zhl, etws Aderes: So k eie "" ee für Huderter, er uch für Tusedstel stehe. Seit dem Eistz vo Mschie zur Lösug vo Recheopertioe he eue, weitere Zhlesysteme Eizug gehlte: Dulsystem: Es git ur die eide Ziffer 0 ud, we "" erreicht ist, wird eie eue Stelle eigerichtet usw. Vorteil: M eötigt ur die eide Ziffer "" ud "0" (etspreched de Schltzustäde "ei" ud "us", Recheopertioe sid extrem eifch, ds "kleie Eimleis" esteht lediglich us ml. Nchteil: Die Drstellug der Zhle ist uheimlich lg, ereits reltiv kleie Zhle üerschreite die 7-Stelligkeit (s.o.). Beispiel: 0000 dul für dul für dul für 00 4

5 Chrlotte-Wolff-Kolleg Vorkurs Mthemtik Dem gegeüer ht ds Hexdezimlsystem (oder uch Sedezimlsystem) dere Vor- ud Nchteile. Es git 6 Ziffer 0,,,...,9,A,B,C,D,E,F, eie eue Stelle wird lso jeweils erst d eigerichtet, we 6 erreicht sid. A 0; 9F 9 x ; FF 5 x ; A7F 0 x 6 x6 x x 6 x x Der Vorteil ist klr: Die Zhledrstelluge werde (isesodere ei sehr große Zhle) erhelich kleier. Nchteil ist wieder, zwr icht gz so schlimm wie ei de Byloier, die Größe des "Eimleis". Zusmmefssed ist zu sge, dss m im Prizip jede Zhl ls Bsis ehme k: Eie größere Azhl vo Ziffer verkürzt die Zhldrstellug, vergrößert er ds "Eimleis". Recheopertioe i der Mege der türliche ud der gze Zhle Defiitio : Mege der türliche Zhle Die Mege der Zhle, die eim Azähle etsteht, heißt Mege der türliche Zhle ud wird {,,,4,...} geschriee. lässt sich schulich eiem Zhlestrhl drstelle:,,,,,,,,,,,,,. A Der Afgspukt wird (zuächst) mit A ezeichet. Durch eie Pfeilspitze wird ketlich gemcht, i welcher Richtug die Zhle größer werde, der Strhl erhält so eie "Durchlufsi", eie "Orietierug". We eie Zhl, z.b., liks vo eier dere Zhl, z.b. 7, liegt, so ist kleier ls, im Beispiel lso kleier ls 7. Wir schreie dfür < 7 oder llgemei < (gelese: " kleier "), gleichedeuted dmit ist türlich > (" größer ls "). Der Zhlestrhl ist ch oe icht eschräkt, die Mege der türliche Zhle ist lso eie Mege, die uedlich viele Zhle ethält. Zum Reche muss m zuächst Recheopertioe defiiere. Dzu eutze wir ds so gete Pfeilmodell: Jeder türliche Zhl z etspricht ei Pfeil, der vo A zum Pukt Z führt, A et m de Agriffspukt, Z ist der Zielpukt. Der Pfeil, der zu eier Zhl gehört, muss er icht otwedig ei A egie: Er k elieig verschoe werde, ur seie Läge ud seie Orietierug dürfe icht verädert werde. Die Zhl "" wird lso durch eie Pfeil, der drei Eiheite lg ist ud ch rechts weist, drgestellt. Defiitio: Additio Zwei Zhle werde ddiert, idem m de Pfeil der.zhl mit seiem Agriffspukt de Zielpukt des.pfeils (mit Agriffspukt A) hägt. Ds Ergeis ist der Pfeil, der de Agriffspukt A ud de Zielpukt des gehägte Pfeils esitzt. Beispiel: + 5,,,,,,,,,,,, A

6 Chrlotte-Wolff-Kolleg Vorkurs Mthemtik Die ekte Additio (Opertioszeiche + ) ist i ueigeschräkt durchführr, d.h. ei Additio zweier türlicher Zhle etsteht wieder eie türliche Zhl. Die eide zu ddierede Zhle et m Summde, ds Ergeis eier Additio heißt Summe: Summd + Summd Summe. Amerkug: M k zur Verschulichug der Opertio + m Zhlestrhl uch zwei Zhlestrhle eutze, je eie für die eide Summde. Trägt m de erste Summde uf dem erste Strhl ud legt de zweite Zhlestrhl mit seiem Afgspukt A diese Stelle, so liegt ds Ergeis der Additio der eide Zhle uf dem erste Strhl dort, wo der zweite Summd uf dem zweite Strhl liegt. Beispiel : ?,,,,,,,,,,,,. A ,,,,,,,,,,,, A Die Reihefolge ei der Additio ist offer elieig, die Additio ist lso kommuttiv (lt.: vertuschr), die eide Summde sid vertuschr. Amerkug: Ds Pfeilmodell etspricht der Additio vo Vektore, wie sie z.b. i der Physik oder i de Igeieurwisseschfte eutzt wird. Sutrktio Die Sutrktio (Opertioszeiche - ) wird i der Grudschule zuächst ls eie eigestädige Recheopertio uf eigeführt. Die eide der Sutrktio eteiligte Zhle et m Miued (lt. vo 'miuere' (vermider): Die zu vermiderde Zhl) ud Sutrhed (lt. vo 'sutrhere' (wegehme): Die wegzuehmede Zhl), ds Ergeis heißt Differez (lt.: Uterschied) : Miued - Sutrhed Differez Die Sutrktio wird wie die Additio mit dem Pfeilmodell defiiert: Defiitio : Sutrktio Zwei Zhle werde sutrhiert, idem m de etgegegesetzt orietierte Pfeil der.zhl (lso des Sutrhede) mit seiem Agriffspukt de Zielpukt des.pfeils (des Miuede, mit Agriffspukt A) hägt. Ds Ergeis ist der Pfeil, der de Agriffspukt A ud de Zielpukt des gehägte Pfeils esitzt. Amerkug: Die Sutrktio ist i druf eschräkt, dss der Miued größer ist ls der Sutrhed (i der Grudschule sgt m z.b. "4-6 geht icht "). Beispiel: - (etgegegesetzt orietiert ),,,,,,,,,,,,, A Alog zur Additio k m sich die Sutrktio uch mit zwei Zhlestrhle klr mche: 6

