Cristian Rosca & Timm Kruse: Ungleichungen II (Proseminar Mathematisches Problemlösen SS 2006: Dozent - Natalia Grinberg) UNGLEICHUNGEN II

Transkript

1 Cisti Ros & Timm Kuse: Ugleihuge II (Posemi Mthemtishes Polemlöse SS 006: Dozet - tli Gieg) Posemi Mthemtishes Polemlöse Uivesität Klsuhe SS 006 UGLEICHUGE II Youg-Ugleihug... Hölde-Ugleihug...6 Miowsi-Ugleihug...0 Cuh-Shwz-Ugleihug...5 Litetu...9 of 9

2 Cisti Ros & Timm Kuse: Ugleihuge II (Posemi Mthemtishes Polemlöse SS 006: Dozet - tli Gieg) Youg Ugleihug Youg Ugleihug: Ist f eie mooto steigede stetige Futio uf dem ] Itevll [ 0, mit f (0) 0. Es sei g die zu f ivese Futio (d.h. f( g( s )) s ud g( f( t)) t 0, 0, f( ) jedes [ ] ud jedes [ ] ). D gilt fü die Ugleihug: Gleihheit titt ei f ( ) f () tdt g( sds ) 0 0 uf. Isesodee gilt f ( ) g( ) () Beweis: Sei est eiml f ( ) Flähe ute dem Ghe vo Etsehed ist Ghe vo. D ist f() t dt de Ihlt de 0 gsds () f im Itevll [ 0, ( )] 0 f im Itevll [ ] 0,. de Ihlt de Flähe üe dem g. u he wi g( ) f ( ). of 9

3 Cisti Ros & Timm Kuse: Ugleihuge II (Posemi Mthemtishes Polemlöse SS 006: Dozet - tli Gieg) Die Veeiigug vo diese eide Flähe ethält lso ds Rehte mit de Seite ud. De Fll f ( ) log ethtet wede. Die Ugleihug () ist offesihtlih. (Siehe uh [Mit] uf Seite 0 fü ei ghishe Dstelluge des Beweises. Eie ltishe Beweis fidet m im [Clo] uf Seite,.) Aufge Beweise sie fü > 0 ud 0 > die Ugleihug ( log ) e Lösug: Wi wede die Youg-Ugleihug uf f () t log( t ). Die Ivese zu f ist s f () s e g() s. u wähle wi: ud he: of 9

4 Cisti Ros & Timm Kuse: Ugleihuge II (Posemi Mthemtishes Polemlöse SS 006: Dozet - tli Gieg) t [( ) log( ) ] ( ) [ ] s 0 0 ' ( ) f () t dt log( t ) dt t log( t ) dt t t t dt t 0 t log () s s g() s ds e ds e ds ds s s s e s e () s 0 (), () ( ) log( ) e Youg Ugleihug log( ) e ( log( ) ) e Aufge > > Seie ud eele Zhle mit., d.h. 0 0 Beweise sie fü lle ud die Ugleihug of 9

5 Cisti Ros & Timm Kuse: Ugleihuge II (Posemi Mthemtishes Polemlöse SS 006: Dozet - tli Gieg) Lösug: Wi wede die Youg-Ugleihug uf f () t t. Die Ivese zu f ist f () s s s g() s. u egit sih: t () () 0 0 t 0 f t dt t dt t () () gs t dt t (), () Youg Ugleihug 5 of 9

6 Cisti Ros & Timm Kuse: Ugleihuge II (Posemi Mthemtishes Polemlöse SS 006: Dozet - tli Gieg) Hölde Ugleihug Hölde-om: Fü jedes ud ezeihe wi mit Ausdu Es ist zu zeige, dss duh.) 0 ud 0 0.) λ λ.)... ) (. Beweis: Zu.) 0,d i {,..., } lle 0 i (... ) 0 0 ud 0 (... ) i 0 i {,...,} i 0 i {,...,} 0 i {,...,} i de eie om gegee ist. i 6 of 9

7 Cisti Ros & Timm Kuse: Ugleihuge II (Posemi Mthemtishes Polemlöse SS 006: Dozet - tli Gieg) Zu.) λ ( λ... λ ) ( λ... λ ) ( ) λ ( ) λ ( λ... )... Zu.) gilt h Miowsi-Ugleihug Hölde Ugleihug: > > Seie ud eelle Zhle., d.h. D gilt fü lle ud die Ugleihug,, ode usfühlih ( ) ( ) 7 of 9

8 Cisti Ros & Timm Kuse: Ugleihuge II (Posemi Mthemtishes Polemlöse SS 006: Dozet - tli Gieg) Beweis: M df duh λ ud duh λ, μ λμ, λμ, ud λ μ λμ μ esetze, d im Folgede wid u oh de Fll ud ethtet, ( )... ( ) (... ) (... ) Aufge : Seie,, ud 0 <,, <. Zeige Sie: Lösug: ( ) ( ),,, (0,). Wähle ud wede.. ud df somit Hölde-Ugleihug 8 of 9