7 Chrlotte-Wolff-Kolleg Vorkurs Mthemtik Die Zhlestrhle für Miued ud Sutrhed werde so gelegt, dss eide Zhle üereider liege. D liegt die Differez uf dem Miued-Zhlestrhl dort, wo der Afgspukt des Sutrhed-Zhlestrhls liegt. Beispiel: 9-6?,,,,,,,,,,,. A ,,,,,,,,,,,,. A Die Ausdehug der Sutrktio uf die dere Fälle (Sutrhed gleich dem oder größer ls der Miued) führte zur Eiführug der Null ud der egtive Zhle, ws für us heute (im Zeitlter vo Kredite ud Sollzise...) selstverstädlich scheit, er für die Meschheit eie große Schritt edeutete, de sie erst im 6. Jhrhudert vollzog. Setzt m de Zhlestrhl zur dere Seite fort, so etsteht eie Zhlegerde, der Pfeil zeigt ch wie vor die Orietierug. Die Zhle, die uf der Zhlegerde liks vom isherige Afgspukt liege, heiße egtive Zhle (die rechts dvo liegede Zhle heiße dgege positiv). Um keie eue Zhle oder Ziffersymole eiführe zu müsse, werde die gleiche Zhle eutzt, sie erhlte jedoch ei - ls so getes Vorzeiche (dieses "mius" gelesee Vorzeiche etstd üriges us eiem schlmpig geschrieee "m" ls Akürzug für "mius" (lt.: weiger); zur Verdeutlichug schreie wir (zuächst) die positive Zhle mit eiem "+" ls Vorzeiche. Die zum isherige Afgspukt A gehörige Zhl wird 0 get, sie ist weder positiv och egtiv. Sid zwei Zhle jeweils gleich weit vo der 0 etfert, z.b. ud, so sgt m, die eide Zhle he de gleiche Betrg ud ezeichet sie zueider ls Gegezhle. Wichtig ist es, de Uterschied zwische dem Vorzeiche "-" ud dem Rechezeiche "-" zu echte. Defiitio : Betrg Der Betrg eier Zhl ist die Etferug der Zhl zur Null uf der Zhlegerde, er wird ezeichet mit. -, 5 5. Die Mege, die us de türliche Zhle, der Null ud de eue, ämlich de us de türliche Zhle mit egtivem Vorzeiche geildete Zhle, esteht, heißt die Mege der gze Zhle: Defiitio : Mege der gze Zhle { 0; ± ; ± ; ± ;... } heißt die Mege der gze Zhle. I ist uch die Sutrktio ueigeschräkt usführr. Additio ud Sutrktio der egtive Zhle im Pfeilmodell erfolgt wie ei de positive Zhle, die zu egtive Zhle gehörede Pfeile he die gleiche Läge wie ihre Gegezhl, sid jedoch etgegegesetzt orietiert. Beispiel: (Der Deutlichkeit hler, um Vor- ud Rechezeiche voeider zu tree, schreie wir zuächst lle Zhle mit Vorzeiche ud setze Klmmer drum.) 7

8 Chrlotte-Wolff-Kolleg Vorkurs Mthemtik (+0) + ( -5) (+5) (-5) (-5),,,,,,,,,, (+0),,,,,,, Ds gleiche Ergeis erhält m, we m rechet (+0) - (+5) (+5). Ds edeutet: Die Sutrktio ist lso ichts deres ls die Additio der Gegezhl (*), sie ist somit keie eigestädige Recheopertio. Aus der Defiitio ergee sich die folgede Regel für die Additio : (**) Additio vo Summde mit gleichem Vorzeiche: Summe der Beträge ilde, Vorzeiche leit erhlte Additio vo Summde mit verschiedeem Vorzeiche: Differez der Beträge ilde, Vorzeiche der Summe ist ds Vorzeiche des etrgsmäßig größere Summde (+) + (+7) (+0) ( -) + (- 7) (- 0) (+) + ( -7) ( -4) d -7 > ( -) + (+7) (+4) d - < 7 Sid mehrere Opertioe + zw. - uszuführe, so et m ds Gze eie lgerische Summe. Beispiel: (+) + ( -) - (- 4) - (+6).. Dei sid die Opertioe der Reihe ch gleicherechtigt utereider uszuführe, ud zwr ch de Regel (*) ud (**). Solge m Schwierigkeite ei der Additio zw. Sutrktio vo Zhle mit verschiedee Vorzeiche ht, k m wie folgt vorgehe: ) M wdelt die Summe so um, dss ls Rechezeiche ur och + vorkommt (*). ) M ddiert ch de Regel (**) Beispiel: (+) + (-) - (-4) - (+6) Bilde der Gegezhl ei Opertio "-" (+) + (-) + (+4) + (-6) Addiere der erste eide Zhle (+) + (+4) + (-6) Addiere der erste eide Zhle (+5) + (-6) Addiere (-) Ntürlich wird m ch kurzer Zeit kürzer schreie ud (im Kopf) zusmmefsse oder Umorduge vorehme. Welche Regel gelte dfür? Bekt: (+) + (+5) (+5) + (+) (+8) (vgl.: Kommuttivität der Additio i ) Dies gilt uch für egtive Zhle, z.b. (+) + (-5) (-5) + (+) (-). Diese Vertuschrkeit (Kommuttivität) gilt für lle Zhle ezüglich der Additio: Die Summe zweier Zhle ist icht hägig vo der Reihefolge der Summde: + + ( Kommuttivgesetz der Additio) Ds Kommuttivgesetz gilt er icht für die Sutrktio, wie ei Gegeeispiel zeigt: Es ist (+) - (+5) (-), er (+5) - (+) (+). Also gilt (+) - (+5) (+5) - (+). M k er leicht folgedes Gesetz (die Mthemtiker ee eie solche Folgerug eie Stz) zeige: 8

9 Chrlotte-Wolff-Kolleg Vorkurs Mthemtik Stz: Bei der Vertuschug vo Miued ud Sutrhed ädert sich ds Vorzeiche der Differez: - - ( - ). Bekt: Bei der Additio vo mehr ls zwei Zhle k m zusmmefsse: ((+5) + (+)) + (+7) (+5) + ((+) + (+7)) (+5) Diese Zusmmefssrkeit (Assozitivität) gilt für lle Zhle ezüglich der Additio: Die Summe mehrerer Zhle ist icht hägig vo der Zusmmefssug zweier Zhle ei der Summeildug: ( + ) + c + ( + c ) ( Assozitivgesetz der Additio) Uter Awedug dieser Grudsätze k m u elieige lgerische Summe ilde. Will m dere Prioritäte setze, so setzt m Klmmer; we Klmmer gesetzt sid, ist der Ihlt eier Klmmer wie eie eigestädige lgerische Summe zu ehdel: Beispiel: (+) - ( ( -) + (-5) ) + ( 9) Amerkug: Nchdem u die Zusmmehäge zwische Vor- ud Rechezeiche geklärt sid, köe wir türlich die recht lästige Klmmer weglsse. Alog k m die Additio ud Sutrktio für Vrile Zhlestrhl ud Zhlegerde erkläre: So wie uf eiem Zollstock ei Strich cm zw. mm etspricht, k m ls Eiheit elieige Buchste, die ggfs. später durch Zhle ersetzt werde köe, ls Eiheit uf dem Zhlestrhl rige, z.b.. Deswege heißt uch Pltzhlter oder Vrile. Die doppelte Etferug zu 0 ist d, die dreifche usw., log im egtive Bereich. Die Zhle vor der Vrile heiße Vorzhle oder Koeffiziete. Alog zu de ormle Zhle k m dmit reche Dei ist klr, dss jeweils ur gleiche Größe zw. Buchste ddiert zw. sutrhiert werde köe: M k j uch icht umittelr cm ud mm ddiere oder gr mi ud m. Es gelte hier wieder die Regel (*) ud (**). Multipliktio i Die Multipliktio ist eie Akürzug der mehrfche Additio: Sttt schreit m kurz, de es wird ml die ddiert. Die eide zu multiplizierede Zhle heiße Fktore, ds Ergeis heißt Produkt: Fktor Fktor Produkt. Aus de Recheregel für die Additio ergee sich die folgede so gete Vorzeicheregel: Klr ist ch Defiitio (+4) (+) (+) + (+) + (+) + (+) (+8). Geuso klr ist d (+4) ( -) ( -) + (-) + (-) + (-) (-8). Nicht so eifch chvollziehr ist d er ( -4) (+). Eie Möglichkeit, sich ds klr zu mche zw. die Festlegug zu motiviere ist: M erhet die Forderug, dss die Multipliktio eeflls kommuttiv ist: Ds Produkt ist icht hägig vo der Reihefolge der Fktore: ( Kommuttivgesetz der Multipliktio ) 9

10 Chrlotte-Wolff-Kolleg Vorkurs Mthemtik D gilt türlich ( -4) (+) (+) ( -4) ( -8) (s.o.). Dss diese Forderug sivoll ist, üerlegt m z.b. so: M schreit sich eestehede Reihe uf ud eochtet, dss ei 6 () der Verrigerug des erste Fktors um ds Ergeis jeweils um 4 () immt (is zur.zeile ist ds die lte Defiitio ud die 4.Zeile ist () uch och schulich). Bei der Fortsetzug der Multipliktio uf die 0 0 (4) egtive Zhle muss dies eeflls der Fll sei (5.Zeile ff). - - (5) Dies ist ds sogete Permezprizip, welches m ei der - -4 (6) Erweiterug eies Zhleereiches fordert: Es sichert, dss die Recheregel, usw. die i der "kleiere" Zhlemege gelte, uch i der größere Zhlemege gelte. Alog k m d ( -4) ( -) (+8) üerlege: Aus der oige Telle, z.b. Zeile () ud Zeile (5), etimmt m, dss ei eier Vorzeicheäderug uf der like Seite sich uch rechts ds Vorzeiche ädert. Eie weitere Vorzeicheäderug uf der like Seite muss lso wiederum rechts ds Vorzeiche äder: Aus ( -4) (+) ( -8) folgt so ( -4) ( -) (+8). M k er uch wie oe ds Permezprizip wede: ( -) -6 ( -) -4 usw.. Aus dem Vorgeggee ergee sich folgede Vorzeicheregel für die Multipliktio: Ds Produkt zweier Zhle mit gleichem Vorzeiche ist positiv. Ds Produkt zweier Zhle mit verschiedee Vorzeiche ist egtiv. Der Betrg des Produktes gleich dem Produkt der Beträge. Leicht(er) merkt m sich diese Regel oft ls "plus ml plus gleich plus", "plus ml mius gleich mius", "mius ml plus gleich mius" ud "mius ml mius gleich mius". Alog zur Additio gilt: Die Multipliktio mehrerer Zhle ist icht vo der Zusmmefssug der Fktore hägig: ( ) c ( c ) ( Assozitivgesetz der Multipliktio ) Zwische de eide Opertioe gilt ds folgede Verteilugsgesetz : Wird eie Zhl mit eier Summe multipliziert, so verteilt sich die Zhl uf eide Summde: ( + c ) + c ( Distriutivgesetz ) Ds Distriutivgesetz wird sofort us folgeder Flächeerechug eisichtig: c Der Ihlt der Gesmtfläche ist "Breite ml Gesmtläge", lso ( + c ). Er ist geu so groß wie die Summe der Ihlte der eide Eizelfläche, ämlich + c. c Ds Distriutivgesetz liefert eie weitere Bestätigug der Vorzeicheregel "mius ml mius gleich plus": Es gilt z.b. (-) ( (+) + (-) ) (-) 0 0 (i der Klmmer stehe Gegezhle!). Nch dem Distriutivgesetz gilt er uch (-) ( (+) + (-) ) (-)(+) + (-)(-) (-6) + (-)(-) D die like Seite gleich ist, muss die rechte Seite eeflls 0 sei; dies edeutet wiederum, dss (-)(-) die Gegezhl vo (-6) sei muss. Also gilt (-)(-) (+6). 0

11 Chrlotte-Wolff-Kolleg Vorkurs Mthemtik Folgede weitere Vereiruge diee der Klrstellug zw. Vereifchug. Die Opertio " " ist gegeüer der Additio ud Sutrktio vorrgig (Merkregel us der Grudschule: "Puktrechug vor Strichrechug"). M sgt uch, die Multipliktio ist eie Opertio der.stufe, währed Additio ud Sutrktio Opertioe der.stufe sid Reche- ud Vorzeiche sid durch Klmmer zu tree: Beispiel: (-4) (-4)... Ds Zeiche " " k weg gelsse werde, we keie Verwechslug möglich ist: Beispiel: M schreit (4 + 5) (4 + 5).... Achtug: Die Akürzug 4 4 ist (türlich!) icht zulässig. Additio ud Multipliktio mit Vrile Nee Zhle werde i der Mthemtik Buchste (mchml uch dere Symole) eutzt, die ls Vrile ezeichet werde, weil sie durch (elieige) Zhle ersetzt werde köe, prktisch lso vrile Zhle sid. Sttt Vrile eutze mche ds Wort "Pltzhlter" oder uch "Leerstelle". Wie ei der Eiführug der Multipliktio ei gze Zhle k m ds Produkt eier Zhl mit eier Vrile zw. vo zwei Vrile miteider erkläre: M schreit heißt uch die "Beizhl" oder der "Koeffiziet" vo, ls Produkt iterpretiert sid 5 ud Fktore, die ds Produkt 5 ilde. Wie ddiert m u solche "Zhle" ud uter welche Vorussetzuge? Dies k m sich klr mche, idem m uf die Defiitio zurück geht: Beispiel: + 5 ( + + ) + ( ) ; ei gleichrtige Summde rucht m ei der Additio lso ur die Koeffiziete zu ddiere k m icht weiter sivoll zusmme fsse. Dies ist lägst ekt us der Rechug mit Größe, z.b. gilt cm + 4cm 7 cm; icht (umittelr) k m cm + 4 mm zusmme fsse, üerhupt icht cm + 4 kg. Verllgemeiert m die oige Multipliktiosdefiitio, so k m leicht eisehe, ws uter zu verstehe ist: ( Summde ) Wege der Kommuttivität ist dies ds Gleiche wie ( Summde ) Multipliktio vo Vrile edeutet lso ur, die Vrile hiter eider (wie ei eiem Wort) uf zu schreie (uch hier wird ds Multipliktiossymol weg gelsse). Dmit ds Gze üersichtlicher wird, ht m die Vereirug getroffe, die Buchste i lfetischer Reihefolge zu schreie, sofer icht dere Vereiruge dgege spreche. Beispiel: d x z dxz Auch hier k m gleichrtige Summde wie geht zusmme fsse, verschiedertige dgege icht: Beispiel: + 4c -5-7c - - c Allgemei k m sich die Recheregel zur Additio vo Summde, die Vrile ethlte, wie folgt merke:

12 Chrlotte-Wolff-Kolleg Vorkurs Mthemtik Gleichrtige Summde werde ddiert, idem m die Koeffiziete ddiert: m + (m + ). Verschiedertige Summde köe icht ddiert werde. Der erste Teil dieser Recheregel ist letztlich wieder ichts Aderes ls ds Distriutivgesetz, desse Wichtigkeit erst eim Reche mit Vrile zu Tge tritt: Währed m Summe vo Zhle vor eier Multipliktio ilde k, geht ds ei Vrile icht; oft werde Vereifchuge erst durch die Awedug des Distriutivgesetzes möglich. Ds Gleiche gilt uch für die Multipliktio vo Summe miteider, wie wir uf der ächste Seite sehe werde. Aus dem Distriutivgesetz ergit sich sofort die folgede Multipliktiosregel: Wird eie Summe mit eier weitere Summe multipliziert, so ist jeder Summd der erste Summe mit jedem Summde der zweite Summe zu multipliziere: ( + ) ( c + d ) c + d + c + d Beweis: ( + ) ( c + d ) ( + ) c + ( + ) d (Distriutivgesetz mit ( + ) ls. Fktor) c + d + c + d (Distriutivgesetz mit Vertuschug der Fktore) Diese Multipliktiosregel k m (türlich..) uch für Summe mit mehr ls zwei Summde wede, die Azhl der etstehede Summde wächst er sehr schell is Ugeehme... Besodere Bechtug verdiee (weil hier leider immer wieder Fehler uftrete..) die Vorzeiche: Ds Vorzeiche eies Fktors vor der Klmmer wirkt (wege des Distriutivgesetzes) gemäß de Vorzeicheregel uf jede sich ergeede Summde! ) -( - + c) c ) ( - )(-5c - d) -0c - 6d + 5c + 9d Ds Distriutivgesetz he wir zum Ausmultipliziere vo Klmmer isher ur vo liks ch rechts gelese. Liest m es dgege vo rechts ch liks, so eschreit es, wie m us eier Summe ei Produkt mcht. Diese Vorgg et m Ausklmmer oder Fktorisiere. Ds edeutet (zuächst), dss m Fktore, die i jedem Summde vorhde sid, vor (oder uch hiter) eie Klmmer schreit, i der Klmmer stehe d die ürige Fktore. ) ( + ) ) c + 9ce - 7cd + c c + ce - 9 cd + c c ( + e - 9d + ) Auch eie Multipliktio vo zwei Summe k m durch prtielles Ausklmmer (oft) wieder rückgägig mche. ) + + c + c (Ausklmmer vo zw. c us je zwei Summde) ( + ) + c ( + ) (Ausklmmer des Klmmerfktors ( + ) ) ( + ) ( + c) ) d + d (Ausklmmer vo zw. (-d) us je zwei Summde) ( - ) - d ( - ) (Ausklmmer des Klmmerfktors ( - ) ) ( - ) ( - d)