9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) Aufge : Sei ud. Zeige sie: 6 π < Lösug: Mit ud gilt mit Hölde-Ugleihug: mit 6 π < folgt dus 6 6 < π π Cisti Ros & Timm Kuse: Ugleihuge II (Posemi Mthemtishes Polemlöse SS 006: Dozet - tli Gieg) 9 of 9

10 Cisti Ros & Timm Kuse: Ugleihuge II (Posemi Mthemtishes Polemlöse SS 006: Dozet - tli Gieg) Miowsi Ugleihug Miowsi Ugleihug: Sei. D gilt fü, die Deiesugleihug zgl. de om : Gleihheit gilt ei, lie hägig. Beweis: Seie vo zw.. zw. die Betäge de Koodite. Es gilt d, h de Deiesugleihug ist ( ) 0 of 9

11 Cisti Ros & Timm Kuse: Ugleihuge II (Posemi Mthemtishes Polemlöse SS 006: Dozet - tli Gieg) Es ist lso hieihed, die Ugleihug ( ) () fü ihtegtive Zhlefolge ud Wi he zu eweise. ( ) ( ) ( ) Awedug vo de Hölde-Ugleihug fü folgedes: egit ( ) ( ) ( ) / Alog ist ( ) / Addiee wi die letzte zwei Ugleihuge, so ehlte wi of 9

12 Cisti Ros & Timm Kuse: Ugleihuge II (Posemi Mthemtishes Polemlöse SS 006: Dozet - tli Gieg) () ( ) ( ) / Aufge :,, Seie die Wiel eies elieige Deies.. Fide sie ds Miimum de Futio f (,, z) z z z woei z. Lösug: Die Miowsi-Ugleihug esgt: m m m,..., i i i i i i i,..., m m () of 9

13 Cisti Ros & Timm Kuse: Ugleihuge II (Posemi Mthemtishes Polemlöse SS 006: Dozet - tli Gieg) Wede dies uf die Aufge ud ehlte: z z z () ( ) ( ) ( ) z z z z z ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z,, > 0 ( ) π Aufge : Seie,..., Zeige sie: ud.... of 9

14 Cisti Ros & Timm Kuse: Ugleihuge II (Posemi Mthemtishes Polemlöse SS 006: Dozet - tli Gieg) Lösug: Die Miowsi-Ugleihug esgt: ; i, j mit j ud j : i, j ,,,,,,...,,, ( ) ( (,,..., ) Setze u i, j ,,,,,, j fü i j fü i > j i, j 0 Somit ehlte wi: i j ud defiiee, : ( ) ( )... ( ) ( ) ( )... ( )... ( ) ( ) ( )... ( ),,..., > ) of 9

15 Cisti Ros & Timm Kuse: Ugleihuge II (Posemi Mthemtishes Polemlöse SS 006: Dozet - tli Gieg) Cuh-Shwz-Ugleihug Cuh-Shwz-Ugleihug: Fü lle, gilt:, Gleihheit fü λ ud 0. Beweis: Hölde-Ugleihug fü. Aufge : Fide sie ds Miimum des Ausdus 0... lle mit.... ute Lösug: of 9

16 lso Miimum ei, ds ei... geomme wid. Aufge : Zeige sie: Lösug: Cisti Ros & Timm Kuse: Ugleihuge II (Posemi Mthemtishes Polemlöse SS 006: Dozet - tli Gieg) 6 of 9

17 Cisti Ros & Timm Kuse: Ugleihuge II (Posemi Mthemtishes Polemlöse SS 006: Dozet - tli Gieg) Aufge : Fide sie ds Mimum de Futio f ( ) si( ) os( ), woei, > 0,0 < < π /. Lösug: ( ) ( ) ( ) si( ) os( ) si os Mimum ei Wege de Gleihheitsedigug de Cuh-Shwz Ugleihug gilt: si os λ si λ λ os λ ud si t os Mimum ei t 7 of 9

18 Cisti Ros & Timm Kuse: Ugleihuge II (Posemi Mthemtishes Polemlöse SS 006: Dozet - tli Gieg) Aufge : Sei P ei Polom mit ihtegtive Koeffiziete. Zeige sie: P( ) P( ) [ P()], fü lle >0. Lösug: Sei P( )... 0 P ( ) P (... 0) (... ) P() of 9

19 Cisti Ros & Timm Kuse: Ugleihuge II (Posemi Mthemtishes Polemlöse SS 006: Dozet - tli Gieg) Litetu: Mthemtishes Polemlöse fü Shüle, Lehe ud Studete tli Gieg Elemet ieulities - D. S. Mitiovi [Mit] Ieulities : with litios to egieeig - Mihel J. Cloud [Clo] The Cuh-Shwz mste lss - J. Mihel Steele htt://hd.t.ui-mgdeug.de/mthu/v/pu.html - Ed Seht htt:// Mthlis Foum 9 of 9