13 Chrlotte-Wolff-Kolleg Vorkurs Mthemtik Der Begriff des Terms Defiitio: Ei mthemtischer Ausdruck T, der elieig viele Vrile ethlte k ud eim Ersetze der Vrile durch Zhle i eie Zhl üergeht, heißt Term. Alle die Zhle, die m für die Vrile eisetze k, ilde de Defiitiosereich des Terms. Zwei Terme T,, die eim Ersetze durch gleiche Zhle gleiche Werte ehme ud de gleiche Defiitiosereich he, heiße äquivlet; m schreit d T T. Äquivlezumformuge eies Terms sid z.b. Fktorisiere ud Ausmultipliziere, er uch dere Umformuge, die wir später ehdel werde, wie z.b. Kürze ud Erweiter eies Bruches. Die Mege der rtiole Zhle Ählich wie ei der Sutrktio ls Umkehrug der Additio die Ausführug i der Mege der türliche Zhle ur d möglich ist, we der Sutrhed kleier ls der Miued ist (ud dies zur Eiführug eier eue, größere Mege, der Mege der gze Zhle zwg), verhält es sich ei der Umkehrug der Multipliktio. Teilt m eie gze Zhl, z.b. 56, durch eie dere gze Zhl, z.b. 7, (i Zeiche: 56 : 7 oder uch 56 / 7) so ergit sich 8, weil ist. Es ist klr, dss sich eie solche Teilrkeit i der Mege der gze Zhle uf diejeige Zhle eschräkt, die ei Vielfches der Adere sid. I der Grudschule ehilft m sich zuächst dmit, dss m Reste git: 7 : 4 4 Rest. Eie solche Schreiweise ist mchml durchus ützlich. Geuso wie die oe erwähte Erweiterug der Sutrktio uf die dere Fälle (Sutrhed größer ls Miued) zur Schffug der eue Zhlemege führte, wird uch für diese Recheopertio eie eue Zhlemege eigeführt, i der die Opertio "Divisio" ueigeschräkt durchführr ist: Die Mege der rtiole Zhle, ezeichet mit. Die Bezeichug dieser Zhlemege mit dem Buchste rührt vo der Bezeichug der Operde ei der Divisio her: Divided : Divisor Quotiet Die Bezeichug ls "rtiole" Zhle kommt dher, dss m sich dere ls solche Zhle icht mehr vorstelle kote, diese wre lso "irrtiol". Sttt der etws ugeehme Schreiweise mit dem Opertioszeiche ":" oder uch "/" eutzt m ektlich die Bruchschreiweise Divided Divisor Zähler Neer Quotiet ud ezeichet diese Ausdrücke ls Brüche. Die Mege der rtiole Zhle ist lso die Mege ller Zhle, die m ls Bruch schreie k: { x x p mit p ud q } q (Gelese: Q ist die Mege ller Elemete x mit (der Eigeschft) x gleich p durch q mit p Elemet vo Z ud q Elemet vo N ). Dei wird durch die Vorge "q " sicher gestellt, dss der Neer icht Null wird (eie Divisio durch Null ist icht defiiert).

14 Chrlotte-Wolff-Kolleg Vorkurs Mthemtik Defiitio: Echte ud uechte Brüche, Stmmrüche, gleichmige Brüche, reziproke Brüche ) Ei Bruch, desse Zähler kleier ist ls sei Neer heißt ei echter Bruch. ) Ei Bruch, desse Zähler größer ist ls sei Neer oder gleich dem Neer ist, heißt ei uechter Bruch. c) Ei Bruch mit dem Zähler heißt Stmmruch. d) Zwei Brüche mit gleichem Neer heiße gleichmige Brüche (sost ugleichmig). e) Zwei Brüche, ei dee der Zähler des eie gleich dem Neer des Adere ist ud umgekehrt heiße zueider reziprok. 7 7 ) ; sid echte Brüche ) ; sid uechte Brüche c) ; sid Stmmrüche d) ; sid gleichmige Brüche, ; sid ugleichmige Brüche e) ; sid reziproke Brüche. 4 Alog zur Bildug vo Terme us Vrile ud Zhle mit Hilfe vo Additio ud Multipliktio k m Brüche, die Vrile ethlte, ilde. Dei ist jedoch stets zu edeke, dss eie Multipliktio durch Null icht defiiert ist, ei Bruchterm lso icht defiiert ist für diejeige Zhle, die de Neer Null werde lsse. Beispiel: x + ) Der Term ist icht defiiert für x (oder ders herum: Der Term ist defiiert für x x ). ) Der Term ist icht defiiert, we ist. Wichtig: Der Zähler k türlich Null sei, d Null dividiert durch eie Zhl, die icht selst Null ist, wieder Null ergit. Recheregel für Brüche Aus de ekte Axiome ud Recheregel für die Additio ud die Multipliktio ergee sich die folgede Regel für die Recheopertioe mit Brüche: Erweiter : Der Wert eies Bruches ädert sich icht, we m im Zähler ud im Neer mit der gleiche vo Null verschiedee Zhl multipliziert. Kürze : Der Wert eies Bruches ädert sich icht, we m im Zähler ud im Neer durch die gleiche vo Null verschiedee Zhl dividiert. 6 ) ) ( )( + ) + d) ( ) ( ) 8 8 c) ( 0) 6 4

15 Chrlotte-Wolff-Kolleg Vorkurs Mthemtik Additio / Sutrktio : Gleichmige Brüche köe ddiert zw. sutrhiert werde, idem die Zähler ddiert zw. sutrhiert werde (ud der Neer eiehlte wird). We zwei ugleichmige Brüche ddiert / sutrhiert werde solle, müsse sie zuvor durch Erweiter oder Kürze gleichmig gemcht werde ) + ) c) + ( 0) d) + + ( 0) Multipliktio : Zwei Brüche werde miteider multipliziert, idem m jeweils die Zähler ud die Neer miteider multipliziert ("Zähler ml Zähler ud Neer ml Neer" ) c 5c ) ) (, 0) Divisio : Zwei Brüche werde durcheider dividiert, idem m de Divided mit dem Reziproke des Divisors multipliziert ("Multipliziere mit dem Kehrwert") c 4 ) : ) : (,, c 0) c 0c Vorzeicheregel : Die ekte Vorzeicheregel für die Multipliktio üertrge sich, d die Divisio ichts Aderes ist ls die Multipliktio mit dem Reziproke des Divisors: Der Quotiet zweier Zhle mit gleichem Vorzeiche ist positiv, der Quotiet zweier Zhle mit verschiedeem Vorzeiche ist egtiv. + + (Oder: + ; + ; ; ) + + Umwdlug vo Brüche i Dezimlzhle (ud umgekehrt) Jede Bruch k m durch Ausdividiere des Quotiete i eie Dezimlzhl umwdel. Dei sid zwei Fälle zu uterscheide: ) Die Divisio richt ch eier elieige Azhl vo Schritte. ) Die Divisio errigt eie uedliche periodische Dezimlzhl. ) 5, 5 4 ; 0, 8 ; 0, ) 0, ; 0,... ; 0, ; , Dei ht die Periode mximl eie Stelle weiger ls die Zhl im Neer eträgt: Ei Bruch mit dem Neer 7 ht z.b. eie 6-stellige Periode. 5

16 Chrlotte-Wolff-Kolleg Vorkurs Mthemtik M schreit periodische Dezimlrüche kürzer, idem m die Periode git ud üerstreicht: 0,6 ; 0, ; 0, 4857 ; 0, Umgekehrt k m jede edliche oder uedlich-periodische Dezimlzhl i eie Bruch umwdel: ) Eie edliche Dezimlzhl ist ei Bruch, desse Zähler us de Ziffer hiter dem Komm esteht. Sei Neer ergit sich drus, dss hiter dem Komm (ch dem Stellewertsystem) Zehtel, Hudertstel, Tusedstel usw. stehe: Eie Eis mit der gleiche Azhl vo Nulle, wie die Zhl ch dem Komm esitzt. ) Eie uedlich-periodische Dezimlzhl mit umittelr ch dem Komm eisetzeder Periode ist ei Bruch, desse Zähler us de Ziffer der Periode esteht. Sei Neer esteht us der gleiche Azhl vo Neue ) 0,5 ; 0,75 ; 0, ) 0, ; 0,7 ; 0, Beweis zu ) für eie Dezimlzhl mit eier dreistellige Periode: Gegee sei die Dezimlzhl 0, c. Multipliziert m diese Zhl mit 000, so ergit sich 000 0, c c, c. Nu sutrhiert m vo dieser Zhl die gegeee Zhl ud es ergit sich 000 0, c 0, c 999 0, c. (*) Adererseits fällt eim Sutrhiere lles, ws ch dem Komm steht, weg: c, c 0, c c. (**) D i (*) ud (**) uf der like Seite ds Gleiche steht, müsse die Zhle uf de rechte Seite uch gleich sei: 999 0,c c. (***) Teilt m (***) durch 999, so steht ds Behuptete d: c 0, c. 999 Dies köte m log für eie Zhl mit elieig lger Periode durchführe, lso ist die Behuptug ewiese. c) Setzt ei eier uedlich-periodische Dezimlzhl die Periode icht umittelr ch dem Komm ei, so muss m die Methode, die zu der Drstellug i ) führt, i Awdlug durchführe. Als Beispiel möchte ich ds für die Zhl 0,8 zeige: Es gilt 0 0,8 8, ud 0,8 0,8 + 0,0 (*). Bildet m u wie i ) die Differez, so erhält m eierseits 0 0,8 0,8 9 0,8 (**), dererseits erhält m durch Eisetze vo (*) i (**) 0 0,8 0,8 8, (0,8 + 0,0) 7,5 9 0,8 (***). Teilt m (***) durch 9, erweitert de Bruch erst mit ud kürzt d durch, so ergit sich: 7, ,

17 Chrlotte-Wolff-Kolleg Vorkurs Mthemtik Zur Beruhigug sei gesgt: Mir fällt icht direkt ei, wozu m ds ersthft rucht... Zusmmefssug: M k lso jede Bruch i eie edliche oder uedlich-periodische Dezimlzhl umwdel ud umgekehrt. Drus lässt sich er sofort erkee, dss es ee de rtiole Zhle (ds sid j lle Zhle, die m ls Bruch schreie k) och dere Zhle git, ämlich solche Zhle, die ee keie edliche oder uedlich-periodische Dezimldrstellug esitze. Diese Zhle werde ls "irrtiole Zhle" ezeichet (die Wortwhl mcht scho klr, wie uvorstellr diese Ttsche de Mesche zuächst wr..). Nimmt m zu der Mege der rtiole Zhle die Mege ller irrtiole Zhle hizu, so erhält m die Mege der reelle Zhle,. M k d zeige, dss diese Mege lle mögliche Pukte uf der Zhlegerde etspricht: Zu jedem Pukt gehört geu eie reelle Zhl, ud zu jeder reelle Zhl gehört geu ei Pukt. Potezrechug Alog, wie m zur Akürzug ei der wiederholte Additio ei ud dersele Zhl die Multipliktio eiführte (ud so zu eier eue Recheopertio eier höhere Stufe km), führt m eie Akürzug ei der wiederholte Multipliktio ei ud dersele Zhl ei: 9 (gelese: " hoch 9" ) ( Fktore) heißt "Potez", die Zhl heißt die Bsis (oder die Grudzhl) der Potez, der Expoet (oder die Hochzhl). Der Expoet ist vo dieser Defiitio her (llerdigs ur vorläufig) uf die türliche Zhle eschräkt. Wie oe ereits erwäht, etsteht uch hier eie Recheopertio eier höhere Stufe, die ekte Regel für die Reihefolge der Recheopertioe ist lso zu erweiter: Potezrechug vor Puktrechug vor Strichrechug Dies ist esoders zu echte, we es gilt, die Bsis eier Potez zu erkee: D der Expoet sich immer uf die Zhl ezieht, die umittelr dvor steht, muss m gegeeeflls Klmmer setze, um die Priorität ufzuhee. 9 Bsis: 9 Bsis: 9 ( ) Bsis: 9 Bsis: 9 ( ) Bsis: 9 ( ) Bsis: - D es sich ei der Potezrechug um eie fort gesetzte Multipliktio hdelt, üertrge sich die Vorzeicheregel uf Poteze: 7

18 Chrlotte-Wolff-Kolleg Vorkurs Mthemtik 8 Vorzeiche ei Poteze: ) Jede Potez eier positive Bsis ist positiv: 0 > 0 > ) Jede gerde Potez eier egtive Bsis ist positiv, jede ugerde Potez eier egtive Bsis ist egtiv: < > < Im Folgede werde die Recheregel für Poteze zusmmegestellt; sie ergee sich sämtlich us de isher ekte Recheregel der Additio ud der Multipliktio. D i eier Potez zwei Zhle uftrete (Bsis ud Expoet), sid jeweils die mögliche Fälle gesodert zu etrchte (de Poteze sid ur d gleich, we sie i Bsis ud Expoet üereistimme). Additio / Sutrktio ) Gleiche Poteze (Bsis ud Expoet sid idetisch): ) ( Die Vorzhl (der Koeffiziet) eier Potez etsteht lso völlig log wie der Koeffiziet ei der Rechug mit Vrile (vgl. S. 9 zw. S. ), m sieht sofort ei, dss z.b ) Idetische Bsis, verschiedee Expoete: ) ( ) ( Eie weitere Zusmmefssug ist icht möglich. c) Idetische Expoete, verschiedee Bse: + + Eie weitere Zusmmefssug ist icht möglich. d) Verschiedee Expoete, verschiedee Bse: + + Eie weitere Zusmmefssug ist icht möglich. Additio vo Poteze: Poteze mit gleicher Bsis ud gleichem Expoete (ud elieige Koeffiziete) werde ddiert, idem m die Koeffiziete ddiert ud Bsis sowie Expoet eiehält: y x y x ) ( + + Multipliktio ) Idetische Bsis, verschiedee Expoete: 5 ) ( ) ( ) Idetische Expoete, verschiedee Bse: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( c) Verschiedee Expoete, verschiedee Bse: Eie weitere Zusmmefssug ist icht möglich.

19 Chrlotte-Wolff-Kolleg Vorkurs Mthemtik Multipliktio vo Poteze: ) Poteze mit gleicher Bsis ud elieige Expoete werde multipliziert, idem m die Expoete ddiert ud die Bsis eiehält: m + m ) Poteze mit verschiedee Bse ud gleiche Expoete werde multipliziert, idem m die Expoete eiehält ud die Bse multipliziert : ( ) Amerkug: We die eizele Poteze Koeffiziete esitze, d sid diese wie lle dere Fktore zu ehdel, sie köe lso (wege der Kommuttivität) usmultipliziert werde. Divisio ) Idetische Bsis, verschiedee Expoete: 4 4 : ( 0) D m gleiche Fktore kürze k, reduziert sich die Azhl der Fktore im Zähler um die Azhl der Fktore im Neer. Setzt m dies kosequet uf die Fälle fort, i dee im Neer geu so viele Fktore stehe wie im Zähler oder gr och mehr, so ergit sich eie Erweiterug des Potezegriffes: Eierseits ist ch oiger Recheregel 0 :, dererseits ist er uch. : Es gilt lso offer 0 ( 0). We im Neer eie höhere Potez steht, ergit sich Folgedes: 4 4 : ( 0). D er uch gilt 4 : ( 0), edeutet dies: ( 0). ) Idetische Expoete, verschiedee Bse: : c) Verschiedee Expoete, verschiedee Bse: : Eie weitere Zusmmefssug ist icht möglich. 9

20 Chrlotte-Wolff-Kolleg Vorkurs Mthemtik Divisio vo Poteze: ) Poteze mit gleicher Bsis ud elieige Expoete werde dividiert, idem m die Expoete sutrhiert ud die Bsis eiehält: m m m : ( 0) ) Poteze mit verschiedee Bse ud gleiche Expoete werde dividiert, idem m die Expoete eiehält ud die Bse dividiert : : ( 0) Amerkug: We die eizele Poteze Koeffiziete esitze, d sid diese wie lle dere Fktore zu ehdel, sie werde lso i die Divisio mit eiezoge. D ei der Divisio zweier Poteze mit gleicher Bsis (vgl. S. 9) im Neer eie gleich hohe oder höhere Potez ls im Zähler uftrete k, k der Begriff der Potez sivoll uch uf icht-positive, gzzhlige Expoete erweitert werde. Erweiterug des Potezegriffes : Sei 0. D gilt ) 0 ud ). ( ) ) ; (, c 0) ; cd 7 5 ) 5 ; 0 0, 0000 ; (, 0) Amerkug: Die Regel für die Umwdlug eies egtive Expoete i eie positive ermöglicht ds Verschiee eier Potez vom Zähler i de Neer zw. die Vermeidug vo Bruchstriche: Beispiel: c 4 4 c c c c c c Poteziere Aus der Defiitio der Potez für türliche Expoete ud der Üertrgug uf elieige gzzhlige Expoete ergit sich die Regel für ds Poteziere vo Poteze. ) ( ) 5 ) ( 5 0 ) ( ( ) ) 0

21 Chrlotte-Wolff-Kolleg Vorkurs Mthemtik Poteziere vo Poteze : Eie Potez wird poteziert, idem m die Expoete miteider multipliziert ud die Bsis eiehält: m m ( ) Poteziere vo Summe (Biomische Formel) Ds Poteziere eier Summe ist ei (gegeeeflls mehrfch gewdter) Spezilfll des ekte Distriutivgesetzes (vgl. S.0 ud ). We m eie zweigliedrige Summe (ei so getes Biom) qudriert, so ergit sich ( + ) ( + )( + ) Dies ist die ". Biomische Formel"; log üerlegt m die ( sich üerflüssige) ". Biomische Formel", die ds Qudriere eier Differez eschreit. Die ". Biomische Formel" eschreit ds Produkt us der Summe ud der Differez zweier Zhle, diese Formel ist immer d wichtig, we eie Differez vo Qudrte zu fktorisiere ist. Multipliziert m ämlich us, so ergit sich: ( + )( ) +.. Wir he so die drei iomische Formel her geleitet: Biomische Formel Für elieige Zhle ud gilt : ) ( + ) + + ) ) ( ) + ( + )( ). We m höhere Poteze eier Summe ereche will, so wird ds sehr schell umstädlich ud recheufwädig: ( + ) ( + )( + )( + ) ( + + )( + ) ( + ) 4 ( + )( + )( + )( + ) ( )( + ) Schreit m eiml lle isher erechete Poteze vo ( + ) uf ud otiert dzu lle Koeffiziete, so ergit sich ds so gete Pscl'sche Dreieck: 0 ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) 4 ( + ) ( + ) Die füfte Zeile he wir oe icht erechet, er ds rucht m uch icht, weil m jede Zhl im Ier des Dreiecks us der Summe der eide drüer stehede Zhle erhält (ud m Rd ur die "" hizu füge muss). Dieser Rechevorgg ergit sich us dem Multipliktiosvorgg, wie er oe gedeutet ist.

22 Chrlotte-Wolff-Kolleg Vorkurs Mthemtik Hier ur ei kurzer Hiweis für Profis (oder solche, die es werde wolle...): M k diese Zhle, die so gete Biomilkoeffiziete uch eizel ereche. Die Zhl im Dreieck, die i der Zeile der Potez "" der Stelle "k" ch der "" steht (diese etws eigewillig erscheiede Zählrt liegt dr, dss mit der "0" zu zähle egoe wird) lutet:!.... k k!( k)!... k... ( k) 0 So ergit sich z.b. der sieete Koeffiziet für ( + ) zu 0 0! !(0 7)!... 7 Dies sid die so gete Biomilkoeffiziete. D die Expoete vo flle, die vo steige ud die Summe der Expoete immer 7 eträgt, lutet die komplette Potez zu dem oe etrchtete Koeffiziete 0. Eifcher merkt m sich die Bedeutug vo k ud so: ist der Expoet der Summe, k der Expoet eier der eide Vrile (der dere Expoet ist d -k). Die Ergeisse des letzte Aschittes k m d och zusmme fsse zum "Biomische Lehrstz" : Für elieige Zhle ud gilt: ( ) k k ( + ) k k Noch eiml etot: Die letzte Ausführuge stehe hier ur der Vollstädigkeit hler ud sid ur für diejeige wichtig, die sich weiter gehed mit Mthemtik eschäftige wolle. Wurzel Die oe erkte Recheregel für Poteze ud ihre kosequete Fortsetzug ermögliche eie Zugg zum Begriff der Wurzel ud eie Schreiweise ls Potez. Defiitio: Es sei eie positive Zhl. Die -te Wurzel us, i Zeiche, ist diejeige positive Zhl, welche ls -te Potez esitzt. Es gilt lso ( ). heißt der Wurzelexpoet, der Rdikd. Im Fll spricht m d vo der "Qudrtwurzel" (oder kurz "Wurzel", we keie Verwechslug möglich ist) ud lässt de Wurzelexpoete weg. Diese Wurzelschreiweise ist mchml lästig, m k uf Grud eier reltiv eifche Üerlegug eie Wurzel ls Potez schreie: Nehme wir zuächst eie spezielle Wurzel, z.b Nch der Defiitio ist ds die Zhl, 4 welche ls 4.Potez die 6 esitzt: Es gilt lso ( 6) 4 6. Bechtet m u, dss ist, so ist es sivoll 6 6 zu schreie, de ch der Regel üer ds Poteziere gilt d ( )

23 Chrlotte-Wolff-Kolleg Vorkurs Mthemtik Dies k m llgemei für jede Wurzel mit elieigem Wurzelexpoete ud positivem Rdikde üerlege, so dss sich folgede Schreiweise ergit: Diese Schreiweise ht de Vorteil, dss m jede Wurzel ls Potez schreie k ud jede Rechug mit Wurzel ls Rechug mit Poteze durchführe k. Eie Wurzel us eier egtive Zhl k icht eideutig defiiert werde. Es ist klr, dss eie Qudrtwurzel us eier egtive Zhl icht im Reelle existiert, de es müsste sich um eie Zhl hdel, die ls Qudrt eie egtive Zhl esitzt (ud ds ist wege der Vorzeicheregel icht möglich). M köte u versucht sei, z.b. für eie dritte Wurzel us eier egtive Zhl eie egtive Zhl zu defiiere (ws die Vorzeicheregel hergee würde). Aer uch ds führt zu Widersprüche, wie folgedes Gegeeispiel zeigt: D ( ) 8 gilt, köte m reche: ( 8) ( 8) ( 8) Der Widerspruch - ist offesichtlich, eie Wurzel us eier egtive Zhl k icht gezoge werde. Defiitio: Aussge, Aussgeforme, Gleichuge, Ugleichuge, Lösug Ei Stz, desse Whrheitsgehlt feststeht, heißt Aussge. Ei Stz, der eie oder mehrere Leerstelle (uch Pltzhlter oder Vrile get) ethält, der eim Ersetze dieser Leerstelle durch geeigete Ojekte zu eier Aussge wird, heißt Aussgeform. Die Mege der zum Eisetze vorgesehee Elemete heißt die Grudmege G. Je ch Azhl der Vrile heißt die Aussgeform ei- oder mehrstellig. Eie Aussge oder Aussgeform, die ei " " ethält, heißt Gleichug, ethält sie die Zeiche " < ", " > ", " " oder " ", so heißt sie Ugleichug. Aussge : ; ; + 4 > ; + 4 7; "Heute ht es i Berli gereget" keie Aussge : + 4 ; + 4 ; "Pul ist ei cooler Typ" Aussgeforme: + x 7 (eistellig) ; x + 4y 4z; + 4x - y z (eide dreistellig); "... Meyer ist geore m i...." (füfstellig) Gleichuge: ; + x 5 ; 4 + x -y 0 Ugleichuge : x + y 8 ; x > 7 Defiitio: Ei Elemet der Grudmege heißt Lösug der Aussgeform, we eim Eisetze eie whre Aussge etsteht. Die Mege ller Lösuge heißt die Lösugsmege der Aussgeform. + x 0 ht die Lösugsmege L { 7 } zw. die Lösug x 7 x² 9 ht die Lösugsmege L { ± } zw. die Lösuge x ud x -.

24 Chrlotte-Wolff-Kolleg Vorkurs Mthemtik M uterscheidet Aussgeforme ch ihrer Lösugsmege: Defiitio: Eie Aussgeforme heißt i der Grudmege G llgemeigültig, we L G, teilgültig, we L eie Teilmege vo G ud icht erfüllr, we L { } gilt. ) ( - )( + ) ² - ² (llgemeigültig i ) ) x² + x 0 (teilgültig i, icht erfüllr i ) c) x² -7 (icht erfüllr i, teilgültig i ) Defiitio: Zwei (U-) Gleichuge, die die gleiche Lösugsmege he, heiße äquivlet. Eie Umformug eier Gleichug (oder Ugleichug), welche die Lösugsmege icht verädert, heißt Äquivlezumformug. Dss zwei (U-)Gleichuge äquivlet sid, wird durch ds Zeiche " " gekezeichet. Wir werde us jedoch zuächst ur mit Gleichuge eschäftige. Beispiele für Äquivlezumformuge vo Gleichuge : ) Vertusche der Seite : + + ) Zusmmefsse, Umformuge uf eier oder eide Seite : x+ x 4x 8+ 9 x c) Addiere/Sutrhiere eier Zhl oder eies Terms uf eide Seite: x+ 4 8 x ; x 4 x 7 d) Multipliktio mit eier/ Divisio durch eie Zhl, die verschiede vo Null ist, uf eide Seite: x 5 x x x Ds Qudriere ud ds "eifche" Wurzelziehe ist keie Äquivlezumformug, wie folgede Beispiele zeige: Qudriert m z.b. die Gleichug x 5 (Lösug x 7) uf eide Seite, so erhält m ( x 5) 4 x 0x Diese Gleichug ht die Lösuge x 7 ud x, die Lösugsmege ist lso größer geworde, die Gleichuge sid icht äquivlet. Zieht m uf dgege uf eide Seite eier Gleichug die Wurzel, so ergit sich z.b. Folgedes: x 6 ht die Lösuge x 4 ud x 4, die uchtsm uf eide Seite durch Wurzelziehe ereitete Gleichug x 4 ht ur och die Lösug x 4. Hier kommt m er zu eier Äquivlezumformug, we m setzt wie folgt: x 6 x 4 x 4 x 4 (Ds Zeiche " " ist ds ussgelogische "oder".) 4

25 Chrlotte-Wolff-Kolleg Vorkurs Mthemtik Defiitio: Die Mege der Zhle, für die sämtliche i eier (U-) Gleichug uftretede Terme defiiert sid, heißt die Defiitiosmege der Gleichug. Beispiel: Die Gleichug x 4 x x ht die Defiitiosmege D \{}. Deswege k m i D uf eide Seite mit dem Neer (x - ) multipliziere, es gilt lso x 4 x x 4 x x 4 x x x ( x D). Diese "Lösug" ist jedoch keie Lösug der Gleichug, d die Zhl j icht i der Defiitiosmege der Gleichug liegt! Ds Löse eier Gleichug edeutet lso die Umformug der Gleichug durch elieig viele Äquivlezumformuge, ud zwr so lge, is m die Lösug(e) lese k. Liere Gleichuge Defiitio: Eie Gleichug der Form x + c c,,, i der die Vrile lso ur i der erste Potez vorkommt, heißt Liere Gleichug. Die Lösug eier liere Gleichug erfolgt durch ds Isoliere der Vrile. Beispiel: x 4 5x+ 6 5x+ 4 x 0 :( ) x 5 L { 5} Sid i eier liere Gleichug mehrere Vrile ethlte, woei eie der Vrile die zu Bestimmede ist ud die Adere ur so gete Formvrile sid, so k m die Gleichug ch der gesuchte Vrile uflöse, m sgt uch, m stellt ch der Uekte um. Beispiel: x 4 5x+ 6 5x+ 4 x 6+ 4 :( ) 6+ 4 x L { } 5

26 Chrlotte-Wolff-Kolleg Vorkurs Mthemtik Liere Gleichugssysteme We eie Gleichug mehrere Vrile ethält, so k m diese icht llei us dieser eie Gleichug ereche. M k zwr die Gleichug ch jeder der Vrile uflöse (dzu sgt m uch, m stelle die Gleichug um), er es ergit sich kei Wert für die eizele Vrile. Beispiel: x 4y x 4y+ y x 4 D m us eier Gleichug eie Uekte ereche k, k m us zwei Gleichuge zwei Uekte, us drei Gleichuge drei Uekte usw. ereche. Defiitio: We für ei ud diesele Uekte verschiedee Gleichuge gelte müsse, so et m dies ei Gleichugssystem. We die Gleichuge sämtlich lier sid, so et m ds System ei lieres Gleichugssystem (kurz: LGS). Ei LGS heißt uterestimmt, we mehr Uekte ls Gleichuge vorliege üerestimmt, we mehr Gleichuge ls Uekte vorliege ud wohlestimmt, we geu so viele Gleichuge wie Uekte vorliege. Zum Löse eies LGS git es drei Verfhre, die m je ch der Struktur der Gleichuge eutzt. Diese Verfhre solle hier zuächst für zwei Gleichuge mit zwei Uekte (so gete x - Systeme) erläutert werde; für größere Systeme ergit sich d eie Lösug durch fort gesetztes Awede dieser Verfhre. Gleichsetzugsverfhre We uf eier Seite eider Gleichuge jeweils ds Gleiche steht, so müsse die dere Seite uch gleich sei; ddurch ist eie Uekte elimiiert: y x+ () x + x 4 x 7 y x 4 () Setzt m de Wert für x i Gleichug () oder () ei, ergit sich y - 8. M üerzeugt sich leicht, dss diese eide Zhle eide Gleichuge erfülle. M schreit d die Lösug uch ls (x/y) (-7/-8), lso L {(-7/-8)}. Eisetzugsverfhre We eie der Gleichuge ereits ch eier der Vrile ufgelöst ist, so k m diese Wert d i die zweite Gleichug eisetze; ddurch ist eie Uekte elimiiert: y x () (x 4) x 4x 8 x x y x 4 () Setzt m de Wert für x i Gleichug () ei, ergit sich y 8. M üerzeugt sich leicht, dss diese eide Zhle eide Gleichuge erfülle; es gilt L {(/8)}. 6

27 Chrlotte-Wolff-Kolleg Vorkurs Mthemtik Additiosverfhre Liegt keier der eide oige Spezilfälle vor, so ist es meist prktisch, durch Additio oder Sutrktio der eide Gleichuge eie der Uekte zu elimiiere. Es ist meist zusätzlich otwedig, durch geeigete Multipliktio oder Divisio der Gleichuge die eide Koeffiziete der zur Elimitio usgewählte Uekte gleich oder gegegleich zu mche. y x () 4 8 y x () y 4 y 4 y+ 4x 4 () 9y+ x () Setzt m de Wert für y i Gleichug () oder () ei, ergit sich x - 7. M üerzeugt sich leicht, dss diese eide Zhle eide Gleichuge erfülle; es gilt L {(-7/-4)}. Die vorgestellte Verfhre k m uch für größere Systeme wede. Dei müsse die Verfhre jedoch mehrfch hitereider durchgeführt werde, wie ds folgede Beispiel der Lösug eies x - Systems zeigt: x+ y z () x+ y z () x y+ z () 4x 4y+ z () x y z 4() 6x 4y z 8() Durch Additio vo () + () (4) zw. () + () (5) ergit sich ei x - System: 5x y (4) 8 40x 8y 4 (6) 0x 0 x 0x 8y 6 (5) 0x 8y 6 (5) Eisetze vo x z.b. i (5) ergit y ; Eisetze vo x ud y z.b. i () liefert z. Isgesmt gilt lso L {(//)}. Mit de vorgestellte Methode wird m i de meiste Fälle eie Lösug erhlte. Spezilfälle Es köe jedoch uch zwei dere Fälle uftrete, die hier mit Beispiele erläutert werde solle: y x () 6 y 9x 9 () ) 0 6y+ 9x () 6y+ 9x () D dies ei Widerspruch ist, esitzt ds LGS keie Lösug. y x () 6 y 9x 9 () ) 0 0 6y+ 9x 9 () 6y+ 9x 9 () Es ergit sich kei Widerspruch, er uch keie Lösug. Dies liegt dr, dss die. Gleichug durch Multipliktio us der. Gleichug hervor geht; m et solche Gleichuge lier hägig. Ds edeutet, dss die. Gleichug keie eue Iformtio üer die eide Uekte liefert, m k (wie eiggs erwäht) ur Umstelluge vorehme, wie z.b. y x x y x + y. Für jede Wert, de m für y eisetzt, erhält m eie Wert für x, z.b. ist (/) eie Lösug, er eeflls (/6). Es ergee sich demch uedlich viele Lösuge! 7

28 Chrlotte-Wolff-Kolleg Vorkurs Mthemtik Qudrtische Gleichuge Defiitio: Eie Gleichug der Form x + x + c 0 (,, c, 0), i der die Vrile lso i der zweite Potez vorkommt, heißt Qudrtische Gleichug. Wir uterscheide drei Fälle: ) 0 rei-qudrtische Gleichug, ) c 0 uvollstädig gemischt-qudrtische Gleichug, c) c, 0 vollstädig gemischt-qudrtische Gleichug. Für jede dieser Fälle sollt m die etsprechede Methode eutze, um uötige Fehler zu vermeide. Rei-qudrtische Gleichug Beispiel: Lösug durch Isoliere: Lösug durch Fktorisiere: x 0 x 0 x x 4 x 4 0 ( x )( x+ ) 0 x x x x Dei wird eim Isoliere i der dritte Zeile eutzt, dss sowohl ds Qudrt vo ls uch ds vo - vier ergit. Beim Fktorisiere wird dgege i der dritte Zeile die Ttsche eutzt, dss ei Produkt geu d Null wird, we weigstes ei Fktor Null ist. Uvollstädig gemischt-qudrtische Gleichug Beispiel (Lösug durch Fktorisiere) 0 x x ( xx 4) 0 x 0 x 4 Vollstädig gemischt-qudrtische Gleichug Beispiel (Lösug durch qudrtische Ergäzug) x x+ 9 0 x 4x+ 0 x 4x ( x ) + 4 ( x ) x x x x Die qudrtische Ergäzug eruht druf, dss m ei uvollstädiges Qudrt zu eiem vollstädige Qudrt ergäzt ud d weiter wie ei eier rei-qudrtische Gleichug rechet. D die qudrtische Ergäzug ziemlich umstädlich ist, wolle wir eie Formel dfür etwickel, die so gete pq-formel. 8

29 Chrlotte-Wolff-Kolleg Vorkurs Mthemtik Die llgemeie Form eier vollstädig gemischt-qudrtische Gleichug lutet x + x + c 0 (). D icht Null ist, k m durch dividiere: c x + x 0 + (). Zur Akürzug ersetzt m i () die Brüche durch p zw. q: c : p; : q (). x + px+ q 0 Um ei vollstädiges Qudrt gemäß der. Biomische Formel zu erhlte, muss der Term p x + px durch ergäzt werde, dies geschieht durch Additio uf eide Seite der Gleichug. p p x + px+ + q (4). Numehr köe die erste drei Summde gemäß der. Biomische Formel zusmme gefsst werde, ds q wird sutrhiert: p p x + q (5). Alog wie ei der rei-qudrtische Gleichug ereits erläutert, ergee sich die eide Möglichkeite p p p p x + + q oder x + q (6). Durch Sutrktio des Summde p ergee sich die eide Lösuge x, p p ± q (7). Zusmme gefsst ergit sich die Lösugsformel für eie vollstädig gemischt-qudrtische Gleichug: p p x px q 0 x + +, ± q Beispiel: x + 4x x, ± ± ± x x Hiermit ist der Stoff des Vorkurses vollstädig drgestellt. Schöe Ferie! 9